‘Una pericolosa debolezza del metodo statico di verifica sismica della Normativa Italiana’,
A. Paglietti, M. C. Porcu, estratto dal n. 4/2009, rivista Ingegneria Sismica (Patron Editore).
La pubblicazione sul sito di NOVAINGEGNERIA avviene
su gentile consenso dei rispettivi Autori e dell’Editore.
L’Articolo a seguire è anche inserito nell’area Risorse/Contributi del sito.
Una pericolosa debolezza del metodo statico di verifica sismica
della Normativa Italiana
Andrea Paglietti*, Maria Cristina Porcu**
SOMMARIO – Il metodo statico di verifica sismica proposto dalla Normativa Italiana può condurre a verifiche non
cautelative. Ciò avviene, in particolare, se esso viene utilizzato facendo riferimento al valore rigoroso del periodo
fondamentale della struttura, anzichè a quello approssimato ottenuto con la formula empirica di normativa. Per
edifici non regolari in pianta, il metodo può arrivare a sottostimare i massimi effetti sismici di oltre il 25% rispetto
al loro valore effettivo. La Normativa Italiana appare, dunque, richiedere opportune modifiche per rendere il metodo
statico una procedura di calcolo sicuramente a favore della sicurezza. Alcune possibili vie per raggiungere tale
obiettivo sono discusse nel presente articolo.
SUMMARY – The static method of seismic analysis proposed by the Italian code of practice can lead to nonconservative design. This may happen when the rigorous value of the fundamental period of the structure is adopted
instead of the approximate one given by the code.The present paper shows that in the presence of eccentricity between
the stiffness center and the mass center of the building floors, the static method can under-evaluate the maximum
seismic effects by more than 25%. Appropriate changes in the code should be introduced in order to bring the static
method to the safe side. Some possible improvements are discusses in the present paper.
Parole chiave: metodo statico di verifica sismica, analisi statica sismica, progettazione antisismica.
Keywords: static method of seismic analysis, lateral force method, earthquake resistant design.
1. Introduzione
Secondo l’attuale Normativa Italiana, /1/, la verifica
sismica degli edifici può essere eseguita sia con un’analisi lineare che con un’analisi non lineare. Quest’ultimacomporta notevoli oneri di calcolo e perciò, pur
essendo più accurata, viene raramente adottata nella
comune progettazione antisismica. Per la verifica sismica lineare, che è dunque la più usata, la normativa
prevede due possibili metodi di analisi: il metodo dinamico ed il metodo statico. Il primo, più rigoroso, è
da eseguirsi attraverso l’analisi modale della struttura
e la successiva verifica con lo spettro di risposta di
progetto, /2-4/. Il secondo, più semplice ma anche più
approssimativo, applica alle masse della struttura delle
opportune forze statiche orizzontali, proporzionali alla
coordinata dello spettro di risposta relativa al periodo
fondamentale della struttura stessa.
La normativa limita la possibilità di utilizzare il
metodo statico al caso in cui l’edificio sia regolare
in altezza ed il suo periodo fondamentale sia opportunamente basso, condizioni che comunque non sono
eccessivamente restrittive. Trattandosi tuttavia di un
metodo approssimato e convenzionale, esso dovrebbe
essere più cautelativo del più preciso metodo dinamico,
e quindi portare ad una stima in eccesso dei massimi
effetti sismici. Il presente lavoro mostra invece come,
pur operando all’interno della normativa vigente, sia
* Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Università di Cagliari. e-mail:
[email protected]
** Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Università di Cagliari. e-mail:
[email protected]
possibile applicare il metodo statico in modo da sottodimensionare la struttura ripetto a quella che si otterrebbe applicando il metodo, più corretto, dell’analisi
dinamica. Ciò offre, inopinatamente, al progettista una
doppia convenienza ad applicare il metodo statico. Innanzitutto, un minore onere di calcolo conseguente ad
una valutazione più sbrigativa delle azioni sismiche e,
in secondo luogo, un risparmio sul materiale e quindi
sul costo della struttura rispetto a quello che conseguirebbe ad una progettazione più accurata.
Per ottenere tale duplice vantaggio, detestabile dal
punto di vista della sicurezza, basta calcolare in modo
rigoroso il valore del periodo fondamentale da introdurre
nel calcolo delle forze sismiche da utilizzare nella verifica. Un tale modo di operare è consentito dalla normativa, che sembra anzi suggerire che per la valutazione
delle forze sismiche col metodo statico sia preferibile
utilizzare il valore di periodo corretto anzichè quello
approssimato. In realtà, la presente analisi mostra che
il metodo statico di verifica risulta cautelativo, talvolta
anche eccessivamente, se si fa riferimento al periodo
approssimato fornito dalla normativa. Mentre, contrariamente a quanto ci si dovrebbe aspettare, lo stesso
metodo può diventare pericolosamente non cautelativo
quando si determinino le forze statiche facendo riferimento al periodo rigoroso della struttura.
La situazione si aggrava se l’edificio non è regolare
in pianta. All’aumentare dell’eccentricità tra il baricentro
delle masse e quello delle rigidezze, infatti, aumenta il
periodo fondamentale della struttura. Questo comporta,
di solito, una diminuzione delle forze statiche di verifica corrispondenti al valore rigoroso del periodo proprio
Anno XXVI – N. 4 – ottobre-dicembre 2009
17
(a)
(b)
Fig. 1. (a) Pianta dell’edificio. (b) Telaio nella direzione y.
Tabella 1. Eccentricità tra CM e CS.
coordinate di CS
alternativa
no
XCS(m)
YCS(m)
eccentricità
(m)
A1
0
0.790
0
A2
0.98
0.798
0.98
A3
1.99
0.808
1.99
A4
2.89
0.821
2.89
A5
3.80
0.829
3.80
A6
4.58
0.838
4.58
A7
5.46
0.841
5.46
A8
6.24
0.845
6.24
A9
6.91
0.849
6.91
A10
7.48
0.853
7.48
della struttura. Ciò può condurre a delle azioni sismiche
di verifica addirittura inferiori a quelle che si otterrebbero con il metodo dinamico. Quando ciò avviene, il
metodo statico cessa di essere a favore di sicurezza. Una
simile diminuzione delle forze statiche non si ha se, invece, si valuta il periodo fondamentale dell’edificio con
la formula approssimata data dalla normativa.
Per dimostrare quanto affermato è sufficiente fare
riferimento ad un edificio ordinario e mostrare come
il metodo statico possa divenire meno cautelativo del
metodo dinamico se applicato utilizzando il valore rigoroso del periodo fondamentale dell’edificio. Ciò verrà
fatto nella Sezione 2, dove si eseguirà sia l’analisi statica sia l’analisi dinamica di edifici irregolari in pianta.
I risultati ottenuti mostrano che l’introduzione nel metodo statico del valore rigoroso del periodo può condurre a sottostime superiori al 25% rispetto ai risultati
ottenibili con il metodo dinamico. Da osservare che il
problema dell’applicabilità del metodo statico a edifici
non simmetrici è stato analizzato da diversi autori (cf.
18
/5-11/). Tuttavia, la criticità messa in evidenza nel presente lavoro non è stata mai presa in considerazione.
Occorre osservare, infine, che il metodo statico viene
accettato da molte normative antisismiche (si veda
ad esempio /12-15/). In genere, però, tali normative
adottano speciali accorgimenti per evitare che le forze
statiche di verifica risultino troppo basse. Uno di tali
accorgimenti è, per esempio, quello di limitare superiormente il valore di periodo da utilizzare nella verifica, cf. /13-14/. La Normativa Italiana /1/ non adotta
alcun accorgimento in tal senso, incorrendo così nel
rischio di verifiche non cautelative. Va pure osservato
che, come discusso in /16/, anche l’Eurocodice 8 /12/
non è esente da un simile rischio.
2. Sottostima degli effetti sismici in un edificio
Nella presente sezione verrà mostrato come l’applicazione del metodo statico proposto dalla Normativa
Italiana possa portare a sottostime non trascurabili delle
sollecitazioni negli elementi strutturali di un edificio
intelaiato, se si utilizza il valore rigoroso del periodo
proprio dell’edificio. Si farà riferimento ad un edificio
a tre piani in cemento armato, nell’ipotesi che i suoi
piani siano rigidi e le masse siano uniformi in ciascun
piano. La geometria del piano tipo dell’edificio e le sue
principali caratteristiche sono riportate nella Figura 1.
Verranno considerate, in particolare, dieci alternative,
denominate A1-A10, corrispondenti ciascuna ad una diversa eccentricità tra il baricentro delle masse CM ed il
baricentro delle rigidezze CS ai piani dell’edificio. L’alternativa A1 si riferisce al caso di edificio regolare in
pianta (CM e CS coincidenti). Le alternative successive,
da A2 a A10, si riferiscono invece a casi resi sempre
più irregolari in pianta attraverso l’ingrossamento di
alcuni pilastri perimetrali, indicati con i numeri da 1 a
9 in Figura 1. Le posizioni assunte da CS nei dieci casi
Anno XXVI – N. 4 – ottobre-dicembre 2009
Tabella 2. Dimensioni in pianta e rigidezza flessionale dei pilastri da 1 a 9 nelle dieci alternative.
alternativa
pilastri da 1 a 4
rigidezza (kN/m)
no
(m)
Kx
A1
0.30 × 0.30
5668
A2
0.26 × 0.35
A3
A4
A5
0.18 × 0.50
pilastri da 5 a 9
Ky
rigidezza (kN/m)
(m)
Kx
Ky
5668
0.30 × 0.30
5668
5668
7800
4304
0.35 × 0.26
4304
7800
0.23 × 0.40
10300
3405
0.40 × 0.23
3405
10300
0.20 × 0.45
12752
2519
0.45 × 0.20
2519
12752
15743
2040
0.50 × 0.18
2040
15743
A6
0.16 × 0.55
18626
1576
0.55 × 0.16
1576
18626
A7
0.15 × 0.60
22670
1417
0.60 × 0.15
1417
22670
A8
0.14 × 0.65
26902
1248
0.65 × 0.14
1248
26902
A9
0.13 × 0.70
31200
1076
0.70 × 0.13
1076
31200
A10
0.12 × 0.75
35423
907
0.75 × 0.12
907
35423
Fig. 2. Spettro di risposta di progetto per accelerazione orizzontale.
considerati sono rappresentate da piccole croci nella Figura 1 e riportate numericamente nella Tabella 1. Tutti
i dati relativi alle sezioni e alle rigidezze flessionali
dei pilastri da 1 a 9 nelle varie alternative considerate
sono invece elencati nella Tabella 2. Si osservi che,
in tutte le sue varianti, l’edificio rispetta sia i criteri
di regolarità in altezza sia le limitazioni dei valori di
periodo imposte dalla Normativa per l’applicabilità del
metodo statico (/1/, §§ 7.3.3.2 e 7.2.2).
Per ognuna delle dieci varianti dell’edificio considerato, sono state eseguite tre diverse analisi sismiche,
due con il metodo statico e una con il metodo dinamico, quest’ultimo considerato come «metodo esatto».
La prima delle due analisi statiche è stata eseguita considerando il valore approssimato di periodo ottenuto
attraverso la formula proposta dalla Normativa [cf. /1/,
formula (7.3.5), §7.3.3.2)] La seconda analisi statica ha
invece utilizzato il periodo fondamentale calcolato in
maniera rigorosa attraverso l’analisi dinamica. Si osservi che in tal caso si ottengono in realtà due valori di
periodo, uno per ognuna delle due direzioni principali
dell’edificio. Per i dettagli sui calcoli si rinvia a /17/.
Le tre analisi suddette sono state eseguite facendo
riferimento allo spettro di risposta riportato in Figura
2. Si tratta di uno spettro di progetto per accelerazione orizzontale, relativo allo stato limite di salvaguardia della vita, ottenuto dalla Normativa Italiana
(/1/ §3.2.3.2.1) considerando le seguenti coordinate
geografiche del sito: LONG 14.284 e LAT 40.882. Si
è assunto un periodo di ritorno TR = 475 anni, una categoria del sottosuolo B e una categoria topografica T1.
Nell’ipotesi di struttura dissipativa e di progettazione
in classe di duttilità alta (CD A) si è calcolato, inoltre,
un fattore di struttura q = 5.85 per edifici regolari in
pianta e q = 5.18 per edifici irregolari in pianta. Gli
spettri riportati in Figura 2 sono stati utilizzati per determinare separatamente la risposta alle due componenti
ortogonali orizzontali del sisma. Gli effetti delle due
componenti nelle varie sezioni della struttura sono stati
poi combinati secondo quanto prescritto dalla Normativa (/1/, paragrafo 7.3.5).
Al fine di poter confrontare i risultati delle due analisi statiche con quelli «esatti» ricavati dall’analisi dinamica, si è definito il seguente parametro:
D
ES E D
ED
(1)
Per ogni generico effetto E, D fornisce la discrepanza
tra il valore ES ottenuto dall’analisi statica ed il valore
ED determinato con l’analisi dinamica. Tale parametro
rappresenta l’errore relativo commesso con il metodo
statico rispetto alla valutazione «esatta» ottenuta con
il metodo dinamico. Naturalmente, D assume valori
negativi se il metodo statico produce una sottostima
dell’effetto E preso in considerazione. Viceversa, valori positivi di D indicano una sovrastima dell’effetto
considerato rispetto al metodo dinamico. L’indice a o
r aggiunto a D permette di distinguere tra i risultati
ottenuti considerando rispettivamente il periodo approssimato oppure il periodo rigoroso nell’analisi statica. In
altre parole, indicheremo con Da la discrepanza ottenuta
quando il metodo statico venga applicato con il periodo
approssimato e con Dr quella ottenuta quando lo stesso
metodo venga applicato con il periodo rigoroso.
Nelle Figure 3 e 4 sono riportati i valori Da e Dr
relativi ai tagli VX e VY alla base del pilastro 1. Le
successive Figure 5 e 6 riportano invece i valori Da e
Dr relativi ai momenti flettenti MX e MY alla base del
medesimo pilastro 1. Le quattro figure suddette mostrano che, se si applica il metodo statico con il periodo
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19
Fig. 3. Errore relativo D nella valutazione del taglio in direzione x alla
base del pilastro 1.
Fig. 6. Errore relativo D nella valutazione del momento flettente MY
alla base del pilastro 1.
Fig. 7. Errore relativo D nella valutazione dei momenti flettenti massimi
MX_max e MY_max nella struttura.
Fig. 4. Errore relativo D nella valutazione del taglio in direzione y alla
base del pilastro 1.
approssimato, si ottiene una valutazione cautelativa degli effetti considerati (valori di Da sempre positivi). Al
contrario, l’utilizzo del periodo rigoroso porta a valori
di Dr che risultano spesso negativi, il che significa una
sottostima degli effetti considerati da parte del metodo
statico rispetto al metodo dinamico. Le Figure 3 e 6
mostrano che la situazione peggiore si ha nella valutazione delle caratteristiche di sollecitazione VX e MY, per
le quali la sottostima può superare anche il 25%.
Nella Figura 7 sono riportati gli errori Da e Dr relativi ai valori massimi dei momenti flettenti, MX_max e
MY_max, raggiunti nella struttura. In genere, tali momenti
massimi vengono raggiunti in sezioni diverse nelle diverse alternative considerate. La Figura 7 mostra che
l’applicazione del metodo statico col periodo rigoroso
conduce alla sottostima di detti momenti. La situazione
peggiore si ha per il momento MY_max per il quale la
sottostima supera il 25% del valore effettivo.
3. Motivo dell’inadeguatezza del periodo rigoroso per
l’analisi statica
Fig. 5. Errore relativo D nella valutazione del momento flettente MX
alla base del pilastro 1.
20
Secondo la normativa /1/ la verifica sismica con il
metodo statico può essere effettuata «per le sole co-
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Tabella 3. Valori rigorosi e i valori approssimati del periodo proprio al
variare dell’eccentricità nell’edificio considerato.
alternativa
no
eccentricità
T1X
T1Y
T1
T1X – T1
T1Y – T1
(m)
(s)
(s)
(s)
(s)
(s)
A1
0
0.790
0.769
0.437
0.353
0.332
A2
0.98
0.798
0.768
0.437
0.361
0.331
A3
1.99
0.808
0.757
0.437
0.371
0.320
A4
2.89
0.821
0.750
0.437
0.384
0.313
A5
3.80
0.829
0.739 0.4375
0.392
0.302
A6
4.58
0.838
0.731
0.437
0.401
0.294
A7
5.46
0.841
0.717
0.437
0.404
0.280
A8
6.24
0.845
0.704
0.437
0.408
0.267
A9
6.91
0.849
0.694
0.437
0.412
0.257
A10
7.48
0.853
0.686
0.437
0.416
0.249
struzioni la cui risposta sismica, in ogni direzione
principale, non dipenda significativamente dai modi
di vibrare superiori», (/1/, §7.3.2). Stabilire se tale condizione sia soddisfatta o meno comporterebbe naturalmente un’analisi modale completa della struttura, la
qual cosa è evidentemente fuori luogo quando si utilizzi
un approccio di verifica approssimato come il metodo
statico. Per questo motivo, la stessa normativa specifica
che l’uso del metodo statico è in ogni caso consentito
a condizione «che il periodo del modo di vibrare principale nella direzione in esame (T1) non superi 2,5TC
o TD e che la costruzione sia regolare in altezza». (I
periodi TC e TD sono i due valori di periodo che nello
spettro di progetto segnano il passaggio rispettivamente
dal secondo al terzo tratto e dal terzo al quarto tratto.
Essi si ottengono come indicato nella sezione 3.2.3.2.1
di /1/). Nella sezione 7.2.2 della stessa normativa /1/
sono precisate le condizioni che una costruzione deve
rispettare affinchè la si possa considerare regolare in
altezza. Nessuna condizione viene imposta dalla normativa alla regolarità in pianta. Ciò significa che la
normativa consente che il metodo statico di verifica
sismica possa essere utilizzato anche per edifici molto
irregolari in pianta.
L’irregolarità in pianta può far aumentare il divario,
già solitamente rilevante, tra il valore del periodo calcolato in maniera rigorosa e quello ottenuto con la formula
approssimata. Quest’ultimo, «in assenza di calcoli più
dettagliati» e per «costruzioni civili o industriali che
non superino i 40 metri di altezza e la cui massa sia
approssimativamente distribuita uniformemente lungo
l’altezza», può essere stimato attraverso la formula:
considerato nel presente articolo, ad esempio, la Tabella
3 mostra che il valore approssimato T1 è assai più basso
di quelli rigorosi T1X e T1Y. In generale, per il periodo
T1X il divario aumenta con l’aumentare dell’eccentricità
tra CM e CS.
Per valutare quale sia l’effetto della discrepanza tra
il periodo approssimato e quello rigoroso nella verifica
sismica con il metodo statico, osserviamo innanzitutto
che secondo la normativa /1/ le forze da introdurre in
tale metodo dipendono dall’ordinata Sd(T1) dello spettro
di risposta del terremoto di progetto, calcolata in corrispondenza del periodo T1 nella direzione considerata.
La formula prescritta è la seguente:
Fi Sd (T1 ) l m
zi mi
,
¦ zjmj
(3)
dove m è la massa totale dell’edificio, mj e zj sono le
masse e le altezze dei generici piani e Fi è la forza da
applicare in corrispondenza del piano i-esimo, (cf. /1/
§7.3.3.2). In tale formula l è un fattore correttivo che
riduce del 15% le forze quando l’edificio ha più di due
piani e un periodo inferiore a 2TC. La stessa normativa
consente di ottenere il valore dell’ordinata spettrale
Sd(T1) da inserire nella (3) facendo riferimento indifferentemente o al valore rigoroso del periodo oppure a
quello approssimato. Considerare l’uno o l’altro di tali
valori di periodo non è però indifferente ai fini delle
forze che si ottengono dalla (3). Se ci si trova nella
zona discendente dello spettro di risposta (cosa piuttosto usuale per le strutture comuni), l’ordinata calcolata in corrispondenza del valore rigoroso del periodo
proprio può risultare molto più bassa di quella che si
ottiene in corrispondenza del periodo approssimato. Di
conseguenza, se si applica la (3) con il periodo rigoroso si ottengono spesso forze statiche decisamente più
basse rispetto a quelle che si otterrebbero attraverso
il periodo approssimato. La presenza del coefficiente
l contribuisce poi a ridurre ulteriormente tali forze,
che alla fine possono diventare così basse da rendere
i risultati ottenibili con il metodo statico addirittura
inferiori a quelli deducibili dal più rigoroso metodo
dinamico. In tale condizione il metodo statico di verifica sismica, più semplice ed anche meno preciso di
quello dinamico, conduce a sottodimensionare l’edificio, quando il prezzo da pagare per la sua mancanza
di rigore dovrebbe essere, semmai, un sovradimensionamento.
4. Modifiche per rendere cautelativo il metodo statico
T1 = CtH3/4,
(2)
[cf. /1/, eq. (7.3.5) sezione 7.3.3.2], ove H è l’altezza
dell’edificio (in metri), Ct è un opportuno coefficiente
che dipende dal tipo di struttura e T1 risulta misurato
in secondi. Per strutture a telaio in cemento armato la
normativa prescrive di assumere Ct = 0.075. Il periodo
approssimato calcolato attraverso la formula (2) può
sottostimare notevolmente il valore effettivo dei periodi
nelle due direzioni principali, T1X e T1Y. Per l’edificio
Il metodo statico è un metodo approssimato e, dato
il suo carattere altamente convenzionale, esso dovrebbe
portare a risultati cautelativi che proteggano dalle
approssimazioni che esso comporta. Ciò può essere
ottenuto facendo riferimento ad un periodo proprio
convenzionale, opportunamente più basso di quello
effettivo. Il valore rigoroso di tale periodo può essere,
infatti, troppo elevato per condurre a verifiche cautelative. Tanto più se l’edificio è irregolare in pianta, in
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21
quanto l’attivazione di moto torsionale incrementa il
periodo fondamentale della struttura rispetto al valore
approssimato che si ottiene dalla formula (2). La via
più semplice per rendere cautelativo il metodo statico
potrebbe dunque essere quella di imporre che in esso
si faccia riferimento al valore di periodo determinato
attraverso la formula (2), escludendo quindi la possibilità di ottenerlo con calcoli più precisi.
Se, viceversa, si volesse lasciare la possibilità di
utilizzare il periodo rigoroso, allora se ne dovrebbe
limitare il valore da introdurre nel metodo, come fatto
da alcune normative antisismiche (cf. /13/, /14/). In
un certo senso, un limite al valore del periodo proprio
viene posto anche dalla Normativa Italiana, giacchè
essa richiede che «il periodo del modo di vibrare
principale nella direzione in esame (T1) non superi
2,5TC o TD». Tale limite, tuttavia, non è sufficiente ad
evitare che il metodo statico risulti non cautelativo.
L’esempio considerato nel presente articolo mostra
infatti che, anche se tali limitazioni sono rispettate,
la sottostima di alcuni effetti sismici chiave non può
essere evitata.
Un altro artificio per rendere cautelativo il metodo
statico potrebbe essere quello di assegnare al parametro
l, che compare nella (3), dei valori opportunamente
maggiori di 1 quando si utilizzi il periodo rigoroso.
Ancora meglio sarebbe far sì che il valore di l sia funzione dell’eccentricità in pianta dell’edificio. Naturalmente, per definire tale funzione occorrerebbe eseguire
uno studio approfondito su un numero sufficiente di
dati relativi a diversi tipi di edifici e di terremoti.
5. Conclusioni
Il presente articolo mostra che la Normativa Italiana
consente di eseguire con il metodo statico verifiche sismiche molto meno cautelative di quelle che si eseguirebbero applicando il più preciso metodo dinamico. Ciò
può accadere quando si introduca nel metodo statico il
valore rigoroso del periodo fondamentale della struttura,
anzichè quello approssimato dato dalla formula empirica
specificata dalla normativa. Il motivo di ciò sta nel fatto
che il valore rigoroso del periodo fondamentale risulta
generalmente molto più elevato di quello approssimato
ottenibile da detta formula.
Ciò conduce a forze statiche di verifica molto più
basse rispetto a quelle che si avrebbero utilizzando il
periodo approssimato. I risultati del presente lavoro mostrano, inoltre, che la riduzione nelle forze di verifica
può essere particolarmente elevata per gli edifici non
simmetrici in pianta, perché il valore rigoroso del periodo fondamentale aumenta all’aumentare dell’eccentricità tra baricentro delle masse e centro di rigidezza
dei piani. In tal caso, il metodo statico può sottostimare
alcuni effetti sismici anche del 25% rispetto ai valori
calcolati con il metodo dinamico.Vi sono, tuttavia, alcuni semplici accorgimenti che la normativa /1/ potrebbe
introdurre per far sì che le verifiche eseguite con il me-
22
todo statico siano sempre a favore di sicurezza, come
brevemente discusso nella precedente sezione.
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/15/ National Building Code of Canada, 2005, National
Research Council Canada, Canada.
/16/ Paglietti A., Porcu M.C., «A loophole in the Eurocode 8 allowing for non-conservative seismic
design», (in preparazione).
/17/ Pittaluga M., 2008, «Raffronto tra metodo statico
lineare e metodo dinamico lineare nella progettazione antisismica secondo la nuova normativa»,
Tesi di laurea, Facoltà di Ingegneria, Dip. Ing.
Strutturale, Università di Cagliari.
Anno XXVI – N. 4 – ottobre-dicembre 2009
EXTENDED ABSTRACT
A weakness of the static method as implemented by the Italian
seismic Code
A. Paglietti, M.C. Porcu
The static method of seismic analysis should be more
conservative than the dynamic method, based on a more
rigorous dynamic analysis, cf. e.g. /2-4/. The present
paper shows, however, that this may not be the case
if the method is implemented according to the rules of
the Italian code /1/. This uncovers a shortcoming of
that code, as it makes the static method more appealing economically than the dynamic method, in spite of
being less reliable.
Oddly enough, the static method ceases to be conservative when the rigorous value of the fundamental
period of the building is introduced for the approximate
one as given by an empirical formula provided by the
Italian code. Sure enough, if that formula is adopted,
the static method becomes duly conservative. The point
is, however, that the use of the rigorous value of the
fundamental period is not forbidden by the code, which
instead appears to encourage it. Now, the rigorous
value of the fundamental period of vibration may be
much larger than the one provided by the approximate
formula. Larger periods of vibration almost invariably
mean smaller design forces.
The latter may thus become smaller than the ones
that would be calculated from the dynamic method.
When this happens, the static method becomes nonconservative.
In order to substantiate the above claims, the paper
refers to a building that is non-symmetric in plan. It
shows that the use of the static method may underevaluate the maximum seismic effects on the building
by amounts that can be over 25% less than the values
obtained from the dynamic method. The paper considers ten variants of a reinforced concrete shear-type
building (see Fig.1). They are referred to as A1, A2,
…, A10, respectively. Each variant is relevant to a different eccentricity between the center of mass CM and
the center of stiffness CS of the building storeys. The
coordinates of CS corresponding to each variant are
reported in Table 1, while the cross sections and the
stiffness of the columns are reported in Table 2.
For each variant three different seismic analyses
were considered. They all refers to the earthquake
whose response spectrum is reported in Fig.2. The first
analysis was done by applying the dynamic method and
was conventionally taken as the rigorous one. The other
two analyses were performed by the static method. One
of them was based on the approximate value of the fundamental period [as suggested by /1/, formula (7.3.5)];
the other on the rigorous value of that period.
To assess the obtained results, we introduced a
discrepancy factor D, defined by equation (1). In
that equation the quantities E D and E S denote the
values of any given effect as obtained from the dynamic and from the static analysis, respectively. The
index a or r appended to D discriminates between
the results obtained from the static analysis based on
the approximate period and the ones obtained from
the static analysis based on the rigorous period. The
discrepancies D a and D r relevant to some key effects
calculated for the considered buildings are plotted
in Figures 3 to 7.
According to the Italian code, the static method
of analysis can also be applied to buildings that are
irregular in plan. However, the lack of regularity in
plan does usually make the fundamental period of vibration considerably larger than the one that can be
obtained from the approximate formula given by the
Italian code.
Table 3 shows how that formula grossly underestimates the values of the fundamental period of the building considered in the present paper. The consequences are crucial for the static method, since the latter
assumes the seismic forces to be proportional to the
spectral acceleration that corresponds to the fundamental period of the building, see eq. (3). If the static
method is applied by referring to the rigorous value
of that period, the ensuing reductions in the values of
the seismic forces may become unacceptable. Such a
situation is likely to occur quite often in practice since
the fundamental period of most buildings falls in the
descending part of the response spectrum. The introduction of a reduction factor l < 1, as prescribed by
the Italian code [see eq. (3)], makes the static method
even less conservative.
From the present analysis it follows that a sensible
use of the static method should make reference to a
conventional period of vibration of the building, appropriately shorter than its rigorous fundamental period
of vibration.
The latter may, in fact, turn out to be too large to
produce lateral forces that are large enough for the
method to be conservative. Especially so if the building is irregular in plan. Ruling out the possibility of
adopting the actual value of the fundamental period
instead of the conventional one given by the empirical
formula provided by the code, may just be what is needed to guarantee that the static method will always
be conservative.
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Alternatively, one could require that the value of the
period of vibration to be used when applying the method should not exceed some appropriate limits. This is
what is actually done by other codes, cf. e.g. /13-14/.
Still a further possibility could be to prescribe that
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the lateral forces, as obtained from formula (3), should
be amplified by a factor l greater than 1 if the actual
fundamental period of the building is used. In that
case, the factor l might also be made to depend on
the eccentricity between CM and CS.
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