Angolo polare, versori radiale e trasverso
Desideriamo descrivere il moto di un corpo puntiforme che ruota su una
circonferenza attorno ad un asse fisso. Nella figura l’asse di rotazione
coincide con l’asse z ed il punto ruota sul piano xy.
Per la descrizione del moto e’ utile definire:
L’angolo polare ϑ: l’angolo (misurato in senso antiorario) che il raggio
congiungente il centro della circonferenza con il corpo puntiforme
forma con l’asse x;
Il versore radiale ur : vettore di modulo unitario diretto verso l’esterno
lungo il raggio congiungente il centro della circonferenza con il punto.
Il versore trasverso ut : vettore di modulo unitario tangente alla
circonferenza e avente come verso quello in cui il punto dovrebbe muoversi
per aumentare l’angolo θ.
ut
ur
Spostamento angolare
Quando il corpo si muove dal punto
P al punto Q il raggio congiungente
il centro della circonferenza con il
corpo spazza un angolo ∆ θ = θf -θi
∆ θ prende il nome di spostamento
angolare del corpo.
Velocita’ angolare
Definiamo velocita’ angolare media (scalare) il rapporto
ω=
∆ϑ
∆t
Analogamente la velocita’ angolare istantanea ω (scalare) e’ definita come:
∆ϑ dϑ
=
∆t →0 ∆t
dt
ω = lim
La velocita’ angolare sara’ quindi misurata in rad/s o per essere piu’ precisi
in 1/s visto che il radiante e’ una grandezza adimensionata. Dalla definizione
dell’angolo polare θ segue che :
ω>0 per rotazioni in senso antiorario
ω<0 per rotazioni in senso orario.
Accelerazione angolare
Se la velocita’ angolare di un corpo varia di un ammontare ∆ω =ωf-ωi in un
intervallo di tempo ∆t il corpo ha una accelerazione angolare.
Definiamo accelerazione angolare media (scalare) il rapporto
α=
∆ω
∆t
Analogamente la accelerazione angolare istantanea α (scalare) e’ definita
come:
∆ω dω
=
∆t →0 ∆t
dt
α = lim
La accelerazione angolare sara’ quindi misurata in rad/s2 o per essere piu’
precisi in 1/s2 visto che il radiante e’ una grandezza adimensionata. Dalla
definizione segue che :
α >0 se la velocita’ angolare e’ crescente
α <0 se la velocita’ angolare e’ decrescente.
Moto ad accelerazione angolare costante
Un semplice caso di moto rotatorio attorno ad un asse fisso e’ quello del
moto ad accelerazione angolare costante.
Seguendo una procedura simile a quella discussa per ricavare le leggi orarie
nel moto ad accelerazione costante, e’ possibile dimostrare che per il moto
rotatorio ad accelerazione angolare costante valgono delle relazioni
cinematiche formalmente analoghe a quelle ricavate per
un moto lineare ad accelerazione costante.
Esempio
Un volano ruota con accelerazione angolare costante α=-2.00 rad/s2.
All’istante t=0 il volano ha una velocita’ angolare ω=180 rad/s, calcolare:
1)di quale angolo e’ ruotato il volano dopo un tempo t=2.00s;
2)dopo quanto tempo il volano si arresta;
1) θ f-θi=ωt + 1/2 α t2 = 180x2 - 1/2x2x22=356 rad
2) ωf=ωi+αt ⇒ t=(ωf-ωi)/α = (0-180)/(-2) = 90.0 s
Moto circolare uniforme, accelerazione radiale.
Consideriamo un corpo che si muove di moto circolare uniforme (cioe che si
muova su una circonferenza con velocita’ angolare costante). Il suo vettore
velocita’ avra’ modulo costante e sara’ in ogni istante tangente alla circonferenza.
Pertanto, poiche’ la direzione del vettore velocita’ cambia con il tempo,
il corpo sara’ dotato di una accelerazione ac.
Noto il raggio r della circonferenza ed il modulo della velocita’ v=|v| del corpo,
quali saranno modulo direzione e verso del vettore ac?
Poiche’ i triangoli in (b) e (c) sono simili:
∆v/v = ∆r/r ⇒ ∆v=(v/r) ∆r
Pertanto il modulo della accelerazione media nell’intervallo di tempo ∆t
a = ∆v
quindi nel limite
e’
/ ∆t = (v/r) (∆ r/∆ t)
∆t →0
ac =
lim
∆t → 0
a
= (v2/r)
Inoltre per ∆t →0 Il vettore ∆v punta verso il centro della circonferenza .
Esso ha quindi verso opposto al versore radiale. Pertanto :
ac = - (v2/r) u^ r
In un moto circolare uniforme è sempre presente una accelerazione
radiale ac, rivolta verso il centro della circonferenza, detta anche
accelerazione centripeta .
Moto circolare accelerazione tangenziale e radiale
Consideriamo il moto di un corpo lungo un tratto di percorso circolare in cui
la velocità cambi non solo in direzione ma anche in modulo. La velocità sarà
(come in qualsiasi tipo di moto) sempre tangente alla traiettoria mentre la
accelerazione varierà da punto a punto e potrà essere scomposta in due vettori
componenti:
duˆ
d v d ( v uˆ t ) d v
=
=
a=
uˆ t + v t
dt
dt
dt
dt
a= at +ac
^
L’accelerazione centripeta (o radiale) ac e’ dovuta
alla variazione nel tempo
della direzione del vettore velocità della particella
ac = - (v2/r) u^ r
dove r e’ il raggio di curvatura della traiettoria nel punto considerato
e v il modulo della velocità
L’accelerazione tangenziale at e’ legata alla variazione nel tempo
del modulo della velocità della particella
at =
dv
dt
û t
ed ha la direzione del vettore velocità cioè la direzione del versore trasverso
Riassumendo la accelerazione di un punto materiale che si muove lungo un
percorso circolare può sempre
essere
^
^ scritta come:
v2
a=
û t − û r
dt
r
dv
Il modulo del vettore accelerazione sarà :
a=[ac2+at2]1/2
ac
Accelerazione nel moto piano
Consideriamo un moto piano ed un tratto di traiettoria ds in un punto P.
Possiamo identificare la circonferenza osculatrice alla traiettoria nel punto P.
Sarà C (centro di curvatura) il centro di questa circonferenza ed R
(raggio di curvatura) il suo raggio.
Raggio e centro di curvatura cambiano istante per istante durante il moto.
C
ûr
ûr
ût
ût
ds
P
dφ
C
Lungo il tratto ds la traiettoria può essere assimilata a quella di un moto
circolare (spostamento angolare dφ). Potremo utilizzare quindi il risultato
precedente e scomporre l’accelerazione nelle due componenti tangenziale e
centripeta rispetto alla circonferenza osculatrice.
v2
a=
uˆ t − uˆ r = a t + a c
dt
R
dv
Il modulo del vettore accelerazione sarà :
a=[ac2+at2]1/2
Nota
Che relazione esiste fra velocità angolare
(scalare) e modulo della velocità per un punto
che si muove su una traiettoria circolare?
Detto r il raggio della circonferenza,
s la lunghezza dell’arco di cerchio percorso dal
punto e θ il corrispondente spostamento
angolare, dalla definizione di radiante si ha:
θ=s/r
derivando rispetto al tempo
ω  =  v/r
e derivando ulteriormente rispetto al tempo
α  = a/r
Esempio:
Ad un certo istante i vettori velocita’ ed accelerazione di un punto materiale
che si muove su una circonferenza di raggio R=2.50 m sono quelli riportati in
figura. Per tale istante determinare:
1)l’accelerazione radiale;
2)il modulo della velocita’v=v;
3)l’accelerazione tangenziale.
Sappiamo che:
2
v
a = at + ac =
v^ − r^
dt
r
dv
•at = a sen (30)=15.0 sen(30)=7.50 m/s2
•ac = a cos(30)=15.0 cos(30) =13.0 m/s2
•ac = v2 /r ⇒
⇒ v =(r a cos(30) )1/2 = 5.70m/s
Grandezze rotazionali vettoriali
Finora abbiamo considerato la velocità angolare, l’accelerazione angolare e
lo spostamento angolare come scalari. E’ pero possibile definire delle
corrispondenti grandezze vettoriali.
Il vettore velocita’ angolare ω
e’ definito come quel vettore avente:
• modulo ω =
dϑ
dt
• direzione dell’asse di rotazione
• verso stabilito dalla regola della
mano destra : quando le dita della
mano avvolgono l’asse di rotazione
nella direzione della rotazione il
pollice indica il verso della velocità
angolare.
Il vettore accelerazione angolare α è definito come quel vettore avente:
• modulo
α=
dω
dt
• direzione dell’asse di rotazione
• verso concorde con ω se il modulo di ω aumenta, opposto ad ω se il suo
modulo diminuisce.
Il vettore spostamento angolare infinitesimo dθ è definito come quel vettore
che ha:
• modulo dθ uguale al valore assoluto dello spostamento angolare
infinitesimo
• direzione dell’asse di rotazione
• verso stabilito dalla regola della mano destra.
Alcuni quesiti di verifica
1)Cosa e’ un moto circolare uniforme?
2)Sapete definire i vettori spostamento angolare infinitesimo, velocita’
angolare e accelerazione angolare?
3)Conoscete le leggi orarie per il moto rotatorio con accelerazione angolare
costante?
4) In un moto circolare a cosa sono legate la accelerazione radiale e la
accelerazione tangenziale?