la segreta geometria
del cosmo
appunti
L’architettura reale dello spazio ci è ancora sconosciuta
le quattro scale della geometria
Microscopico (distanze < 10-18 m, soltanto teorie
speculative propongono modelli geometrici;
locale (10-18 - 1011 m.) geometria dello spazio
euclidea tridimensionale
macroscopico (1011 - 1025 m) geometria dello spazio
di Riemann
globale
Occorre distinguere con precisione tra:
spazio matematico: uno spazio è un insieme di oggetti sul
quale è definita una struttura (es. lo spazio euclideo)
spazio fisico: lo spazio fisico è “l’estensione indefinita che
contiene che contiene i corpi materiali”; non risulta
evidente che questo spazio abbia un certo numero di
dimensioni, che sia finito o infinito, che sia piatto o curvo,
limitato o illimitato;
spazio–tempo: lo spazio-tempo è una entità teorica che
unifica uno spazio metrico a tre dimensioni e il continuo
temporale a una dimensione.
e ancora …
Universo:in relatività generale l’universo è modellizzato da una
associazione complessa che raggruppa contenente e contenuto
(spazio, tempo ma anche l’energia - massa in tutte le sue forme)
L’Universo osservabile è centrato sull'osservatore, è in
espansione e possiede delle frontiere; non è che una porzione
spazio-tempo delimitata da un "orizzonte cosmologico“ *
L’Universo è l’insieme di tutto ciò che è
* (interno di una sfera con raggio attuale di circa cinquanta miliardi di anni luce)
alcune considerazioni
qual è la forma dello spazio?
quanto grande è l’Universo?
è finito o infinito ?
aperto o chiuso ?
il paradosso del mondo finito
PARADOSSO del BORDO
Pare che in generale gli antichi abbiano considerato il nostro universo
come finito o la Terra stessa aveva dei bordi oppure doveva essere
immaginata come una sfera galleggiante all’interno di una grande sfera di
cristallo alla quale erano appese le stelle
Che effetto farebbe arrivare in
un luogo dove lo spazio finisce?
I cieli concentrici del Medioevo
(Deutsches Museum, Monaco)
(incisione)
“…se sono all’estremità del cielo, posso allungare una mano allungare o
tendere un bastone? E’ assurdo che non lo possa fare, ma se posso
quello che sta al di là è un corpo o lo spazio?...” così argomentava
Archita di Taranto (V secolo a. C.)
E’ assurdo pensare che non si possa andare al di là … e ancora al di là …
ciò implica un’estensione senza limiti…
Da qui il paradosso : se l’Universo fosse finito, avrebbe un bordo;
questo bordo però potrebbe essere indefinitamente oltrepassato
Se l’ universo fosse racchiuso dalla superficie delle stelle fisse
(Platone e Aristotele), il paradosso sarebbe insolubile
Per gli Stoici il bordo è mobile: il mondo materiale è finito ma è
circondato da un vuoto infinito; allungare una mano al di là
significherebbe semplicemente ingrandire il cosmo, facendone
arretrare la frontiera
Nel Medio Evo cristiano, il mondo fisico corruttibile si modifica progressivamente in
mondo spirituale: il paradosso sarebbe così risolto
Perchè il paradosso sia risolto, bisogna attendere lo sviluppo delle
geometrie non euclidee (XIX sec.)
Tali geometrie consentono di concepire spazi tridimensionali
finiti ma privi di bordo
Es.
Tre tipi di spazio a una dimensione
finito e limitato
infinito e illimitato
finito e illimitato
Bernhard Riemann (1826-1866) ha ipotizzato che il
nostro spazio possa essere l’ipersuperficie 3D di
un ipersfera 4D.”
La geometria di Riemann – dichiarò Einstein
audacemente – è in accordo perfetto con la fisica
della gravità
Una scacchiera infinita
compressa
in modo
che
sia contenuta dentro un quadrato
Un piano infinito
dentro
un cerchio
C
L
I
R
I
C
M
O
I
L
T
A
R
E
E
ESCHER
- limite del cerchio III (xilografia a colori)
paradosso dello spazio
infinito
PARADOSSO del BUIO di NOTTE
o paradosso di Olbers
come è possibile
che il cielo
notturno sia buio
nonostante
l'infinità di stelle
presenti
nell‘universo?
paradosso del buio di notte
Supponiamo che lo spazio sia infinito e uniformemente
riempito di stelle e galassie
In qualunque direzione guardassimo, dovremmo trovare un
astro più o meno lontano sulla nostra visuale; la somma delle
luminosità di tutti gli astri dovrebbe rendere il cielo
notturno brillante come a mezzogiorno.
Per comprendere appieno il “paradosso del buio di notte”,assimiliamo
l’universo a una foresta e le stelle a tronchi d’alberi identici, molto
distanti l’uno dall’altro.
I tronchi a noi più vicini ci appaiono più grandi, quelli più lontani più
piccoli; se la foresta fosse sufficientemente estesa, i tronchi
finirebbero per sovrapporsi formando un fondo continuo … quasi fosse
un muro
Varie sono le soluzioni proposte
paradosso del buio di notte
• Le altre stelle sono analoghe al Sole?
La risposta è si
• L’Universo è riempito di materia diffusa che assorbe gran
parte della luminosità stellare?
Sappiamo che le particelle non possono assorbire radiazione senza
riemetterla
• La disposizione delle stelle nell’Universo è particolare?
I telescopi hanno effettivamente scoperto una sorta di
organizzazione gerarchica della materia visibile dell’ Universo : stelle,
galassie, ammassi e superammassi di galassie, ma su larga scala la
distribuzione di materia è omogenea
Newton immaginava una galassia unica, perduta in un oceano di vuoto: in tal caso le
stelle sarebbero in numero finito e il paradosso risolto
paradosso del buio di notte
La cosmologia relativistica, con i suoi modelli del Big Bang propone
almeno tre risposte possibili al paradosso:
la finitezza dello spazio, la finitezza del tempo, lo spostamento verso il
rosso cosmologico
La cosmologia relativistica ammette modelli di Universo sia finito sia
infinito
Tutto induce a credere che l’Universo esista in uno stato paragonabile
a quello odierno, solo da un tempo limitato, impropriamente chiamato “
età dell’Universo”, che si avvicina a 14 miliardi di anni.
Ciò implica che 14 miliardi di anni fa non era comparsa alcuna stella
Vi è dunque una frontiera spaziale al di là della quale non riceviamo luce
Non è una barriera fisica: non vi è nulla nello spazio che la marchi.
paradosso del buio di notte
Siamo come il marinaio in pieno oceano che non può vedere
nulla al di là dell’orizzonte
Ecco perché questo limite è chiamato “orizzonte cosmologico”, e
perché questo orizzonte rende buia la notte
La cosmologia relativistica fornisce una terza spiegazione:
L’Universo è in espansione :la dilatazione dello spazio modifica le leggi
di propagazione della luce nell’Universo; l’effetto si traduce in uno
spostamento nella frequenza, lo “spostamento verso il rosso” delle
galassie, e in un’attenuazione della sua energia
se una stella, da un galassia molto distante, emette luce visibile, di
questa riceviamo solo la radiazione nell’infrarosso: ciascun fotone arriva
ad un ritmo più lento, e con meno energia
La potenza luminosa è meno intensa e meno visibile
il fondo del cielo di notte non brilla
aperto o chiuso?
La confusione nasce dal “mescolare “ assieme i concetti di curvatura
spaziale, di dinamica temporale e di topologia
•E’ la quantità totale di materia e di energia che fissa il segno della
curvatura (sferici – euclidei – iperbolici)
Nel caso di universi omogenei e isotropi la curvatura dello spazio è
costante.
•Per quanto concerne la loro evoluzione temporale gli universi che si
contraggono vanno qualificati come chiusi,quelli che si dilatano come
aperti
•Per quanto concerne la loro topologia, gli universi la cui parte
spaziale è di volume finito o infinito vanno rispettivamente qualificati
come finiti o infiniti
La tabella riassume i vari casi per i modelli del Big- Bang (Friedmann-Lemaître)
(periodo 1920-’30)
evoluzione temporale
ma mai
infinito
t
aperto o
chiuso?
chiuso se la
cost.
cosmologica è
negativa
 : costante cosmologica
 : valore indicato da
Einstein per modello
standard
R(t) : fattore di scala
t : tempo cosmico
In quale di questi “possibili” universi noi viviamo? Quale delle due
forze in gioco – la spinta dell’espansione che fa allontanare le
galassie le une dalle altre, e la forza gravitazionale che tende a
tenerle legate e a frenare l’espansione – prevarrà?
Esiste, secondo la teoria della Relatività Generale, una densità
critica della materia presente nell’ universo
(pari a 10-29
g/cm 3) al di sopra della quale l’attrazione gravitazionale può
frenare l’espansione.
In questo contesto, i cosmologi usano il parametro di densità ,
cioè il rapporto tra la densità di materia totale presente
nell’universo e la densità critica, per descrivere i tipi di universi
possibili
Secondo stime “recenti”, la maggior parte degli scienziati
esclude la possibilità di un universo chiuso, destinato a
collassare su se stesso in un “big-crunch”
Varie osservazioni astronomiche mostrano che la densità media
di materia direttamente visibile non supera il centesimo del
valore critico.
Ma noi vediamo solo una parte della materia cosmica, e
differenti ragioni ci fanno ipotizzare l’esistenza di una grande
quantità di materia invisibile, oscura : buchi neri, piccole stelle
subluminose, troppo poco massive per accendere reazioni
nucleari, ecc.
Ne ritroviamo tracce indirette non grazie alla radiazione
elettromagnetica, ma agli effetti gravitazionali che tale
materia oscura produce sui movimenti delle stelle e delle
galassie visibili
Osservazioni recenti di supernovae (stelle che esplodono),
combinate all’analisi di certe caratteristiche della radiazione
cosmica di fondo hanno consentito di fissare il parametro di
densità attorno al valore 0,3; soprattutto hanno permesso di
ricavare un valore della costante cosmologica (antigravitante)
vicino a 0,7
Lo spazio sarebbe allora di curvatura debolissima, e in
espansione perpetua e accelerata
La questione finito o infinito resta aperta
Non sappiamo ancora se , alla scala cosmologica,
lo spazio sia infinito, di curvatura nulla o
negativa, o se sia finito con una curvatura
positiva, simile a una sfera multidimensionale.
Secondo un’ipotesi un po’ “fantastica”
Lo spazio potrebbe essere chiffonné,
spiegazzato, ripiegato più volte su se stesso
Gioco di specchi
Si può pensare che la fisica acceda solo a una piccola
parte del reale,per quanto riguarda la cosmologia si
potrebbe pensare che l’ universo osservabile sia una
piccola parte dell’universo reale.
Una stanza tappezzata di specchi fa si’ che abbiamo
immediatamente l’impressione di vedere l’infinito in
tutte le direzioni.
Lo spazio cosmico potrebbe crearci un’illusione analoga
a causa del moltiplicarsi delle traiettorie luminose
dovute alle pieghe di uno spazio“chiffoné”
“illusione…”
Miraggio gravitazionale
Croce di Einstein
Questo miraggio
gravitazionale è stato
fotografato dal telescopio
spaziale Hubble
Un quasar situato a otto
miliardi di anni luce, è
osservato in quattro
esemplari attraverso una
galassia-lente, venti volte più
vicina
(quasar:nucleo, dotato di grande energia, di una galassia attiva)
La topologia dell’Universo
La cosmologia relativistica “standard” non ci fornisce una descrizione
completa dello spazio a grande scala. E’ finito, orientato, ha forse dei
“buchi” o altro? La gravitazione da sola non decide tali questioni
La forma dipende anche dalla topologia cosmica.
La topologia è una parte della geometria che classifica gli spazi
I modelli cosmologici standard assumono implicitamente che lo spazio sia
monoconnesso
gli spazi vengono classificati in tre grandi famiglie( divise in classi) in base
alla loro curvatura ( negativa, nulla o positiva)
Due figure sono equivalenti topologicamente se possono essere trasformate
l’una nell’altra in modo continuo senza strappi o lacerazioni
Es: la superficie di una sfera e qualsiasi superficie ovoide; il piano ha una
topologia differente poiché nessuna deformazione può continua può dargli la
forma di una sfera
se
•ritagliamo nel piano una parte di lunghezza infinita in una direzione e finita
nell’altra, incolliamo poi i due bordi:
•otteniamo un cilindro di lunghezza infinita ; la metrica non cambia
teorema di Pitagora è ancora valido sulla superficie del cilindro),
curvatura è nulla.
(il
la
•il cilindro differisce dal piano per più di un aspetto: la sua area è infinita,
come quella del piano, ma possiede una circonferenza finita nella direzione
perpendicolare all’asse di rotazione; il cilindro è anisotropo, possiede due
direzioni privilegiate
•nella costruzione del cilindro a partire dal piano, sono cambiate alcune
proprietà globali; la topologia è diversa ma la metrica è la stessa
La sua caratteristica più notevole è l’esistenza di un’ infinità di “rette” che
congiungono due punti distinti del cilindro: quelle che hanno effettuato
1,2…giri di cilindro
Viste in tre dimensioni
le rette del cilindro sono eliche di passo costante; se si sviluppa il cilindro sul
piano, le eliche si svolgono sotto forma di rette
P
Q
R
R
P
Costruzione
del toro piatto
Se si taglia il toro seguendo le due linee a e b , si può sviluppare la figura
secondo la forma del rettangolo a destra
La curvatura del toro “piatto” è nulla
La superficie d una camera
d’aria non è un toro
“piatto”:possiede una
curvatura variabile a seconda
delle regioni
dal cilindro alla ciambella
monoconnesso
multiconnesso
cappi
e
connessità
Cappio:curva chiusa tracciata su una superficie
Sul piano o su una sfera tutti i cappi possono essere indefinitamente ristretti
senza ostacoli (spazi monoconnessi)
Sul cilindro o sul toro alcuni cappi possono essere ristretti, altri no (spazi
multiconnessi)
Gioco di specchi
2)
1)
Universo costruito a partire da un quadrato 1) i cui bordi opposti sono stati incollati 2).
Tutto quello che esce da un lato riappare immediatamente sul lato opposto, nel punto
corrispondente. La luce della galassia gialla raggiunge la galassia rossa lungo più tragitti,
di modo che l’osservatore nella galassia rossa vede numerose immagini della galassia
gialla, ripartite in tutte le direzioni del cielo
L’osservatore ha
l’illusione di vedere
uno spazio maggiore
di quello che è in
realtà
3)
Universo molto
semplice a due
dimensioni detto
toro
Immaginiamo le quattro pareti verticali di una stanza
tappezzate di specchi e collochiamoci all’interno… ne risulta un
effetto caleidoscopico rispetto all’angolo più vicino , le
riflessioni ripetute creano l’illusione di un reticolo infinito che
si estende in un piano
Lo spazio cosmico, apparentemente gigantesco,
potrebbe “cullarci” in un’illusione analoga.
Ovviamente non possiede né pareti né specchi, e le
immagini fantasma sarebbero create non dalla
riflessione della luce sulle pareti dell’Universo, ma
dalla moltiplicazione delle traiettorie luminose dovute
alla pieghe di uno spazio chiffonnè, “spiegazzato”.
Vie Lattee
multiple
Nel 1900 l’astronomo Karl Schwarzschild aveva immaginato che la nostra
galassia, la Via Lattea, potesse ripetersi indefinitamente secondo uno schema
cubico regolare, dando così l’illusione di uno spazio più vasto di quello che è in
realtà
Può darsi che la topologia dello
spazio sia “multiconnessa”… …
Gioco cosmico
di specchi
(a) Lo spazio è un ipertoro,
rappresentato all’interno di un
cubo di 5 miliardi di anni luce
di lato, con facce opposte
identiche: venti galassie sono
distribuite a caso nello spazio
(b) Simulazione numerica
dell’apparenza del cielo
(effetto miraggio) Ciascuna
galassia genera circa 50
immagini “fantasma” ripartite
sulla intera volta celeste
È impossibile distinguere le immagini reali da quelle fantasma
Lo spazio sferico di Poincaré
Ciascuna
faccia del
dodecaedro è
incollata alla
sua faccia
opposta dopo
aver subito
una rotazione
di 36°
Variante multiconnessa dell’ipersfera, il cui volume è 120
volte più piccolo
Questo spazio è finito, ma
non ha né bordi né limiti; vi si
può viaggiare indefinitamente
Si ha l’impressione di vivere in
uno spazio 120 volte
maggiore, pavimentato da
dodecaedri che si moltiplicano
come in una casa degli specchi
Il ritorno di raggi luminosi
che attraversano le pareti
produce miraggi ottici: uno
stesso oggetto possiede più
immagini
Cristallo
cosmico
iperbolico
Un Universo spiegazzato ha una
topologia notevole che permette
di identificare lo spazio fisico a un
poliedro, la cui immagine
moltiplicata costituisce il mondo
delle apparenze
La struttura dello spazio è “cristallina”: ciascun elemento è una
riproduzione del poliedro fondamentale
(spazio iperbolico chiuso-spazio dodecaedrico di Selfert-Weber)
Uno spazio cosmico multiconnesso, in apparenza gigantesco,
potrebbe essere un miraggio “topologico”
L’ Universo “spiegazzato” sarebbe uno spazio sferico
dodecaedrico di Poincarè: uno spazio finito senza bordi e
illimitato
Come possiamo sapere se questa teoria è fondata, se l’Universo
è semplicemente o molteplicemente connesso?
L’universo dodecaedrico consente due predizioni controllabili
con gli strumenti del futuro:
•un valore estremamente preciso, a meno di un
centesimo, della densità totale dell’Universo
(includendo la costante cosmologica), e
• l’esistenza di segnature precise nella radiazione
cosmica di fondo
E’ dunque ragionevole pensare che nel giro di
qualche anno quel modello sarà corroborato da dati
sperimentali, oppure sarà confutato
Non ci resta che attendere
Informazioni ricavate da
J.P.Luminet
La segreta geometria del cosmo
J.P.Luminet – M.Lachiéze-Rey
Finito o infinito?
Quaderni di scienze
Cosmologia
M.C. Escher
Esplorando l’infinito
e …
erranze internet
F
I
N
E
f i n e
QUESTIONI COSMICHE
La cosmologia contemporanea è costituita da tre grandi domini :
•la cosmologia geometrica (proprietà locali e globali dello
spazio-tempo, forma, frontiere, singolarità e orizzonti
•la cosmologia fisica (tratta dei processi materiali nei vari
stadi dell’evoluzione dell’Universo)
•la cosmologia osservativa (indaga :spostamenti spettrali delle
galassie, radiazione cosmica di fondo,ammassi di galassie ,
grandi strutture…)
Il principio cosmologico
In un dato istante, a parte minori irregolarità locali, la
descrizione dell’Universo deve essere dovunque la stessa
(omogeneità e isotropia)
Non tutto l'Universo, comunque, e' accessibile alle nostre osservazioni,
indipendentemente dalla potenza degli strumenti astronomici:
se osserviamo per esempio una galassia distante 10 miliardi di anni luce,
possiamo osservarla soltanto com'era 10 miliardi di anni fa, ma non com'era,
poniamo, 8 miliardi di anni fa: la luce che essa ha emesso in quel momento ci
arriverà solo tra 2 miliardi di anni;
ovvero, in ogni istante ci sono settori dello spazio e del tempo (o meglio, dello
spazio-tempo) che sono a noi inaccessibili, così come parte del nostro passato è
inaccessibile a galassie lontane.
Questo definisce
il cosiddetto "orizzonte cosmologico", cioè quel settore dello spazio-tempo
accessibile a noi. Di tutto quello che sta al di fuori dell'orizzonte non
possiamo avere informazioni.
Questi oggetti, distanti 11 miliardi di anni luce da noi, potrebbero
essere i "germogli" di attuali galassie. Ognuno di essi e' un agglomerato
di alcuni miliardi di stelle.
L'orizzonte cosmologico e il modello inflazionario
Dato che la velocità della luce è finita, anche se molto grande, quella che ci
arriva oggi da galassie molto distanti è partita milioni o miliardi di anni fa,
quindi ci fornisce un'immagine di come queste erano milioni o miliardi di anni
prima, durante le prime fasi della loro vita. Più distante è un oggetto nello
spazio, più "giovane" lo vediamo.
Come abbiamo visto, più una galassia è distante e più velocemente si
allontana da noi. Dato che la velocità di allontanamento di una galassia viene
misurata tramite il redshift (spostamento verso il rosso) del suo spettro, le
galassie lontanissime vengono dette "galassie ad alto redshift".
La loro osservazione e' di estremo interesse per i cosmologi, dato che può
fornire informazioni sull'Universo nei primi miliardi di anni dopo il Big Bang.
Per questo motivo sono stati costruiti strumenti astronomici come il Telescopio
Spaziale Hubble e i nuovi telescopi giganti a terra. Questi ultimi hanno
diametri di 8-10 metri e sono dotati di particolari ottiche per correggere le
deformazioni delle immagini dovute al disturbo atmosferico. Questi strumenti
saranno in grado di compiere osservazioni sempre più profonde dello spazio,
cioè sempre più indietro nel tempo.
Nell’ Universo:
4% materia ordinaria
23% materia oscura
73% energia oscura (Dark Energy)
la materia oscura
provoca l’espansione accelerata dell’universo
in particolare :la rotazione delle galassie a spirale, la distribuzione di
velocità negli ammassi di galassie, le lenti gravitazionali