RIFLESSIONI TEORICHE E DIDATTICHE SUI
NUMERI NATURALI, DECIMALI E SULLE
RELATIVE OPERAZIONI
Durante gli incontri verranno sinteticamente illustrati gli aspetti teorici più importanti
legati agli argomenti trattati. Verranno affrontati, inoltre, testi di problemi in quanto
si ritiene che siano significativi soprattutto sul piano didattico.
2° incontro
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
1
Alcune precisazione didattiche
In quali numeri gli zeri
sono necessari?
3,20
3,202
NO perchè non
cambia il valore del
numero
Sì perchè cambia il
valore del numero
3,02
Sì perchè cambia il
valore del numero
3,200
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
NO perchè non
cambia il valore del
numero
2
Alcune precisazione didattiche
Quando gli zeri sono
necessari?
3,2 – 1,548 =
?
È necessario scrivere:
3,200 – 1,548 =
Gli zeri aggiunti non cambiano il valore del numero, ma
rendono possibile la sottrazione
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
3
Alcune precisazione didattiche
Quando gli zeri sono
necessari?
Calcola il quoziente della seguente divisione approssimato ai decimi
11 : 8 = ?
Quando si calcola il quoziente di una divisione approssimato ai decimi,
ai centesimi …, è opportuno aggiungere lo zero o gli zeri già all’inizio.
11,0 : 8 =
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4
Alcune precisazione didattiche
Quando gli zeri sono
necessari?
Calcola il quoziente delle seguenti divisioni
654 : 6 =109
4,2 : 7 =0,6
Quando il divisore non “ci sta” nel dividendo significa che “ci sta” zero
volte (è contenuto 0 volte) e lo 0 va scritto al quoziente.
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5
Alcune precisazione didattiche
Lo zero a sinistra dei
numeri interi.
Nelle date: 03/06/00 – 18/06/08
In questo contesto lo zero indica la mancanza di unità o di
decine.
A sinistra dei numeri naturali lo zero non serve altrimenti
non avremmo più i numeri con una, due, tre cifre, ma
sempre con infinite cifre.
…00032
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
6
Alcune precisazione didattiche
L’uso dello zero nell’ordinamento dei
numeri decimali con la parte intera
uguale
L’ordinamento dei numeri decimali con la parte intera uguale viene
facilitato dal pareggiare il numero di cifre decimali:
es.
3,6 ; 3, 17; 3,129, ecc si ordinano più facilmente se si scrive
3,600 ; 3, 170; 3,129 così il confronto avviene ... fra interi:
600 ; 170 ; 129.
In fondo è come ridurre tutto in millesimi:
3 600; 3 170; 3 129.
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7
Lo zero … nel paesaggio
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8
Lo zero … nella poesia
L'AVVENTURA DELLO ZERO
di Gianni Rodari
C'era una volta
un povero Zero
tondo come un o,
tanto buono ma però
contava proprio zero e
nessuno
lo voleva in compagnia.
Una volta per caso
trovò il numero Uno
di cattivo umore perché
non riusciva a contare
fino a tre.
Vedendolo così nero
il piccolo Zero,
si fece coraggio,
sulla sua macchina
gli offerse un passaggio;
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9
Lo zero per i matematici
( da
polymath)
A proposito del fatto che i matematici preferiscano contare cominciando da “zero” anziché da “uno”, John
Conway racconta un aneddoto che riguarda Waclaw Sierpinski, il grande matematico polacco: “Un giorno era in
partenza per un viaggio quando incominciò ad agitarsi temendo di aver perso una valigia. “No, caro!” disse sua
moglie, “sono qui tutte e sei”. “Non può essere”, ribatté Sierpinski, “le ho contate varie volte: zero, uno, due,
tre, quattro e cinque”.
Zero ha ancora un’altra caratteristica che lo rende diverso da tutti gli altri numeri. È infatti l’unico numero
reale che non sia positivo o negativo.
Molti si chiedono anche oggi: ma zero è un numero pari o dispari? Nei periodi delle “targhe alterne”, un
metodo non molto efficace per combattere lo smog nelle grandi città, c’è stata un po’ di confusione. Un
automobilista ingenuo o matematico, sorpreso con una targa la cui ultima cifra era 0, in un giorno in cui era
permessa soltanto la circolazione dei veicoli con targa dispari, come ultimo disperato tentativo per evitare
la contravvenzione, avrebbe detto in tono di sfida al vigile urbano: “Guardi che zero è dispari, mi dimostri il
contrario”. Per dirimere la questione basta riprendere la definizione che è riportata su tutti i libri scolastici:
“L’insieme dei numeri pari si ottiene moltiplicando per due i numeri naturali”: quindi si passa da 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, ... a 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
L’insieme dei numeri dispari viene invece definito come l’insieme complementare dei numeri pari: 1, 3, 5,
7, 9, 11, ...
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10
E per finire con lo zero …
Zero: mancanza di un segno
o segno di una mancanza?
(G. Giorello, 1981 Enciclopedia Einaudi; vol. 14)
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11
INTRODUZIONE DELLO ZERO
I MUSICANTI DI BREMA
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12
Gli animali sono quattro
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13
ESCE L’ASINO
Restano tre animali
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14
ESCE IL CANE
Restano due animali
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15
ESCE IL GATTO
Resta un animale
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16
ESCE IL GALLO
Restano zero animali
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17
ALCUNI NUMERI NATURALI
NELLA E LELLA
Questa è la storia delle formichine Nella e Lella
che tutto il giorno girano per il mondo
per capire se è rotondo.
Camminano sia in montagna, sia in pianura:
la loro vita è proprio dura!
Raccolgono semi in eterno
per sopravvivere al lungo inverno.
Durante i loro viaggio tanti amici possono incontrare
e con loro si fermano un po’ a giocare.
Ma il lavoro che le aspetta è impaziente
e lo devono riprendere immediatamente.
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18
Ecco le formichine Nella e Lella, contale e scrivi il numero che
ti dice quante sono.
Ogni formichina utilizza un solo sacco per ritirare le provviste.
Dai ad ogni formichina un solo sacco.
Rispondi:
• C’è un sacco per ogni
formica?….
• Ogni sacco è usato da una sola
formica?……..
• Quante sono le
formiche?……….
• Quanti sono i sacchi?....
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LA RACCOLTA
La formica Nella decide di raccogliere i semi in un bellissimo giardino pieno di
fiori colorati. Riesce a trovare 4 semi gialli a forma di stella e 2 arancioni tondi
tondi: in tutto 6 bellissimi semi da portare con orgoglio nel formicaio.
Ecco i semi che ha raccolto la formica Nella; colorali e scrivi quanti sono.
I semi raccolti da Nella sono……
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20
Anche la formica Lella ha raccolto, nello stesso giardino, sei
semi tutti verdi e a forma di triangolo.
•Disegna e colora i semi che ha raccolto
Lella e scrivi quanti sono.
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21
SEMI A CONFRONTO
Colora i semi di Nella e
quelli di Lella.
I semi di Nella sono tanti
quanti quelli di Lella?……
Cosa puoi fare per essere
sicuro?..
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NUOVI AMICI
Nella e Lella stanno lavorando con molto
impegno quando sentono delle vocine
allegre: qualcuno si sta divertendo. Decidono
di fermarsi un momento a curiosare. Tra
l’erba scorgono otto allegre chioccioline che
stanno giocando. Nella e Lella decidono di
farsi avanti per conoscere questi allegri
animaletti.
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23
•Ecco le chioccioline che attirano l’attenzione
di Nella e Lella. Colorale e contale.
Quante sono le
chioccioline viste
da Nella e da
Lella?………………
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CHI CERCA TROVA
Oggi è domenica e le formichine Nella e Lella decidono
di fare un gioco con la loro amica chiocciolina Marta. La
formica Lella prima nasconde 8 semi tondi tondi, poi
farà da arbitro. Nella e Marta dovranno cercare i semi
nascosti. Vincerà chi troverà più semini.
Al via Nella parte di corsa, mentre Marta cammina
lentamente, ma osserva tutto con molta attenzione.
Alla fine del gioco l’arbitro Lella controlla i bottini: Nella
ha scoperto 3 semini, mentre Marta ne ha scovati 4.
Chi ha trovato più semini?…..
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25
Prima di rispondere completa il disegno.
HA TROVATO
HA TROVATO
………………
………………
Con i numeri possiamo scrivere che
4 è maggiore di 3
4>3
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26
Questi sono i semini che aveva nascosto
Lella.
Colora di rosso i semini scovati da Nella.
Colora di giallo i semini trovati da Marta.
Sei riuscito a colorare tutti i semi?…..
Perché?……………
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27
IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
“operazione ”
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IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
“Che cos'è una operazione in
matematica? ”
Perchè vengono chiamate “fondamentali”, ne
esistono forse delle altre? Se sì, quali?
Esistono operazioni senza i numeri?
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IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
Operazioni binarie interne in un insieme dato
Definizione.
• Dato un insieme E non vuoto si dice operazione binaria interna
in E una legge che associa a ogni coppia ordinata (a,b) di
elementi di E, distinti o no, uno e un solo elemento c di E.
• L'elemento a è detto il primo termine dell'operazione, b il
secondo termine, c il risultato o il composto di a e b.
• Poiché la coppia (a,b) è elemento dell'insieme ExE (prodotto
cartesiano di due insiemi) possiamo esprimere un'operazione
binaria interna in un insieme E, indicata con il simbolo  , nel
seguente modo:
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30
IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
ExE
(a,b)
E
c
c = ab
Si legge: c è il composto di a e b

A livello di insiemi l’applicazione si nota con “
”
a livello di corrispondenza tra elementi si nota con “
”
Questa distinzione permette di sapere a quale livello si lavora

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IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
• Le quattro operazioni fondamentali addizione, sottrazione,
moltiplicazione e divisione nell' insieme N dei numeri naturali
soddisfano la definizione di operazione sopra data?
ADDIZIONE?
Sì
MOLTIPLICAZIONE?
Infatti a ogni coppia di numeri naturali l'addizione e la moltiplicazione fanno
corrispondere un risultato che è unico.
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IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
SOTTRAZIONE?
Sì/NO
DIVISIONE?
La sottrazione e la divisione, invece, fanno corrispondere un risultato unico
solo ad alcune coppie dell'insieme N x N .
Per la sottrazione, come tutti sappiamo, deve essere a ≥ b, per la divisione
deve essere a multiplo di b , b ≠0.
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IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
SOTTRAZIONE?
Sì
DIVISIONE?
Basta tralasciare l'aggettivo ogni e dire “... a coppie ordinate (a,b)...”.
Dato un insieme E, si parla allora di operazioni interne binarie in esso
ovunque definite (es. addizione e moltiplicazione) e di operazioni interne
binarie in esso non ovunque definite (es. sottrazione e divisione).
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IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
Distinzione tra operazioni ovunque o non ovunque definite
Questa distinzione è bene farla anche quando si riesaminano le proprietà delle quattro
operazioni fondamentali attraverso le loro tabelle operative.
È inoltre opportuno far notare agli alunni che
• le operazioni di cui ci occupiamo sono binarie perché lavorano sempre su due numeri alla
volta (le parentesi diventano allora indispensabili quando si lavora su più di due numeri, a
meno che si sappia già che l'operazione gode della proprietà associativa)
• le coppie sono ordinate, cioè ogni coppia è individuata non solo dai due numeri che la
compongono ma anche dall'ordine con cui questi numeri vengono scritti.
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35
IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti
ESEMPI:
• Le operazioni Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo in N sono interne e ovunque
definite.
• Nell'insieme dei numeri pari le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono interne e
ovunque definite.
• Nell'insieme dei numeri dispari l'operazione di moltiplicazione è interna e ovunque definita,
mentre l'operazione di addizione è ovunque definita, ma ...
Che cosa succede quando addizioniamo due numeri dispari ?
Il risultato è sempre un numero pari.
• Si dice che “ l'operazione di addizione nell'insieme dei numeri dispari è un'operazione binaria
esterna a tale insieme”.
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36
IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo)
L'insieme delle isometrie del piano
• Con due simmetrie assiali si ottiene una traslazione
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37
IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo)
• Due simmetrie assiali
con assi incidenti
producono una
rotazione
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38
OPERATORE SU GRANDEZZE
Esempio
Si costruisca una figura che sia i
A
3
del quadrato ABCD.
4
D
A
D
Divido in 4
parti uguali
B
E ne
considero una
parte
C
B
C
La frazione come operatore risulta, dunque, dall’applicazione
successiva di due operatori definiti da numeri naturali e
produce una grandezza omogenea con quella a cui l’operatore
frazionario viene applicato.
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
Costruisco una
nuova misura
formata da tre
ciascuna del
valore di 1/4
39
CONCLUDENDO
riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo)
• Ogni volta che si “definisce” un'operazione alla scuola
dell’obbligo è opportuno, prima di studiarne le
proprietà, chiedere sempre agli allievi se, rispetto
all'insieme considerato, l'operazione è interna o no,
ovunque definita o non ovunque definita (aiutandosi,
se necessario, con una tabella operativa).
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Tabella addizione
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6
6
7
8
9
10
11
12
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14
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7
7
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9
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8
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9
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17
18
19
20
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Tabella sottrazione
-
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
1
1
0
2
2
1
0
3
3
2
1
0
4
4
3
2
1
0
5
5
4
3
2
1
0
6
6
5
4
3
2
1
0
7
7
6
5
4
3
2
1
0
8
8
7
6
5
4
3
2
1
0
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
10
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9
10
20
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Riflessione sull'operazione prodotto cartesiano di due
insiemi (di Clara Colombo Bozzolo)
Consideriamo due insiemi di sillabe
A = {ma, ve} , B = {re , le , no}
e poniamoci il seguente problema :
• Quante parole significative si possono scrivere usando una sillaba di A seguita da una sillaba di B ?
• Rappresentiamo con una tabella a doppia entrata l'operazione prodotto cartesiano AxB.
• I risultati di questa operazione sono le coppie ordinate scritte in tabella:
re
le
no
ma
(ma,re)
(ma,le)
(ma,no)
ve
(ve,ne)
(ve,le)
(ve,no)
Stabiliamo la legge di
composizione
“forma una parola”…
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43
IL CONCETTO DI OPERAZIONE:
riflessioni e approfondimenti (di Clara Colombo Bozzolo)
• Nell’ esempio esposto abbiamo dapprima lavorato sugli
elementi degli insiemi A, B con l'operazione “prodotto
cartesiano di insiemi ” ottenendo tutte le possibili coppie
ordinate di sillabe.
• Poi tra gli elementi di AxB , cioè tra le coppie di sillabe ,
abbiamo considerato la legge di composizione “formare una
parola della lingua italiana ”.
• Sono distinzioni da fare anche con gli allunni.
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
44
Proprietà delle operazioni (di Clara Colombo Bozzolo)
Data un’operazione binaria in E, è significativo rilevarne le
proprietà, in quanto esse fondano le regole di
manipolazione dei simboli (regole di calcolo). Risultano
particolarmente importanti le seguenti proprietà (nel seguito
a, b, c indicano elementi di E e  rappresenta l’operazione):
proprietà associativa: consente di estendere l’operazione,
inizialmente definita su una coppia di elementi di E, a tre o
più termini, in quanto afferma che
(ab)  c = a  (bc)
(le parentesi danno l’ordine di esecuzione delle operazioni)
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45
Proprietà delle operazioni (di Clara Colombo Bozzolo)
proprietà commutativa: rende superflua la distinzione tra
primo termine e secondo termine, dato che afferma che
ab = ba;
esistenza dell’elemento neutro: afferma l’esistenza in E
di un elemento u che combinato con un qualunque altro
elemento a non lo “modifica”; in simboli
au = ua = a;
esistenza dell’elemento opposto: afferma l’esistenza per
ogni elemento a in E di un elemento a’ che combinato con
a dà come risultato u; in simboli
aa’ = a’a = u.
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46
Proprietà delle operazioni (di Clara Colombo Bozzolo)
Se nell’insieme E sono definite due operazioni distinte
(indicate, per esempio, con  e ),
possono valere le proprietà distributive di un’operazione rispetto all’altra:
p. distributiva di  rispetto a :
a  (bc) = (ab)  (ac),
(ab)  c = (ac)  (bc);
p. distributiva di  rispetto a :
a  (bc) = (ab)  (ac),
(ab)  c = (ac)  (bc).
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Nel caso specifico delle operazione fondamentali in N abbiamo:
• per l’addizione e per la moltiplicazione valgono le proprietà associativa, commutativa,
esiste l’elemento neutro (0 per l’addizione, 1 per la moltiplicazione);
• per la sottrazione e per la divisone non valgono le proprietà associativa, commutativa,
non esiste l’elemento neutro; valgono, invece, le proprietà invariantive:
• invariantiva della sottrazione: la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi
i numeri viene aggiunto o sottratto lo stesso numero;
• invariantiva della divisione: il quoziente tra due numeri non cambia se entrambi i
numeri vengono moltiplicati o divisi per lo stesso numero (diverso da 0);
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
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Nel caso specifico delle operazione fondamentali in N abbiamo:
se consideriamo due operazioni contemporaneamente,valgono le seguenti
proprietà distributive:
della moltiplicazione rispetto alla addizione:
a  (b+c) = (ab) + (ac)
(a+b)  c = (ac) + (bc)
della moltiplicazione rispetto alla sottrazione:
a  (b-c) = (ab) - (ac)
(a-b)  c = (ac) - (bc)
della divisione (da sinistra a destra) rispetto alla addizione e alla sottrazione:
(a+b) : c = (a:c) + (b:c)
(a-b) : c = (a:c) - (b:c)
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LE PROPRIETA' DELLE OPERAZIONI
Strumento indispensabile per capire le
procedure del calcolo scritto
Mezzo importante per facilitare il calcolo mentale
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50
Addizione
L'incolonnamento , nell'addizione, delle unità dello stesso ordine è giustificato dall'applicazione delle proprietà
commutativa e associativa.
Facciamolo notare o scoprire agli allievi con esercizi del tipo:
132 + 57 =
=1h + 3 da+2u + 5da +7u =
=1h + 3da + 5 da + 2u +7u=
=1h + (3da + 5 da)+ (2u +7u)= ...
quest'ultima scrittura suggerisce l'incolonnamento delle unità dello stesso tipo.
Le stesse proprietà facilitano il calcolo mentale:
17 + 8 = 17 + (3 + 5) = (17 + 3) + 5 pr. assoc.
= 20 + 5 = 25
Ricordiamo che quando sostituiamo all'addendo 8 la somma 3+5 non applichiamo la proprietà
dissociativa dell' addizione (che non esiste) ma semplicemente scomponiamo il numero 8 in
due addendi in modo da facilitare l'operazione mentale.
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Sottrazione
PROPRIETÀ INVARIANTIVA
facilita notevolmente, in alcuni casi particolari, il calcolo mentale.
 Ad esempio, nel caso che il minuendo sia 9 - 99... oppure 11 – 101… abituiamo l'allievo a procedere come
negli esempi che seguono:
• 26-9 = (26+1)-(9+1)=27-10
• 173 - 99 = 174 – 100
• 57-11= 56-10
• 328-101= 327-100 ecc.
• Di solito, invece, soprattutto con il 9 si consiglia l'allievo a procedere nel modo che segue:
• 26 - 9 = 26 - (10 -1) =(26 - 10) +1
• con il risultato, verificato anche nelle classi successive alle elementari, che l'alunno dopo aver sottratto il 10
è incerto se deve togliere o aggiungere l'1 (evidentemente è un procedimento algebrico).
Mathesis-Varese 27 ottobre 2015 Dova- Bozzolo -Del Torchio
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