• Determiniamo
l’
equazione della retta
passante per i punti
A(1,1)
e
B(2,3)
applicando la formula
che permette
di
ricavare l’ equazione
della retta passante
per due punti
x x
A
x -x
B
A

yy
A
y y
B
A
Sostituendo le
coordinate dei
punti si ottiene
y

1
x

1

AB:
21 31
Sviluppando i calcoli si ottiene l’ equazione
2x-y-1=0
L’ equazione della retta
espressa nella forma
2x-y-1=0
è denominata implicita.
In alternativa esiste
un’ altra modalità
detta esplicita perché
essa si ottiene da
quella implicita
esplicitando la y in
funzione della x
Esprimiamo l’
equazione in forma
diversa ricavando la y.
Otteniamo
y=2x-1
Questa è detta forma
esplicita dell’
equazione della retta.
• Nell’ equazione
y=2x-1 chiamiamo
e -1
della retta
Cosa rappresentano
e -1?
Consideriamo due punti
della retta per esempio
A(1,1) e B(2,3).
Calcoliamo il rapporto
tra le differenze delle
ordinate e delle ascisse
dei punti:
31 
21
Cioè 2 rappresenta il rapporto tra gli
incrementi che la y e la x dei punti della retta
subiscono quando passano da A a B. Se
consideriamo altri due punti della retta il
rapporto cambia?
Consideriamo ad esempio i punti C(-1, -3) e
D(3,5)
y y
C
D  35  8 
C
D
x -x
13  4
Abbiamo ottenuto di nuovo 2. Questo numero è
invariante comunque si scelgano due punti della
retta
y
yB  yA 31
m  x x 

A 21
B
(2,3)
(1,1)
x
Osserviamo che la retta in
questo caso forma col
semiasse positivo delle
ascisse un angolo acuto
Consideriamo ora la retta y= x+3 e due suoi
punti: A(-2,7)e B (1,1) .Il rapporto tra gli
incrementi delle ordinate e delle ascisse è
y
y y
A
B
A
B
x -x
7 -1  6 
-2-1 -3
<0
L’ angolo è ottuso
x
Consideriamo una retta in posizione
generica
nel
piano
rispetto
riferimento cartesiano ortogonale
di equazione è ax+by+c=0
al
Come sappiamo la sua equazione ax+by+c=0
dove a, b, c, sono rispettivamente pari a:
a  yA  yB
b  xB xA
c  xAyB  yAxB
Se b
 0 l’equazione ax+by+c=0, può scriversi:
by=-ax-c,
e dividendo ambedue i membri per b, otteniamo
Posto
e
l’ equazione (*) diventa
è detto coefficiente angolare della retta
q=- c
b
è detto ordinata all’ origine della retta
Quale è il significato di m?
• Essendo
a=yB-yA e b=xA-xB, risulta
m=
m rappresenta cioè il rapporto tra le
ordinate e le ascisse di due qualunque punti
della retta
In particolare
Se m>0 la
retta a forma
col semiasse
positivo delle
ascisse un
angolo acuto
Angolo acuto
Se m<0 la retta
a forma col
semiasse
positivo delle
ascisse un
angolo ottuso
Angolo acuto
Angolo ottuso
yA  yB
m
xA  xB
E se m=0?
In tal caso l’equazione y=mx+q diventa y=q e
questa rappresenta una retta parallela all’ asse
delle ascisse
q
y=q
In quale punto una retta di equazione
y=mx+q interseca l’asse delle ordinate?
• Ricordiamo che tutti e soli i punti
dell’ asse delle ordinate hanno
ascissa nulla. Vediamo cosa succede
nell’ equazione della retta se x=0
y  m0  q  q
Ecco quindi che il numero q rappresenta
l’ ordinata del punto in cui la retta
interseca l’ asse delle ordinate