Costruzioni in zona sismica
Lezione 11
 Analisi dinamica e risposta di sistemi a più gradi
di libertà
Lezione 11
Analisi modale
Lezione 11
Scopo e procedimento
 Le equazioni del moto, che sono accoppiate, sono
trasformate in termini di coordinate modali ottenendo un
sistema di equazioni differenziali disaccoppiate (equazioni
modali).
 Ogni equazione modale viene risolta determinando il
contributo del modo alla risposta.
 Le risposte modali vengono dunque combinate al fine di
ottenere la risposta totale.
Lezione 11
 SISTEMI NON SMORZATI
Equazioni del moto:
Espansione modale:
Equazioni del moto in coordinate modali:
Lezione 11
 SISTEMI NON SMORZATI
Equazioni del moto in coordinate modali:
Pre-moltiplicando per Tn si ottiene:
Lezione 11
 SISTEMI NON SMORZATI
Considerando le proprietà di ortogonalità:
in forma compatta:
dove:
Lezione 11
 SISTEMI NON SMORZATI
Equazioni governanti la risposta qn(t) di un osc.
Semplice con massa Mn, rigidezza Kn e forzante
esterna Pn(t).
Mn: massa generalizata del modo n
Kn: rigidezza generalizzata del modo n
Pn(t): forza generalizzata del modo n
sono relative al solo modo n
Lezione 11
 SISTEMI NON SMORZATI
Dividendo per Mn:
Equazione governante la coordinata modale qn(t),
l’unica incognita nell’equazione.
Ci sono N equazioni dello stesso tipo per lo stesso
modo.
Lecture 15
 SISTEMI NON SMORZATI
In forma matriciale:
Dove M è una matrice diagonale contenente le
masse modali generalizzate Mn, K contiene le
rigidezze modali generalizzate Kn e P(t) è un vettore
colonna che contiene le forze modali generalizzate
Pn(t).
Lezione 11
 SISTEMI NON SMORZATI
esempio 2
Determinate la parte stazionaria della risposta del
telaio riportato in figura utilizzando l’analisi modale.
0.5181
1.0363
p0sin(t)
1.0363
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
Equazioni del moto:
Equazioni del moto in coordinate modali:
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
Equazioni del moto in coordinate modali
Pre-moltiplicando per Tn :
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
Considerando la proprietà di ortogonalità:
dove:
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
In forma matriciale:
dove C è una matrice non diagonale con coefficienti
Cnr. Le equazioni sono accoppiate tramite lo
smorzamento.
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
In forma matriciale:
Le equazioni modali saranno disaccoppiate nel caso
di sistemi classicamente smorzati: Cnr=0 if n≠r
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
Dividendo per Mn:
dove n è il rapporto di smorzamento relativo al modo
n.
Lezione 11.b
SISTEMI SMORZATI
Esempio 1
Determinare la parte stazionaria della risposta
ipotizzando uno smorzamento di Rayleigh ottenuto
imponendo =0.05 per il primo e il secondo modo
p0sin(t)
Lezione 11.b
 RISPOSTA DEI SISTEMI
Utilizzando i metodi
relaivi a sistemi a
1GdL
Segue dunque:
Combinando i contributi modali:
qn
Lezione 11.b
 RISPOSTA DEI SISTEMI
Questa procedura è detta analisi modale classica.
Più precisamente metodo di sovrapposizione degli
spostamenti modali.
È valida per sistemi lineari classicamente smorzati.
Lezione 11
 SOLLECITAZIONI
Con l’analisi modale è possibile derivare il contributo
dei modi sulle sollecitazioni che nascono negli
elementi.
Le forze statiche equivalenti relative al modo n:
Un’analisi statica della struttura soggetta a queste
forze ad ogni istante di tempo fornisce le
sollecitazioni rn(t), e dunque quelle totali
Lezione 11.b
esempio
Determinare il taglio alla base considerando la sola parte stazionaria della
risposta.
p0sin(t)
Lezione 11.c
Contributo dei modi di vibrazione
Lezione 11.c
Espansione modale della forzante p(t)=s p(t)
Consideriamo una condizione di eccitazione
caratterizzata da forze pj(t) con la stessa legge di
variazione nel tempo p(t) e da una distribuzione
definita dal vettore s indipendente dal tempo:
È possibile espandere il vettore s nel seguente modo:
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
Pre-moltiplicando entrambi i membri per Tn e
sfruttando l’ortogonalità:
Il contributo del modo n al vettore eccitazione s è:
Che non dipende da come il modo è normalizzato.
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
L’espansione di questa equazione ha la proprietà che
il vettore forza snp(t) implica la risposta solo per il
modo n ma non per gli altri modi:
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
Una ulteriore proprietà è che la risposta dinamica
corrispondente al modo n è dovuta interamente al
vettore snp(t).
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
esempio
Lezione 11.c
esempio
Modi naturali di vibrazione
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
esempio
Consideriamo due differenti forzanti:
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
esempio
Per il caso s=sa
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
Per il caso s=sb
Lezione 11.c
Espansione modale di p(t)=s p(t)
esempio
I contributi dei modi superiori, specialmente il secondo e terzo modo, al
vettore s sono più significativi per sb rispetto a sa, evidenziando che tali modi
contribuiscono di più per il caso della seconda forzante sb e meno per il caso di
sa.
Lezione 11.c
esempio
Valutare il contributo dei modi alla forzante esterna.
p0sin(t)
Lezione 11.d
Analisi modale per il caso P(t)=sp(t)
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
Il fattore n è chiamato fattore di partecipazione modale: è una misura del
grado con cui il modo n partecipa alla risposta.
Inoltre n è indipendente dal tipo di normalizzazione.
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
La soluzione qn(t) considerando la risposta dell’oscillatore
semplice.
Considerando il caso di massa unitaria e sostituendo u con Dn:
Confrontando le due equazioni:
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
Il contributo del modo n agli spostamenti modali u(t)
un (t )  nqn
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
Le forze statiche equivalenti sono:
Il contributo del modo n, ovvero rn(t) a ogni risposta r(t) è
determinato tramite un’analisi statica della struttura soggetta a
fn(t).
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
se rstn denota la risposta modale statica, ossia il valore statico di
r dovuto alle forze esterne sn, allora:
La risposta dinamica rn(t) è il prodotto dei risultati dovuti a due
analisi:
 Analisi statica della struttura soggetta alle forze sn
 Analisi dinamica dell’oscillatore semplice relativo al modo n
del sistema eccitato dalla forza p(t)
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
Combinando i contributi alla risposta di tutti i modi si ottiene la
risposta totale:
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
Il contributo rn del modo n alla quantità di risposta r
Può essere espresso come:
dove rst è il valore statico di r dovuto alle forze esterne s, mentre
il fattore di contributo modale risulta:
Lezione 11.d
Analisi modale per P(t)=sp(t)
I fattori di contributo modale hanno tre importanti proprietà:
 Sono adimensionali
 Sono indipendenti dalla normalizzazione
 La loro somma su tutti i modi è unitaria
Lezione 11.d
Quanti modi devono essere inclusi nell’analisi?
Se si considerano solo j modi, l’errore sulla risposta statica è:
Quindi l’analisi modale può essere troncata quando il valore
assoluto di ej diventa piccolo nei confronti della risposta r che
interessa esaminare.