Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria
Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…
Corso di Cemento Armato Precompresso – A/A 2015-16
Progetto di travi in c.a.p
isostatiche
Il predimesionamento della
Sezione - 3
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Per il calcolo definitivo di una sezione in cemento armato
precompresso è necessario determinare il valore dello
sforzo normale di progetto assieme alla sua eccentricità.
A tale scopo è necessario distinguere le solite due
condizioni progettuali:
• Precompressione totale
• Precompressione limitata
Il valore di N e di ep si determinano a partire da opportune
condizioni imposte sulle tensioni
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
Nel caso di precompressione totale la sezione risulta
interamente compressa sia a vuoto che in esercizio. Con
riferimento alle condizioni per cui il momento dovuto al
peso proprio è di entità limitata o preponderante si
possono distinguere i due casi noti:
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
Tale condizione comporta che a
vuoto il centro di pressione coincide
con il punto di nocciolo inferiore. In
esercizio il centro di pressione
coincide con il punto di nocciolo
superiore. Tali condizioni si
esprimono analiticamente:
Vuoto
Esercizio
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
Vuoto
Sottraendo la seconda alla
prima si ottiene l’espressione
dello sforzo di precompressione
in esercizio, assieme alla
eccentricità del cavo ep.
Esercizio
æ (1- g ) M + M ö
G
p+q
÷
N e = çç
÷
ks + ki
è
ø
g MG
e p = ki +
Ne
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
Esempio 6.2a: Si consideri una trave in c.a.p. con luce L=13 m.
Nell’ipotesi che le cadute lente siano pari al 20 %, (γ = 0.8) e che
il momento dovuto ai sovraccarichi permanenti e variabili
Mp+q=500 km, determinare lo sforzo di precompressione e la
posizione del cavo risultante in condizioni di precompressione
totale.
N, ep ?????
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
Calcolo caratteristiche geometriche della sezione:
Area sezione: Ac = 0,2100 m2
Area armatura di precompressione
Momento d’inerzia:
Punti di nocciolo:
Aap = 1430 mm2
Ig = 1,702´ 10-2 m4
ks =0.201 cm, ki=0,190 m
Calcolo sollecitazioni:
Le sollecitazioni in mezzeria sono:
Peso proprio:
Carico variabile:
Mg = (1/8) ´ Ac ´ gc´L2 = 110,9 KN m
Mq = 500 KN m
Siamo quindi nel caso Mg < 20% di Mg+Mp+q
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
Calcolo sforzo di precompressione:
Lo sforzo di precompressione può essere determinato applicando
la (6.11)1:
æ 500 + 110.9 ´ (1 - 0.8) ö
Ne = ç
÷ = 1336 KN
0.201 + 0.190
è
ø
Calcolo posizione cavo risultante:
Applicando la (6.11)2 si ottiene infine la posizione del cavo:
1336 kN, 0.256 m
e p = 0.19 +
0.8 ´ 110.9
= 0.256 m
1336
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
In tal caso si può tentare di applicare la
procedura del caso precedente, con il rischio
che la posizione del cavo risultante cada al di
fuori dalla sezione. Per evitare questa
eventualità è necessario prefissare la
posizione del cavo risultante in maniera che
essa rispetti le condizioni di copriferro
minimo. Rimane così da determinare l’unica
incognita del problema, ossia lo sforzo di
precompressione Ni
e p = y i - d min
Ne =
Ni =
M G + M p+q
e p + ks
Ne
g
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Totale
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
Nel caso di precompressione limitata, si ammette che sia in fase
iniziale che in esercizio ci sia trazione al lembo superiore e inferiore,
rispettivamente. In tal caso i centri di pressione a vuoto e in esercizio
risultano essere ovviamente esterni al nocciolo centrale d’inerzia.
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
Questi, noti in letteratura come punto limite inferiore e superiore, si
possono determinare osservando che la tensione di trazione nasce ad
opera di una variazione di momento interno che sposta il centro di
pressione dai punti di nocciolo inferiore e superiore ai rispettivi punti
limite. La loro espressione è la seguente:
Dki =
gWss ct ,i
Ne
Wis ct ,e
Dks =
Ne
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
Analogamente a quanto fatto per la precompressione totale si può
tentare di ottenere l’espressione dello sforzo normale in condizioni di
esercizio
Poiché Dki e Dks contengono entrambe il valore di Ne, per
determinare lo sforzo di precompressione occorre procedere per
successive iterazioni
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata: procedura di calcolo di Ne
Il processo iterativo può iniziare utilizzando un valore di N=Ne calcolato nel
caso di precompressione totale. Tale valore servirà a calcolare i valori di Dki e
Dks che serviranno a loro volta per calcolare il nuovo valore di Ne. Il processo
termina quando si giunge sotto un valore di tolleranza minima prestabilita
Si
No
N e ,i-1 = N e
Dki =
N e ,i - N e ,i-1
N e ,i -1
Ne
£ tol
gWss ct ,i
N e ,i -1
Dks =
Wis ct ,e
N e ,i-1
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
Esercizio 6.3: Effettuare il progetto di massima di una sezione
trasversale e dello sforzo di precompressione, in condizioni di
precompressione limitata, avendo a disposizione i seguenti dati:
scc,i
scc,e
Mp+q
(kNm)
MG
(%)
h
(m)
fptk
(MPa)
(MPa)
(MPa)
450
10%
0.8
1050
16
13
sct,i
(MPa)
sct,e
(MPa)
g
1.6
1.3
0.86
Poiché siamo nel caso di MG/(MG+Mp+q)=piccolo (10%), conviene
adottare una sezione a doppia T. Visto il valore esiguo di MG il
valore di N si predimensionare in base al solo Mp+q.
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
Le perdite stimate sono pari al 1-0.86=14 % .
La sezione prescelta ha le seguenti proprietà
(riferite alla sola sezione in cls):
Ac = 0.177 m2
Ig = 1,40 ´ 10-2 m4
Ws=Wi=0.0354 cm3
ki = ks = 0.195 m
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
Affinché la sezioni risulti verificata è necessario che i moduli di
resistenza a flessione superiore ed inferiore rispettino le condizioni
6.7 e 6.8:
s
Wid =
Wid
s
(1 - g ) M G + M p + q
= 0.032 @ 0.00320cm3
s ct ,e - gs ct ,i
(1 - g ) M G + M p + q
=
= 0.031 @ 0.0310cm3
gs cc ,i - s ct ,e
La sezione risulta dunque ben dimensionata.
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
Con questi dati si determina il valore di N e la posizione del cavo
risultante mediante le 6.13,14 e 6.16. Essendo il caso tratto di
precompressione limitata è necessario procedere per iterazioni.
Come valore iniziale dello sforzo di precompressione
consideriamo
Ne=1125kN
calcolata
in
fase
di
predimensionamento.
Iterazioni
Indice iterazioni
1
2
3
4
6
∆ki
(kN)
0,043
0,050
0,051
0,051
0,051
∆ks
(kN)
- 0,035
- 0,040
- 0,041
-0,042
-0,042
Ne
(kN)
1125
976
952
948
947
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Precompressione Limitata
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Diagramma di Magnel
In alternativa al procedimento prima illustrato è possibile determinare la coppia N ed e
mediante un diagramma sintetico detto diagramma di Magnel.
Per la sua determinazione si utilizzando le diseguaglianze che esprimono le condizioni di
sicurezza imposte dalla normativa:
ì
N e N ee M G
s
£
+
ï ct,i
ï
g A g Ws Ws
í
ïs £ N e + N ee - M G
ïî cc,i g A g Wi Wi
Lembo Sup
VUOTO
Lembo Inf
ì
N e N ee M G + M p+q
+
ïs ct,e £
ï
A Ws
Ws
í
ïs £ N e + N ee - M G + M p+q
ïî cc,e A W
Wi
i
Condizioni di Verifica in travi di CAP
Lembo Sup
ESERCIZIO
Lembo Inf
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Diagramma di Magnel
Dalle precedenti si possono ricavare quattro diseguaglianze in termini di Ne ed eccentricità
e, che individuano un area entro la quale scegliere i valori nel rispetto delle condizioni di
sicurezza. Ad esempio dalla prima delle precedenti si ricava la seguente relazione:
N e N ee M G
s ct,i £
+
g A g Ws Ws
N e N ee M G
+
g A g Ws Ws
MG
Ne æ 1 e ö
- s ct,i £
ç - ÷
Ws
g è A Ws ø
N e æ Ws ö
M G - Wss ct,i ³
çe - ÷
g è
Aø
-s ct,i ³ -
1)
Ws
e1 1
A
³
N e g M G -Wss ct,i
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Diagramma di Magnel
Dalla seconda delle precedenti …..
N e N ee M G
+
g A g Wi Wi
MG
Ne æ 1 e ö
+ s cc,i ³
ç + ÷
Wi
g è A Wi ø
s cc,i ³
N e æ Wi ö
M G + Wis cc,i ³
çe + ÷
g è
Aø
2)
Wi
e+
1 1
A
³
N e g M G +Wis cc,i
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Diagramma di Magnel
Dalla terza…..
N e N ee M G + M p+q
+
g A g Wi
Wi
æ Wi ö
M G + M p+q + Wis ct,e £ N e ç e + ÷
è
Aø
s ct,e £
3)
Wi
e+
1
A
£
N e M G + M p+q +Wis ct,e
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Diagramma di Magnel
Dalla quarta…..
N e N ee M G + M p+q
+
g A gWs
Ws
æ Ws ö
M G + M p+q - Wss cc,e £ N e ç e - ÷
è
Aø
s cc,e ³
4)
Ws
e1
A
£
N e M G + M p+q -Wss cc,e
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IL PROGETTO DEFINITIVO DELLA SEZIONE
Determinazione dello sforzo di precompressione
Diagramma di Magnel (esercizio 6.3)
0,003
Serie1
1/Ne
Serie2
3
1
0,002
Serie3
4
Serie4
0,001
2
0
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
e
60
-0,001
-0,002
-0,003
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