MECCANICA QUANTISTICA
La teoria quantistica nacque dallo studio dell’irraggiamento dei
corpi (dallo studio del calore). La teoria classica
dell’irraggiamento prevede che ogni corpo, a temperatura
diversa dallo zero assoluto, emette una potenza:
P    A  T
4
Legge di Stefan-Boltzmann
P è la potenza emessa;
A è l’area della superficie;
T è la temperatura espressa in Kelvin;
 è un coefficiente di emissione che dipende dal materiale e varia tra
0 e 1, le superfici scure hanno ɛ=1; le superfici chiare hanno ɛ=0
  5,6703 10 8
costante di Stefan
W
m2  K 4
Per l’assorbimento la legge è simile. La potenza assorbita da un
corpo ha una forma simile
P    A  T
4
(1)
Legge di Stefan-Boltzmann
α è un coefficiente di assorbimento varia tra 0 e 1 e misura la
capacità del corpo di assorbire il calore tramite l’irraggiamento.
Se
4
la (1) diventa
P    A T
   1
Un buon emettitore è anche un buon assorbitore e il corpo si dice
corpo nero.
Il corpo nero è un perfetto assorbitore e un perfetto emettitore.
Il corpo nero si può rappresentare come una cavità munita di un
piccolissimo foro, per cui se una radiazione entra rimane
intrappolata subendo innumerevoli riflessioni.
Il corpo nero
Teoria classica
Si definisce potere emissivo e del corpo nero l’energia totale
emessa in tutte le direzioni dall’unità di superficie (corpo
caldo come il Sole) nell’unità di tempo

e   e d
e   J2    W2 
m s m 
(1)
0
dove eλ è data dalla legge di Rayleigh-Jeans
La (1) definisce l’energia del corpo nell’unità di tempo dall’unità di
superficie.
e 
2   c

4
 kB T
(2)
legge di Rayleigh-Jeans
kB è la costante di Boltzmann
kB
R


NA
J
K  mol  1,38 10  23 J
6,022 10 23
K
mol
8.314
Unità di misura di eλ
e
 m



W 
   s4 J K   
3

K
m 

m



W
 W 
e  d    3  m   2 
m
 m 
Il grafico della legge di Rayleigh-Jeans (per una certa temperatura)
è di tipo iperbolico
y
Grafico (λ, eλ)
k
x4
k  2    c  kB
eλ
W 
 3
m 
T k
T k
estremi
del
visibile

ultravioletti
infrarossi
m
A questo punto la teoria classica dell’irraggiamento prevedeva in
base alla (2) che all’aumentare della lunghezza d’onda λ (per una
certa temperatura), cioè procedendo verso gli infrarossi, il potere
emissivo eλ tende a zero e viceversa procedendo verso gli
ultravioletti (diminuendo la lunghezza d’onda) il potere emissivo
tende ad aumentare asintoticamente.
Vennero fatte delle misure, per confermare o meno tale teoria
classica delle radiazioni emesse dai corpi caldi (eλ).
L’andamento di eλ per varie temperature è il seguente:
eλ
W 
 3
m 
Rayleigh-Jeans
T4>T3>T2>T1
ultravioletto
 nm
eλ
W 
 3
m 
I λmax delle curve sono distribuiti secondo la legge di Wien
max  T  k
k  2,898 103 K  m
Le curve sperimentali rispettano la previsione di RayleighJeans, cioè all’aumentare della lunghezza d’onda il potere
emessivo tende a zero, però al diminuire di λ (procedendo verso
gli ultravioletti), il potere emissivo aumenta fino a raggiungere
un massimo, ma poi diminuendo ancora la lunghezza d’onda,
tende a zero.
Inoltre i massimi di tali curve sono spostati verso l’ultravioletto
via via che aumenta la temperatura (questo spiega perché un
corpo riscaldato prima è rosso poi, aumentando la temperatura
diventa rosso più chiaro fino al bianco azzurro).
Questo disaccordo tra teoria classica e risultati sperimentali fu
chiamato catastrofe ultravioletta (perché nella zona
dell’ultravioletto al diminuire di λ eλ non tende all’infinito bensì
a zero).
Il fisica tedesco Max Planck elaborò una teoria che cercava di
spiegare e di risolvere questo disaccordo.
Egli dimostrò che per spiegare l’andamento delle curve (a
campana) la cui espressione matematica (più complicata di quella
di Rayleigh-Jeans) è la seguente:
e 
2   c2

5
dove h è la costante di Planck
h

e
hc
 k B T
1
34
h  6,63 10 J  s
bisognava fare un’ipotesi completamente nuova rispetto alla
fisica classica: cioè un’ipotesi di quantizzazione dell’energia.
Ad esempio nella fisica classica l’energia di una molla elastica è
1
Eel   k  x 2
2
Può assumere qualsiasi valore (quanto piccolo si vuole), Planck
invece, rivoluzionando tale concezione, ipotizzò che i corpi
possono assumere energia in modo quantizzato, secondo la
formula
n=1,2,3…..
frequenza
(1)
E  n  h 

La più piccola quantità di energia che può essere scambiata in
natura detto, quanto di energia, è:
E  h 
n=1
n si chiama numero
quantico principale
Tutte le energia scambiate in natura sono multiple di h 
Esempio
Una massa m è attaccata ad una molla con costante elastica k; la
massa raggiunge una velocità massima v.
Dati m, k, vmax vogliamo ricavare l’energia di un quanto e il
numero quantico n.
E  K U
E  K 0
U=0
1
E   m  v2
2
Si trova l’energia cinetica
k 
1
 m  v2
2
Si trova il periodo di oscillazione T
1
1
k
 

T
2 
m
m
k
(2)
l’energia di 1 quanto è: E  h 
sostituendo la (2) nella (3) si ha:
T  2  
(3)
1
k
E  h

2  m
la (4) rappresenta l’ energia di un quanto
(4)
per determinare il numero quantico n dalla (1) si ricava:
E
n
h 
(5)
si sostituisce l’espressione dell’energia cinetica
1
 m  v2
n 2
h 
v
vmax  

k
A2  x 2
m
k
 A2
m
