Microeconomia (C.L. Economia e Legislazione di Impresa); A.A. 2010/2011
Prof. C. Perugini
Esercitazione n.91 – Oligopolio à la Cournot; monopolio e discriminazione di prezzo
Esercizio 1 – Imprese oligopolistiche che fissano la quantità – il modello di Cournot
Due imprese Imp1 e Imp2 operano in un contesto di mercato à la Cournot (duopolio), e la curva di
domanda di mercato che fronteggiano è data dall’equazione 𝑝 = 160 − 𝑄. Entrambe le imprese,
disponendo di una tecnologia simile, hanno una funzione di costo totale di lungo periodo pari a 𝐶𝑇𝑖 = 10 ∙
𝑞𝑖 , dove i = {Imp1, Imp2}.
Determinare:
1. le equazioni delle curve di domanda residuale per ciascuna impresa;
2. le funzioni di reazione (risposta ottima) per ciascuna impresa, le quantità il prezzo ed i profitti di
equilibrio
3. rappresentare graficamente l’equilibrio sul mercato (funzione di domanda di mercato) e nei termini
della relazione tra le quantità scelte dalle imprese (curve di reazione delle imprese)
Soluzione
1. La domanda residuale indica la quota di mercato che rimane insoddisfatta dopo che l’altra impresa ha
venduto il suo volume di produzione.
Data la funzione di domanda di mercato, 𝑄 = 160 − 𝑝, questa può essere riscritta come
𝑞1 + 𝑞2 = 160 − 𝑝,
che dal punto di vista di Imp1 diventa
𝑝 = 160 − 𝑞2 − 𝑞1 ;
questa è la funzione di domanda residuale per Imp1: la quantità prodotta e venduta sul mercato da
Imp2 (𝑞2 ) è, per Imp1, un parametro fissato.
Analogamente, possiamo ricavare la funzione di domanda residuale per Imp2:
𝑝 = 160 − 𝑞2 − 𝑞1
2. Le funzioni di reazione indicano la relazione tra la quantità (ottima) prodotta/venduta sul mercato da
ciascuna impresa, per ogni possibile quantità prodotta/venduta dall’altra impresa: la scelta ottima è
pari alla quantità che massimizza il profitto.
Quindi, poniamo la condizione di massimizzazione dei profitti:
1
1
𝑅𝑚
= 𝐶𝑚
Partiamo dal determinare l’espressione dei ricavi totali:
𝑅𝑇 1 =
160 − 𝑞2 − 𝑞1 ∙ 𝑞1 = 160𝑞1 − 𝑞1 𝑞2 − 𝑞
2
1
1
Dott. Fabio Pieri; esercitazioni (mercoledì h.12.15-13.45); ricevimento studenti mercoledì h. 15-16 (Aula Dottorandi
Assegnisti DEFS – sezione Economia); per domande e quesiti brevi: [email protected]. I testi delle esercitazioni, insieme a tutto il
materiale didattico sono scaricabili dal sito http://www.unipg.it/~perugini/, di regola alla fine della settimana.
1
E quella dei ricavi marginali, che deriva direttamente dalla definizione:
1
𝑅𝑚
=
𝜕𝑅𝑇 1
= 160 − 𝑞2 − 2𝑞1
𝜕𝑞1
Adesso possiamo calcolare il costo marginale, che risulta pari a:
1
𝐶𝑚
=
𝜕𝐶𝑇 1
= 10
𝜕𝑞1
Eguagliando le due espressioni, ottengo l’espressione della funzione di reazione per l’impresa 1:
160 − 𝑞2 − 2𝑞1 = 10;
da cui, con semplici passaggi si ottiene:
𝑞1 =
150 − 𝑞2
2
La funzione di reazione esprime appunto la quantità ottima che l’impresa 1 pone sul mercato per ogni
possibile quantità venduta dall’impresa 2.
Le due imprese, nel contesto di Cournot, sono “simmetriche” e dispongono della stessa tecnologia (da
cui deriva la stessa funzione di costo per entrambe).
Pertanto, la funzione di reazione dell’impresa 2, sarà:
𝑞2 =
150 − 𝑞1
2
L’equilibrio di mercato in un duopolio à la Cournot è dato dalla combinazione strategica in cui ciascuna
impresa sceglie la risposta ottima alla decisione dell’altra, per quanto riguarda la quantità da produrre.
In questo modo, una volta raggiunta la situazione di equilibrio, nessuna delle due imprese avrà
interesse a modificare unilateralmente il proprio comportamento2.
Dobbiamo individuare una coppia di quantità prodotte che appartenga contemporaneamente a
entrambe le funzioni di reazione.
Dobbiamo quindi risolvere il seguente sistema:
𝑞2
2
𝑞1
𝑞2 = 75 −
2
𝑞1 = 75 −
Con alcuni semplici passaggi si ottiene: 𝑞 ∗1 = 𝑞 ∗ 2 = 50
Sostituendo nella funzione di domanda di mercato Q=q*1+q*2=100, otteniamo il prezzo a cui vengono
vendute le unità del bene prodotto dalle imprese,
𝑝∗ = 60.
2
E’ immediato notare come l’equilibrio di Cournot sia un equilibrio di Nash in cui la strategia di ciascuna
impresa consiste nella scelta della quantità da porre sul mercato (vedi libro di testo, p. 486).
2
Infine, il profitto di equilibrio per entrambe le imprese è pari a
𝜋 ∗1,2 = 60 ∙ 50 − 50 ∙ 10 = 3,000 − 500 = 2,500
3. Graficamente
La funzione di domanda del mercato
p
160
p*=60
Q*=100
Q = q1+q2
160
Le curve di reazione dei duopolisti
q2
150
q1*(q2)
75
A
50
q2*(q1)
50
75
150
q1
L’equilibrio è individuato dal punto di intersezione delle curve di reazione delle imprese (A), che si
possono disegnare facilmente, osservando che sono funzioni lineari, ricavando l’intersezione con uno
degli assi e sapendo che entrambe passano per la combinazione che costituisce l’equilibrio.
3
Esercizio 2 – Discriminazione di prezzo del terzo ordine; MC costante
Un’impresa monopolistica opera su due mercati con consumatori diversi. Le funzioni di domanda sono:
D1: q1  80  p1
D2: q2  100  p2
Poiché non vi sono possibilità di arbitraggio per i consumatori, l’impresa può effettuare una discriminazione
di prezzi del terzo ordine. I costi marginali dell’impresa sono costanti e pari a MC=10.
1. Determinare il livello del prezzo di equilibrio nei due mercati.
2. Discutere la relazione esistente tra livello del prezzo ed elasticità della domanda, dimostrando che nel
mercato dove il prezzo è più basso la domanda è più elastica.
3. Determinare il livello del prezzo nel caso in cui i due mercati non siano perfettamente segmentati ed
esistono possibilità di arbitraggio.
Soluzione
1. Poiché l’impresa riesce a distinguere i due gruppi di consumatori e il costo marginale è costante, offrirà
in ciascun mercato la quantità che permette di eguagliare il costo marginale al ricavo marginale
𝑀𝑅1,2 = 𝑀𝐶;
così facendo tratterà i due mercati come totalmente distinti, e applicherà in ogni mercato il prezzo
corrispondente a ciascuna quantità.
In particolare, nel primo mercato, possiamo ricavare l’espressione del ricavo marginale a partire da
quella del ricavo totale:
𝑅𝑇1 = 80 − 𝑞1 ∙ 𝑞1 = 80𝑞1 − 𝑞12
𝑀𝑅1 =
𝜕𝑅𝑇1
= 80 − 2𝑞1
𝑞1
Adesso è possibile uguagliare MR1=MC, così da ricavare la quantità che massimizza il profitto del
monopolista nel primo mercato:
𝑀𝑅1 = 𝑀𝐶
80 − 2𝑞1 = 10
𝑞1 = 35
Adesso posso sostituire la quantità nella funzione di domanda del primo mercato, così da ottenere il
prezzo di equilibrio del primo mercato:
𝑝1 = 80 − 35 = 45.
Analogamente, possiamo ripetere il procedimento per ricavare il prezzo di equilibrio nel secondo
mercato
𝑅𝑇2 = 100 − 𝑞2 ∙ 𝑞2 = 100𝑞2 − 𝑞22
4
𝑀𝑅2 =
𝜕𝑅𝑇2
= 100 − 2𝑞2
𝑞2
𝑀𝑅2 = 𝑀𝐶
100 − 2𝑞2 = 10
𝑞2 = 45
𝑝2 = 100 − 45 = 55.
Possiamo disegnare i punti di equilibrio nei due mercati:
100
80
D2
D1
55
45
MC
10
MC
10
MR1
35
40
MR2
80
45
50
100
2. Per rispondere alla seconda domanda, ricordiamo innanzitutto la definizione di elasticità della
domanda al prezzo:
𝜀𝑝,𝑞 =
𝜕𝑞 𝑝
∙
𝜕𝑝 𝑞
Possiamo quindi calcolare l’elasticità nel punto di equilibrio di ciascun mercato:
𝜀𝑝1 ,𝑞 1 =
𝜕𝑞1 𝑝1
45
∙ = −1 ∙
= −1.28
𝜕𝑝1 𝑞1
35
𝜀𝑝2 ,𝑞 2 =
𝜕𝑞2 𝑝2
55
∙ = −1 ∙
= −1.22
𝜕𝑝2 𝑞2
45
Quindi risulta che 𝜀1 > 𝜀2 ; dato che precedentemente avevamo visto che p2>p1, abbiamo risposto al
secondo quesito.
3. Qualora il monopolista non riesca ad individuare chiaramente i due gruppi di consumatori, o nel caso in
cui i consumatori del mercato in cui viene praticato il prezzo più basso possano rivendere lo stesso nel
secondo mercato ad un prezzo inferiore (arbitraggio) a quello che praticherebbe il monopolista (p2<55)
–così che nessuno acquisterebbe il bene al prezzo più alto e la discriminazione di prezzo sarebbe così
inefficace--, il monopolista non può far altro che applicare lo stesso prezzo a tutti i consumatori,
considerandoli tutti in uno stesso unico mercato.
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In questo caso la curva di domanda di mercato si ottiene sommando orizzontalmente le curve di
domanda dei due gruppi di consumatori:
Si noti che, per p>80, non c’è domanda sul primo mercato, perché la quantità domandata è negativa e
quindi economicamente non significativa. Allora, per p>80 solo il secondo mercato è attivo, mentre per
0<p<80 entrambi i mercati sono attivi e la quantità totale è data dalla somma delle quantità.
Quindi la domanda di mercato può essere scritta come segue:
𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2 = 100 − 𝑝 𝑠𝑒 80 < 𝑝 < 100
𝑄 = 𝑞1 + 𝑞2 = 180 − 2𝑝 𝑠𝑒 𝑝 < 80
(attenzione: anche se è costituita da una retta spezzata (e decrescente), la domanda di mercato è una
soltanto)
Calcoliamo ora la domanda inversa per i due intervalli di prezzo:

per il primo coincide con la funzione di domanda del secondo mercato p=100-q;

per il secondo è invece pari a p=90-1/2q.
Graficamente la nuova situazione:
100
90
80
50
D
MC
MR
80
90
180
Il ricavo marginale (MR) è pari a:
𝑀𝑅 = 100 − 2𝑞 𝑠𝑒 80 < 𝑝 < 100
𝑀𝑅 = 90 − 𝑞 𝑠𝑒 𝑝 < 80
Il monopolista vende sul mercato la quantità che è tale da massimizzare il suo profitto, ossia la quantità per
cui MR = MC. La strategia è quella di uguagliare la seconda equazione di MR a MC e poi verificare se il
prezzo sia minore di 80.
90 − 𝑞 = 10, 𝑐𝑖𝑜è 𝑞 𝑚 = 80
Per ottenere il prezzo di equilibrio, anche in questo caso, occorre sostituire la quantità nella funzione di
domanda, pm=50.
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Possiamo verificare che il profitto del monopolista che non riesce a discriminare è inferiore al profitto del
monopolista che discrimina.
Nel caso della discriminazione il profitto complessivo del monopolista è pari a:
𝜋 𝑑 = 35 ∙ 45 − 10 + 45 ∙ 55 − 10 = 1225 + 2025 = 3250
Nel caso di non-discriminazione il profitto complessivo è pari a:
𝜋
= 80 ∙ 40 = 3200.
Quindi risulta, 𝜋 𝑑 > 𝜋.
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