Scuola Media
Liceo Scientifico
“Salesiani – Rainerum”
Elementi
di
Geometria
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Elementi di Geometria
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“Salesiani – Rainerum”
Introduzione: il nostro spazio
Altezza
Lo spazio in cui viviamo è uno spazio TRIDIMENSIONALE (3D) ciò vuol
dire che distinguiamo 3 DIMENSIONI:
In esso possiamo trovare o costruire
oggetti
TRI-DIMENSIONALI
Che possiamo considerare
UNI-DIMENSIONALI
Lunghezza
Che possiamo considerare
BI-DIMENSIONALI
[email protected]
Elementi di Geometria
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30
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Elementi geometrici
Per poter descrivere, lavorare, disegnare gli oggetti dello spazio bisogna definire
alcuni ELEMENTI GEOMETRICI che formano le fondamenta della geometria:
Punto
Secondo voi quali
possono essere
?
Spazio
Segmento
A
n
g
o
Retta
l
o
Linea
Superficie
Piano
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Elementi di Geometria
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Elementi geometrici FONDAMENTALI
Un elemento geometrico si definisce FONDAMENTALE se:
Secondo voi,CHE LO DESCRIVA
.- NON ESISTE UNA DEFINIZIONE
Cosa si intende per
.- È NECCESSARIO
PER COSTRUIRE
LE ALTRE FIGURE
Elementi geometrici
‘FONDAMENTALI
’
?
Punto
Retta
Spazio
?
Superficie
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Piano
?
Segmento
?
A
n
g
o
?
?
Elementi di Geometria
?
?
l
o
Linea
?
34 // 28
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Elementi geometrici FONDAMENTALI
PUNTO
NONNON esiste una definizione di PUNTO
Il PUNTO NON ha dimensioni
Le linee, le superfici, … sono insiemi di PUNTI :
Linea
Superficie
A
Secondo voi,
C’è una
diversa
disposizione
di punti
I PUNTI vengono
indicati
con le
lettere MAIUSCOLE:
tra linea e superficie? Cosa indica?
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Elementi di Geometria
P
?
H
B
45 // 28
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Elementi geometrici FONDAMENTALI
RETTA
NONNON esiste una definizione di RETTA
La RETTA è INFINITA (= non ha ne inizio ne fine) :
Il tratteggio alle estremità
indica che
NON c’è INIZIO e NON c’è FINE
Le RETTE vengono indicate con le lettere minuscole:
a
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s
Elementi di Geometria
r
b
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Elementi geometrici FONDAMENTALI
PIANO
NONNON esiste una definizione di PIANO
Il PIANO è INFINITO (= non ha ne inizio ne fine) :
I PIANI vengono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco:
p
b
a
[email protected]
Elementi di Geometria
67 // 28
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PUNTO e RETTA
Quando un punto P è “sopra”
a una retta si dice che:
r
P
Il punto appartiene alla retta:
Pr
oppure
Il punto NON appartiene alla retta:
La retta passa per il punto
Pr
r
P
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PUNTO e RETTA
Quante rette
Per un punto
passano
INFINITE rette
posso
far passare
per un punto
?
a
b
P
c
d
Quando sarete grandi direte che:
Le rette formano un FASCIO
centrato nel punto
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Elementi di Geometria
89 // 28
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PUNTI ALLINEATI
3 o più punti che appartengono
alla stessa retta
si dicono ALLINEATI
I punti A, B, C sono ALLINEATI
perchè appartengono TUTTI
alla stessa retta r
I punti S, T, U NON sono allineati
perchè
uno di essi NON appartiene
alla retta r
r
S
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Elementi di Geometria
U
T
9 // 28
10
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RETTE INCIDENTI
Due rette che abbiano
in comune un solo punto si dicono
INCIDENTI
s
r
P
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Elementi di Geometria
10
11 // 28
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SEMIRETTA
Un punto P appartenete a una retta r
la divide in due SEMIRETTE a, b
b
r
a
P
La semiretta INIZIA nel punto P
La semiretta
detto ORIGINE della semiretta
ha un INIZIO
ma NON ha una fine:
e una FINE
prosegue all’infinito
?
s
P
[email protected]
Origine
della semiretta
Elementi
di Geometria
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SEGMENTO
La porzione di retta compresa tra
due punti distinti P e Q
è detta SEGMENTO
Segmento PQ
P
Q
r
I punti P e Q sono detti
ESTREMI del segmento
Estremi del Segmento PQ
I SEGMENTI vengono indicati con le lettere che rappresentano gli estremi:
AB
P
PQ
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B
Q
A
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SEGMENTI CONSECUTIVI
Due segmenti si dicono CONSECUTIVI se hanno un estremo in comune
P
Q
R
PQ e QR sono CONSECUTIVI
perchè hanno l’estremo Q in comune
I segmenti
AB e FG NON
sono CONSECUTIVI
ABNON
e FGhanno
perchè
sono CONSECUTIVI
estremi in comune
?
A
[email protected]
Elementi di Geometria
B
F
G
13
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SEGMENTI ADIACENTI
Due segmenti si dicono ADIACENTI se sono
consecutivi e appartengono alla stessa retta
Q
P
R
PQ e QR sono ADIACENTI
perchè sono consecutivi: hanno l’estremo Q in comune
e appartengono alla stessa retta
I segmenti
AB e BC NON
sono ADIACENTI
e BCconsecutivi
perchè sebbeneAB
SIANO
sono ADIACENTI
NON appartengono
alla stessa retta
?
AB e DE NON sono ADIACENTI
I segmenti
perchè sebbene appartengano alla
AB e DE
stessa retta
sono
ADIACENTI
NON SONO consecutivi
?
C
A
A
B
[email protected]
Elementi di Geometria
B
D
E
14
15 // 28
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SEGMENTO INCIDENTI
Due segmenti che abbiano
in comune un solo punto che non sia un estremo
si dicono INCIDENTI
P
S
K
R
Q
AK e KB NON sono
PQ e RS sono
INCIDENTI
perché
hanno in comune il punto K
distinto dai loro estremi
IINCIDENTI
segmenti
perchè sebbene
AK abbiano
e KB il punto K
sono
INCIDENTI
in comune,
esso
coincide con un
?
estremo
K
A
[email protected]
Elementi di Geometria
B
15
16 // 28
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Secondo VOI
Quale dei due tavolini è il più stabile
PERCHÈ
B
A
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?
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17 // 28
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PUNTO e PIANO
Per individuare UNO E UN SOLO PIANO
servono 3 punti NON ALLINEATI
P
Q
R
TRE PUNTI NON ALLINEATI
INDIVIDUANO
UNO E UN SOLO PIANO
[email protected]
Elementi di Geometria
17
18 // 28
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E ora cosa rispondete
B
A
[email protected]
?
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19 // 28
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RETTA e PIANO
Siccome tra 2 punti passa UNA e UNA SOLA retta possiamo anche dire che:
UNA RETTA E
UN PUNTO
CHE NON LE APPARTIENE
t
R
INDIVIDUANO
UNO E UN SOLO PIANO
DUE RETTE
t
(non parallele)
s
[email protected]
INDIVIDUANO
UNO E UN SOLO PIANO
Elementi di Geometria
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RETTA e PIANO
Se i 3 punti P, Q, R
fossero allineati
avremmo ancora un piano
?
t
P
Q
R
Nel caso di 3 PUNTI ALLINEATI
SI INDIVIDUANO
INFINITI PIANI
attorno alla retta individuata dai tre punti
[email protected]
Elementi di Geometria
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RETTA e PIANO
La retta individuata da 2 punti del piano, è interamente contenuta nel piano
La retta t è contenuta
nel piano a
P
t
R
a
perchè passa per i punti P e R
entrambi appartenenti al piano a
r
La retta r NON è contenuta
La retta
r
nel piano
a
A
?
a
è contenuta
perchè
nel
pianoilapunto B
NON appartenente al piano a
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B
Elementi di Geometria
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SEMIPIANO
Una retta r appartenete a un piano lo divide in due semipiani
t
d
a
b
t
d
Il semipiano INIZIA nella retta t
detta ORIGINE del semipiano
ma NON ha una fine:
prosegue all’infinito
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Origine Elementi
del semipiano
di Geometria
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ANGOLO
L’ANGOLO è ciascuna delle due parti di piano
individuate da due semirette con l’origine in comune
r
Lati dell ’angolo
s
V
Vertice dell ’angolo
Le rette prendono il nome di LATI dell’ANGOLO
L’origine delle rette prende il nome di VERTICE dell’ANGOLO
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Elementi di Geometria
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ANGOLO - notazione
Esistono due modalità per indicare un ANGOLO
R
r
a
V
T
t
Lettere minuscole greche
Il semipiano compreso tra le due rette viene
indicato con una lettera minuscola greca
Terna di lettere maiuscole
Si riporta un punto su ciascun lato
notare il simbolo “ “
sopra la lettera centrale
[email protected]
L’angolo viene ora indicato con la terna
RVT
la lettera centrale rappresenta il vertice
dell’angolo
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Elementi di Geometria
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ANGOLO
Angoli PARTICOLARI
t
t
Angolo
PIATTO
Angolo
GIRO
t
Angolo
RETTO
si formano 2
angoli Piatti
r
simbolo dell’
angolo Retto
[email protected]
Elementi di Geometria
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ANGOLI CONSECUTIVI
Due angoli si dicono CONSECUTIVI se hanno
.- un lato in comune
.- gli altri due lati sono posti da parti opposte rispetto al lato comune
t
a e b sono CONSECUTIVI perché:
b f
Il lato f è in comune
I lati t e r sono opposti rispetto f
a
r
V
gli angoli
p e g NON sono CONSECUTIVI perchè
?
sono CONSECUTIVI
p e g NON sono CONSECUTIVI
peg
perchè NON hanno un lato in comune
a
d
c p
g
b
V
[email protected]
?
a
c
p
gli angoli
sebbene abbiano un lato in comune a (c)
peg
gli altri 2 b, d sono dalla stessa parte
sono CONSECUTIVI
rispetto il lato a (c)
d
g
b
Elementi di Geometria V
26
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ANGOLI ADIACENTI
Due angoli si dicono ADIACENTI se
.- sono consecutivi
.- i lati non comuni giacciono sulla stessa retta
f
t
a e b sono ADIACENTI perché:
a
b
sono consecutivi (il lato f è in comune)
I lati t e r giacciono sulla stessa retta
r
V
p e g NON sono
perchè
gli ADIACENTI
angoli
peg
sebbene siano consecutivi
(b ADIACENTI
è in comune)
sono
?
a e c NON giacciono sulla stessa retta
gli angoli
p e g NON sono
ADIACENTI perchè
peg
sebbene a e c giacciano
sulla stessa
retta
sono ADIACENTI
NON sono consecutivi (non hanno lati
?
in comune)
b
b
a
p
V
[email protected]
g
c
a
Elementi di Geometria
c
a
b
V
d
27
28 // 28
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ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE
Due angoli si dicono OPPOSTI AL VERTICE se
I lati di un angolo sono il prolungamento dei lati dell’altro
f
a
b
r’
a e a’ sono OPPOSTI AL VERTICE perché:
f’ è il prolungamento di f
r’ è il prolungamento di r
r
e
V
a’
f’
b’
In realtà si formano 2 coppie
di angoli opposti al vertice:
a, a’ e b, b’
gli angoli p e g
psono
e g NON sono
OPPOSTI
VERTICE
OPPOSTIAL
AL VERTICE
perchè
?
Il lato c NON è il prolungamento del lato b
a
c
g
p
b
V
[email protected]
Elementi di Geometria
d
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29 // 28
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Fine
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