Lezione n. 4
Richiami sulla linea elastica di una struttura
La deformata di una struttura
O
ZZ
A
Per deformata della struttura si intende la configurazione che la struttura stessa assume a seguito
dell’applicazione dei carichi. Nel caso di strutture snelle, la configurazione deformata è usualmente
rappresentata dalla posizione che la linea d’asse (o la curva d’asse nel caso di strutture non
rettilinee) assume a causa dei carichi (e delle eventuali coazioni) che su essa insistono.
Il caso più semplice nel quale si riesce a determinare completamente la configurazione deformata è
dato dalle travi ad asse rettilineo, piane, soggette soltanto a carichi ortogonali al proprio asse e
giacenti nel piano della struttura ed, eventualmente, a coppie aventi l’asse momento perpendicolare
al piano della struttura.
La trave risulta quindi soggetta soltanto a taglio (T) e a momento flettente (M).
Individuando un sistema di riferimento (Y,Z) nel piano della trave, rappresentato dal foglio nel
quale la rappresentiamo (e quindi X ortogonale al foglio), si potrà quindi considerare il caso di una
trave soggetta a solo taglio in direzione Y (TY, per brevità indicato con T) e momento flettente
lungo l’asse X (MX, per brevità M).
La trave quindi, in assenza di sforzo normale, presenterà le Caratteristiche di Sollecitazione (CdS)
riportate nella seguente tabella, unitamente alle correlative Caratteristiche di Deformazione (CdD).
Sempre in tabella sono anche indicate le componenti di carico e di spostamento che risulteranno di
interesse.
Carichi
Caratteristiche
di Sollecitazione
Caratteristiche
di Deformazione
q(z) forza per unità di T(z) taglio in
γ(z) scorrimento in
lunghezza, in
direzione Y
direzione Y
direzione Y
m(z) momento per
M(z) momento
k(z) curvatura in
unità di
flettente, con asse
direzione X
lunghezza, con
in direzione X
asse in direzione
X
Spostamenti
v(z) spostamento in
direzione Y
ϕ(z) rotazione intorno
all’asse X
B
Come ben noto dalla meccanica dei solidi, carichi e CdS sono tra loro collegate dalle seguenti
equazioni differenziali, denominate Equazioni Indefinite di Equilibrio
dT(z)
dM (z)
+ q (z) = 0
+ m( z ) = T ( z )
dz
dz
Una volta specificate le condizioni al contorno della trave (offerte dalle condizioni statiche dettate
dall’eventuale presenza dei vincoli), sarà possibile esplicitare la soluzione del problema e quindi
ricavare, in forma definita e non più indefinita, le espressioni per il taglio ed il momento flettente
lungo l’asse della trave.
Nel caso in cui non compaiano momenti distribuiti lungo l’asse della trave (e quindi sia nullo il
termine m(z), le equazioni si semplificano e possono essere contemplate in un’unica equazione
differenziale (del 2° ordine) di equilibrio
dT(z)
+ q (z) = 0
dz
dM (z)
= T(z)
dz
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
⇒
d 2 M (z)
dz 2
= −q ( z )
Revisione – 21/10/01
Lezione n. 4 – pag. IV.2
Ancora dalla meccanica dei solidi, il legame tra spostamenti e CdD è offerto dalle seguenti
equazioni differenziali, denominate Equazioni Indefinite di Congruenza
dφ(z)
dv(z)
= k (z)
+ φ( z ) = γ ( z )
dz
dz
Anche in questo caso le condizioni cinematiche offerte dai vincoli permetteranno di rendere definite
tali equazioni.
Nel caso in cui si possa trascurare il termine di scorrimento γ(z) (che abbiamo già verificato essere
collegato alla deformabilità per taglio, e quindi, spesso, trascurabile), le due equazioni si
semplificano e possono essere contemplate in un’unica equazione differenziale (del 2° ordine) di
congruenza
dv(z)
+ φ( z) = 0
dz
d 2 v( z )
⇒
dz 2
= −k (z)
A
dφ(z)
= k (z)
dz
Infine, le equazioni di congruenza e di equilibrio sono tra loro collegate dalle Equazioni costitutive
(o di legame). Nel caso elastico lineare, le equazioni nel caso piano che stiamo studiando sono,
come noto, le seguenti
χT(z)
M (z)
k (z) =
GA
EJ
che, nel caso in cui si trascuri la deformabilità per taglio, si riducono soltanto alla seconda.
O
ZZ
γ(z) =
Quindi, nel caso piano in cui non ci siano momenti applicati lungo l’asse della trave ed in cui si
trascuri la deformabilità per taglio, i tre gruppi di equazioni possono essere raccolti in un’unica
equazione differenziale, ottenuta per derivazioni successive.
Equazioni indefinite
di equilibrio
Equazioni costitutive
Equazioni indefinite
di congruenza
dT(z)
+ q (z) = 0
dz
dM (z)
= T(z)
dz
M (z)
k (z) =
EJ
dφ(z)
= k (z)
dz
dv(z)
+ φ( z) = 0
dz
d 2 M (z)
k (z) =
B
= −q ( z )
dz 2
M (z)
EJ
dv(z)
+ φ( z) = 0
dz
⇒
v′(z) = −φ(z)
dφ(z)
= k (z)
dz
⇒
v′′(z) = − k (z)
M (z) = EJ ⋅ k (z)
⇒
− EJ ⋅ v′′(z) = M (z)
dM (z)
= T(z)
dz
⇒
− [EJ ⋅ v′′(z)]′ = T(z)
dT(z)
+ q (z) = 0
dz
⇒
[EJ ⋅ v′′(z)]″ = q(z)
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
d 2 v( z )
dz 2
= −k (z)
BOZZA SOGGETTA A REVISIONE
Lezione n. 4 – pag. IV.3
Avendo indicato con il segno di apice la derivazione rispetto a z. L’equazione ottenuta
(differenziale, del IV ordine) prende il nome di Equazione della Linea Elastica.
Nel caso in cui la trave sia caratterizzata da valori costanti di E e J, l’ultima equazione può essere
riscritta come segue
A
EJ ⋅ v( IV) (z) = q (z)
L’equazione differenziale può essere risolta, in termini di v(z), una volta specificate 4 condizioni al
contorno (c.c.), che sono ancora dettate dalle condizioni statiche e cinematiche offerte dagli
eventuali vincoli. Una volta nota la soluzione v(z), per derivazioni successive si ricaveranno,
utilizzando le seguenti relazioni (riscritte nel caso EJ=cost.), tutte le grandezze deformative e di
sollecitazione di interesse
v(z)
φ(z) = − v′(z)
k (z) = − v′′(z)
M (z) = −EJ ⋅ v′′(z)
O
ZZ
T(z) = −EJ ⋅ v′′′(z)
Quindi la conoscenza della funzione v(z), denominata come Linea Elastica, permette, almeno nel
caso di trave piana rettilinea, di determinare completamente lo stato di sollecitazione/deformazione
in tutti i punti della trave stessa.
E’ importante notare quindi che lo stato di sollecitazione e deformazione della struttura è
univocamente determinato se, oltre ai carichi, si conoscano 4 c.c. indipendenti che permettano di
integrare l’equazione differenziale del IV ordine.
Questa affermazione tornerà di particolare utilità quando ci addentreremo nella soluzione di una
trave iperstatica utilizzando il metodo dell’equilibrio, al fine di identificare quelli che saranno
definiti come movimenti indipendenti di una struttura.
Un’ultima osservazione: non si è mai parlato dell’eventuale grado di iperstaticità della trave.
L’integrazione dell’Equazione della Linea Elastica è infatti sempre possibile, sia nel caso di una
trave isostatica che iperstatica.
B
A titolo di esempio, proviamo a risolvere la stessa trave che abbiamo incontrato nella lezione n. 1,
cercando di determinare l’andamento della deformata, ossia disegnando la funzione v(z) che
rappresenta lo spostamento verticale della linea d’asse della trave.
q
A
B
z
y
L
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
BOZZA SOGGETTA A REVISIONE
Lezione n. 4 – pag. IV.4
Nell’ipotesi di indeformabilità per taglio e valore costante del prodotto EJ lungo l’asse della trave,
l’equazione differenziale acquista la forma
EJ ⋅ v ( IV) (z) = q
o anche
q
EJ
Da cui, per successive integrazioni, si ottiene
v′′′(z) =
q
⋅z + A
EJ
v′′(z) =
q z2
⋅ + A⋅z + B
EJ 2
v′(z) =
q z3
z2
⋅ + A⋅
+ B⋅z + C
EJ 6
2
A
v ( IV) (z) =
O
ZZ
q z4
z3
z2
v( z ) =
⋅
+ A ⋅ + B⋅
+ C⋅z + D
EJ 24
6
2
in cui le 4 costanti A, B, C e D sono da determinare in modo da rispettare le c.c. offerte dai vincoli.
Nel caso in esame, occorre quindi esplicitare le condizioni (statiche o cinematiche) offerte dai
vincoli presenti sulla trave. In particolare, sono statiche le condizioni che riguardano valori (noti)
del Taglio o del Momento, mentre sono cinematiche le condizioni che riguardano valori (noti) di
spostamenti o rotazioni.
Il vincolo (di incastro) in A, fornisce le seguenti indicazioni
Condizioni cinematiche
Condizioni statiche
v(A)=0
T(A)≠0
ϕ(A)=0
M(A)≠0
B
in cui soltanto quelle riportate nella colonna di sinistra sono effettivamente utilizzabili, in quando
forniscono indicazioni circa valori noti delle caratteristiche alle quali si riferiscono. E’ ancora
possibile notare che condizioni statiche e cinematiche sono tra loro “duali” per quanto riguarda
grandezze correlative (ossia per cui il prodotto abbia la grandezza di un lavoro): se si impone la
condizione v(A)=0, ad esempio, questa è corrispondente, per il postulato fondamentale della
meccanica, ad assumere che T(A)≠0, in quanto l’azione del vincolo (cinematicamente definito
dall’equazione v(A)=0) può aver luogo soltanto grazie all’azione di una forza applicata, nella
direzione del taglio, appunto.
Il vincolo (appoggio semplice) in B fornisce invece le seguenti indicazioni
Condizioni cinematiche
Condizioni statiche
v(B)=0
T(B)≠0
ϕ(B)≠0
M(B)=0
delle quali soltanto due [v(B)=0 e M(B)=0] sono utilizzabili ai nostri fini.
Le quattro c.c. effettivamente individuate possono essere quindi utilizzate per ricavare i valori delle
costanti che compaiono nell’espressione di v(z)
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
BOZZA SOGGETTA A REVISIONE
Lezione n. 4 – pag. IV.5
v(A)=0
⇒
v(0) = 0
ϕ(A)=0
⇒
− v′(0) = 0
v(B)=0
⇒
v( L) = 0
⇒
A
− EJ ⋅ v′′(L) = 0
in cui si è identificata la sezione A con l’ascissa z=0 e la sezione B con z=L.
Riscrivendo tali condizioni in termini di soluzione generale, si perviene ad un sistema di 4
equazioni in 4 incognite
D = 0
− C = 0
v(0) = 0

4
3
2
− v′(0) = 0
 q ⋅ L + A ⋅ L + B⋅ L + C⋅L + D = 0

⇒

 EJ 24
6
2
 v( L) = 0

2

− EJ ⋅ q ⋅ L + A ⋅ L + B = 0
− EJ ⋅ v′′(L) = 0



EJ 2




Da cui la soluzione
M(B)=0
O
ZZ
5 qL

A = − 8 EJ


1 qL2
B =
8 EJ

C
=
0

D = 0
E quindi
v( z ) =

q z 4 5 qLz 3 1 qL2 z 2 1 q  z 4 5
1
⋅
− ⋅
+ ⋅
=
⋅  − ⋅ Lz 3 + ⋅ L2 z 2 
EJ 24 48 EJ
16 EJ
8 EJ  3 6
2

Per derivazione, a questo punto, si possono ricavare le equazioni per le altre grandezze
φ(z) = − v′(z) = −
1 q 4 3 5

⋅  z − ⋅ Lz 2 + L2 z 
8 EJ  3
2

[
]
B
q
qL2 5
qz 2
M (z) = −EJ ⋅ v′′(z) = − ⋅ 4z 2 − 5Lz + L2 = −
+ qLz −
8
8
8
2
q
5
T(z) = −EJ ⋅ v′′′(z) = − ⋅ [8z − 5L] = qL − qz
8
8
Le funzioni ottenute mostrano gli andamenti riportati in figura
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
BOZZA SOGGETTA A REVISIONE
Lezione n. 4 – pag. IV.6
v(z)
A
B
B
A
f
ϕ(z)
L
L
z1
M(z)
A
B
T(z)
+
A
+
L
B
-
A
-
z1
L
z0
z0
O
ZZ
Prendendo spunto dall’esempio studiato, si possono ricordare alcune proprietà, evidenziate nei
grafici:
- l’ascissa di spostamento verticale massimo è ad una distanza da B pari a z1, coincidente con il
punto di rotazione nulla (essendo la rotazione la funzione che, a meno di un segno, descrive la
derivata dello spostamento)
- analogamente, l’ascissa di momento flettente massimo è ad una distanza da B pari a z0,
coincidente con il punto di taglio nullo (essendo il taglio la funzione che descrive la derivata del
momento flettente)
- i valori delle reazioni vincolari (che non sono stati calcolati direttamente), possono essere
ricavati attraverso le espressioni del momento flettente e del taglio. Infatti si ottiene
M (0) = −
qL2
8
5
T(0) = qL
8
5
3
T(L) = qL − qL = − qL
8
8
B
quindi la reazione vincolare in A è rappresentata da una coppia antioraria (in modo da provocare
un momento negativo) pari a qL2/8, la reazione verticale è costituita da una forza verso l’alto pari
a 5/8·qL, mentre la reazione in B è rappresentata da una forza verticale verso l’alto (in modo da
provocare un taglio negativo rispetto al verso di percorrenza della trave) pari a 3/8·qL
- il diagramma degli spostamenti è descritto da una curva che presenta punti di flesso (f) in
corrispondenza dei punti di nullo del diagramma del momento flettente (visto che il diagramma
del momento, proporzionale a quello delle curvature, descrive la funzione derivata seconda dello
spostamento
In termini qualitativi (e non quantitativi) la semplice conoscenza delle c.c. di tipo cinematico e
l’andamento (anche in forma qualitativa) del diagramma del momento, permette di individuare la
deformata della struttura.
Prendendo sempre spunto dall’esempio appena disegnato, le condizioni cinematiche (anche quelle
non utilizzate come c.c. dell’equazione differenziale) ci forniscono le seguenti indicazioni:
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
BOZZA SOGGETTA A REVISIONE
Lezione n. 4 – pag. IV.7
Condizioni cinematiche
in A
in B
v(A)=0
v(B)=0
ϕ(A)=0
ϕ(B)≠0
A
f
A
cioè la Linea Elastica della trave è rappresentata da una funzione che parte da un valore nullo in A
(ed in A ha tangente orizzontale) per terminare in B ancora con un valore nullo (ma tangente diversa
da zero). Il diagramma dei momenti ci dice inoltre quale deve essere la concavità della funzione nei
vari tratti (permettendoci, ad esempio, di stabilire che, per rispettare la concavità, in B la rotazione
deve essere antioraria).
A questo punto è possibile disegnare, in termini qualitativi, la deformata della struttura anche senza
valutare l’esatta espressione della Linea Elastica.
B
O
ZZ
L
zona a concavità negativa
(M<0)
punto di flesso
(M=0)
f
v=0
ϕ=0
zona a concavità positiva
(M>0)
M(z)
-
A
v=0
ϕ≠0
B
+
B
In termini qualitativi, è quindi possibile tracciare la deformata di una qualsiasi struttura, in cui gli
effetti deformativi preponderanti siano quelli dovuti al momento flettente.
Tornando all’esempio studiato nella lezione n. 3, la conoscenza delle condizioni offerte dai vincoli,
delle (eventuali) simmetrie strutturali e del diagramma dei momenti (anche soltanto qualitativa),
consentono di tracciare la deformata della struttura.
La deformata di ogni singolo tratto, infatti, può essere pensata come se derivasse dall’applicazione
della Linea Elastica per quello specifico tratto. L’ipotesi di indeformabilità assiale (ossia di
trascurabilità delle deformazioni causate dallo sforzo normale) consente, oltre alla considerazione
precedente, di valutare gli spostamenti di alcuni punti.
La simmetria della struttura ci ricorda inoltre che la sezione contraddistinta dal punto C non può
traslare in orizzontale nè ruotare, ma può soltanto traslare in verticale.
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
BOZZA SOGGETTA A REVISIONE
Lezione n. 4 – pag. IV.8
C
D
E
-
D
f
+
C
E
f
+
B
A
B
A
O
ZZ
A
In termini qualitativi, possiamo quindi permetterci le seguenti osservazioni:
- il punto D (e per simmetria, il punto E) non si sposta verticalmente, in quanto l’asta AD, non
deformandosi assialmente, mantiene inalterata la distanza tra A e D.
- i punti D, C ed E sono costretti ad avere lo stesso spostamento orizzontale, data l’indeformabilità
assiale dell’asta DE. Inoltre, dato che, per simmetria, il punto C non si può spostare in
orizzontale, ne consegue che nè D, nè C, nè E traslano orizzontalmente.
- il segno del momento flettente ci fornisce indicazioni circa le concavità dei vari tratti della
deformata (riportate in figura). I punti di nullo nel diagramma del momento flettente posizionano
inoltre gli eventuali flessi nella deformata stessa.
- per inciso, il tratto DE è sottoposto all’azione di un momento flettente costante. Di conseguenza,
la deformata presenterà, in quel tratto, una curvatura costante e sarà quindi rappresentata da un
arco di cerchio.
- la conoscenza della concavità ci permette di affermare che la sezione in A, che può ruotare ma
non spostarsi (data la presenza della cerniera), ruoterà in senso orario (per rispettare la concavità
della deformata). Analogamente il punto B, per simmetria, ruoterà della stessa quantità ma in
verso antiorario.
- il punto C, che può traslare verticalmente, dovrà spostarsi verso l’alto. Infatti i due punti D ed E
sono fermi, la concavità deve essere quella riportata in figura, e, di conseguenza, non può che
verificarsi uno spostamento con tale segno.
A conclusione del ragionamento appena fatto, si riporta la deformata qualitativa della struttura in
esame.
C
B
D
f
A
Gianni Bartoli – Appunti di Tecnica delle Costruzioni
E
f
D
E
f
f
B
C
A
B
BOZZA SOGGETTA A REVISIONE