Modena - 15 ottobre 2014
Incontro laboratoriale 1
L’early algebra
e le competenze in ambito linguistico
Giancarlo Navarra
GREM, Università di Modena e Reggio Emilia
Ambiti delle competenze nel Curricolo ArAl
A.
B.
C.
D.
E.
Linguaggio
Forma canonica e non canonica del numero
Approccio all’incognita e alle equazioni
Approccio ai concetti di variabilità/variabile
Dalle successioni modulari alle leggi di
corrispondenza
F. Verso le funzioni
G. Utilizzare il linguaggio algebrico per indagare
su conoscenze pregresse e per successivi
approfondimenti ed ampliamenti di insiemi
numerici dai naturali ai razionali, agli interi
relativi
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2
Prova di verifica delle competenze
Curricolo di matematica
per la scuola primaria e secondaria di primo grado
nella prospettiva
di un approccio precoce all’algebra (early algebra)
Iniziamo dagli esiti di una sperimentazione: una
prova per la verifica delle Competenze
nell’ambito linguistico –A) proposta nel giugno
2014 in tre prime, tre seconde, tre terze, una
quarta e due quinte di Trieste (12 classi, di cui tre
‘ArAl’, 204 alunni).
Non ci sono classi di scuola secondaria.
Per ognuna delle sei competenze sono state
proposte tre frasi (in linguaggio naturale o
matematico) adeguate all’età degli alunni.
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Le sei competenze in ambito linguistico (A)
A1. Tradurre in linguaggio naturale un numero
espresso in forma non canonica;
Es: 3×2+5
A2. Tradurre in linguaggio matematico un
numero espresso attraverso una definizione
procedurale;
Es: Aggiungi 9 alla somma fra 4 e 15
A3. Tradurre in linguaggio matematico un
numero espresso attraverso una definizione
relazionale.
Es: Il doppio della somma fra 51 e 37
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Competenze A4, A5, A6
A4. Esprimere in linguaggio naturale il confronto
tra numeri scritti in forma canonica e non
canonica, cogliendo le equivalenze senza calcoli
scritti e argomentando le scelte
Es: 6×n-4 e 4+n×3×2
A5. Ricavare scritture equivalenti ad una data
esplicitando, dov’è possibile, le proprietà
applicate
Es: 27-▲=15
A6. Completare frasi scritte in linguaggio
matematico in cui un punto di domanda
sostituisce un segno
Es: 5×0 ? 0:12
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Competenza A1, seconda primaria
Il laboratorio si basa sulle risposte fornite da 56
alunni di tre seconde a questa consegna:
A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2
Le traduzioni verranno analizzate da due punti di
vista:
1. Cosa ci dicono della didattica attraverso la
quale sono state costruite le conoscenze
relative alla moltiplicazione? (rivolto ai docenti)
2. Come possiamo utilizzare le traduzioni per
promuovere nella classe una riflessione sui loro
significati? (implementazione in classe)
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Prima parte
A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2
1. Cosa ci dicono della didattica attraverso la
quale sono state costruite le conoscenze
relative alla moltiplicazione? (rivolto ai docenti)
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A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria)
Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1)
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3);
5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo
moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1);
A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1);
Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere
due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per
due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1);
Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due
volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1);
Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il
numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1);
Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre
scritto (1); sbagliati: cinque più due (1)
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A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria)
Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1)
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3);
5Cilosono
moltiplico
per 2 [volte]
(4); Possiedo
e lo
informazioni
che permettano
di 5ipotizzare
moltiplico
per concettuale’
2 (1); Cinque degli
ripetuto
per che
2 volte
(1);
un ‘retroterra
alunni
li ha
A
5 moltiplico
2 (2); Da le
5 ripeto
per 2 volte (1);
portati
ad organizzare
loro frasi?
Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere
Emergono segnali che indichino i modi nei quali
due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per
sono state costruite le loro conoscenze nel corso
due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1);
dei primi due anni della scuola primaria?
Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due
volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1);
Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il
numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1);
Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre
scritto (1); sbagliati: cinque più due (1)
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A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria)
Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1)
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3);
5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo
moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1);
A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1);
Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere
due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per
due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1);
Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due
volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1);
Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il
numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1);
Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre
scritto (1); sbagliati: cinque più due (1)
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A1: tradurre 5×2 (seconda primaria) (seconda primaria)
Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1)
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3);
5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo
moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1);
A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1);
Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere
segnali moltiplico per
due volte il cinque Alcuni
(1); A cinque
due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1);
Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due
volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1);
Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il
numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1);
Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre
scritto (1); sbagliati: cinque più due (1)
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte];
5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo
moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte;
A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte;
Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2;
Ripetere due volte il cinque;
A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5;
5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte;
Prendo per due volte il cinque;
Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5;
Segnale 1
Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più
Aspetti fondativi del concetto di moltiplicazione:
due uguale dieci;
compaiono spesso i termini volte e ripetere.
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte];
5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo
moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte;
A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte;
Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2;
Ripetere due volte il cinque;
A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5;
5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte;
Segnale
2 due volte il cinque;
Prendo
per
La
concretezza
degli
esordi:
‘possiedo’
Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5;
(probabile
di problemi
verbali),
Bisogna
fareresiduo
con il ×diil testi
numero
5 e 2; Cinque
più
‘prendo’
(permane
la manipolazione di oggetti
due
uguale
dieci;
e poi di numeri).
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte];
5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo
moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte;
A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte;
Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2;
Ripetere due volte il cinque;
ASegnale
cinque 3
moltiplico per due; Raddoppio 5;
operativi:
fare (spessoil accompagnato
5Aspetti
raddoppio
2; Raddoppiare
5 × 2 volte;
da verbi
in due
funzione
Prendo
per
volteassertiva
il cinque;– Devi, bisogna)
Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5;
Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più
due uguale dieci;
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per
2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque
ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto
per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2;
Ripetere due volte il cinque;
A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5;
4 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte;
5Segnale
raddoppio
Il permanere
di volte
indicazioni
ad un puro livello
Prendo
per due
il cinque;
formale:
di consigli
e
Devo
fareprobabile
5 preso 2 residuo
volte; Devi
fare 2 volte
5;
avvertimenti
datiildall’insegnante
Bisogna
fare con
× il numero 5 e 2; Cinque più
due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre
scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il
risultato e vedrai che fai bene
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15
I ‘segnali’
I ‘segnali’:
• gli aspetti fondativi (volte, ripetere)
• la concretezza degli esordi (possiedo, prendo)
• gli aspetti operativi (fare, devi, bisogna)
• il permanere di indicazioni a livello formale
fanno parte dell’epistemologia matematica
degli alunni (Schoenfeld) che condiziona, nel
bene e nel male, i modi attraverso i quali essi
affrontano l’evolversi della disciplina.
Sono in gran parte, a questa età, più lo
specchio di fattori esterni (l’insegnante) che il
frutto di una rielaborazione personale.
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I ‘segnali’
I ‘segnali’ che traspaiono dalle traduzioni (in
misure diverse, da alunno ad alunno)
rappresentano atteggiamenti individuali che
probabilmente, in una pur efficace didattica
tradizionale, tendono a non emergere.
La discussione collettiva permette non solo la
loro emersione ma anche il loro confronto.
Attraverso il confronto si apre la negoziazione sui
significati (quale frase è più chiara? Più
‘matematica’? Più ‘evoluta’? Più trasparente?
Sbagliata‘?) che dovrà condurre ad una
condivisione ragionata della/e frase/i
considerata più corretta.
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Seconda parte
A1: Traduci in linguaggio naturale la frase 5×2
2. Come possiamo utilizzare le traduzioni per
promuovere nella classe una riflessione sui loro
significati?
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A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Immaginate che queste traduzioni siano state
proposte dai vostri alunni.
A partire da questo elenco molto disordinato
come potrebbe essere organizzata un’attività
centrata sulla riflessione da proporre alla classe
che spinga gli alunni a mettersi in gioco? (nella
quale quindi l’insegnante svolga un ruolo defilato,
come smistatore di traffico argomentativo).
NB: alla classe non proporreste certamente tutte
le traduzioni ma fareste una selezione
significativa. Ora le consideriamo tutte perché è
una simulazione ‘per soli adulti’.
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per
2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque
ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto
per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2;
Ripetere due volte il cinque;
A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5;
5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte;
Prendo per due volte il cinque;
Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5;
Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più
due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre
scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il
risultato e vedrai che fai bene
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per
2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque
L’esperienza
che
durante l’analisi
ripetuto
per 2mostra
volte; A
5 moltiplico
2; Da 5 ripeto
collettiva
delle
frasi5gli
alunni
sanno
riconoscere
per
2 volte;
Ripeto
per
2 volte;
5 ripeto
per 2;
che:
Ripetere
due volte il cinque;
• ilcinque
terminemoltiplico
‘volte’ non
è due;
importante;
A
per
Raddoppio 5;
termini ‘ripetere’,
‘fare’ o ‘prendere’
sono meno
5• i raddoppio
2; Raddoppiare
il 5 × 2 volte;
significativi
di ‘moltiplicare’,
o ‘raddoppiare’;
Prendo
per due
volte il cinque;
• certifare
modi
di dire2non
si usano,
ad 2es:
‘A 55;
Devo
5 preso
volte;
Devi fare
volte
moltiplico
‘Raddoppio
il 5 per
due
volte’;più
Bisogna
fare2’,con
il × il numero
5 e 2;
Cinque
• le ultime
‘dicono’
molto
meno
delle
altre.
due
ugualefrasi
dieci;
Il risultato
deve
essere
sempre
↓ l’operazione; Tu scrivi il
scritto; Devi fare con i segni
Accettano
cancellarle:
risultato e vedrai
che faidi
bene
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per
2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque
ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto
per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2;
Ripetere due volte il cinque;
A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5;
5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte;
Prendo per due volte
il cinque;
Rimangono:
Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5;
Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più
due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre
scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il
risultato e vedrai che fai bene
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22
Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per 2; 5 lo moltiplico per 2; Possiedo 5
e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte;
Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due
volte il cinque; Raddoppio 5;
Prendo per due volte il cinque;
Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5;
Bisogna fare con il × il numero 5 e 2
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23
Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per 2; 5 lo moltiplico per 2; Possiedo 5
e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte;
Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due
volte il cinque; Raddoppio 5;
Se proponiamo
di raggruppare
Prendo
per due volte
il cinque; frasi simili (attività
sulle parafrasi)
è molto
probabile
che
emergano
Devo
fare 5 preso
2 volte;
Devi fare
2 volte
5;
queste categorie:
Bisogna
fare con il × il numero 5 e 2
• Frasi in cui compare il verbo ‘moltiplicare’;
• Frasi in cui compare il verbo ‘ripetere’;
• Frasi in cui compare il verbo ‘raddoppiare’;
• Frasi in cui compaiono verbi come ‘bisogna’,
‘devi’, ecc;
• Frasi senza verbo.
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Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
5 moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte];
5 lo moltiplico per 2 [volte];
Possiedo 5 e lo moltiplico per 2
5 ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte;
5 ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5
Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte
Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte;
Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero
5e2
5 per due (25)
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25
Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
5 moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte];
5 lo moltiplico per 2 [volte];
Possiedo 5 e lo moltiplico per 2
5Laripetuto
persulle
2 volte;
5 per
2 volte;
riflessione
frasi Ripeto
porta ad
una
ulteriore
5selezione
ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5
Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte
Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte;
Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero
5e2
5 per due (25)
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26
Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
5 moltiplicato per 2;
Moltiplico 5 per [con] 2 [volte];
5 lo moltiplico per 2 [volte];
Possiedo 5 e lo moltiplico per 2
5 ripetuto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte;
5 ripeto per 2; Ripetere 2 volte il 5
Raddoppio 5; Raddoppiare il 5 × 2 volte
Prendo per 2 volte il 5; Devo fare 5 preso 2 volte;
Devi fare 2 volte 5;
Bisogna fare con il × il numero 5 e 2
5 per due (25)
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27
Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda primaria)
5 per due
Moltiplico 5 per 2
Ripeto 5 per 2 volte
Raddoppio 5
Definizioni
procedurali
Prodotto fra 5 e 2
Doppio di 5
Definizioni
relazionali
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28
Seconda parte
Un secondo esempio per A1 (quinta)
Traduci in linguaggio naturale la frase (5+4)×2
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29
Il doppio della somma di 5 e di 4 (1)
Il prodotto di 2 e la somma di 5 e 4 (1)
Il prodotto tra la somma di 5 e 4 e 2 (2)
Raddoppia la somma di 5 e 4 (3)
Moltiplica per 2 la somma di 5 e 4 (7)
Raddoppia la somma di 5 per il numero che lo
precede (2)
Due moltiplicato il risultato di 5 più 4 (1)
Fai la somma di 5 e 4 e moltiplica per 2 (1)
La somma di 5 e 4 del prodotto di 2 (1)
Aperta parentesi tonda 5 più 4 chiusa per 2 (6)
5 più 4 per 2 (12)
Devi addizionare 5 e 4 il risultato per 2 (2)
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30
ArAl
Competenza A1: tradurre (5+4)×2 (quinta)
Competenza A1: tradurre 5×2 (seconda)
Il doppio della somma di 5 e di 4 (1)
Il prodotto di 2 e la somma di 5 e 4 (1)
Il prodotto tra la somma di 5 e 4 e 2 (2)
Raddoppia la somma di 5 e 4 (3)
Moltiplica per 2 la somma di 5 e 4 (7)
Raddoppia la somma di 5 per il numero che lo
precede (2)
Due moltiplicato il risultato di 5 più 4 (1)
Fai la somma di 5 e 4 e moltiplica per 2 (1)
La somma di 5 e 4 del prodotto di 2 (1)
Aperta parentesi tonda 5 più 4 chiusa per 2 (6)
5 più 4 per 2 (12)
Devi addizionare 5 e 4 il risultato per 2 (2)
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31
Seconda parte
Un terzo esempio per la competenza A2 (quinta):
Tradurre in linguaggio matematico un numero
espresso attraverso una definizione procedurale:
Dividi per 2 la somma fra 5 e il numero precedente
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32
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V)
(Classe ArAl, non ArAl)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(4+5):2 (13, 3)
(5+4):2=4,5 (1)
2:(5+4) (1)
(5+4)×2 (1)
5+4=9:2=4,5 (1)
(5×4):2 (1)
9:2= (1, 2)
4. R. 1 (1)
5×6:2 (1)
j) 5+4=9:2=4,5 (2)
k) 5+4=9:2=4 R2 (1)
l) 5:4=1×1 (1)
m) 5+4=9 9:2=4,5 (1)
n) 9:2=4,5 (2)
o) 3 (1)
p) 5+4=9:2 (1)
q) 5+4=9 9:2=4,5 (1)
Analizziamo le frasi in chiave early algebra
Modena - 15 ottobre 2014
33
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V)
(Classe ArAl, non ArAl)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(4+5):2 (13, 3)
(5+4):2=4,5 (1)
2:(5+4) (1)
(5+4)×2 (1)
5+4=9:2=4,5 (1)
(5×4):2 (1)
9:2= (1, 2)
4. R. 1 (1)
5×6:2 (1)
j) 5+4=9:2=4,5 (2)
k) 5+4=9:2=4 R2 (1)
l) 5:4=1×1 (1)
m) 5+4=9 9:2=4,5 (1)
n) 9:2=4,5 (2)
o) 3 (1)
p) 5+4=9:2 (1)
q) 5+4=9 9:2=4,5 (1)
Una riflessione di carattere generale
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34
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V)
Attraverso attività come questa vengono
promosse negli alunni competenze relative
all’interpretazione delle scritture in linguaggio
matematico nei loro aspetti semantici e sintattici,
alla ricerca della loro maggiore o minore
aderenza alla frase iniziale:
a livello linguistico:
• al significato della frase ‘Dividi per due… ‘ che
induce in molti ad effettuare calcoli;
a livello metalinguistico:
• al significato della consegna ‘Traduci’ che
conduce alla categoria del rappresentare
contrapposta a quella del risolvere.
Modena - 15 ottobre 2014
35
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V)
(Classe ArAl, non ArAl)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
(4+5):2 (13, 3)
(5+4):2=4,5 (1)
2:(5+4) (1)
(5+4)×2 (1)
5+4=9:2=4,5 (1)
(5×4):2 (1)
9:2= (1, 2)
4. R. 1 (1)
5×6:2 (1)
j) 5+4=9:2=4,5 (2)
k) 5+4=9:2=4 R2 (1)
l) 5:4=1×1 (1)
m) 5+4=9 9:2=4,5 (1)
n) 9:2=4,5 (2)
o) 3 (1)
p) 5+4=9:2 (1)
q) 5+4=9 9:2=4,5 (1)
Si cancellano delle frasi
Modena - 15 ottobre 2014
36
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V)
(Classe ArAl, non ArAl)
a)
b)
c)
d)
e)
(4+5):2 (13, 3)
(5+4):2=4,5 (1)
9:2= (1, 2)
5+4=9 9:2=4,5 (1)
9:2=4,5 (2)
Molti alunni si rendono conto che la
consegna chiede di tradurre, e non di
effettuare operazioni e propongono di
cancellare le scritture che contengono le
operazioni e/o il risultato.
Modena - 15 ottobre 2014
37
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V)
(Classe ArAl, non ArAl)
a) (4+5):2 (13, 3)
b) 9:2= (1, 2)
Scritture come ‘9:2=‘ conducono alle categorie
note come ‘sindrome da mancanza di
risultato’ o ‘mancanza di chiusura’: gli alunni
vedono 9:2 solo come operazione e quindi
aggiungono l’uguale, come per preparare
l’inevitabile conclusione di una storia che senza
risultato non sta in piedi.
Modena - 15 ottobre 2014
38
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V)
(Classe ArAl, non ArAl)
a) (4+5):2 (13, 3)
b) 9:2= (1, 2)
Cosa si può dire di 4+5 e 9?
4+5 è più trasparente (rappresentazione non
canonica di 9, mostra il processo) rispetto a 9
(rappresentazione del prodotto, opaco rispetto
al processo che l’ha generato).
4+5 è più aderente a frase iniziale perché
contiene gli stessi numeri.
Approfondiremo fra poco questo aspetto.
Modena - 15 ottobre 2014
39
A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’
Possiamo guidare la classe
a) (4+5):2
verso una rappresentazione
b) .5  (5 1): 2 che esprima in modo più
trasparente le relazioni fra i
5  (5  1)
c)
numeri in gioco (si pensi alla
2
frase iniziale)?
Collochiamo ora questi episodi in un
contesto generale facendo riferimento a dei
costrutti teorici accompagnati da un
esempio relativo ad una prima secondaria.
Modena - 15 ottobre 2014
40
COMPORTAMENTO CONSUETO
Tradizionalmente, nella scuola primaria italiana,
gli studenti si abituano a vedere i numeri come
termini di un'operazione o come risultati.
Questo porta, tra l'altro, a vedere la soluzione di
un problema come ricerca di operazioni da
effettuare. Il punto di vista prevalente è quindi di
natura procedurale: i numeri sono entità che
devono essere manipolate.
Gli studenti non sono guidati verso la riflessione,
attraverso l'analisi della rappresentazione del
numero, sulla sua struttura.
Gli insegnanti raramente spiegano che...
September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy) 41
UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA
... ogni numero può essere rappresentato in
diversi modi, attraverso una qualsiasi espressione
equivalente ad esso: uno (ad esempio 12) è il
suo nome, la cosiddetta forma canonica, tutti gli
altri modi di nominarlo (3×4, (2+2)×3, 36/3, 10+2,
3×2×2, ...) sono forme non canoniche, e ognuna
di loro riceverà un senso in relazione al contesto
e al processo sottostante. La forma canonica,
che rappresenta un prodotto, è opaca in termini
di significati. La forma non canonica rappresenta
un processo ed è trasparente in termini di
significati.
September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy) 42
UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA
Saper riconoscere e interpretare queste forme
crea negli alunni la base semantica per
accettare e comprendere, negli anni successivi,
scritture algebriche come a-4p, ab, x2y, k / 3.
Il complesso processo che accompagna la
costruzione di queste competenze dovrebbe
essere sviluppato nel corso dei primi anni di
scuola.
Il concetto di forma canonica / non-canonica
comporta per gli alunni (e per i docenti)
implicazioni essenziali per riflettere sui possibili
significati attribuiti al segno di uguaglianza.
Vediamo un esempio di queste competenze:
September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy) 43
Esempio (11 anni) - UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA
Gli alunni hanno il compito di rappresentare in
linguaggio matematico la frase: "Raddoppia la
somma fra 5 e il numero successivo.“
Quando le proposte vengono visualizzate alla
lavagna Diana indica la frase di Filippo e
giustifica la sua scrittura: "Filippo ha scritto
2×(5+6) ed è giusto. Ma io ho scritto 2×(5+5+1)
perché in questo modo è evidente che il numero
successivo a 5 è una unità più grande. La mia
frase è più trasparente".
Cosa possiamo dire della frase di Diana?
September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy) 44
Esempio (11 anni) - UNA PROSPETTIVA PRE-ALGEBRICA
Gli alunni hanno il compito di rappresentare in
linguaggio matematico la frase: "Raddoppia la
somma fra 5 e il numero successivo.“
Quando le proposte vengono visualizzate alla
lavagna Diana indica la frase di Filippo e
giustifica la sua scrittura: "Filippo ha scritto
2×(5+6) ed è giusto. Ma io ho scritto 2×(5+5+1)
perché in questo modo è evidente che il numero
successivo a 5 è una unità più grande. La mia
frase è più trasparente".
Diana esalta gli aspetti relazionali del numero
resi evidenti dalla sua forma non-canonica.
September 21–26, 2014, Herceg Novi, Montenegro, Workshop Malara-Navarra (Italy) 45
Curricolo di matematica
A. LINGUAGGIO - Quinta
A1. Traduci in linguaggio naturale:
• 4×100+2×10+6 • Somma fra il prodotto di 4 e
100, il prodotto di 2 e 10 e 6;
• 15×2-32:2
• Somma fra il quadruplo di
100, il doppio di 10 e 6
• Differenza fra il doppio di 15
e la metà di 32
Perché è importante
attivare queste competenze?
Passa a: Primaria 1 2 3 4 5
Secondaria 1° 1 2 3
Secondaria 2° 1
46
Verso l’oggettivazione
Cosa è un oggetto matematico
(a+b)2
quadrato di un binomio
differenza di due cubi
a3–b3
(3–b3)(5a+4b)
prodotto di due binomi
La capacità di nominare gli oggetti dipende
dal fatto che lo studente non sia stato
abituato solo ad operare sugli oggetti:
(3+5)2=82=64
(3+5)2
3+5
quadrato di una somma
Modena - 17 settembre 2014
47
Curricolo di matematica
A. LINGUAGGIO
A4. Esprimere in linguaggio naturale il
confronto tra numeri scritti in forma canonica
e non canonica, cogliendo le equivalenze
senza calcoli scritti e argomentando le scelte
(attività sulla struttura delle rappresentazioni)
Riferimenti
• Unità 3
• Unità 4
• Unità 11
• GREM
• INVALSI
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3
48
Curricolo di matematica
Quinta primaria
Esprimi in linguaggio naturale il confronto fra i
seguenti numeri:
• 39
39+5
• ⅝
⅝×3
39-16
• 2d d+4
(con d punteggio di un dado variabile fra 1 e 6)
• (4+n)×5
• 3×0,5
5+(4×n)
0,5×2+0,5
4×5+5×n
0,5×3
0,5×1+0,5×2
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3
49
Curricolo di matematica
A. LINGUAGGIO
A5. Ricavare scritture equivalenti ad una data
esplicitando, dov’è possibile, le proprietà
applicate (attività sulla struttura delle
rappresentazioni additive, moltiplicative,
esponenziali)
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3
50
Curricolo di matematica
A. LINGUAGGIO
A5. Ricavare scritture equivalenti ad una data
esplicitando, dov’è possibile, le proprietà
applicate (attività sulla struttura delle
rappresentazioni additive, moltiplicative,
esponenziali)
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3
51
Curricolo di matematica
A. LINGUAGGIO
A6. Completare frasi scritte in linguaggio
matematico in cui un punto di domanda
sostituisce un segno
Riferimenti
• Elaborazioni da Prove INVALSI
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3
52
Curricolo di matematica
Prima secondaria primo grado
Completa le seguenti frasi inserendo un segno
al posto del ‘?’:
•
•
•
•
•
0:d=d ? d
153=157 ? 154
73 ? 70×74
(5+6)×3=5 ? 3 ? 6 ? 3
5a>6a ? 3a (aN)
Passa a: Copertina Obiettivi Prim: 1 2 3 4 5 Sec 1°: 1 2 3
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Piano del corso
Modena - 15 ottobre2014
54
Date
Incontro
Malara
Navarra
Giorno
Data
M0
mar
17.09
M1
mer
15.10
M2
mar
11.11
M3
mar
09.12
M4
mar
20.01
M5
mer
25.02
M6
mar
17.03
M concl
mer
29.04
Modena - 15 ottobre2014
55