3° CONVEGNO NAZIONALE
SICUREZZA ED ESERCIZIO FERROVIARIO:
TECNOLOGIE E REGOLAMENTAZIONE PER LA
COMPETIZIONE
Previsione delle vibrazioni ferroviarie:
modelli teorici e agli E.F.
G. Cantisani1, G. Loprencipe1, P. Zoccali1
1DICEA
– Sapienza, Università di Roma, Via Eudossiana 18, 00184 Roma
MODELLI TEORICI
I modelli teorici presenti in letteratura forniscono un valido ausilio alla
comprensione del fenomeno vibratorio, consentendo la caratterizzazione dei
parametri coinvolti e l’individuazione del loro range di influenza.
PROBLEMA DI LAMB (1904)
Analisi della propagazione delle onde elastiche sulla superficie di un semispazio
elastico omogeneo e isotropo soggetto ad un carico verticale applicato sulla
superficie stessa.
 Forza verticale (impulso)
 Forzante armonica verticale
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IMPULSO VERTICALE PUNTUALE
Data la complessità della soluzione fornita da Lamb (1904), diversi autori
hanno ricercato soluzioni in forma chiusa di più facile utilizzo per il caso di
forza verticale puntuale:
 Pekeris (1955) : calcolo delle componenti verticale ed orizzontale dello
spostamento per
 Mooney (1974) : riprese la soluzione di Pekeris incrementando l’intervallo
dei valori del coefficiente di Poisson
 Kausel (2012) : possibilità di determinare lo spostamento verticale ed
orizzontale prodotto dall’applicazione di una forza sia
verticale sia orizzontale per
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Componente verticale spostamento (m)
6.00E-04
Onde R
Onde P (compressione)
Onde R (Rayleigh)
Onde S (taglio)
4.00E-04
Onde P
2.00E-04
0.00E+00
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
Deformazione residua
-2.00E-04
-4.00E-04
-6.00E-04
Tempo (s)
Componente verticale spostamento (m)
6.00E-04
4.00E-04
r = 10 m
r=5m
2.00E-04
0.00E+00
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
-2.00E-04
-4.00E-04
-6.00E-04
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Tempo (s)
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FORZANTE ARMONICA PUNTUALE
 Soluzione generale:
R
P
S
in cui x è la distanza dalla sorgente, kP , kS , kR sono i numeri d’onda, ω è la pulsazione della
forzante e P il suo modulo, μ è il modulo di resistenza a taglio del terreno ed i coeff. N,M,N1,M1
sono funzioni dei soli numeri d’onda.
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 Soluzione particolare per un semispazio omogeneo e infinito, in cui l’unica condizione
al contorno presente è la superficie del terreno:
r = 15 m
9.00E-05
8.00E-05
Modulo Onde P
Modulo Onde S
Modulo Onde R
7.00E-05
w [m]
6.00E-05
5.00E-05
4.00E-05
3.00E-05
2.00E-05
1.00E-05
0.00E+00
0
1
2
3
4
f [Hz]
5
6
7
8
9
10
r = 200 m
5.00E-07
w [m]
4.50E-07
4.00E-07
Modulo Onde P
3.50E-07
Modulo Onde S
Modulo Onde R
3.00E-07
2.50E-07
2.00E-07
1.50E-07
1.00E-07
5.00E-08
0.00E+00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f [Hz]
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Modelli teorici elementari
Carichi applicati direttamente sulla
superficie del semispazio elastico
Necessità di implementare modelli analitici più complessi in cui si tenga
conto della presenza della sovrastruttura ferroviaria.
Sovrastruttura
Terreno
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Tra i vari modelli presenti in letteratura vi è quello proposto da Krylov e Ferguson
(1994), il quale sembra fornire risultati affidabili.
MODELLO PREVISIONALE DI KRYLOV
Individua come causa principale di eccitazione per le basse frequenze il
meccanismo di pressione quasi-statica generato dal carico trasmesso dalle ruote
dei carrelli al sistema sovrastruttura-terreno.
Ciascuna traversa, ai fini dell’applicazione del carico, è vista come una singola
sorgente puntuale in cui agisce una forza verticale che produce la deflessione.
Tale modello prende inoltre in considerazione l’eccitazione parametrica dovuta
all’interasse delle traverse mentre trascura il contributo fornito dalle irregolarità
delle superfici a contatto.
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Nel modello di Krylov si tiene conto esclusivamente del contributo fornito dalle
onde di Rayleigh in quanto queste trasportano la maggior parte dell’energia
vibrazionale (circa 2/3 dell’energia complessiva).
FASI PRINCIPALI :
1. Determinazione della funzione rappresentativa della curva di deflessione w(t)
in funzione delle caratteristiche della sovrastruttura;
2.
Individuazione della funzione di carico P(t) funzione, oltre che della
deflessione, anche delle caratteristiche geometriche del treno;
3.
Calcolo dello spettro in frequenza della velocità verticale Vz (ω) applicando la
soluzione del problema di Lamb espressa tramite la funzione di Green.
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In generale, i vari modelli teorici presenti in letteratura, siano essi riferiti al
semplice semispazio o comprensivi della sovrastruttura ferroviaria, presentano
una serie di approssimazioni e semplificazioni che non consentono una
valutazione corretta del fenomeno vibratorio.
MODELLI AGLI ELEMENTI FINITI
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MODELLI E.F.
Lo sviluppo della modellazione agli elementi finiti e dei relativi programmi di
calcolo ha fornito senza dubbio un impulso notevole allo studio delle
vibrazioni in ambito ferroviario.
Tramite tali modelli è possibile caratterizzare la sovrastruttura ferroviaria da
un punto di vista dinamico.
È possibile individuare le frequenze critiche per il sistema in esame,
eseguendo un’analisi modale della sovrastruttura.
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Inoltre vi è la possibilità di analizzare la risposta fornita dal sistema
all’applicazione di carichi esterni.
In genere si determina la ricettanza tramite applicazione di una singola forza
unitaria.
Ricettanza (m/N)
1.E-08
1.E-09
1.E-10
1.E-11
1
10
100
1000
Frequenza (Hz)
FRF per armamento e massicciata con carico unitario applicato sulla traversa.
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Tramite i software agli elementi finiti è possibile modellare l’intero sistema
sovrastruttura/terreno.
Per la pre-validazione del modello previsionale di Krylov è stato realizzato un
modello rappresentativo di un tratto in rettifilo di lunghezza pari a 50 m, sul quale è
stata eseguita un’analisi dinamica diretta (tramite metodo di risoluzione implicito).
Per la realizzazione del modello sono stati impiegati elementi solid 3D hexahedral
8 nodes brick.
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In considerazione della limitata estensione del modello, è stato preso in esame
l’avanzamento di una singola carrozza avente le seguenti caratteristiche:
 Carico: 105 kN
 Distanza tra gli assi dei carrelli: 7 m
 Distanza assi singolo carrello: 3 m
 Velocità: 200 km/h
Incremento temporale
Criterio di convergenza
in cui Le,min è la dimensione minima degli elementi modellati e c è la velocità di
propagazione nel mezzo delle onde elastiche.
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Al fine di evitare fenomeni di riflessione delle onde elastiche in corrispondenza
delle superfici limite del modello, sono state inserite opportune condizioni al
contorno assorbenti.
dove ρ è la densità di volume del terreno;
ni è il numero di elementi concorrenti nel nodo, aventi una faccia posta sul contorno della
zona modellata, ortogonale a i ( con i = x, y, z );
A x,k è l’area della faccia esterna, ortogonale alla faccia x, del k-esimo elemento;
Ay,j è l’area della faccia esterna, ortogonale alla faccia y, del j-esimo elemento;
Az,i è l’area della faccia esterna, ortogonale alla faccia z, del i-esimo elemento;
CP e CS sono rispettivamente le velocità di propagazione delle onde P e S.
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Livello di accelerazione ( dB )
140
120
100
y = -0.2503x + 110.51
R² = 0.8469
80
60
40
y = -0.2146x + 103.58
R² = 0.7115
20
0
0
50
100
150
200
250
300
350
Frequenza ( Hz )
Modello FEM
Wave Prevision
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Linear (Modello FEM)
Linear (Wave Prevision)
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Vantaggi nell’utilizzo di modelli agli E.F. :
 Analisi dettagliata di fenomeni locali
 Analisi di sistemi più complessi
Gallerie ferroviarie
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Viadotti ferroviari
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 Valutazione dell’efficacia degli interventi di mitigazione
Trincea vuota o piena
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Principali svantaggi nell’utilizzo di modelli agli E.F. :
 Necessità di definire in maniera dettagliata tutti i parametri concorrenti
nella descrizione del fenomeno vibratorio
Letteratura carente per alcune tipologie di
parametri (e.g. capacità dissipativa elementi
sovrastruttura)
 Elevato onere computazionale.
Tempi di analisi maggiori rispetto ai
modelli teorici
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CONCLUSIONI
MODELLI TEORICI
Modelli previsionali
Possibilità di migliorare i risultati
forniti dai modelli teorici
MODELLI E.F.
Analisi di particolari
configurazioni e di effetti
locali
Appare inoltre necessario ed auspicabile approntare opportune campagne di
misurazioni sperimentali al fine di misurare i parametri caratteristici e validare i
risultati forniti dai modelli previsionali.
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