Introduzione al problema
 Sia assegnata una funzione f(x) di cui sono noti i valori
f(x1), f(x2),…,f(xN) nei punti x1, x2, …, xN
 per semplicità supponiamo x1<x2<…<xN
 Si vuole calcolare il valore di f(x) in un punto x ≠ x1, x2,
…, xN
 se x è compreso nell’intervallo [x1,xN] si parla di
interpolazione
 se x non è compreso nell’intervallo [x1,xN] si parla di
estrapolazione
 Con l’interpolazione (o l’estrapolazione) si costruisce
un modello della funzione f(x) valido all’interno (o
all’esterno) dell’intervallo [x1,xN]
Un esempio (1)
 Come esempio consideriamo la seguente funzione:
f ( x)  3x 2 
1

4


ln   x   1
2
 Tale funzione è definita ovunque, eccetto che in x=π,
dove si ha:
lim f ( x)  
x 
 Supponiamo di voler interpolare la funzione f(x) in
x=π partendo dai valori di f in alcuni punti abbastanza
“vicini” a x=π
Un esempio (2)
Un esempio (3)
 Anche utilizzando un programma di grafica non è
facile mettere in evidenza la divergenza di f(x) in x=π
 Qualsiasi interpolazione basata sui valori di f(x) in
punti “vicini” a x=π fornirà un risultato errato!
 Nell’effettuare un’interpolazione (o un’estrapolazione)
solitamente si assume che la funzione in esame sia
abbastanza “regolare” (“smooth”)
 la condizione di “regolarità” (“smoothness”) in sostanza
equivale a richiedere che la f(x) sia continua e che
esistano e siano continue le sue derivate f’(x), f’’(x), ...,
f(N)(x) fino all’ordine N

tanto più grande è N, tanto più la funzione f(x) è regolare
(“smooth”)
Strategie di interpolazione
 Interpolazione mediante fit:
 si sceglie la funzione interpolatrice g(x), che di solito dipende da un
insieme di parametri
 si effettua il fit degli N punti conosciuti (xi, yi=f(xi)) con la funzione g(x)
 si calcola il valore della funzione interpolatrice g(x) nel punto x in cui si
vuole effettuare l’interpolazione e si assume f(x)=g(x)
 Questo metodo solitamente è poco efficiente dal punto di vista del
calcolo ed è soggetto ad errori di arrotondamento
 Interpolazione per approssimazioni successive:
 si parte dal valore di f(xi) nel punto xi più vicino a x
 si aggiungono a f(xi) una serie di termini correttivi, sempre più piccoli
man mano che si va avanti, che tengono conto dell’informazione
contenuta negli altri valori f(xj) forniti dal problema
 l’ultimo termine correttivo fornisce una stima dell’errore su f(x)
 Questa procedura richiede tipicamente un numero di operazioni
~O(N2)
 In generale la f(x) (e le derivate di ordine superiore) non è continua
Ordine di interpolazione
 Ordine dell’interpolazione = N-1 (N = numero di punti
usati nell’interpolazione)
 Non sempre aumentare l’ordine dell’interpolazione ne
migliora la precisione
 In particolare, se i punti aggiunti sono lontani dal
punto di interesse x, la funzione interpolante rischia di
essere caratterizzata da forti oscillazioni, che non
riproducono il comportamento della funzione vera f(x)
 tipicamente 3-4 punti sono sufficienti per una buona
interpolazione
Formula di Lagrange
 Dati N punti nel piano cartesiano, esiste un unico polinomio di
grado N-1 che passa per tutti i punti assegnati
 Siano (x1,y1=f(x1)), (x2,y2=f(x2)), ..., (xN,yN=f(xN)) gli N punti
assegnati. Il polinomio P(x) di grado N-1 che passa per gli N punti si
ottiene con la formula di Lagrange:
x  x2 x  x3  x  xN  y  x  x1 x  x3  x  xN  y 
x1  x2 x1  x3  x1  xN  1 x2  x1 x2  x3  x2  xN  2
x  x1 x  x2  x  xN 1  y

xN  x1 xN  x2  xN  xN 1  N
P( x) 
 Il termine i-esimo della somma presente nella formula di Lagrange è
così composto:
 a numeratore la yi
 a numeratore il prodotto di N-1 termini del tipo (x-xj) con j≠i
 a denominatore il prodotto di N-1 termini del tipo (xi-xj) con j≠i
 Si noti che se x=xi il termine i-esimo della somma vale yi, mentre gli
altri sono nulli
Algoritmo di Neville (1)
 Indichiamo con P1(x) l’unico polinomio di grado zero che
passa per il punto (x1,y1), con P2(x) l’unico polinomio di
grado zero che passa per il punto (x2,y2) e così via. Nel
punto x avremo così N valori:
 P1(x)=y1 , P2(x)=y2 , ... , PN(x)=yN
 Indichiamo quindi con P12(x) l’unico polinomio di primo
grado che passa per i punti (x1,y1) e (x2,y2), con P23(x) l’unico
polinomio di primo grado che passa per i punti (x2,y2) e
(x3,y3), e così via. Nel punto x avremo N-1 valori:
 P12(x), P23(x), ..., P(N-1)N(x)
 In maniera analoga possiamo continuare a definire i
polinomi di grado più alto, fino all’unico polinomio di
grado N-1 che passa per tutti i punti (x1,y1),(x2,y2),..., (xN,yN),
il cui valore in x sarà:
 P12...N(x)
Algoritmo di Neville (2)
 Con tutti i valori così calcolati si può costruire una
tabella. Per esempio, se N=4 la tabella avrà la forma
seguente:
y1=P1
y2=P2
y3=P3
y4=P4
P12
P123
P23
P34
P1234
P234
 L’algoritmo di Neville permette di riempire la tabella
sfruttando le relazioni ricorsive tra i polinomi:
Pi (i 1)(i  m ) 
x  xi  m Pi (i 1)(i  m1)  xi  x P(i 1)(i  2)(i  m)
xi  xi  m
Dimostrazione della formula di Neville (1)
 Partiamo dalla formula di Lagrange scritta in forma
compatta:
im
im
j i
k i
k j
Pi ( i 1)( i  m )   y j 
Pi ( i 1)( i  m 1) 
P( i 1)( i  2 )( i  m ) 
j i
x
j
 xk 
i  m 1
i  m 1

 x  xk 
 x  xk 
 x
yj
k i
k j
im
im
 x  xk 
 y  x
j  i 1
 xk 
j
j
k  i 1
k j
j
 xk 
Dimostrazione della formula di Neville (2)
 Sostituiamo quindi nel secondo membro della formula di
Neville le espressioni di Pi(i+1)...(i+m-1) e P(i+1)(i+2)...(i+m):
Pi ( i 1)( i  m )


x  xi  m
xi  xi  m
i  m 1
x  xi
xi  m  xi
im

j i
i  m 1
yj
 x  xk 
 x
k i
k j
im
j
k  i 1
k j
 xk 
 x  xk 
 y  x
j  i 1
j
j
 xk 
 Dobbiamo a questo punto verificare che vale effettivamente
l’uguaglianza tra i due membri
 A tal fine isoliamo dalla prima sommatoria il termine con
l’indice j=i e dalla seconda sommatoria il termine con
l’indice j=i+m
Dimostrazione della formula di Neville (3)
 Si ha quindi:
Pi ( i 1)( i  m )




x  xi  m i  m 1  x  xk 
yi 
xi  xi  m k i 1  xi  xk 
x  xi  m
xi  xi  m
i  m 1
x  xi
xi  m  xi
i  m 1

j i 1

j i 1
i  m 1
yj
 x  xk 
 x
k i
k j
im
yj 
k i 1
k j
i  m 1
1
j
 xk 
3
 x  xk 
x
j
 xk 

x  xi
x  xk 
yi  m 
xi  m  xi
k i 1  xi  m  xk 
2
Dimostrazione della formula di Neville (4)
 I termini (1) e (2) nell’equazione precedente possono
essere riscritti come segue:
(1)

(2) 

x  xk 
yi 
k i 1  xi  xk 
i  m 1

x  xk 
y
im
im
 x
k i
j
 xk 



x  xk 
yi 
k i  xi  xk 
k i
im

x  xk 
y
im
im
 x
k i
k i  m
j
 xk 
 In sostanza i termini (1) e (2) sono il primo e l’ultimo
termine nella sommatoria che compare nella formula
di Lagrange per Pi(i+1)...(i+m)
Dimostrazione della formula di Neville (5)
 Esaminiamo ora il termine (3):
x  xk   x  xi
x  xi  m
x  xi  m
x  xi 

yj 






x j  xi xi  xi  m x j  xi  m xi  m  xi 
j  i 1
k i 1 x j  xk 


k j
i  m 1
(3) 
i  m 1
 Mettendo in evidenza i termini comuni si ha:



x  xi x  xi  m  
xi  xi  m

1
1



x

x
x

x
 j
i
j
im 

x  xi x  xi  m   x j  xi  m  x j  xi
xi  xi  m
x
j
 xi x j  xi  m 

x  xi x  xi  m 
x
j
 xi x j  xi  m 
Dimostrazione della formula di Neville (6)
 Il termine (3) pertanto diventa:
(3) 
i  m 1
i  m 1

j i 1
yj
x  xk   x  xi x  xi  m 
 x
k i 1
k j
j
 xk  x j  xi x j  xi  m
im
i  m 1
 x  xk 
y 


x

j i 1
j
k i
k j
 Raggruppando i termini (1), (2) e (3) abbiamo quindi
trovato tutti i termini nella sommatoria che compare
nello sviluppo di Lagrange di Pi(i+1)...(i+m)
j
 xk 
Algoritmo di Neville (3)
 Nel costruire la tabella dei valori con l’algoritmo di
Neville possiamo definire le differenze tra “genitori” e
“figli” nel modo seguente:
Cm,i  Pi (i 1)(i  m)  Pi (i 1)(i  m1)
Dm,i  Pi (i 1)(i  m)  P(i 1)(i  2)(i  m)
 I termini Cm,i e Dm,i rappresentano le correzioni che
occorre apportare per aumentare di una unità l’ordine
di interpolazione
 Valgono le seguenti relazioni ricorsive:
Dm 1,i 
Cm 1,i 
xi  m1  x Cm,i 1  Dm,i 
xi  xi  m 1
xi  x Cm,i 1  Dm,i 
xi  xi  m 1
Dimostrazione delle formule ricorsive (1)
 La dimostrazione sfrutta la formula di Neville:
Cm 1,i  Pi (i 1)(i  m 1)  Pi ( i 1)(i  m ) 
x  xi  m1 Pi (i 1)(i  m)  xi  x P(i 1)(i  2)(i  m1)
xi  xi  m 1

xi  x   x  xi  m1  P
xi  xi  m 1
i ( i 1)( i  m )

xi  x P(i 1)(i  2)(i  m1)  Pi (i 1)(i  m) 
xi  xi  m 1

xi  x P(i 1)(i  2)(i  m1)  P(i 1)(i  2)(i  m)  P(i 1)(i  2)(i  m)  Pi (i 1)(i  m) 
xi  x Cm,i 1  Dm,i 
xi  xi  m 1
xi  xi  m 1

Dimostrazione delle formule ricorsive (2)
 La dimostrazione sfrutta la formula di Neville:
Dm 1,i  Pi (i 1)(i  m 1)  P(i 1)( i  2)( i  m 1) 
x  xi  m1 Pi (i 1)(i  m)  xi  x P(i 1)(i  2)(i  m1)
xi  xi  m 1

xi  x   x  xi  m1  P
xi  xi  m 1
( i 1)( i  2 )( i  m 1)

x  xi  m1 Pi (i 1)(i  m)  P(i 1)(i  2)(i  m1) 
xi  xi  m 1

xi  m1  xi P(i 1)(i  2)(i  m1)  P(i 1)(i  2)(i  m)  P(i 1)(i  2)(i  m)  Pi (i 1)(i  m) 
xi  m1  x Cm,i 1  Dm,i 
xi  xi  m 1
xi  xi  m 1

Algoritmo di Neville (4)
Ordine di interpolazione
1
0
y1=P1
y3=P3
3
C1,1
D1,1
y2=P2
2
P12
C2,1
D2,1
C1,2
D1,2
P23
C1,3
D1,3
P34
C2,2
P123
P234
C3,1
P1234
D3,1
D2,2
y4=P4
 Partendo da uno dei valori Pi, e aggiungendo le correzioni
date dai coefficienti Cm,i e Dm,i , seguendo la mappa si può
arrivare all’ordine di interpolazione desiderato
Un esempio di applicazione
dell’algoritmo di Neville
x
y
-2.0 -1.5
-1.0
0.2
0.0
1.0
1.0
1.4
2.0
0.2
Interpolazione con funzioni razionali
 Alcune funzioni possono non essere ben approssimate da polinomi
 In questi casi si può utilizzare una funzione razionale, cioè un
rapporto tra polinomi
 Le funzioni razionali costituiscono una buona approssimazione quando
la funzione f(x) che si vuole interpolare presenta dei poli (limite infinito)
 Indichiamo con Ri(i+1)...(i+m) una generica funzione razionale che passa
per i gli m+1 punti (xi,yi),(xi+1,yi+1),...,(xi+m,yi+m):
Ri (i 1)( i  m ) ( x) 
P ( x)
Q ( x)

p0  p1 x    p x 
q0  q1 x    q x
 Il grado del polinomio a numeratore e di quello a denominatore, μ e ν,
sono arbitrari, ma si deve tener conto di un vincolo:
 nell’espressione di Ri(i+1)...(i+m) ci sono μ+ν+1 incognite (q0 è arbitraria)
 Ri(i+1)...(i+m) deve passare per m+1 punti assegnati
 ne consegue che deve essere μ+ν+1 = m+1
Algoritmo di Burlisch e Stoer (1)
 Si tratta di un algoritmo simile a quello di Neville per
costruire delle funzioni razionali che interpolino i dati
 Le funzioni razionali prodotte dall’algoritmo di Burlisch e
Stoer hanno:
 numeratore e denominatore di grado uguale se m+1 è dispari
 grado del denominatore maggiore di una unità rispetto al
grado del numeratore se m+1 è pari
 Come nell’algoritmo di Neville, le funzioni razionali
Ri(i+1)...(i+m) sono generate a partire da una relazione ricorsiva
 in questo caso la relazione ricorsiva non deriva da alcuna
formula (mentre nell’algoritmo di Neville deriva dalla formula
di Lagrange)
 Anche in questo caso si costruisce una tabella che permette
di passare da un ordine di interpolazione al successivo
Algoritmo di Burlisch e Stoer (2)
 Come nell’algoritmo di Neville si parte dalle funzioni
costanti R1(x)=y1, R2(x)=y2, ... , RN(x)=yN (Ri=yi)
 si pone inoltre R=[Ri(i+1)...(i+m) con m=-1]=0
 la relazione ricorsiva che definisce le Ri(i+1)...(i+m) è:
Ri (i 1)(i  m )  R(i 1)( i  2)(i  m ) 
R(i 1)( i  2)(i  m )  Ri (i 1)(i  m 1)
R(i 1)( i  2)(i  m )  Ri (i 1)(i  m 1) 
 x  xi 

 1

 1 


 x  xi  m  R(i 1)( i  2)(i  m )  R(i 1)( i  2)(i  m 1) 
 Analogamente all’algoritmo di Neville, si pone:
Cm,i  Ri (i 1)(i  m)  Ri (i 1)(i  m1)
Dm,i  Ri (i 1)(i  m)  R(i 1)(i  2)(i  m)
 e si verifica che:
Cm 1,i  Dm1,i  Cm,i 1  Dm,i
Dimostrazione della relazione tra i
coefficienti C e D
 La dimostrazione segue dalle definizioni:
Cm 1,i  Dm 1,i 
R
i ( i 1)( i  m 1)
 

 Ri (i 1)(i  m )  Ri ( i 1)(i  m 1)  R( i 1)( i  2 )( i  m 1) 
R( i 1)( i  2 )( i  m 1)  Ri ( i 1)(i  m ) 
R( i 1)( i  2 )( i  m 1)  R(i 1)( i  2 )(i  m )  R(i 1)( i  2 )(i  m )  Ri ( i 1)(i  m ) 
Cm ,i 1  Dm ,i
Algoritmo di Burlisch e Stoer (3)
 La relazione precedente permette di dimostrare le
seguenti formule ricorsive:
Dm 1,i 
Cm 1,i
Cm,i 1 Cm ,i 1  Dm,i 
 x  xi 

 Dm,i  Cm,i 1
 x  xi  m 1 
 x  xi 

 Dm,i Cm,i 1  Dm,i 
x  xi  m 1 


 x  xi 

 Dm,i  Cm,i 1
 x  xi  m 1 
Dimostrazione delle formule ricorsive (1)
Dm 1,i  Ri ( i 1)( i  m 1)  R( i 1)( i  2 )( i  m 1) 
R( i 1)( i  2 )( i  m 1) 

R( i 1)( i  2 )( i  m 1)  Ri ( i 1)( i  m )
R( i 1)( i  2 )( i  m 1)  Ri ( i 1)( i  m )
 x  xi 

1 

R( i 1)( i  2 )( i  m 1)  R( i 1)( i  2 )( i  m )
 x  xi  m 1 

 1


 R( i 1)( i  2 )( i  m 1)
R( i 1)( i  2 )( i  m 1)  R( i 1)( i  2 )( i  m )  R( i 1)( i  2 )( i  m )  Ri ( i 1)( i  m )
R
 R( i 1)( i  2 )( i  m )  R( i 1)( i  2 )( i  m )  Ri ( i 1)( i  m )
 x  xi 

1  ( i 1)( i  2 )( i  m 1)

Cm ,i 1
 x  xi  m 1 
Cm ,i 1  Dm ,i
 x  xi  Cm ,i 1  Dm ,i

1 

Cm ,i 1
 x  xi  m 1 
Cm ,i 1 Cm ,i 1  Dm ,i 
 x  xi 

 Dm ,i  Cm ,i 1
 x  xi  m 1 

 1



C
m ,i 1
 Dm ,i 
 x  xi  Cm ,i 1  Cm ,i 1  Dm ,i



Cm ,i 1
 x  xi  m 1 

 1




 1



Dimostrazione delle formule ricorsive (2)
Cm 1,i  Dm 1,i  Cm ,i 1  Dm ,i 
Cm ,i 1 Cm ,i 1  Dm ,i 
 x  xi 

 Dm ,i  Cm ,i 1
 x  xi  m 1 
 Cm ,i 1  Dm ,i  
 x  xi 
 Dm ,i  Cm ,i 1
Cm ,i 1  
 x  xi  m 1 
 Cm ,i 1  Dm ,i 

 x  xi 

 Dm ,i  Cm ,i 1
 x  xi  m 1 
 x  xi 

 Dm ,i
 x  xi  m 1 
 Cm ,i 1  Dm ,i 
 x  xi 

 Dm ,i  Cm ,i 1
 x  xi  m 1 
Algoritmo di Burlisch e Stoer (4)
Ordine di interpolazione
1
0
y1=R1
y3=R3
3
C1,1
D1,1
y2=R2
2
R12
C2,1
D2,1
C1,2
D1,2
R23
C1,3
D1,3
R34
C2,2
R123
R234
C3,1
R1234
D3,1
D2,2
y4=R4
 Come nell’algoritmo di Neville, si parte da uno dei valori Ri e,
aggiungendo le correzioni date dai coefficienti Cm,i e Dm,i , seguendo
la mappa si può arrivare all’ordine di interpolazione desiderato
Un esempio di applicazione
dell’algoritmo di Burlisch e Stoer
x
y
-2.0 -1.5
-1.0
0.2
0.0
1.0
1.0
1.4
2.0
0.2
Il punto di partenza: la formula di Lagrange
 Sia data una funzione y(x) tabulata in N punti
 Indichiamo con (xi, yi) i punti tabulati
 Applicando la formula di Lagrange nell’intervallo
[xj,xj+1], la funzione y(x) può essere approssimata
linearmente nel modo seguente:
y ( x)  y j
x  x j 1
x j  x j 1
 y j 1
x  xj
x j 1  x j
dove:
A
B
x  x j 1
x j  x j 1
x  xj
x j 1  x j
 1 A
 Ay j  By j 1
La funzione “spline” cubica
 Indichiamo ora con y’’i i valori delle derivate seconde della y(x) nei
punti xi e cerchiamo di migliorare l’approssimazione lineare tra xj e
xj+1 ponendo:
y  Ay j  By j 1  Cyj  Dyj1
con:
A
B
C
D

x j 1  x
x j 1  x j
 1 A
1 3
2

A  A x j 1  x j 
6
1 3
2

B  B x j 1  x j 
6




 La funzione y(x) così costruita è un polinomio di terzo grado in x
 la x compare in A (e in B) al primo grado, e i termini di grado massimo
in A e B sono di terzo grado
Derivata prima della funzione “spline”
 Calcoliamo preliminarmente le derivate di A,B,C,D:
A
x j 1  x
x j 1  x j
B  1 A 

dA
1

dx
x j 1  x j
dB
dA
1


dx
dx x j 1  x j
1 3
dC 1
dA
3 A2  1
2
2
2
x j 1  x j 
C  A  Ax j 1  x j  
 x j 1  x j  3 A  1

6
dx 6
dx
6
1 3
dD 1
dB 3B 2  1
2
2
2
x j 1  x j 
D  B  B x j 1  x j  
 x j 1  x j  3B  1

6
dx 6
dx
6
 Ne segue:




dy
1
1
 3 A2  1
3B 2  1
x j 1  x j   yj1
x j 1  x j 
 yj
 y j 1
 yj
dx
x j 1  x j
x j 1  x j
6
6
y j 1  y j
3 A2  1
3B 2  1
x j 1  x j yj 
x j 1  x j yj1


x j 1  x j
6
6
Derivata seconda della funzione “spline”
 Derivando ulteriormente si ha:
d2y
6 A 1
6B
1




x j 1  x j yj1  Ayj  Byj1

x j 1  x j y j 
2
dx
6 x j 1  x j
6 x j 1  x j
 se x=xj si ha A=1 e B=0 e quindi y’’(xj)=y’’j
 se x=xj+1 si ha A=0 e B=1 e quindi y’’(xj+1)=y’’j+1
 Questo risultato dimostra che i coefficienti A,B,C,D sono
definiti in maniera corretta
 I valori delle y’’i in genere non sono noti, e potrebbero, in
principio, essere assegnati arbitrariamente
 In generale, però, si preferisce assegnare i valori delle y’’i in
modo da garantire la continuità della derivata prima della
funzione “spline”
Continuità della derivata prima (1)
 Derivata prima della “spline” tra xj e xj+1:
dy y j 1  y j 3 A2  1
3B 2  1
x j 1  x j yj 
x j 1  x j yj1


dx x j 1  x j
6
6
 in x=xj è A=1 e B=0 per cui:
y j 1  y j 1
1
y( x j ) 
 x j 1  x j yj  x j 1  x j yj1
x j 1  x j 3
6
 Derivata prima della “spline” tra xj-1 e xj:
dy y j  y j 1 3 A2  1
3B 2  1
x j  x j 1 yj1 
x j  x j 1 yj


dx x j  x j 1
6
6
 i coefficienti A e B sono diversi dai precedenti!
 in x=xj stavolta è A=0 e B=1 per cui:
y( x j ) 
y j  y j 1
x j  x j 1

1
x j  x j 1 yj1  1 x j  x j 1 yj
6
3
Continuità della derivata prima (2)
 Imponendo che le due espressioni della derivata prima in xj
siano uguali si ha:
y j 1  y j
x j 1  x j
y j  y j 1
x j  x j 1

1
x j 1  x j yj  1 x j 1  x j yj1 
3
6

1
x j  x j 1 yj1  1 x j  x j 1 yj 
6
3
y j 1  y j y j  y j 1
1
1
1
x j  x j 1 yj1  x j 1  x j 1 yj  x j 1  x j yj1 

6
3
6
x j 1  x j x j  x j 1
 Si ottengono così N-2 equazioni nelle N incognite y’’i per cui
occorre fissare due di queste incognite
 per risolvere il sistema si può porre y’’1=0 e y’’N=0
 in questo caso si parla di “spline cubica naturale”
 alternativamente, si possono determinare y’’1 e y’’N se sono noti i
valori della derivata prima negli estremi dell’intervallo
Alcuni esempi di spline cubiche
x
y
-2.0 -1.5
-1.0
0.2
0.0
1.0
1.0
1.4
2.0
0.2
Interpolazione multidimensionale
 Il problema generale è quello di valutare una funzione
y(x1,x2,...xn)=y(x) a partire da una griglia di N valori
assegnati y1=y(x1), y2=y(x2),..., yN=y(xN)
 Per semplicità studieremo il problema nel solo caso
bidimensionale
 Assumeremo inoltre che siano assegnati i valori della
funzione da interpolare in corrispondenza dei vertici
di una griglia rettangolare
Interpolazione in due dimensioni
y
yN
y2
y1
x1
x2
x3
xM
x
 Supponiamo che siano assegnati i valori della funzione
z=f(x,y) in corrispondenza degli MN vertici di una griglia
 indichiamo con x1,x2,...,xM e con y1,y2,...,yN le ascisse e le
ordinate dei vertici del reticolo
 indichiamo con zjk=z(xj,yk) i valori della funzione in
corrispondenza dei vertici del reticolo
Interpolazione bilineare
 Dato il punto (x,y),
(1-u)(yk+1-yk)
indichiamo con j e k gli
indici per cui si ha xj<x<xj+1 e
yk<y<yk+1
 Poniamo:
yk+1
y
yk
u(yk+1-yk)
xj
x
xj+1
t(xj+1-xj)
t
x  xj
x j 1  x j
y  yk
u
yk 1  yk
(1-t)(xj+1-xj)
 Interpolazione bilineare:
z ( x, y )  (1  t )(1  u ) z j ,k  t (1  u ) z j 1,k  tuz j 1,k 1  (1  t )uz j ,k 1