Campo elettromagnetico
in regime sinusoidale
Correnti impresse sinusoidali, agenti in um mezzo lineare
e stazionario, generano campi sinusoidali oscillanti alla
loro stessa frequenza
E  e  E(r) e j t 
D  e  D(r) e j t 
J 0  e  J0 (r) e j t 
H  e  H(r) e j t 
B  e  B(r) e j t 
J c  e  J c (r) e j t 
Equazioni di Maxwell per i fasori
D
H 
J c J
t
B
E  
t
0
  H  j D  J c  J 0
  E   j B
Equazioni costitutive dei mezzi lineari,
stazionari, isotropi, dispersivi nel tempo
m D
am m 
t
 pB
cp p 
t
r J c
em

s
t
D
n E
 a1
 a0 D  bn n 
t
t
B
q H
 c1
 c0 B  dq q 
t
t
J c
sE
 e1
 e0 J c  fs s 
t
t
 b1
E
 b0 E
t
H
 d1
 d0 H
t
E
 f1
 f0 E
t
Equazioni costitutive in regime sinusoidale
m D
am m 
t
am  j  D 
m
D
n E
 a1
 a0 D  bn n 
t
t
E
 b1
 b0 E
t
 j a1 D  a0 D  bn  j  E 
n
j  b

D
 j  a

m 
n
n
m
 j b1  b0
E
 j a1  a0
Analogamente:
 j  d
B
 j  c
q

 j d1  d0
p

 j c1  c0
q
p
j  f


 j  e
s
Jc
r

m 
s
H
 j f1  f0
E
 j e1  e0
 j b1 E  b0 E
In regime sinusoidale
• le equazioni costitutive, scritte per i fasori, assumono
forma algebrica, anche nel caso di mezzi dispersivi nel
tempo;
• D, B e Jc sono variabili dipendenti da E e da H
attraverso “funzioni di trasferimento”, generalmente
complesse e dipendenti dalla frequenza;
• D, B e Jc possono essere eliminati dalle equazioni
fondamentali
Eliminazione di D, B, Jc

Jc 
  H  j D  J c  J 0  j  D 
 J0


j 
Jc
D
 E
j
j  b


 j  a
n

m 
n
m
  E   j B
B  H
 j b1  b0
1  j  fs 

r
 j a1  a0 j  j  em 
s
 j f1  f0
 j e1  e0
(permittività elettrica complessa)
 j  d

 j  c
q

 j d1  d0
p

 j c1  c0
q
p
(permeabilità magnetica complessa)
“Equazioni di Maxwell” in regime sinusoidale
  H  j  E  J 0
  E   j  H
Poiché i rotori sono solenoidali, le equazioni ai rotori
implicano le equazioni alle divergenze
  J0
   E  = 
 0 (densità della carica impressa)
j
   H  = 0
Se  non dipende dalla posizione
   E  = 0
0
 E =

Se  non dipende dalla posizione
   H  = 0
 H = 0
Se il mezzo è omogeneo il campo magnetico è solenoidale.
In assenza di cariche impresse anche il campo elettrico è
solenoidale.
Condizioni sulle
superfici di
discontinuità




n̂  H   H   J
n̂  E   E   0
E  ,H  ,B  ,D 
n̂
E  ,H  ,B  ,D 
S
n̂  H   H   JS
n̂  E   E   0
Sostituiscono le equazioni di Maxwell sulle superfici di
discontinuità
Spettri elettrici e magnetici dei materiali
   0    j  
  0    j   
    ( )
    ( )
spettro elettrico
    ( )
    ( )
spettro magnetico
Esempio 1 - Spettro elettrico dell’acqua
Esempio 2 - Isolanti non-polari e semiconduttori
fino ad alcune decine di gigahertz
D   0 r E
D   0 r E
J c  E
Jc   E
Jc 
 
D
   0 r 
E

j 
j 

   r

  
 0
Esempio 3 - Conduttori metallici ad alta conducibilità
fino ad alcune migliaia di gigahertz
Materiale
Conducibilità [S/m]
Argento
Rame
Alluminio
Bronzo
6.289 107
5.714 107
3.3 107 – 3.57 107
4.0 107 – 5.5 107
Jc 
 

D
   0 r 
E
E

j 
j 
j
  0

  
 0
Esempio 4 - Plasma freddo
D  0E
D  0 E
J c
  J c   2p 0 E
t
 j   Jc   2p 0 E
2



Jc
p
D
 0 1 
E

j
j   j 



 2p
  0 1 
j   j 

 2p 0
Jc 
E
  j
Esempio 4bis - Plasma freddo senza collisioni
Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di
collisione ( >> ) l’effetto delle collisioni può essere
trascurato (plasma senza collisioni). Si ha:


  2p 
 2p
  0 1 
 0 1  2 

j   j 

  
 2p
  1 2

   0
Se la frequenza di lavoro supera di molto la frequenza di
plasma si ha  ≈ 0. L’effetto della ionizzazione tende a
scomparire.
Esempio 5 - Spettro magnetico di una ferrite
Grandezze energetiche
in regime sinusoidale
Le grandezze energetiche dipendono da prodotti scalari o
vettoriali di campi.
Esempi:
E J
J

2

J J
 0 E2

2

0E  E
2
Se si considerano due vettori sinusoidali
F  < e  Fe j t 
G  < e  Ge j t 
si ottiene
 F  G* 
 F  G j 2 t 
F G  < e 
 <e
e 

 2 
 2

 F  G* 
 F  G j 2 t 
F  G  <e
 <e
e 

 2 
 2

E H
 F  G* 
 F  G j 2 t 
F G  < e 
 <e
e 

 2 
 2

F G
 F  G* 
F G  < e 

2


t
T
2

Molti degli effetti macroscopici dell’interazione
elettromagnetica in regime sinusoidale dipendono dai
valori medi delle grandezze energetiche
 F  G* 
F  G  <e

2


 FG 
F G  < e 

2


Esempi:
*
J
2
c

Jc
 Jc  Jc  Jc  Jc
 e 



2
2
 2 
*
*
 E  H* 
E  H  <e
 < eS 

 2 
S
E  H*
2
2
densità media di potenza
termica sviluppata per
effetto Joule
densità media del flusso di potenza
elettromagnetica
densità di potenza complessa
Bilancio energetico per i valori medi

 D
B
 E 
H
 E  J c  J
t
t


0  dV 

V


S  n̂ dSV
SV

E J
0
dV
V


V
 D

E 
 J  dV 
 t


V
B
H
t
dV 

SV
S  n̂ dSV
E J
0
 E  J 0* 
 e 

 2 
 E  H* 
S  e 
 eS 

 2 
*

 E   j  E * 
E   j D  Jc 
 D

E 
 J c   e 
  e 

2
2
 t






 E  - j  0    j   E*
 e 
2

      E
2
0

2
 H   j B * 
 H   j  H *   0   H 2
B
H
 e 
  e 

t
2
2
2




Bilancio delle potenze medie
n̂
potenza “generata” dalle
correnti impresse
e

V
*
E  J0
2
dV
   0  E 2  0   H 2 


dV 


2
2

V

potenza dissipata
(perdite elettriche + perdite magnetiche)
V
J0

SV
e S  n̂ dSV
SV
potenza “uscente”
Se le correnti impresse sono distribuite su lamine l’integrale di
volume viene sostituito da un analogo integrale di superficie
Densità della potenza dissipata
Wdiss 
  0  E
2
2

 0   H
2
2
[W/m 3 ]
La potenza dissipata per perdite elettriche o magnetiche
non può essere negativa. Pertanto
   0
   0
In un mezzo ideale “senza perdite”
      0