7.
Trigonometria
Una prima definizione di seno, coseno, tangente di un angolo.
Uso della calcolatrice scientifica.
Risoluzione dei triangoli rettangoli.
DIVAGAZIONE. APPROSSIMAZIONE DI π.
DIVAGAZIONE. L'AREA DEL POLIGONO REGOLARE.
Generalizzazione della definizione di seno, coseno, tangente di un angolo.
Risoluzione di triangoli qualsiasi: i teoremi dei seni e del coseno
La formula di Erone e altre formule per il calcolo dell'area dei triangoli.
Si fa solitamente risalire a Talete (VI sec. a.C.) la soluzione di un problema
molto significativo: quanto è lontana dalla costa la nave nemica? Per saperlo
è sufficiente considerare un ideale triangolo rettangolo che abbia per cateto
maggiore la distanza TN di Talete dalla nave e per cateto minore un
segmento perpendicolare di lunghezza
arbitraria tracciato sulla sabbia (fig 3.1).
Con un sestante, o più semplicemente con un
compasso, si misura l'ampiezza dell'angolo β
. Del triangolo TBN si conoscono di
= TBN
conseguenza i tre angoli ( N$ è complementare
di β, T$ è retto).
È possibile considerare allora un qualunque
triangolo T'B'N' simile a TBN, per esempio
uno che si possa tracciare comodamente su un
fig. 3.1
foglio di carta: i rapporti tra i lati restano
T ′N ′
costanti e dunque, una volta misurato il rapporto k =
, che dipende
T ′B′
esclusivamente dall'ampiezza dell'angolo β, questo sarà uguale al rapporto
TN
; nota la lunghezza di TB, che si può facilmente misurare, sarà
TB
TN = k ⋅ TB , e il problema è risolto.
Riassumendo, abbiamo definito una applicazione che ad un angolo (β)
associa un numero reale (k), sfruttando una proprietà fondamentale dei
triangoli simili: il rapporto tra lati corrispondenti resta costante.
Ci porremo il problema di calcolare tali rapporti per ogni angolo: per alcune
ampiezze sarà facile, per altre dovremo accontentarci di una buona
approssimazione; una volta noti questi rapporti potremo risolvere un
qualunque triangolo (cioè determinarne le lunghezze di tutti i lati e le
ampiezze di tutti gli angoli).
2
1. UNA PRIMA DEFINIZIONE DI SENO, COSENO,
TANGENTE
Si consideri un punto O e due semirette r e
s, di origine comune O, che formano tra
loro un angolo acuto α. Consideriamo A, A',
A"... punti qualsiasi su s e le loro proiezioni
ortogonali B, B', B"... su r (fig 3.2).
I triangoli OAB, OA'B', OA"B", ... sono tutti
rettangoli e simili tra loro e, poiché il
rapporto tra lati corrispondenti di triangoli
fig.3.2
simili è costante, segue che
AB A′ B′ A′′ B′′
=
=
= ⋅⋅⋅
OA′′
OA OA′
OB OB′ OB′′
=
=
= ⋅⋅⋅
OA OA′ OA′′
AB A′ B′ A′′ B′′
=
=
= ⋅⋅⋅.
OB OB′
OB′′
Questi rapporti dipendono solo dall'angolo α tra le due semirette.
DEFINIZIONE. Poniamo
cateto opposto ad α AB
sin α =
=
ipotenusa
OA
cateto adiacente ad α OB
cos α =
=
ipotenusa
OA
cateto opposto ad α
AB
tan α =
=
cateto adiacente ad α OB
e li chiamiamo rispettivamente seno di α, coseno di α, tangente di α.
ESEMPIO 1. Consideriamo un triangolo rettangolo con un angolo di 45°,
quindi rettangolo e isoscele; esso è sempre la metà di un quadrato.
Qualunque siano le misure dei lati (fig. 3.3), i loro rapporti sono facilmente
calcolabili:
AB
1
2
=
=
= sin 45o
2
OA
2
2l
45°°
l
45°°
l
fig. 3.3
OB
1
2
=
=
= cos 45o
2
OA
2
AB
= 1 = tan 45o
OB
ESEMPIO 2. Consideriamo un triangolo rettangolo con un angolo di 30°
(quindi l'altro di 60°); esso è sempre la metà di un triangolo equilatero.
Detta l la lunghezza dell'ipotenusa, sarà l/2 il cateto minore, e ( 3 2)l il
cateto maggiore (per il teorema di Pitagora) (fig. 3.4).
3
seno, coseno e
tangente di un
angolo α
60°°
l
30°°
3
l
2
fig.3.4
AB 1
= = sin 30o
OA 2
OB
3
=
= cos 30o
2
OA
e anche
3
AB
=
= tan 30o
3
OB
OB
=
OA
AB
=
OA
OB
=
AB
3
= sin 60o
2
1
= cos 60o
2
3 = tan 60o
Possiamo considerare, per completezza, anche i rapporti inversi di quelli
visti precedentemente, esaurendo così le possibili disposizioni di tre
elementi presi a due a due, che sono appunto 6: li chiameremo cosecante
(l'inverso del seno), secante (l'inverso del coseno), e cotangente (l'inverso
della tangente), e li indicheremo rispettivamente csc(α), sec(α), cot(α).
DEFINIZIONE La cosecante, la secante, e la cotangente sono rispettivamente
1
ipotenusa
csc α =
=
sin α cateto opposto
1
ipotenusa
sec α =
=
cos α cateto adiacente
1
cateto adiacente
cot α =
=
tan α
cateto opposto
cosecante, secante e
cotangente
di un
angolo α
Conseguenze immediate delle definizioni.
a) le funzioni seno, coseno, tangente associano ad un angolo un numero
reale risultante dal rapporto tra grandezze omogenee (due lunghezze),
perciò questo è un numero puro, cioè privo di unità di misura;
b) dal secondo esempio si osserva che sin 60° = cos 30° e che sin 30° =
cos 60°; questa proprietà è del tutto ovvia, e si può generalizzare. Se α
è un angolo acuto in un triangolo rettangolo, l'altro angolo acuto, β, è il
suo complementare: β = 90° − α; (fig. 3.5) il cateto adiacente ad α è il
cateto opposto a β, e dunque, per ogni angolo acuto α valgono le
relazioni
cos α = sin(90°−α)
sin α = cos(90°−α)
c)
cioè: il coseno di un angolo è uguale al seno dell'angolo
complementare. Questa proprietà rende conto del termine "co-seno": il
prefisso "co" sta ad indicare "del complementare";
per le definizioni poste, poiché un cateto è sempre minore
dell'ipotenusa, il seno e il coseno di un angolo acuto assumono valori
compresi tra 0 e 1:
4
un legame tra seno e
coseno
d)
e)
f)
0 < cosα < 1
0 < sinα < 1
considerariamo triangoli rettangoli (fig. 3.6), con l'ipotenusa di
lunghezza 1 (rispetto ad una certa unità di misura);
AB
allora, per le definizioni poste, sin α =
= AB , e,
1
all'aumentare di α, sinα è crescente; cos α = OB ,
e, all'aumentare di α, cosα è decrescente; ad
esempio
2
1
fig. 3.6
sin 30o = = 0. 5 , sin 45o =
≅ 0. 707 ,
2
2
3
sin 60o =
≅ 0. 866 , allora 0.5 < sin40° < 0.707.
2
Queste osservazioni ci fanno capire che, per 0° < α < 90°, le funzioni
α a sinα, α a cosα sono iniettive, cioè, se sinα1 = sinα2, allora α1=
α2, e lo stesso vale per il coseno.
sin
Inoltre, se A →
B e A cos
→ B , ove
A ={α ∈ R : 0° < α < 90°} e B = {y ∈ R :
0 < y < 1}, le funzioni seno e coseno sono
biunivoche: abbiamo già mostrato che
sono iniettive; per la suriettività
consideriamo un numero reale y ∈B;
l'angolo α individuato come nella figura
3.7 è tale che sinα = y. Analoga
costruzione per il coseno.
fig. 3.7
sia α un angolo acuto, a la misura del cateto opposto, b la misura del
cateto adiacente e c la misura dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo
(fig. 3.8);
a
b
sin α =
cos α =
c
c
2
per il teorema di Pitagora a + b2 = c2; dividendo
a 2 b2
per c2 si ha 2 + 2 = 1, e per le definizioni poste
c
c
(sin α ) 2 + (cos α ) 2 = 1
fig. 3.8
per qualunque angolo α;
cateto opposto
cateto adiacente
sin α =
e cosα =
: ne consegue che il
ipotenusa
ipotenusa
rapporto tra il seno e il coseno di uno stesso angolo è uguale alla
tangente di quell'angolo:
sin α
tan α =
cos α
1
3
Per esempio, sin60o =
, cos60o = , e infatti
2
2
o
tan60 = 3 . Per quanto detto nell'osservazione d), al
crescere di α tanα è espressa da un rapporto con
denominatore decrescente e numeratore crescente,
fig. 3.9
quindi per 0° < α < 90° la funzione tanα è crescente,
iniettiva e assume tutti i valori reali positivi; infatti scelto un qualsiasi
5
relazione pitagorica
g)
numero t ∈ R+, consideriamo il triangolo rettangolo i cui cateti
misurano rispettiavamente 1 e t. L'angolo α opposto al cateto di misura
t è l'angolo per il quale tanα = t (fig.3.9). Dunque anche la funzione
tan
tangente A →
R+ è biunivoca.
le osservazioni e) e f) dicono in definitiva che i valori di seno, coseno,
tangente di un dato angolo non sono indipendenti: noto il valore di uno
di essi è possibile ricavare tutti gli altri.
sin α = 1 − (cos α )2 cos α = 1 − (sin α )2
tan α =
sin α
=
cos α
1 − (sin α )2
1 − (cos α )2
e da queste espressioni di tan α, elevando al quadrato ambo i membri,
si ottiene
tan α
1
sin α =
cos α =
2
1 + (tan α )
1 + (tan α )2
ESERCIZI:
A. Dimostrare le seguenti identità:
• cos4α - 1 = sin2α(sin2α - 2);
• (1+ tan2α)(1 - cos2α) = tan2α;
2
• 2sinαcosα =
;
2
(1 + tan α ) cot α
1 - sin2α = (1 - cos2α)cot2α;
sin4α - 1 = (tan2α - csc2α)(csc2α + tan2α)cos4α;
tan α ⋅ tan2 β
2
sinαsin β =
.
(1 + tan2 α ) cos α (1 + tan2 β)
B. Esprimere le seguenti scritture in funzione di sinα:
• (cos2α + tan2α);
sinαcosαtanα;
sin α + cos α
• cos3α - cot2α;
;
tan α
cotαsinα;
cos2α - tan2α.
C. Esprimere le seguenti scritture in funzione di cosα:
• (sin4α - 1);
sin2αcot2α;
• tanαcosαsinα;
(1 + sin2α)tan2α;
tan2αcosαsinα;
sin2α - cot2α
1
D. Costruire geometricamente un angolo di ampiezza α tale che sinα = cosα.
3
E. Trovare le funzioni trigonometriche dei tre angoli α, β, γ di un triangolo rettangolo di cateti a, b, c:
•
a = 6 cm
b = 2 cm
•
a = 2 cm
b = 6 cm
•
a = 5 cm
b = 7 cm
•
a = 4 cm
b = 3 cm.
F. Risolvere un triangolo OAB, rettangolo in B, con l'angolo in O di ampiezza 30° e con il lato OA di 2
cm.
G. Risolvere un triangolo ABC, rettangolo in B, con l'angolo in C di ampiezza 45° ed il cateto BC di 3
cm.
H. Risolvere un triangolo ABC, rettangolo in B, con l'angolo in C di ampiezza 60° ed il cateto BC di 4
cm.
2. USO DELLA CALCOLATRICE SCIENTIFICA
6
Abbiamo determinato i valori di seno, coseno, tangente per gli angoli di 30°,
45°, 60°, sfruttando particolari proprietà geometriche. E per tutti gli altri
angoli?
Per esempio, come calcolare seno, coseno e tangente di 70°
? Potremmo operare in questo modo: tracciare con il
goniometro un angolo di 70°, e da un punto qualsiasi di un
lato dell'angolo mandare la perpendicolare all'altro lato (fig.
3.10); si misurano i lati del triangolo rettangolo così
ottenuto, e si calcolano i rapporti;
8. 2
≅ 0. 93
sin 70o ≅
8. 8
3
70°°
≅ 0. 34
cos 70o ≅
8. 8
8. 2
≅ 2. 7
tan 70o ≅
fig. 3.10
3
Questo metodo, come è evidente, risulta alquanto approssimativo, i valori
trovati non sono molto precisi, e sono approssimati, nella migliore delle
ipotesi, alla seconda cifra decimale.
Fino ad alcuni anni fa si utilizzavano le tavole trigonometriche, in cui sono
tabulati i valori delle diverse funzioni trigonometriche, generalmente con
l'approssimazione alla quinta cifra decimale. Oggi si preferisce l'uso della
calcolatrice scientifica, che fornisce una approssimazione con almeno 8 cifre
significative.
Sulla calcolatrice ci sono tre tasti:
SIN COS TAN
Si controlla che la calcolatrice sia impostata per la misura degli angoli in
gradi sessagesimali; sulle calcolatrici questo modo di operare con gli angoli
è indicato con DEG, mentre con GRAD è indicata la misura centesimale
degli angoli (l'angolo retto misura 100° e l'angolo giro 400°), e con RAD si
intende la misura degli angoli in radianti, che prenderemo in esame più
avanti; per conoscere il seno di 70° è ora sufficiente digitare 70, e premere il
tasto SIN : dovrebbe comparire sul visore il numero 0.9396926, che è
l'approssimazione alla 7a cifra decimale di sin 70°. (Altre calcolatrici
consentono di introdurre i dati utilizzando la sintassi che usiamo
comunemente, cioè premendo prima SIN , poi 70 e poi il tasto = o
ENTER .) In modo analogo si procede per le altre funzioni, coseno e
tangente; per controllare che la calcolatrice sia predisposta in DEG è
sufficiente impostare 30° e premere SIN : deve apparire sul visore il numero
1
0.5, cioè la scrittura decimale di (oppure si può verificare che tan45° = 1).
2
Nel paragrafo precedente abbiamo osservato che per angoli acuti le
corrispondenze α a sin α , α a cos α , α a tan α sono biunivoche; è
naturale allora porsi il problema inverso: per esempio, qual è l'angolo che ha
come seno il numero 0.25?
Per risolvere questo problema sulle calcolatrici sono presenti i tasti
SIN −1
COS −1 TAN −1
−1
Nel nostro esempio, si imposti sul visore 0.25, e si prema il tasto SIN :
appare il numero 14.477512: si tratta dell'angolo misurato in gradi, il cui
7
OSSERVAZIONE. sin-1x ,
cos-1x. tan-1x indicano le
funzioni inverse, e non
1
1
1
,
,
sin x cos x tan x
seno vale 0.25.
Naturalmente, poiché 0 < sin α < 1 e 0 < cosα < 1, ha senso calcolare sin-1 e
cos-1 solo per valori dell'argomento compresi tra 0 e 1, mentre per tan-1 ogni
numero positivo va bene. Se vogliamo esprimere l'ampiezza dell'angolo
anzichè in forma decimale (14.477512° ≅ 14.5°) in gradi, primi e secondi
operiamo nel modo seguente:
14.477512° = 14° + 0.477512° = 14° + (0.477512 × 60)' = 14° +
(28.650731)'
= 14°28' + (0.650731 × 60)" ≅ 14°28'39".
−1
−1
Attenzione: non tutte le calcolatrici sono dotate dei tasti SIN , COS ,
TAN −1 : per alcune si utilizza il tasto INV seguito dal tasto della funzione
voluta; per esempio vogliamo sapere per quale angolo α è
tanα = 3;
si imposta 3 sul visore e si premono in successione i tasti
INV e TAN
Sul visore appare 71.56505118, cioè circa 71°33'54".
ESERCIZI:
A. Completare la seguente tabella che si riferisce ad ampiezze angolari espresse come gradi primi e
secondi o in forma decimale, come indicato nella prima riga.
25° 12' 32" 25.21°
45.53°
70.5°
30° 30' 25"
60°12"
80.45°
45°25'
55.76°
38°36'30"
B. Completare la seguente tabella:
sinα
cosα
α
35°
0.3
tanα
secα
cscα
cotα
1
0.72
60°
2
2
2
1.5
1
3. RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI RETTANGOLI
Dai criteri di congruenza dei triangoli sappiamo che, fissati alcuni elementi
di un triangolo (per esempio le misure di due lati e l'ampiezza dell'angolo tra
essi compreso) tutti i triangoli aventi quelle misure sono congruenti; ciò
8
significa che gli elementi fissati determinano univocamente tutti gli altri.
Come calcolare gli elementi incogniti? Siamo già in grado di risolvere
questo problema per i triangoli rettangoli.
Un elemento (l'angolo retto γ) è sempre fissato; il triangolo è univocamente
determinato (o meglio: è individuata la classe di equivalenza di tutti i
triangoli congruenti) quando siano dati, oltre a γ:
1) l'ipotenusa e un angolo;
2) un cateto e un angolo;
3) l'ipotenusa e un cateto;
4) i due cateti.
Il triangolo non è invece determinato se si conoscono i tre
angoli, o meglio: tre angoli determinano infiniti triangoli
simili, non necessariamente congruenti.
fig.3.11
Indichiamo con A,B,C i vertici di un
triangolo, rettangolo in C, di lati a, b, c e
angoli α, β, γ (γ = 90°), (fig. 3.11).
Esaminiamo i quattro casi:
1) siano c e α gli elementi noti; β è ovviamente il complementare di α.
Vogliamo determinare i cateti a e b: poiché per definizione
a
b
= sin α e = cos α , sarà:
c
c
a = c sin α
b = c cos α
ESEMPI:
a) sia c = 12 cm e α = 30° ; poiché sin30° = 0.5 e cos30° =
3
≅ 0. 87 ,
2
risulta a = 6 cm e b = 6 3 cm ≅ 10.4 cm;
b) sia c = 12 cm e α = 40°; usando la calcolatrice si trova sinα ≅ 0.64 e
cosα ≅ 0.76 e quindi sarà a ≅ 7.7 cm e b ≅ 9.1 cm.
2)
è del tutto analogo al caso precedente: siano a e α gli elementi noti;
a
sfruttando la definizione di seno di un angolo, sin α = , si ottiene
c
a
c=
sin α
Per l'altro cateto è sufficiente applicare il teorema di Pitagora, oppure,
a
ricordando la definizione di tangente, tan α = e quindi
b
a
b=
.
tan α
3)
conoscendo l'ipotenusa c e il cateto a, l'altro cateto si ottiene con il
teorema di Pitagora; per determinare un angolo acuto si calcola
a
dapprima il valore del seno dell'angolo: = sin α e poi si determina
c
l'angolo α che ha come seno quel numero.
9
ESEMPI:
a 4 cm
=
= 0.5 = sin α e, per
c 8 cm
quanto sappiamo, α = 30° (e β = 60°);
a
1 cm
b) sia c = 8 cm, a = 1 cm; = sin α =
= 0.125 ; per quale
c
8 cm
angolo α vale la relazione sinα = 0.125? Le osservazioni svolte
sulla biunivocità delle funzioni trigonometriche ci assicurano che
esiste un solo angolo α compreso tra 0° e 90° per cui sinα =
0.125. Abbiamo visto nel paragrafo precedente come determinare
quest'angolo: con la calcolatrice si trova il numero 7.180755781,
cioè circa 7°10'51". Naturalmente β sarà il complementare di α: β
= 90° − α ≅ 82°49'9".
4) conoscendo i due cateti si può applicare il teorema di Pitagora per
determinare l'ipotenusa; per gli angoli possiamo applicare la definizione
di tangente di un angolo. Sia per esempio a = 3 e b = 4, da cui c = 5.
Allora tanα = 3/4 = 0.75. Poiché non è uno dei valori noti, usiamo la
calcolatrice: otteniamo α ≅ 36.9°. Per determinare β basta ricordarsi che
è il complementare di α; oppure osservare che tanβ = 4/3 ≅ 1.33; con la
calcolatrice si ottiene β = 53.1°.
a)
sia c = 8 cm, e a = 4 cm; allora
Per concludere:
le relazioni
a2 + b2 = c2
β = 90° − α
a
b
a
sin α =
cosα =
tan α =
c
c
b
sono sufficienti a risolvere qualunque triangolo rettangolo di cui siano
dati (oltre all'angolo retto) due lati oppure un lato e un angolo.
ESEMPIO. Un parallelogrammo OPQR hai lati consecutivi OP e PQ
rispettivamente di 8 cm e 5 cm. L'angolo compreso tra tali due lati ha
ampiezza 60°. Determinare la diagonale OQ e l'angolo compreso tra OP e
OQ. (fig. 3.12)
Consideriamo innanzi tutto il triangolo rettangolo PHQ (rettangolo in H).
^ = 60° e
Per tale triangolo risulta QPH
QP = OR = 5; pertanto
5 3
2
60°°
5
PH = QP cos 60° =
fig.3.12
2
Da cui si deduce che
5 21
OH = OP + PH = 8 + = ,
2 2
QH = QP sin 60° =
2
OQ = OH + QH
2
2
2
 21   5 3 
=   + 
=
 2   2 
∧
∧
Inoltre, indicato con α l'angolo POQ = HOQ , risulta
10
441 75
+
= 129
4
4
risoluzione dei
triangoli
rettangoli
QH 5 3
1
⋅
≅ 0. 3812464 ,
=
OQ
2
129
da cui segue che α ≅ 22.41°.
sin α =
ESERCIZI:
A. Risolvere, utilizzando, se necessario, la calcolatrice, il triangolo rettangolo ABC di cui siano noti:
•
c = 15 cm,
α = 45°;
•
c = 26 cm,
β = 70°;
•
b = 20 dm,
α = 30°;
•
b = 10 dm,
β = 25°;
•
a = 12 cm,
α = 60°;
•
a = 7 cm,
β= 75°;
•
c = 220 mm, a = 15 cm;
•
c = 12 dm,
b = 7 dm;
•
a = 7 dm,
b = 9 dm;
•
a = 5 dm,
b = 10 dm;
•
c = 75 dm,
α = 30°;
•
c = 150 mm, β = 45°;
•
b = 10 dm,
α = 37°;
•
b = 25 cm,
β = 80°;
•
a = 1m,
α = 60 °;
•
a = 2 cm,
β = 71°;
•
c = 10 cm,
a = 8 cm;
•
c = 10 dm,
b = 5 dm;
•
a = 26 dm,
b = 10 dm;
•
a = 9 dm,
b = 4 dm.
B. Dimostrare che in un triangolo rettangolo, i cui angoli abbiano ampiezza 90°, α, β, vale la seguente
uguaglianza:
sin α + cos β
= cot β .
cos α + sin β
(poiché siamo in un triangolo rettangolo α + β = 90°...)
C. Da una nave si vede un faro, alto 60 m, sotto un angolo di elevazione di ampiezza 15°. Quanto è
distante l'osservatore dalla base del faro?
D. Un sottomarino parte da un punto A e percorre 1.5 km procedendo lungo una linea retta inclinata di
10° rispetto al pelo dell'acqua. A quale profondità giungerà?
E. A che distanza ci si deve porre per osservare un campanile alto 40 m sotto un angolo di elevazione di
52°?
F. Le due diagonali di un rettangolo ABCD abbiano lunghezza 24 dm. Uno degli angoli da esse formato
con uno dei lati sia di 42°. Calcolare il perimetro del rettangolo.
G. Sia ABC un triangolo, rettangolo in A, con l'ipotenusa a = 3 cm e di cui sia nota l'ampiezza dell'angolo
in B β = 27°. Risolvere il triangolo.
H. Sia ABC un triangolo rettangolo in A con i cateti di 4 e 10 cm. Risolvere il triangolo.
I. Determinare i raggi dei cerchi ex-inscritti ad un triangolo ABC noto, cioè dei tre cerchi tangenti ad un
lato del triangolo ed ai prolungamenti degli altri due lati.
11
(Sia I il centro del cerchio tangente a BC, AC ed AB in D', E'ed
F'. E' noto che il punto I è intersezione delle bisettrici degli
'.
, CBF
' e BCE
angoli BAC
Risulta:
BD'≡BF' e D'C≡CE', perché ....
2p = F'A + AE' e AF'≡AE', perché ...
quindi AF'≡AE'≡p
BF'≡BD' = p - c (c sia la misura di AB, nota) ,
CD'≡CE' = p - b (b sia la misura di AC, nota )
Si possono ora considerare i triangoli rettangoli IF'B, ICE', IAE',
IF'A giungendo in tal modo alla determinazione del raggio
richiesto.
L. Risolvere un triangolo ABC, rettangolo in A di cui è noto il cateto AB di 5 cm e l'altezza relativa
all'ipotenusa di 4 cm.
M. Trovare l'altezza di una torre la cui base è situata al di sotto del livello del terreno su cui si trova
l'osservatore di 5 m, sapendo che l'osservatore vede la cima della torre con un angolo di elevazione di
ampiezza α=45° e la base con un angolo β=10°.
N. Considerare un poligono regolare di n lati (n=3, 4, 5, 6, 10, 12). Trovare il numero per cui deve essere
moltiplicata la misura del lato per avere l'apotema (nei testi elementari tale numero viene indicato come
numero fisso del poligono).
O. Quale distanza deve percorrere una funivia per portarsi ad una quota maggiore di 600 metri rispetto a
quella di partenza percorrendo in linea retta un tratto inclinato di 30°?
Divagazione: L'AREA DI UN POLIGONO REGOLARE
Quanto misura l'area di un pentagono regolare di lato 12 cm? Si tratta di un problema
apparentemente semplice, ma in realtà non è risolubile in forma generale con gli strumenti della
geometria elementare. Ricordiamo che un poligono regolare è
un poligono avente i lati congruenti tra loro e gli angoli
congruenti tra loro. Osserviamo anzitutto che un poligono
regolare di n lati è univocamente determinato (a meno di
congruenze) dalla misura del lato l. Quindi la sua area A è una
funzione della coppia n, l (n ∈ , n > 2, l∈).
È noto che un poligono regolare è inscrittibile in una
circonferenza il cui centro O si
chiama centro del poligono .
Congiungendo O con i vertici del
poligono, lo si divide in n triangoli
isosceli congruenti (fig. 3.11, in cui
fig.3.13
n = 5), aventi per base l, e l'angolo
360°
al vertice di ampiezza
.
l
n
2
L'altezza h di uno di questi triangoli (detta apotema del poligono
fig.
3.14
regolare) lo divide in due triangoli rettangoli congruenti (fig, 3.14) , che
possiamo risolvere.
12
l
180° 


Infatti conosciamo un cateto  AH =  e l'ampiezza di un angolo acuto  α = AOˆ H =
.
2
n 


l2
l
l
Sappiamo che tan α =
, dunque h =
=
. L'area T di ciascun triangolo vale
h
2 ⋅ tan α 2 ⋅ tan 180°
n
dunque
1
l
l2
T= l
=
2 2 tan 180° 4 tan 180°
n
n
L'area di un poligono regolare di n lati di lato l vale perciò
nl 2
A=
180°
4 tan
n
ESEMPIO 1. Per il quadrato (n = 4, α = 45°) , poiché tan 45° =1, si ritrova la ben nota formula A=l
2.
5 ⋅ 144
ESEMPIO 2. Un pentagono regolare di lato 12 cm ha area A =
cm2. Poiché
4 tan 36°
tan 36°≅ 0. 7265 , allora A ≅ 247.8 cm2.
180°
ESEMPIO 3. Per un triangolo equilatero (n = 3) di lato l,
= 60o , e tan60o = 3 , si ottiene,
n
3 2
l .
quindi, facilmente la formula A =
4
3 3 2
l .
ESEMPIO 4. Per un esagono regolare (n = 6) di lato l si ottiene facilmente A =
2
APPROSSIMAZIONE DI π
Divagazione:
Il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il suo diametro:
circonferenza C
=
diametro
2r
è costante per ogni circonferenza e viene indicato con il simbolo π; di conseguenza C = 2πr. Inoltre
la lunghezza di una circonferenza è compresa tra i perimetri dei poligoni regolari inscritti e
circoscritti.
Sia data dunque una circonferenza di raggio r e quindi di lunghezza
2πr; sia 2pn il perimetro di un poligono regolare di n lati inscritto e
2Pn il perimetro del corrispondente poligono regolare circoscritto.
Congiungendo il centro O della circonferenza con i vertici del
poligono inscritto lo si divide in n triangoli isosceli congruenti e il
360o
cui angolo al vertice è un angolo al centro di ampiezza θ =
;
n
ciascuno di questi triangoli (fig. 3.15) è diviso dall'altezza in due
θ 180o
triangoli rettangoli di ipotenusa r e angolo acuto α = =
.
2
n
Per quanto abbiamo visto sulla risoluzione dei triangoli rettangoli il
fig. 3.15
cateto opposto ad α (che è la metà della base del poligono regolare)
misura r⋅sinα, dunque
13
 180 o 
.
2 p n = 2nr sin α = 2nr sin 

n


Con analoghe considerazioni si determina il perimetro del poligono regolare circoscritto:
 180 o 
.
2 Pn = 2nr tan 

 n 
Valgono perciò le disuguaglianze:
 180 o 
 180 o 
 < 2πr < 2nr tan 

2nr sin 

 n 
n




e, dividendo per 2r,
 180 o 
 180 o 

 < π < n tan 
n sin 

 n .
 n 


Archimede riuscì a calcolare il perimetro dei poligoni regolari inscritti e circoscritti di 96 lati: per n
= 96 ottenne l'approssimazione
10
1
3+
< π < 3+ ,
71
7
6
mentre per n = 10 si ottiene l'approssimazione alla decima cifra decimale:
3.14159265356 < π < 3.14159265360.
4. GENERALIZZAZIONE DELLA DEFINIZIONE DELLE
FUNZIONI TRIGONOMETRICHE DI UN ANGOLO
Nel primo paragrafo abbiamo parlato di angoli, dando per scontata una loro
definizione. In effetti spesso si confonde l'angolo inteso come ente
geometrico, per esempio definito come coppia di semirette (i lati
dell'angolo) aventi la stessa origine, con la sua misura; per tale motivo
abbiamo indicato (com'è consuetudine) con α sia l'angolo che la sua misura
in gradi. Vogliamo ora adottare una terminologia più precisa.
Come è noto dalla geometria, due semirette a,b di
origine comune O separano il piano in due regioni,
come indicato in figura 3.16. In altre parole la
coppia a,b individua due angoli e, se le due
semirette non sono una l'opposta dell'altra, uno dei
due angoli è concavo (cioè la corrispondente
regione contiene il prolungamento dei lati) e l'altro
fig. 3.16
convesso (cioè la corrispondente regione non
contiene il prolungamento dei lati). Pertanto se tracciamo due semirette
come in figura 3.17, senza fornire alcuna altra indicazione, non sappiamo a
quale dei due angoli facciamo riferimento.
Occorre dunque qualche ulteriore informazione
per poter distinguere un angolo dall'altro.
Quando indichiamo un angolo con (a,b)
intendiamo la regione descritta dalla rotazione
(in verso convenzionalmente antiorario) che
porta la semiretta a a sovrapporsi alla semiretta b
fig.3.17
(fig. 3.18).
14
una coppia di semirette
con la stessa origine
individua due angoli
fig. 3.18
Con questa convenzione possimo introdurre la seguente
DEFINIZIONE. Sia O un punto del piano; chiamiamo angolo di
vertice O ogni coppia ordinata di semirette (a,b) avente O come
origine comune.
angolo (a,b)
Si pone ora il problema di estendere le definizioni delle funzioni
trigonometriche, introdotte per angoli acuti, a un qualsiasi angolo α, α∈
[0°,360°). Cominciamo con l'osservare che, dato un angolo qualsiasi α
individuato dalla coppia ordinata di semirette (a,b), è sempre possibile
costruire un riferimento cartesiano ortogonale in modo tale che a coincida
con il semiasse positivo delle ascisse (e quindi il vertice dell'angolo coincida
con l'origine degli assi); con questa convenzione, l'angolo (a,b) risulta
univocamente determinato dalla semiretta b.
Poiché, a sua volta, una semiretta di data origine O è univocamente
determinata da un suo punto P ≠ O, si deduce che per individuare un angolo
α, con 0° ≤ α < 360°, è sufficiente dare le coordinate di un punto P ≠ O, cioè
una coppia ordinate di numeri reali (non contemporaneamente nulli).
Vediamo ora come sia possibile mettere in relazione le coordinate di un punto
P ≠ O con le funzioni trigonometriche introdotte precedentemente.
Dato un triangolo rettangolo OAB, è sempre possibile disporlo in un sistema
di assi cartesiani ortogonali come indicato in
figura 3.19.
Dette xA e yA le coordinate del punto A (che
determina univocamente l'angolo α) si deduce
dalla figura che OB = x A , AB = y A e
OA = x A2 + y A2 . Quindi, in base alle definizioni
delle
funzioni
trigonometriche
date
precedentemente, risulta
fig. 3.19
sin α =
AB
=
OA
yA
x 2A + y 2A
1
=
sin α
x 2A + y 2A
yA
OB
=
OA
x 2A + y 2A
1
=
cos α
x 2A + y 2A
xA
cos α =
xA
tan α =
AB y A
=
OB x A
e anche
csc α =
sec α =
15
cot α =
cos α x A
.
=
sin α y A
Con abuso di notazione si
usa indicare con la stessa
lettera, ad es. α, sia un
angolo
che
la
sua
ampiezza.
Queste relazioni ci permettono di
generalizzare la definizione delle
funzioni trigonometriche al caso in cui
l'argomento sia un angolo compreso tra
0° e 360°.
Precisamente, (vedi figura 3.20):
fig. 3.20
DEFINIZIONE. Sia α = (a,b) un angolo avente a coincidente col semiasse
positivo delle ascisse, P≡(x,y) un punto diverso dall'origine degli assi
appartenente a b ed r = x 2 + y 2 la distanza di P dall'origine. Le sei
funzioni trigonometriche dell'angolo α vengono definite nel modo seguente:
r
y
csc α =
( y ≠ 0)
sin α =
y
r
x
r
cos α =
sec α =
( x ≠ 0)
r
x
y
x
tan α =
( x ≠ 0)
cot α =
( y ≠ 0)
x
y
OSSERVAZIONE. I rapporti presenti in
questa definizione non dipendono dalla
scelta del punto P sul lato termine. La figura
3.21 mostra che, se si sceglie un punto P1
diverso da P, i triangoli così formati sono
simili e i rapporti dei lati corrispondenti
sono uguali.
Dalla precedente definizione si deduce che,
mentre le funzioni seno e coseno sono
definite per qualsiasi valore dell'argomento
fig.3.21
(cioè per qualsiasi valore di α ∈[0°, 360°)),
le funzioni tangente e secante sono definite per α ≠ 90°, e α ≠ 270° e le
funzioni cotangente e cosecante sono definite per α ≠ 0° e α ≠ 180°. Inoltre
tali funzioni possono assumere anche valori negativi o nulli; in particolare
cosα è negativo per α ∈(90°, 270°) [cioè quando il punto che determina
l'angolo α appartiene al II o al III quadrante] e sinα è negativo per α ∈
(180°, 360°) [cioè se P è nel III o nel IV quadrante]. Quindi, nel caso di
angoli convessi, cioè compresi tra 0° e 180°, il seno è sempre positivo,
mentre il coseno è positivo per angoli acuti, negativo per angoli ottusi e
nullo per l'angolo retto. Ne consegue che, mentre la corrispondenza α a cos
α resta biunivoca se 0° ≤ α ≤ 180°, questo non è più vero per la
corrispondenza α a sinα: infatti è immediato verificare che agli angoli α e
180° − α corrisponde lo stesso valore del seno
sin α = sin(180o − α ) ,
mentre agli stessi angoli corrispondono valori opposti del coseno
cos α = − cos(180o − α ) .
OSSERVAZIONE. Da queste relazioni si deduce in particolare che:
16
sin( 90° + α ) = sin 180° − ( 90° + α ) = sin( 90° − α ) = cos α
.
cos( 90° + α ) = − cos 180° − ( 90° + α ) = − cos( 90° − α ) = − sin α
Osserviamo infine che, essendo
x ≤ x2 + y2
e
y ≤ x2 + y2 ,
cosα e sinα non possono essere, in valore assoluto, maggiori di 1, cioè per
ogni α
−1 ≤ sin α ≤ 1
−1 ≤ cos α ≤ 1 .
Inoltre, come per gli angoli acuti, qualunque sia l'angolo α, risulta
y2 x2 r 2
(sin α) 2 + (cos α) 2 = 2 + 2 = 2 = 1 .
r
r
r
OSSERVAZIONE: È uso comune scrivere sin2α al posto di (sin α)2, e
analogamente per le altre funzioni. Tale notazione è certamente più concisa,
ma è ambigua, potrebbe infatti indicare sia il prodotto di sin α per se stesso,
sia la composizione della finzione seno per se stessa, cioè sin(sin α). In
effetti, per indicare la funzione inversa della funzione seno, molte
calcolatrici usano sin-1. Poiché l'uso della notazione sin2α al posto di (sin α
)2 è abituale e consolidato, la relazione precedente si scriverà
sin2 α + cos2 α = 1 .
CURIOSITÀ. Il seno e il coseno degli angoli notevoli: si possono ricordare
facilmente con la seguente regola mnemonica:
sinα
cosα
α
0
2
1
2
2
2
3
2
4
2
4
2
3
2
2
2
1
2
0
2
0°
30°
45°
60°
90°
ESEMPIO 1. Determinare i valori delle sei funzioni trigonometriche
dell'angolo α determinato dal punto P≡(2,3) (fig.3.22).
Applichiamo la definizione precedente con x = 2, y = 3 e
r = 22 + 32 = 13 . Otteniamo
13
3
csc α =
sin α =
3
13
2
13
cos α =
sec α =
2
13
2
3
cot α =
tan α =
3
2
fig.3.22
Poniamoci ora il problema di calcolare l'ampiezza di tale angolo α.
17
Osserviamo preliminarmente che il punto rappresentativo dell'angolo α
appartiene al primo quadrante e quindi α è acuto. Pertanto possiamo
applicare lo stesso procedimento visto nel secondo paragrafo; cioè, a meno
di un centesimo
α = tan−1(1.5) ≅ 56.31°.
fig. 3.23
Consideriamo la figura 3.23. I quattro punti
P1, P2, P3, P4 hanno ascisse e ordinate uguali
in valore assoluto, dunque i triangoli
rettangoli 1, 2, 3, 4 sono congruenti.
Pertanto,
per
determinare
l'angolo
individuato da un punto P qualsiasi del piano
è sufficiente determinare l'angolo individuato
dal corrispondente punto nel primo
quadrante; nell'esempio in figura 3.22,
chiamato αi l'angolo individuato da Pi, risulta
α2 = 180° − α1,
α3 = 180° + α1 ,
α4 = 360° − α1.
Alla luce delle precednti osservazioni si giustifica la seguente tabella:
x
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
235°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
sinx
0
1/2
√2/2
√3/2
1
√3/2
√2/2
1/2
0
−1/2
−√2/2
−√3/2
−1
−√3/2
−√2/2
−1/2
0
cosx
1
√3/2
√2/2
1/2
0
−1/2
−√2/2
−√3/2
−1
−√3/2
−√2/2
−1/2
0
1/2
√2/2
√3/2
1
tanx
0
√3/3
1
√3
non definita
−√3
−1
−√3/3
0
√3/3
1
√3
non definita
−√3
−1
−√3/3
0
ESEMPIO 3. Determinare i valori delle sei funzioni trigonometriche
dell'angolo α determinato dal punto P≡(−2,3). Calcolare poi l'ampiezza di α.
Essendo r = ( −2)2 + 32 = 13 , risulta
18
13
3
csc α =
3
13
2
13
cos α = −
sec α = −
2
13
2
3
cot α = −
tan α = −
3
2
L'ampiezza dell'angolo α è chiaramente compresa tra 90° e 180° e per il
corrispondente angolo α' risulta α' = tan−1(1.5) ≅ 56.31°. Quindi
α = 180° − α' ≅ 180° − 56.31° = 123.69°.
sin α =
ESERCIZI:
A. Rivedere gli esercizi B. e C. presentati nel primo paragrafo di questo capitolo e stabilire per quali dei
casi presentati è possibile una rappresentazione senza ambiguità.
B. Rivedere l'esercizio D. del primo paragrafo di questo capitolo. E' l'unico l'angolo con le caratteristiche
richieste?
C. Rivedere la tabella dell'esercizio B. presentato nel secondo paragrafo di questo capitolo: completarla
di nuovo tenendo conto di tutti i casi possibili.
sinα
cosα
tanα
secα
cscα
cotα
α
35°
0.3
1
0.72
60°
2
2
2
1.5
1
D. Determinare il valore delle sei funzioni trigonometriche dell'angolo di ampiezza α determinato dal
punto P. Calcolare poi l'ampiezza di α ed individuare, in ogni caso, un altro punto che determini lo stesso
angolo:
•
P(-1,1);
•
P(2,-1);
•
P(-2,-3);
•
P(2,1);
•
P(0,1);
•
P(5,7);
•
P(-2,-1);
•
P(-2,3);
•
P(2,-6);
•
P(-1,0);
3
E. Essendo noto sinα =
, cosa si può dire di cosα, tanα, secα, cscα, cotα?
2
F. Determinare l'ampiezza dell'angolo il cui coseno è l'opposto del coseno dell'angolo di ampiezza 45°.
G. Calcolare l'ampiezza degli angoli ottusi il cui seno è:
3 2
,
, 0.5, 0.71.
2
2
H. Calcolare l'ampiezza degli angoli la cui tangente è: 3, − 7 , 3, 9.
I. Siano α, β, γ le ampiezze degli angoli di un triangolo. Si può avere una delle tre funzioni
trigonometriche (sin, cos, tan) di tali angoli negativa? E due di esse? E tutte e tre? Motivare le risposte
portando degli esempi.
19
L. Sia α un angolo acuto. Per quali valori di α si ha |sinα|≤|cosα|? Ripetere l'esercizio nel caso in cui 90°
<α<180°.
5. LA RISOLUZIONE DI TRIANGOLI QUALSIASI
Il teorema dei seni
Abbiamo visto come procedere per la risoluzione dei triangoli rettangoli.
(Ricordiamo che "risolvere " un triangolo comporta la determinazione delle
lunghezze dei suoi lati e delle ampiezze dei suoi angoli.) Ci proponiamo ora
di risolvere triangoli che non abbiano necessariamente un angolo retto,
tenendo presente che un triangolo non rettangolo può essere acutangolo (se
ha tre angoli acuti) o ottusangolo (se ha un angolo ottuso).
Un primo teorema che mette in relazione le misure dei lati con le ampiezze
degli angoli opposti è il cosiddetto teorema dei seni, la cui dimostrazione, in
una forma equivalente a quella attuale, è già presente nella matematica
araba.
TEOREMA (dei seni). In un triangolo qualunque è costante il rapporto
tra la misura di ciascun lato e il seno dell'angolo opposto. In simboli
a
b
c
=
=
.
sin α sin β sin γ
In altre parole, le misure dei lati di un triangolo qualunque sono
direttamente proporzionali ai seni degli angoli opposti.
Dimostrazione. Come primo caso consideriamo un triangolo acutangolo
ABC, conduciamo dal vertice C l'altezza CH realtiva al lato AB e indichiamo
con hc la sua misura.
Tale altezza CH determina due triangoli
rettangoli CHA e CHB, retti in H. (fig. 3.24)
Tenendo presenti le relazioni che
intercorrono tra gli elementi di un triangolo
rettangolo possiamo scrivere
hc = bsinα
e
hc = bsinβ
da
cui
segue
che
fig. 3.24
bsinα = asinβ.
Poiché α e β non sono angoli nulli, risulta sinα ≠ 0 e sinβ ≠ 0. Pertanto,
dividendo ambo i membri della precedente uguaglianza per sin α sin β ,
otteniamo
b
a
=
.
sin β sin α
Poiché la scelta dei vertici da cui tracciare
l'altezza è del tutto arbitraria, risulta
anche
b
c
a
c
=
,
=
.
sin β sin γ sin α sin γ
Come secondo caso consideriamo un
fig. 3.25
triangolo ottusangolo ABC (con α > 90°)
20
teorema dei seni
e operiamo come in precedenza (vedi figura 3.25), otteniamo ancora due
triangoli rettangoli CHA e CHB, retti in H, per i quali possiamo scrivere
hc = bsin(180° − α) = bsinα e hc = asinβ
e, quindi, ancora
bsinα = asinβ.
Arriviamo, dunque, allo stesso risultato precedente
b
a
=
.
sin β sin α
Se ora tracciamo l'altezza AK relativa al lato BC e procediamo come in
precedenza, otteniamo
b
c
=
sin β sin γ
e, quindi, tenendo conto della precedente uguaglianza, possiamo scrivere
a
b
c
=
=
.
sin α sin β sin γ
Osserviamo, infine, che, se α = 90° (cioè, il triangolo è rettangolo e a è la
misura dell'ipotenusa), dalla precedente catena di uguaglianze, otteniamo
a
b
c
=
=
1 sin β sin γ
o, equivalentemente
b = asinβ
e
c = asinγ,
cioè, le note relazioni del triangolo rettangolo. Possiamo, dunque,
concludere che il teorema dei seni è valido per qualsiasi triangolo.
OSSERVAZIONE. Come è noto dalla geometria piana, in un triangolo "a
lato maggiore è opposto angolo maggiore"; il teorema dei seni precisa in
modo quantitativo tale relazione.
Risulta quindi anche
sin α sin β sin γ
=
=
.
a
b
c
La risoluzione di un triangolo noti due angoli e un lato.
Se si conoscono le ampiezze di due angoli di un triangolo, si può
immediatamente determinare l'ampiezza del terzo angolo. Se si conosce
anche la lunghezza di uno dei lati, si può utilizzare il teorema dei seni per
determinare la lunghezza degli altri due lati, come mostra l'esempio seguente.
ESEMPIO 1. Risolvere il triangolo ABC, sapendo che α = 36°, β = 8° e
a = 8.
Dobbiamo determinare b, c e γ (vedi figura
3.26). Risulta
γ = 180° − (36° + 48°) = 96°.
Per il teorema dei seni si ha
a
b
a
c
=
=
e
;
sin α sin β
sin α sin γ
fig. 3.26
cioè
8
b
8
c
=
e
=
.
sin 36° sin 48°
sin 36° sin 96°
Da cui si ottiene
8 sin 48°
8 sin 96°
b=
e c=
,
sin 36°
sin 36°
cioè, a meno di un centesimo
b ≅ 10.11 e c ≅ 13.54.
Si noti che il metodo impiegato nell'esempio 1 è valido comunque vengano
date le ampiezze dei due angoli (purché la loro somma sia minore di 180°) e
21
risoluzione di un
triangolo, noti un lato e
due angoli
la lunghezza del lato. In altre parole: due angoli e un lato determinano
univocamente un triangolo. [Questo risultato è, ovviamente, in accordo con
un ben noto criterio di congruenza dei triangoli.]
La risoluzione di un triangolo, noti due lati e un angolo
Il prossimo esempio è simile all'esempio 1, con la differenza che ora si
conoscono le misure di due lati e l'ampiezza di un angolo.
ESEMPIO 2. Risolvere il triangolo ABC, sapendo che β = 30°, a = 6 e b = 7.
Consideriamo la figura 3.27
Come abbiamo visto nell'esempio
1, se si deve determinare la
lunghezza di un lato applicando il
teorema dei seni, occorre conoscere
l'ampiezza dell'angolo opposto.
Quindi, prima di determinare c,
fig. 3.27
occorre conoscere γ.
Poiché α + β + γ = 180°, γ si può determinare una volta che si conosca α.
Sfruttiamo dunque il teorema dei seni per determinare α (poiché in questo
caso dobbiamo determinare l'ampezza di un angolo, usiamo il teorema dei
sin α sin β sin γ
=
=
). Risulta
seni nella forma
a
b
c
sin α sin 30°
=
6
7
e quindi
6 sin 30° 3
sin α =
= .
7
7
Esistono due valori di α nell'intervallo 0° < α < 180° che soddisfano
3
3
l'uguaglianza sin α = ; cioè (a meno di un centesimo) α = sin−1 ≅ 25. 38o
7
7
e α ≅ 180° − 25.38° = 154.62°. Tuttavia, se α = 154.62°, allora α + β =
184.62°, il che è impossibile. Pertanto
α = 25.38° e γ = 180° − (25.38° + 30°) = 124.62°.
Utilizziamo ancora il teorema dei seni per determinare c. Risulta
sin β sin γ
=
;
b
c
cioè
7
c
=
,
sin 30° sin 124. 62°
da cui
7 sin 124. 62°
c=
≅ 11.52 .
sin 30°
L'esempio 2 mette in evidenza due aspetti importanti. Prima di tutto
osserviamo che si è potuto applicare il teorema dei seni in quanto l'angolo
dato era opposto a uno dei lati conosciuti; se l'angolo fosse stato quello
compreso (tra i due lati di lunghezza data), allora il teorema dei seni non si
sarebbe potuto applicare.
Secondariamente, il fatto di aver ottenuto un unico triangolo è legato ai dati
forniti nell'esempio, cioè β = 30°, a = 6 e b = 7. In generale, quando, di un
triangolo, si conoscono due lati e un angolo non compreso (tra i due lati) si
22
risoluzione di un
triangolo, noti due lati
e un angolo
possono presentare diverse eventualità. La figura 3.28 illustra le diverse
possibilità.
fig. 3.28
Caso 1. Se il lato che misura a è "troppo corto", cioè a < bsinα, non si può
formare alcun triangolo.
Caso 2. Se il lato che misura a coincide con l'altezza relativa al lato AB, cioè
a = bsinα, allora si forma un triangolo rettangolo.
Caso 3. Se risulta bsinα < a < b, allora sono possibili due triangoli.
Caso 4. Se a ≥ b, si forma un solo triangolo.
ESEMPIO 3. In un triangolo ABC si ha α = 30° e b = 6. Risolvere il
triangolo nei seguenti casi: (1) a = 2; (2) a = 3; (3) a = 5; (4) a = 7.
(1) Poiché a = 2 < 6sin30° = bsinα, non esiste alcun triangolo che soddisfa i
dati del problema. Se si applica il teorema dei seni senza esaminare i dati
del problema, si ottiene
sin β sin 30°
=
,
6
2
da cui si ricava
3
sin β = .
2
Poiché non esiste alcun angolo il cui seno sia maggiore di 1, si deduce
che in questo caso il problema non ha soluzione.
(2) Poiché a = 3 = 6sin30° = bsinα, si forma un unico triangolo rettangolo
[se si applica il teorema dei seni si ottiene sinβ = 1]. Quindi β = 90° e γ =
90° − 30° = 60°. Infine, applicando il teorema di Pitagora, si ottiene
c = 62 − 32 = 36 − 9 = 3 3 .
(3) Poiché a = 5 e 6sin30° < 5 < 6 = b, si possono formare due triangoli.
Applicando una prima volta il teorema dei seni otteniamo
sin β sin 30°
=
,
6
5
da cui
6 sin 30° 3
sin β =
= .
5
5
3
I due angoli che soddisfano questa relazione sono β = sin −1   ≅ 36.87°
5
e β ≅ 180° − 36.87° = 143.13°.
Se β ≅ 36.87°, allora γ ≅ 180° − (36.87° + 30°) = 113.13° e c si può
determinare applicando nuovamente il teorema dei seni.
c
5
=
,
sin 113.13° sin 30°
da cui
5 sin113.13°
c=
≅ 9. 20 .
sin 30°
23
Una soluzione è, quindi, β = 36.87°, γ = 113.13° e c = 9.20 (vedi figura
3.29).
fig 3.29
fig. 3.30
Se β = 143.13°, allora γ = 180° − (143.13° + 30°) = 6.87° e per c risulta
c
5
=
,
sin 6.87° sin 30°
da cui
5 sin 6. 87°
c=
≅ 1. 20 .
sin 30°
La seconda soluzione è dunque β = 143.13°, γ = 6.87° e c = 1.20 (vedi
figura 3.30).
(4) Poiché a = 7 > 6 = b, si forma un unico triangolo. Applicando una prima
volta il teorema dei seni otteniamo
sin β sin 30°
=
,
6
7
da cui
6 sin 30° 3
sin β =
= .
7
7
Poiché b < a, deve essere β < α, quindi β < 30°; segue che
3
β = sin −1   ≅ 25.38° . Quindi γ ≅ 180° − (30° + 25.38°) = 124.62° e,
7
sempre per il teorema dei seni
c
7
=
,
sin 124. 62° sin 30°
da cui
7 sin124.62°
c=
≅ 11. 52 .
sin 30°
Nell'esempio 3 l'angolo α era acuto. Che cosa succede se α è un angolo
ottuso? Cominciamo con l'osservare che
dev'essere necessariamente a > b, in
quanto, essendo ovviamente α l'angolo
maggiore, a è la misura del lato maggiore.
Se la condizione a > b non è soddisfatta,
non si può formare alcun triangolo; se la
condizione è verificata, allora, come mostra
fig. 3.31
la figura 3.31, si forma un solo triangolo.
ESERCIZI:
A. Risolvere (utilizzando, se necessario, la calcolatrice) il triangolo ABC nei seguenti casi:
•
α = 30°,
β = 45°, c = 10 dm;
•
α = 60°,
β = 45°, a = 15 dm;
•
α = 50°,
β = 30°, b = 20 dm;
24
•
•
•
•
•
•
•
α = 30°,
α = 30°,
α = 60°,
β = 60°,
β = 70°,
α = 60°,
β = 70°,
γ = 65°,
γ = 120°,
γ = 80°,
γ = 40°,
γ = 40°,
β = 15°,
γ = 30°,
c = 10 dm;
a = 10 cm;
b = 10 dm;
a = 2 dm;
b = 3 dm;
a = 12 dm;
c = 50 m.
B. Risolvere, se possibile, il triangolo ABC (utilizzando, se necessario, la calcolatrice), esplicitando i casi
in cui il triangolo richiesto non esiste o non è univocamente determinato:
•
a = 5 cm, b = 10 cm,
α = 30°;
•
a = 10 dm, b = 5 dm,
β = 45°;
•
a = 2 cm, b = 10 cm,
α = 30°;
•
a = 10 dm, b = 10 2 dm, β = 45°;
•
a = 7 cm, b = 10 cm,
α = 30°;
•
a = 12 cm, b = 12 3 cm, β = 60°;
•
a = 12 cm, b = 10 cm,
α = 30°;
•
a = 10 cm, b = 9 cm,
β = 60°;
•
a = 10 dm, b = 15 dm,
β = 70°;
•
b = 5dm, c = 10 dm,
γ = 30°;
•
a = 15 dm, c = 10 dm,
α = 60°;
•
c = 3 dm, b = 10 dm,
γ = 30°;
•
c = 7 dm, b = 10 dm,
γ = 30°;
•
c = 5 dm, b = 10dm,
γ = 30°.
C. Per misurare l'altezza h di una torre due osservatori A e B, distanti fra loro d ed allineati con la base
della torre, misurano le ampiezze α e β degli angoli di elevazione della torre. Quale relazione lega h, d, α
e β (sia nel caso in cui A e B siano dalla stessa parte che da parti opposte rispetto alla torre)?
D. Una torre pende verso sud di un angolo θ: spostandosi verso nord due osservatori, in due punti A e B,
le cui distanze dal piede della torre sono rispettivamente a e b, misurano le ampiezze α e β degli angoli
d'elevazione sotto cui vedono la cima della torre. Determinare come sono legate l'altezza della torre e la
sua inclinazione θ alle grandezze note.
E. In un parallelogrammo le diagonali sono lunghe 20 dm e 50 dm. Uno degli angoli da esse formato è di
45°. Trovare il perimetro del parallelogrammo.
F. Dimostrare che in un triangolo ABC, di lati a, b, e c ed angoli α, β e γ la distanza di A dall'ortocentro è
c sin( 90°° − α )
.
data da
sin(α + β )
G. Sia γ una circonferenza di centro C e raggio r = 40 cm. Sia γ' una circonferenza di centro C', con C'∈γ
e raggio 10 cm. Siano P1 e P2 i due punti di intersezione di γ e di γ'. Trovare l'ampiezza di
C '
PC
= C '
P2C .
1
H. Calcolare la larghezza di un fiume sapendo che da due punti A e B distanti tra loro 15 m due
osservatori vedono un punto C, situato sull'altra sponda, alla loro destra e sotto gli angoli α = 70° e β =
45° (rispetto alla sponda).
I. Una nave, situata in una posizione D, si sta dirigendo verso nord ed osserva due fari posti ad est (in
posizione A e B). Dopo 1 ora di navigazione la nave si trova in C ed i due fari sono l'uno a sud-est
= 45° ) e l'altro a sud-sud-est ( BCD
= 45°) rispetto alla nave. Se A e B distano 8 km tra loro, a che
( ACD
2
velocità si sta muovendo la nave?
Il teorema della corda
a
b
c
,
,
sono uguali. Il valore
sin α sin β sin γ
numerico di questi rapporti ha un significato geometrico? La risposta è
affermativa: tale rapporto rappresenta la lunghezza del diametro della
circonferenza circoscritta al triangolo. Per dimostrarlo indichiamo con O il
In un dato triangolo i tre rapporti
25
centro della circonferenza circoscritta al triangolo ABC e con r il relativo
raggio. Possono presentarsi tre casi, a seconda che il triangolo ABC sia
acutangolo, rettangolo o ottusangolo (fig 3.32 i, ii, iii).
fig 3.32 i
fig 3.32 ii
fig 3.32 iii
D
al vertice A del triangolo, mandiamo il diametro AD. Il triangolo ADB è
rettangolo in D, in quanto iscritto in una semicirconferenza. Inoltre
∧
∧
ACB = ADB = γ , perché sono angoli che insistono sulla stessa corda AB.
Pertanto per il triangolo ABD risulta
c = 2rsinγ,
cioè
c
= 2r .
sin γ
Risulta quindi
a
b
c
=
=
= 2r
sin α sin β sin γ
Conseguenza immediata di questa catena di uguaglianze è il seguente
teorema, noto col nome di teorema della corda.
TEOREMA. La misura della corda di una circonferenza è data dal
prodotto della misura del diametro per il seno di un qualunque angolo
alla circonferenza che insiste sulla corda stessa.
Dimostrazione. Sia AB una corda di una circonferenza di centro O e raggio
r. Indichiamo con C un punto qualunque della circonferenza.
Applicando la precedente relazione al triangolo ABC, possiamo scrivere
c
= 2r ,
sin γ
da cui segue immediatamente
c = 2rsinγ.
ESEMPIO 4. Dato il triangolo ABC, siano noti gli angoli α = 40°, β = 30° e
il lato di misura b = 10. Calcolare il perimetro del triangolo e il raggio della
circonferenza circoscritta.
Sapendo che γ = 180° − (40° + 30°) = 110°, per il teorema dei seni possiamo
scrivere
c
b
=
,
sin γ sin β
cioè
c
10
=
,
sin 110° sin 30°
da cui
26
teorema della
corda
10 sin 110°
≅ 18. 79 .
sin 30°
Sempre per il teorema dei seni possiamo scrivere
a
b
=
,
sin α sin β
cioè
a
10
=
,
sin 40° sin 30°
da cui
10 sin 40°
a=
≅ 12.86 .
sin 30°
c=
Pertanto, indicato con p il perimetro, risulta
p = a + b + c ≅ 12.86 + 18.79 + 10 = 41.65.
Per calcolare il raggio della circonferenza circoscritta applichiamo il
teorema della corda
b = 2rsinβ,
da cui
b
10
r=
=
= 10 .
2 sin β 2 sin 30°
ESERCIZI:
A. Calcolare il perimetro del triangolo ABC, qualora esso sia determinato, ed il raggio della circonferenza
circoscritta in ciascuno dei seguenti casi:
•
a = 5 cm,
α = 60°,
β = 45°;
•
b = 20 dm,
α = 65°,
β = 30°;
•
c = 15 cm,
α = 65°,
β = 30°;
•
β = 80°,
γ = 60°,
a = 10 cm;
•
β = 70°,
γ = 35°,
b = 20 dm;
•
β = 15°,
γ = 100°,
c = 7 dm;
•
a = 10 cm,
b = 10 dm,
α = 30°;
•
a = 5 dm,
b = 10 dm,
α = 30°;
•
a = 0.7 dm,
b = 10 cm,
α = 30°;
•
a = 7 cm,
b = 7 cm,
α = 30°;
•
a = 10 dm,
b = 9 dm,
α = 60°;
•
a = 50 mm, β = 30°,
γ = 45°.
B. Determinare l'ampiezza dell'angolo al centro di una circonferenza, a cui corrisponde una corda pari a
2
del raggio.
5
C. Determinare la lunghezza della corda che in una circonferenza di raggio r = 12 cm corrisponde ad un
angolo al centro di ampiezza 62°50'.
D. Trovare la lunghezza dell'arco che sottende una corda di 15 cm corrispondente ad un angolo al centro
di ampiezza 70°.
E. Trovare la lunghezza di una corda sottesa da un arco lungo 4 cm in una circonferenza il cui raggio
misura 10 cm.
F. Gli archi sottesi dai lati di un quadrilatero inscritto in una circonferenza di raggio 10 dm stanno fra
loro come 1, 3, 2, 4. Trovare il perimetro del quadrilatero.
27
Divagazione. Il raggio della circonferenza inscritta in un
triangolo.
Abbiamo visto che il diametro della circonferenza circoscritta a un triangolo è uguale rapporto tra
la lunghezza di un lato e il seno dell'angolo opposto ad esso; è possibile determinare una relazione
analoga anche per il raggio della circonferenza inscritta? Ricordiamo che la circonferenza inscritta
in un triangolo è la circonferenza che risulta tangente a ciascun lato, e che il centro di tale
circonferenza (detto incentro del triangolo) è il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli del
triangolo (questo perché la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati
dell'angolo stesso).
TEOREMA. La lunghezza del raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo è uguale al
rapporto tra l'area A del triangolo e il suo semiperimetro s:
A
r=
.
s
Dimostrazione. Sia I l'incentro del triangolo ABC,
H, K, L le proiezioni di I sui lati.
L'area del triangolo ABC è uguale alla somma
delle aree dei triangoli AIB, BIC, CIA; poiché i
segmenti IH, IK, IL sono perpendicolari
rispettivamente ai segmenti BC, CA, AB, ciascuno
di tali triangoli ha per base un lato del triangolo
ABC, e per altezza il raggio della circonferenza
fig. 3.33 inscritta:
1
1
1
A=
AB ·r + BC ·r + CA ·r =
2
2
2
1
( AB + BC + CA )·r = sr,
2
da cui la tesi.
Il teorema del coseno
Come abbiamo visto precedentemente, si può utilizzare il teorema dei seni
per determinare gli elementi incogniti di un triangolo se si conoscono le
ampiezze di due angoli e la misura di un lato o se si conoscono le misure di
due lati e l'ampiezza di uno degli angoli non inclusi (tra i due lati). Tuttavia,
se sono noti due lati e l'angolo compreso, l'applicazione del teorema dei seni
non porta alla soluzione. Per determinare la misura del lato opposto si
applica, invece, il teorema seguente, noto col nome di teorema del coseno.
TEOREMA (del coseno). In ogni triangolo risulta
a2 = b2 + c2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Dimostrazione. Consideriamo un triangolo
acutangolo ABC e conduciamo dal vertice C
l'altezza CH relativa al lato AB (fig.3.34).
Tale altezza CH determina due triangoli
rettangoli CHA e CHB, retti in H.
Tenendo presenti le relazioni che intercorrono tra
28
teorema del
coseno
fig. 3.34
gli elementi di un triangolo rettangolo, possiamo scrivere
CH = b sin α
e
AH = b cos α
quindi HB = c − bcos α.
Quindi, applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB, possiamo
determinare CB = a . Risulta
2
2
2
CB = CH + HB
cioè
a 2 = b2 sin2 α + ( c − b cos α )2
= b2 sin2 α + c2 − 2bc cos α + b2 cos2 α
= b2 (sin2 α + cos2 α ) + c2 − 2bc cos α.
Poiché sin2α + cos2α = 1, otteniamo infine
a2 = b2 + c2 − 2bccosα.
Se consideriamo, invece, un triangolo
ottusangolo ABC (con α > 90°) e operiamo
come in precedenza (fig. 3.35), otteniamo
ancora due triangoli rettangoli CHA e CHB,
retti in H, per i quali possiamo scrivere
CH = b sin(180° − α ) = b sin α
e
fig 3.35
AH = b cos(180° − α ) = − b cos α ,
da cui
HB = AB + HA = c − b cosα
come per il triangolo acutangolo. Arriviamo dunque, anche in questo caso,
alla relazione
a2 = b2 + c2 − 2bccosα.
Infine, se α = 90°, la precedente uguaglianza si riduce a
a2 = b2 + c2,
cioè al teorema di Pitagora. Possiamo dunque concludere che, per ogni
triangolo, risulta
a 2 = b2 + c2 − 2bc cosα
Permutando ciclicamemte le lettere secondo lo schema seguente
si ottengono le altre due relazioni
b2 = a 2 + c2 − 2ac cos β
c2 = a 2 + b2 − 2ab cos γ
OSSERVAZIONE. Il teorema del coseno è
conosciuto anche come teorema di Carnot, dal
nome del matematico francese Lazare Carnot
(1753-1823). In verità, in una forma
equivalente a quella attuale, tale teorema fu
dimostrato già da Euclide (III secolo a.C.).
OSSERVAZIONE. Il teorema del coseno è
chiamato anche teorema di Pitagora
generalizzato: esso afferma che il quadrato
costruito su un lato (a) di un triangolo
qualunque è equivalente alla somma dei
29
fig. 3.36
quadrati costruiti sugli altri due lati (b e c), diminuita del doppio del
rettangolo avente per dimensioni c e bcosα (cioè la"proiezione di b su c")
[questa è la forma in cui il teorema venne dimostrato da Euclide]. Inoltre,
come abbiamo già visto, se α = 90° la relazione a2 = b2 + c2 − 2bccosα si
riduce al teorema di Pitagora. (fig. 3.36)
OSSERVAZIONE. Le formule che traducono il teorema del coseno
consentono di trovare un lato (o, meglio, il suo quadrato) in funzione degli
altri due lati e dell'angolo tra essi compreso. Le stesse formule consentono
di determinare il coseno di un angolo in funzione delle lunghezze dei tre
lati:
b 2 + c2 − a 2
a 2 + c2 − b 2
a 2 + b 2 − c2
cos α =
,
cos β =
,
cos γ =
2bc
2 ac
2 ab
Divagazione. Il Teorema di Pitagora generalizzato.
Il teorema del coseno, enunciato in forma trigonometrica da Lazare Carnot, era già stato dimostrato,
in forma geometrica, da Euclide nel III secolo a. C., nelle proposizioni 12 e 13 del libro II degli
Elementi.(edizione a cura di A.Frajese)
PROPOSIZIONE 12. Nei triangoli ottusangoli il quadrato del lato opposto all'angolo ottuso è
maggiore, rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti
l'angolo ottuso, del doppio del rettangolo compreso da uno dei lati che
contengono l'angolo ottuso (in figura AC) e dalla proiezione dell'altro su
di esso (DA).
Come mostra la figura 3.37 , poiché
DA = c·cos(180°−α) = −c·cosα
figura 3.37
l'enunciato della proposizione euclidea coincide con l'enunciato del
teorema del coseno: a2 = b2+c2−2bccosα.
PROPOSIZIONE 13. Nei triangoli acutangoli il quadrato del lato opposto all'angolo acuto è minore,
rispetto alla somma dei quadrati dei lati comprendenti l'angolo acuto, del doppio del rettangolo
compreso da uno dei lati che contengono l'angolo acuto (in figura AC) e
dalla proiezione dell'altro su di esso (AD).
Anche in questo caso (fig. 3.38), poiché
AD = b·cosα
l'enunciato della proposizione euclidea coincide con l'enunciato del
teorema del coseno:
a2 = b2+c2−2bccosα.
La dimostrazione di Euclide è del tutto analoga, anche se in forma
fig. 3.38
geometrica, a quella riportata.
La risoluzione di un triangolo, noti due lati e l'angolo compreso
Se di un triangolo si conoscono due lati e l'angolo compreso allora, come
assicura uno dei criteri di congruenza dei triangoli, il triangolo è
univocamente determinato. Il prossimo esempio mostra come si può utilizzare
il teorema del coseno per determinare gli elementi mancanti.
ESEMPIO 4. Risolvere il triangolo ABC sapendo che a = 4, b = 7 e γ = 42°.
Utilizziamo innanzi tutto il teorema del coseno per determinare la misura
del terzo lato:
30
risoluzione di un
triangolo, noti due lati
e l'angolo compreso
c2 = a 2 + b2 − 2bc cos γ
c2 = 42 + 72 − 2 ⋅ 4 ⋅ 7 cos 42°
c2 ≅ 23. 383890
c ≅ 4.8357.
Possiamo utilizzare sia il teorema dei seni che il teorema del coseno per
determinare α. Nel primo caso otteniamo
sin α sin γ
=
a
c
sin α sin 42°
=
4
4. 8357
4 sin 42°
sin α =
4. 8357
4
sin
42
°


Quindi α = sin −1 
 ≅ 33.61° o α≅ 180° −33.61°=146.39°. Questo
 4.8357 
ultimo valore non è accettabile per il nostro problema, in quanto non è
compatibile con i dati iniziali. Si ricavano quindi β = 104.39°, c = 4.84.
Applicando invece il teorema del coseno si ottiene
b2 + c2 − a 2 72 + 23. 3839 − 42
cos α =
≅
≅ 0. 83285
2bc
2 ⋅ 7 ⋅ 4. 8357
da cui α ≅ 33.61°.
In questo caso si trova un solo valore di α poiché la funzione
cos
[0°,180°] 
→ [-1,1]
è biunivoca.
ESEMPIO 5. Risolvere il triangolo ABC sapendo che a = 20, b = 8 e γ =
50°.
Applicando il teorema del coseno si trova c ≅ 16.07. Per il teorema dei seni
a sin γ
≅ 0. 9533.
risulta sin α =
c
La calcolatrice ci fornisce per α il valore (approssimato alla seconda cifra
decimale) 72.41°, da cui segue β = 180° − (α + γ) ≅ 57.59°.
Questo risultato è incompatibile coi dati iniziali in quanto, essendo c > b,
non può essere γ < β. Il risultato corretto è, invece, α ≅ 180° − 72.41° =
107.59° e, di conseguenza, β ≅ 22.41°.
OSSERVAZIONE. L'esempio precedente mette in evidenza, ancora una
volta, la necessità di sottoporre a un'analisi critica i risultati ottenuti con una
calcolatrice, che, per la funzione sin-1 fornisce solo un angolo acuto.
Utilizzando invece il teorema del coseno non si hanno ambiguità:
b 2 + c2 − a 2
cos α =
≅ −0. 302 a
2bc
da cui α ≅ 107.6°.
La risoluzione di un triangolo, noti tre lati
Supponiamo che di un triangolo siano note le misure dei lati. Se ognuna di
queste misure è inferiore alla somma delle altre due, allora, sempre per un
criterio di congruenza dei triangoli, è costruibile un solo triangolo.
In questo caso si può utilizzare il teorema del coseno per determinare le
ampiezze degli angoli.
31
risoluzione di un
triangolo, noti i tre lati
ESEMPIO 6. Risolvere il triangolo ABC, sapendo che a = 11, b = 19 e c =
23
Applichiamo innanzi tutto il teorema del coseno per determinare l'angolo α.
b 2 + c2 − a 2
cos α =
2bc
2
19 + 232 − 112
cos α =
2 ⋅ 19 ⋅ 23
cos α ≅ 0.87986.
da cui α 28.37°. Utilizzando sempre il teorema del coseno possiamo
determinare β.
a 2 + c2 − b 2
cos β =
2ac
2
11 + 232 − 192
cos β =
2 ⋅ 11⋅ 23
cos β ≅ 0.57115.
Da cui β ≅ 55.17° e, di conseguenza, γ = 180° − (α + β) ≅ 96.46°.
Se le misure dei lati non soddisfacessero le disuguaglianze
a < b + c, b < a + c, c < a + b,
si otterrebbero dei risultati impossibili.
Supponiamo, ad esempio, di avere a = 11, b = 19 e c = 31. Dal teorema del
coseno si otterrebbe cosα ≅ 1.01952, risultato chiaramente assurdo in
quanto il coseno assume solo valori compresi tra −1 e 1.
ESEMPIO 7. Prendiamo in esame un problema che abbiamo già risolto:
determinare la diagonale di un parallelogrammo OPQR di cui siano noti due
lati (OP e PQ rispettivamente di 8 cm e 5 cm) e l'angolo tra essi compreso
(60°)
Consideriamo innanzi tutto il triangolo OPQ. Per tale triangolo risulta
∧
OP = 8 e OPQ = 120°; pertanto, per il teorema del coseno, si ha
2
2
OQ = OP + PQ − 2OP ⋅ PQ cos 120°
 1
= 8 2 + 5 2 − 2 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅  −  = 129
 2
∧
Indicato ora con α l'angolo QOP , per il teorema dei seni risulta
sin α sin 120°
=
,
PQ
OQ
cioè
3
5⋅
2 ≅ 0. 3812464 ,
sin α =
129
da cui α ≅ 22.41°.
La risoluzione di un triangolo, noti tre angoli
Se di un triangolo sono noti solo gli angoli allora, come mostra anche la figura
3.39, esistono infiniti triangoli, tra loro simili, aventi gli angoli dati.
32
risoluzione di un
triangolo, noti i tre
angoli
Tenendo presente il teorema dei seni,
possiamo scrivere le misure degli infiniti
lati possibili nella forma:
a = ksinα, b = ksinβ, c = ksinγ,
con k ∈ R+ [ricordiamo che, da un punto
di vista geometrico, k rappresenta la
misura del diametro della circonferenza
circoscritta].
fig. 3.39
ESEMPIO 7. Risolvere il triangolo ABC sapendo che β = 30°, γ = 45° e che
il perimetro misura 30.
Risulta chiaramente α = 180° − (30° + 45°) = 105°. Inoltre, indicato con p il
perimetro, possiamo scrivere
p = a + b + c = k(sinα + sinβ + sinγ)
e quindi
p
k=
sin α + sin β + sin γ
30
=
≅ 13.8056.
sin 30° + sin 45° + sin 105°
Pertanto per le misure dei tre lati abbiamo
a ≅ 13.8056⋅sin30° ≅ 6.90 , b ≅ 13.8056⋅sin45° ≅ 9.76, c ≅ 13.8056⋅sin105°
≅ 13.34 .
ESERCIZI:
A. Risolvere, se possibile, il triangolo ABC nei seguenti casi:
•
a = 5 dm, b = 10 dm,
γ = 45°;
•
a = 6 cm, c = 10 cm,
β = 60°;
•
b = 10 cm, c = 15 cm,
α = 75°;
•
a = 10 dm, b = 7 dm,
γ = 70°;
•
a = 20 cm, c = 18 cm,
β = 62°;
•
b = 12 cm, c = 15 cm,
α = 80°;
•
a = 7 dm, b = 5 dm,
c = 10 dm;
•
a = 12 cm, b = 120 mm, c = 10 cm;
•
a = 7 cm, b = 5 cm,
c = 13 cm;
•
a = 8 dm, b = 6 dm, c = 10 dm;
•
a = 20 dm, b = 15 dm,
c = 10 dm;
•
a = 12 dm, b = 17 dm, γ = 45°.
B. Risolvere il triangolo ABC nei seguenti casi, ove con p venga indicato il perimetro di ABC:
•
α = 70°,
β = 90°, p = 12 dm;
•
α = 20°, β = 80°, p = 10 dm;
•
α = 30°,
β = 45°, p = 18 dm;
•
α = 50°, β = 45°, p = 120 cm.
C. Un aereo, in posizione E, è visto da tre osservatori allineati A, B e C, non allineati con la
proiezione al suolo dell'aereo, sotto tre angoli di elevazione α, β e δ. Essendo A e B distanti a e B e
C distanti b, a che altezza h viaggia l'aereo?
D. Due punti A e B sono visti da due osservatori C e D distanti fra loro 100 m e posti sullo stesso
=
= 15°, BCD
= 30°, ADC
piano di A e B. Determinare la distanza di A da B sapendo che : ABC
= 60°.
45°, ABD
33
E. Un osservatore si trova ad ovest di una torre e vede la punta di quest'ultima sotto un angolo di
elevazione di ampiezza α. A sud rispetto al primo osservatore, a distanza b da esso un secondo
osservatore vede la torre sotto un angolo di elevazione di ampiezza β. Determinare l'altezza h della
torre e la distanza del piede della torre dai due luoghi di osservazione.
L'AREA DEL TRIANGOLO. FORMULA DI ERONE
La conoscenza di due lati di un triangolo e dell'angolo compreso, oltre a
consentire, tramite il teorema del coseno, la
determinazione diretta del terzo lato, permette anche il
calcolo immediato dell'area del triangolo. Vale
precisamente il seguente teorema.
Dimostrazione. Consideriamo dapprima un triangolo
acutangolo ABC e conduciamo dal vertice C l'altezza
CH relativa al lato AB (fig. 3.40).
fig. 3.40
TEOREMA. L'area A di un triangolo vale
1
1
1
A = bcsinα = acsinβ = absinγ.
2
2
2
Risulta
CH = b sin α
da cui
1
1
AB ⋅ CH = bc sin α .
2
2
Quest'ultima relazione resta valida anche se consideriamo un triangolo
ottusangolo ABC (con α > 90°). Infatti essendo (fig. 3.41) in questo caso
CH = b sin(180° − α ) = b sin α,
l'area risulta ancora
1
A = bcsin α.
2
Osserviamo, infine, che se α = 90°, la
precedente uguaglianza si riduce alla nota
fig. 3.41
relazione
1
A = bc,
2
che afferma che l'area di un triangolo rettangolo è data dal semiprodotto
delle misure dei suoi cateti. Possiamo dunque concludere che per ogni
triangolo risulta
1
1
1
A = bc sin α
A = acsinβ
e A = absin γ .
2
2
2
A=
Le altre due relazioni si dimostrano in modo analogo.
ESEMPIO 8. Determinare l'area del triangolo ABC, sapendo che a = 8, b = 5
e γ = 52°.
Per il teorema precedente, l'area è data da
1
1
A = ab sin γ = 8 ⋅ 5 sin 52° ≅ 15.76.
2
2
Quindi l'area vale 15.76.
34
l'area di un
triangolo
Dal teorema del coseno e dalla formula dell'area del triangolo appena
dimostrata si deduce un'importante relazione, nota col nome di formula di
Erone (I secolo d.C.), che permette di calcolare l'area di un triangolo se si
conoscono le misure dei suoi lati. Precisamente
TEOREMA (formula di Erone). L'area A di un triangolo qualsiasi ABC è data da
A = s ( s − a)( s − b)( s − c) ,
1
dove s = ( a + b + c) rappresenta il semiperimetro.
2
la formula di Erone
Dimostrazione. Dalla formula
A=
e dalla relazione
1
bc sin α
2
b 2 + c2 − a 2
2bc
dedotta dal teorema del coseno, si ottiene:
1
1
A = bc sin α = bc 1 − cos2 α
2
2
cosα =
(
)
2
(
)(
)
)
2
1
b2 + c2 − a2
1
4b 2 c 2 − b 2 + c 2 − a 2
= bc 1 −
= bc
2
2
4b 2 c 2
4b 2 c 2
1
=
2bc + b 2 + c 2 − a 2 2bc − b 2 − c 2 + a 2
4
1
(b + c) 2 − a 2 a 2 − (b − c) 2
=
4
1
=
(a + b + c)(b + c − a)(a + b − c)(a − b + c)
4
Introducendo il semiperimetro s, risulta
a + b + c = 2s
e anche
b + c − a = 2s − 2a = 2(s − a) a + b − c = 2(s − c) a − b + c = 2(s − b).
Sostituendo nell'ultima relazione e semplificando, otteniamo infine
A = s( s − a )( s − b)( s − c)
(
[
][
]
ESEMPIO 9. Determinare l'area del triangolo ABC sapendo che a = 9, b = 7
e c = 5.
1
Determiniamo prima di tutto il semiperimetro s = (a + b + c) = 10.5.
2
Calcoliamo poi l'area applicando la formula di Erone:
A = s( s − a )( s − b )( s − c)
= 10. 5 ⋅ 1. 5 ⋅ 3. 5 ⋅ 5. 5 ≅ 17. 41.
ESERCIZI:
A. Determinare l'area del triangolo ABC di cui sia noto:
•
a = 5 dm,
b = 12 dm,
γ = 70°;
•
•
a = 20 dm,
c = 18 dm,
β = 60°;
•
•
a = 10 dm,
b = 7 dm,
c = 5 dm;
•
•
a = 2 dm,
b = 1 dm,
c = 2 dm;
•
35
b = 15 cm,
a = 24 dm,
a = 12 dm,
a = 4 dm,
c = 10 cm,
b = 18 dm,
b = 3 dm,
b = 8 dm,
α = 45°;
c = 20 dm;
c = 10 dm;
c = 5 dm;
Per ciascuno dei triangoli determinare inoltre il raggio R del cerchio circoscritto ed il raggio r del cerchio
inscritto.
B. Risolvere, se possibile, i seguenti triangoli e determinarne l'area:
•
c = 15 dm,
γ = 90°,
α = 35°;
•
c = 4 dm,
•
a = 25 cm,
γ = 90°,
b= 12 cm;
•
a = 12 dm,
•
α = 36°,
β = 45°,
a = 5 dm;
•
a = 6 dm,
•
a = 10 cm,
β = 73°,
α = 17°;
•
α = 60 °,
•
a = 4 dm,
b = 7 dm,
γ = 50°;
•
a = 10 cm,
•
c = 15 cm,
b = 10 cm,
γ = 90°;
•
b = 10 dm,
•
a = 5 cm,
b = 8 cm,
c = 4 cm;
•
β = 40°,
•
a = 10 cm,
b = 8 cm,
β = 45°;
•
a = 6 cm,
•
γ = 62°,
α = 60°,
c = 12 dm;
•
β = 65°,
•
a = 11 cm,
b = 12 cm,
α = 60°;
•
a = 10 cm,
b = 2 dm,
b = 10 dm,
b = 7 dm,
β = 35 °,
b = 10 cm,
a = 5 dm,
γ = 50°,
b = 3 cm,
γ = 18°,
b = 12 cm,
a = 5 dm;
α = 30°;
c = 8 dm;
b = 12 dm;
c = 15 cm;
α = 30°;
b = 10 cm;
γ = 36°;
a = 2 dm;
γ = 35°.
ESERCIZI DI RICAPITOLAZIONE:
1.
Studiare le proprietà della relazione da A a B che ad x associa sinx, ove A e B siano i seguenti
insiemi:
• A={x ampiezza angolare: 0≤x≤360°};
B=;
• A={x ampiezza angolare: 0≤x<360°};
B=;
• A={x ampiezza angolare: 0≤x<360°};
B=[-1,1];
• A={x ampiezza angolare: 0≤x<360°};
B=(-1,1);
Determinare in quali dei precedenti casi si tratta di un'applicazione ed in tal caso di quali
proprietà gode.
2.
Convertire in notazione sessagesimale le seguenti ampiezze angolari:
•
30,56°;
•
60,32°;
•
45,5°;
•
120,24°;
•
98,5°;
•
24,76°.
3.
Considerare la circonferenza γ avente centro O coincidente con l'origine di un sistema di assi
cartesiani e raggio r. Ogni punto P su tale circonferenza determina un angolo α avente il primo
lato coincidente con l'asse delle ascisse ed il secondo lato coincidente con la retta OP. Legare le
coordinate di P alle funzioni trigonometriche di α.
4.
Completare la seguente tabella:
α
45° 15' 35"
120,45°
98° 10'
37,89°
220°
275°
199,45°
34°
288° 10' 14"
segno sinα
36
segno cosα segno tanα
5.
6.
7.
8.
9.
Costruire geometricamente l'angolo acuto α tale che sinα =
2
. Costruire poi l'angolo ottuso
2
con lo stesso seno.
Trovare seno e coseno di α, angolo in A di un triangolo isoscele ABC di base AB e tale che BC
= 2 AB .
2
10
Costruire gli angoli acuti la cui tangente sia: , 7 , , 3 .
3
7
1
3
Costruire gli angoli ottusi la cui tangente sia: − , − 3 , − 7 , − .
2
2
Completare la seguente tabella:
sinα
cosα
tanα
secα
cscα
cotα
α
0.75
2.5
0.3
120°
2
0.5
5
34°
180°
10. Che cosa si può dire di α se:
•
cosα>0, sinα>0;
•
cosα≥0;
•
cosα>0, sinα<0;
•
tanα>0, sinα>0;
•
tanα<0, sinα<0;
sinα>0;
sinα<0;
tanα>0;
tanα>0, sinα>0, cosα>0;
tanα≤0,sinα≥0,cosα≥0.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
cosα<0, sinα>0;
cosα<0, sinα≤0;
tanα<0;
tanα>0, sinα>0, cosα<0;
11. Dati gli insiemi di ampiezze angolari A={30°, 60°, 50°, 120°, 170°, 200°, 275°} e B={15°, 20°,
30°,170°, 185°, 200°} determinare:
•
il sottoinsieme di A tale che per ogni elemento α si abbia sinα < 0;
•
il sottoinsieme di B tale che per ogni elemento α si abbia cosα > 0;
•
il sottoinsieme di A tale che per ogni elemento α si abbia tanα ≤ 0;
•
il sottoinsieme di A∩B tale che per ogni elemento α si abbia sinα ≥ 0 e tanα > 0.
12. Sia H={x ampiezza angolare: cosx>0}, K={x ampiezza angolare: sinx>0}, R={x ampiezza
angolare: cosx<0}, S={x ampiezza angolare: sinx<0}.
Trovare la proprietà caratteristica di (H∩K)∪(R∩S).
13. Che cosa si può dire di un angolo α tale sinα=cosα?
=1
14. Considerare un trapezio ABCD rettangolo in B e con AB come base maggiore. Noto cos DAB
5
.
trovare il coseno di ADC
1
.
sen x
Quali condizioni bisogna porre su A e B perché risulti un'applicazione? Studiarne le proprietà,
esplicitandone l'immagine e trovare in quali insiemi risulta essere invertibile.
15. Considerare la relazione da A={x ampiezza angolare: 0≤x≤360°} a B= che ad x associa
37
1
.
cos x
16. Stabilire la relazione che intercorre fra α e β, noto che α≠β e sinα = sinβ.
Ripetere l'esercizio con la relazione che ad x associa
17. Determinare l'angolo α tale che tanα = - (tan 45°).
18. Studiare le proprietà della relazione da A a B che ad x associa tanx, ove A e B siano i seguenti
insiemi:
• A={x ampiezza angolare: 0≤x≤90°}; B={y∈: y≥0};
• A={x ampiezza angolare: 0≤x<90°}; B={y∈: y≥0}.
Determinare in quali dei precedenti casi si tratta di un'applicazione e di che proprietà gode,
specificando se è invertibile.
19. Calcolare, con l'aiuto della calcolatrice scientifica, le sei funzioni trigonometriche degli angoli
delle seguenti ampiezze:
•
35° 7' 12";
•
45° 15';
•
78° 30' 30";
•
85° 45";
•
172°;
•
235°.
20. Trovare, con l'aiuto della calcolatrice scientifica, un angolo di ampiezza α tale che:
2
• tanα = 2, sinα<0;
•
sinα = 0.5;
•
cosα = ;
3
3
•
sinα = ;
•
cotα = 0.5, sinα>0;
•
cosα = 0.7, sinα<0.
2
Determinare i precedenti angoli ha dato qualche problema? Esplicitare i casi in cui l'ampiezza
determinata non era l'unica a soddisfare le richieste poste.
21. Determinare le coordinate di un punto P che individui gli angoli con la seguente ampiezza:
•
α = 75°;
•
α = 30°;
•
α = 180°;
•
α = 120°
•
α = 270°;
•
α = 210°.
22. Dati i seguenti punti determinare i valori delle sei funzioni trigonometriche dell'angolo α da essi
individuato e calcolare l'ampiezza di α:
•
A≡(1,0);
•
B≡(-1,3);
•
C≡(-1,-3);
•
D≡(0,1);
•
E ≡(5, -2);
•
F≡(-2,6);
•
G≡(0,-4);
•
H≡(5,1);
•
I≡(-1,5);
•
L≡(0,-3).
23. Verificare che le seguenti eguaglianze sono delle identità, eventualmente precisando per quali
valori uno dei due membri non risulti definito.
cos α ⋅ tan α ⋅ cot 2 β
2
2
2
•
(1 + tan α)cos α = 1;
• sinαcos β =
;
1 + cot 2 β
•
cot2α(1 - cos2α) = (1 + tan2α)-1;
• cos4α-1 = sin2α(sin2α-2);
tan α
cos x
2
•
= tanα(1-sin2α);
•
+ (1 + sinx)cscx =
;
2
1 + tan α
1 + sin x
cos x
•
cot2α(1-cos2α) = 1-sin2α;
• sin2α(1+ cot2α) = cot2α(1 + tan2α)(1 - cos2α).
24. Esprimere le seguenti funzioni mediante sinα, esplicitando in quali casi è possibile una
rappresentazione senza ambiguità:
•
sinαtanαcosα;
•
secα;
1
•
cscα
;
•
cosαcotα;
1 − sen 2 α
38
25. Esprimere le seguenti funzioni mediante cosα, esplicitando in quali casi è possibile una
rappresentazione senza ambiguità:
•
sinαtanαcosα;
•
sin2α - cot2α;
•
sinαtanα;
•
cosα - sinα.
26. Determinare la distanza fra l'ortocentro H di un triangolo ABC noto ed il suo circocentro O.
27. Dimostrare che in ogni triangolo l'altezza divide l'angolo al vertice in due parti i cui coseni sono
proporzionali ai lati adiacenti.
28. Una mongolfiera sale verticalmente muovendosi di moto uniforme. Quando si trova ad altezza h
un osservatore misura un angolo d'elevazione di ampiezza β. Dopo 10 minuti lo stesso
osservatore rileva un angolo d'elevazione di ampiezza α . Determinare la velocità di salita della
mongolfiera.
29. Calcolare area e perimetro di un rettangolo le cui diagonali, che misurano 40 cm, formano tra
loro un angolo di 120°.
30. Calcolare le lunghezze delle mediane e delle bisettrici di un triangolo ABC di lati a, b, c.
31. Sia ABCD un trapezio con base maggiore AB e base minore CD. Noti AB = 20 cm, CD = 10
=30° calcolare AD .
cm, BC = 4 cm ed ABC
32. Siano noti due lati b e c di un triangolo ABC che risulti equivalente al triangolo equilatero
costruito su a, terzo lato di ABC. Impostare il sistema di due equazioni in due incognite che
porta alla determinazione di a e di α, angolo in A di ABC.
33. Dato, nel piano cartesiano, il triangolo di vertici A≡(2,0), B≡(5,-1), C≡(3,-2) calcolarne l'area e
risolverlo.
34. Dato un triangolo ABC la bisettrice dell'angolo interno in A incontra il lato BC in un punto H;
dimostrare che CH: HB = AC : AB .
35. Dimostrare la seguente identità precisando per quali valori {α1, α2, ..., αn} uno dei due membri
sin2 α
non risulta definito: (sin2α + cos2α) 2 = sin4α.
sec α
36. Studiare le proprietà della relazione da A a B che ad x associa cosx, ove A e B siano i seguenti
insiemi:
•
A={x ampiezza angolare: 0≤x≤360°}; B=R;
•
A={x ampiezza angolare: 0≤x<360°}; B=R;
•
A={x ampiezza angolare: 0≤x<360°}; B=[-1,1];
•
A={x ampiezza angolare: 0≤x<360°}; B=(-1,1);
Determinare in quali dei precedenti casi si tratta di un'applicazione ed in tal caso di quali
proprietà gode.
37. Un triangolo isoscele ABC di lato l=2 dm ha l'angolo adiacente alla base BC di ampiezza β;
determinare per quali valori di β la somma del raggio della circonferenza circoscritta ad ABC e
5
dell'altezza AH relativa alla base BC è pari a
3 dm.
3
39
38. E' dato un trapezio isoscele ABCD di base maggiore BC di cm 22, di base minore AD di cm 10,
5
ed il coseno dell'angolo in B è . Determinare il perimetro e l'area del trapezio, la diagonale AC
7
ed il coseno dell'angolo che AC forma con la base maggiore.
39. E' dato un triangolo ABC isoscele, sulla base BC, avente il lato AC=20 cm ed il coseno
7
. Determinare perimetro ed area del triangolo. Considerare
dell'angolo al vertice α uguale a
25
.
poi M, punto medio di AB, e determinare CM e sin MCA
40. Determinare l'ampiezza di α, angolo formato dalla diagonale AC di lunghezza 3 dm con il lato
AB di un rettangolo ABCD sapendo che l'area del rettangolo è 4.5 dm.
41. In un triangolo ABC, rettangolo in A, l'angolo in B è di 30°. Determinare, sull'altezza AH
2
2
2
relativa all'ipotenusa BC di lunghezza 2a, un punto P tale che sia CP + PB = 4 AC .
42. Nel parallelogrammo ABCD le diagonali AC e BD misurano rispettivamente 12dm e 4dm
mentre il lato AD misura 5 dm. Calcolare il coseno degli angoli formati dalle due diagonali, il
perimetro e l'area del parallelogrammo.
43. Determinare gli angoli acuti di un triangolo rettangolo sapendo che l'altezza relativa
7
all'ipotenusa misura 10 cm e che la mediana relativa al cateto maggiore misura 10
cm.
3
44. Sono dati un trapezio rettangolo ABCD ed un triangolo ABE esterno al trapezio. Del trapezio
sono note la base maggiore AB e la base minore CD rispettivamente di lunghezza 4 dm e 1 dm,
l'angolo adiacente alla base maggiore in B di ampiezza β=45°. Del triangolo ABE sono noti gli
angoli in B di ampiezza 45° ed in A di ampiezza 40°. Determinare il trapezio ed il triangolo,
l'area del pentagono ADCBE e la sua diagonale CE.
45. Nel triangolo rettangolo BAC l'ipotenusa BC è lunga 2 dm e si ha CA ≤ AB . Detti M il punto
medio di BC ed H il punto in cui la perpendicolare in M a BC incontra la retta AB, determinare
sapendo che l'area del rettangolo di lati CA e MH è 3 dm2.
la misura dell'angolo CBA
3
46. Del triangolo ABC, isoscele sulla base BC, sono noti il lato AB che misura 10 dm ed il coseno
4
dell'angolo in B: cosβ= . Determinare il perimetro di ABC ed il coseno dell'angolo al vertice.
5
Determinare inoltre l'area del triangolo BHM ove BH è l'altezza di ABC relativa al lato AC ed M
il punto medio di AC.
47. Determinare sopra un quadrante (settore circolare di ampiezza 90°) AOB di centro O e raggio r
un punto P le cui rispettive proiezioni su OA ed OB siano R e Q, in modo che l'area del
1
rettangolo ORPQ sia r2.
2
40