Lezioni di Ricerca Operativa
Corso di Laurea in Informatica ed Informatica Applicata
Università di Salerno
Lezione n° 2: 9-10 Marzo 2009
Richiami di Algebra vettoriale:
- Operazioni sui vettori
- Combinazione lineare, combinazione conica, combinazione convessa
- Indipendenza lineare tra vettori
- Base di uno spazio
Anno accademico 2008/2009
Prof. Cerulli – Dott.ssa Gentili
Vettori
Un vettore è un elemento in uno spazio vettoriale.
L'esempio classico di vettore è costituito da una
ennupla di numeri.
Esempio
x  (1,2,3,4,6,7)
T
1 
 
x   2
3
 
vettore riga di
dimensione n=6
componenti del
vettore
vettore colonna di
dimensione n=3
Esempio: vettori di dimensione 2
Ogni vettore può essere rappresentato tramite un
punto o da una linea che connette l’origine al
punto.
  1
x1   
 2
 2
x 2   
 2
2
0
 
0
2
 1
x 3   
  2
Moltiplicazione per uno scalare
  1
x   
 2
  1   2 
2x  2     
 2  4 
  2
x   
 4
  1
x   
 2
Addizione di vettori:
regola del parallelogramma
1 
x1   
 4
2
x 2  
2



3
x1  x 2  
6



Prodotto Interno
x y  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn
T
x  0, 2
T
3
y  
4



x y 8
T
Combinazione LINEARE tra vettori
Un vettore y è combinazione LINEARE dei vettori x1,
x2, …, xn se esistono 1, 2, … , n numeri reali tali
che:
y= 1 x1+ 2 x2+…+ n xn
y è combinazione
lineare di x1 ed x2 ?
x1
y
Quanto valgono 1
e 2 ?
x2
Esempio 1
x1
x2
y
1 < 0
2 > 1
Esempio 2
x2
y
x1
1 > 0
2 > 0
Esempio 3
x2
y
x1
1 > 0
2 = 0
Esempio 4
y
x2
x1
Non è possibile trovare
alcun numero reale 1 e 2
se x1=k x2
Combinazione CONICA tra vettori
Un vettore y è combinazione CONICA dei vettori
x1, x2, … , xn se esistono 1, 2, … , n numeri reali tali
che
1. 1, 2,…, n  0
2. y= 1 x1+ 2 x2+…+ n xn
x1
y
x2
Combinazione CONVESSA tra vettori
Un vettore y è combinazione CONVESSA dei vettori
x1, x2, … , xn se esistono 1, 2, … , n numeri reali tali
che
1. 1, 2,…, n  0
x1
2. 1+ 2+…+ n = 1
3. y= 1 x1+ 2 x2+…+ n xn
y
x2
Lineare indipendenza tra vettori
Un insieme di vettori x1, x2, … , xn si dice
LINEARMENTE INDIPENDENTI se
1 x1+ 2 x2+…+ n xn = 0
implica che
1= 0, 2 = 0, … , n = 0
Un insieme di vettori x1, x2, … , xn si dice
LINEARMENTE DIPENDENTI se esistono
1, 2, … , n non tutti nulli, tali che
1 x1+ 2 x2+…+ n xn = 0
Lineare indipendenza tra vettori
ESEMPIO
x1T=(1,2,3)
x2T=(-1,1,-1)
x3T =(0,3,2)
sono linearmente dipendenti perché
1 x1+ 2 x2+3 x3 = 0
quando
1= 2 = 1 3 = -1
Lineare indipendenza tra vettori
in particolare...
Un insieme di vettori x1, x2, … , xn si dice
LINEARMENTE DIPENDENTI se uno di essi può
essere espresso come combinazione lineare degli altri
x1T=(1,2,3)
x2T=(-1,1,-1)
x3T =(0,3,2)
x1+ x2= x3
y, x1 ed x2 sono linearmente DIPENDENTI
x1
y
x2
Spazio generato
Un insieme di vettori x1, x2, … , xk di dimensione n
genera l’insieme di vettori En, se ogni vettore in En può
essere rappresentato come combinazione lineare dei
vettori x1, x2, … , xk
Esempio:
n=2 k=3
x1T=( 1, 0) x2T=(-1, 3) x3T=(2, 1)
I vettori x1, x2, x3 generano l’insieme di vettori di
dimensione 2.
Base di uno spazio
Def.
Un insieme di vettori x1, x2, … , xk in En è una BASE di
En se valgono le due seguenti condizioni:
1. x1, x2, … , xk generano En
2. Se uno solo dei vettori è rimosso, allora i rimanenti
k-1 vettori non generano En
Base di uno spazio
Proprietà 1.
(no dim)
Un insieme di vettori x1, x2, … , xk in En è una BASE di
En se e solo se:
1. k = n
2. x1, x2, … , xk sono lin. indipendenti
Def.
Il numero di vettori che formano una base per En è detto
dimensione dello spazio En
Base di uno spazio
Esempio
Cerchiamo una base per lo spazio E2 (dei
vettori di dimensione due)
Dobbiamo cercare 2 vettori in E2 linearmente
indipendenti
x1T=( 1, 0) x2T=(-1, 3) x3T=(2, 1)
Dom. : x1,x2,x3 generano E2?
x4T=(1,-3)
x2
x3
x1
x4
Dom. : x1,x2,x3 sono una base
per E2?
Dom. : x1,x2 sono una base
per E2?
Dom. : x2,x3 sono una base
per E2?
Dom. : x2,x4 sono una base
per E2?
Esercizio
Dati i seguenti vettori in R3
x1T = ( 1, 3, 0)
x2T=(2, 0, 1)
x3T =( 0, 1, 0)
1. Verificare che costituiscono una base
2. Determinare le coordinare del vettore yT=( 2,4,1)
in termini della base.