RIFLESSIONI TEORICHE E DIDATTICHE SUI
NUMERI NATURALI, DECIMALI E SULLE
RELATIVE OPERAZIONI
Durante gli incontri verranno sinteticamente illustrati gli aspetti teorici più importanti
legati agli argomenti trattati. Verranno affrontati, inoltre, testi di problemi in quanto
si ritiene che siano significativi soprattutto sul piano didattico.
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1
Calendario in contri
• 1° Incontro: martedì
• 2° Incontro: martedì
• 3° Incontro: martedì
• 4° Incontro: martedì
• 5° Incontro: martedì
13 OTTOBRE 2015
27 OTTOBRE 2015
10 NIVEMBRE 2015
24 NIVEMBRE 2015
1 DICEMBRE 2015
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2
MATEMATICA
•
•
•
•
•
•
•
Non è cosa da geni.
Non è un linguaggio incomprensibile.
Non è un sistema di formule.
Non è abilità di calcolo.
Non è un insieme di simboli astrusi.
Non è un oscuro gioco di numeri.
Non è esercizio di memoria.
MATEMATICA E’ UN
MONDO DA SCOPRIRE
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
Nella lingua
“cifra”
“numero”
Esempi (soprattutto con i costi)
• Si dispone di una certa cifra
• Quel vestito costa una cifra
• L’inflazione è a due cifre
• La cifra da pagare si aggira sui 10 000 euro
• 500 000 euro sono una bella cifra
• Fare cifra tonda
• Battuto all’asta per una cifra di 26 000 euro
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Si parla di numeri
rappresentati da
cifre
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
In matematica: uso improprio delle
parole “cifra” e “numero”
Criteri di divisibilità
del valore
Un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o
un suo multiplo.
771 7+7+1=15 (divisibile per 3)
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
Le parole si possono scrivere solo in un modo
(“tavolo” è il nome di un oggetto).
I numeri si possono scrivere in due modi
in lettere
in cifre
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Riflessioni su “cifra” e “numero”
da “Dizionario di Matematica Elementare” di Stella Baruk Zanichelli
Problema che mette in gioco “numeri” e “cifre”
“Qual è il numero più grande che si può scrivere servendosi tre volte
della stessa cifra?”
SOLUZIONE:
Senza altri segni oltre alle cifre
9
Con altri segni oltre alle cifre
9
9
(9
9
9)
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(9!)
(9!)
(9!)
7
Invece ….
“Qual è il numero più grande che si può scrivere
con tre cifre?”
999
“Qual è il numero più piccolo che si può
scrivere con tre cifre?”
100
“Qual è il numero più grande che si può scrivere
con tre cifre diverse?”
987
“Qual è il numero più piccolo che si può scrivere
con tre cifre diverse?”
102
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8
Riflettiamo
“Qual è il numero più grande che si può scrivere con
tre cifre diverse?”
Tutte diverse?
987
Non tutte uguali?
998
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9
Riflettiamo
“Qual è il numero più piccolo che si può scrivere con
tre cifre diverse?”
Tutte diverse?
102
Non tutte uguali?
100
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Riflettiamo …
5
“è un numero o una cifra?”
Può essere considerato
numero o cifra a
seconda del contesto
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Riflettiamo sul contesto …
Nel numero 258 la cifra 5 che posto
occupa?
Nel numero 258 qual è il numero delle
decine?
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Riflettiamo …
35
“è un numero o una cifra?”
È un numero
rappresentato da due
cifre.
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Concludendo …
Solo per i numeri che si
scrivono con una cifra è
necessario precisare il
contesto.
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Il mago dei numeri
di Hans M. Enzensberger
Prezzo di listino: € 10,50
Einaudi, 1997 - pp.260
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Da Il mago dei numeri
di Hans M. Enzensberger (prima notte)
- … Perché sei così diffidente? Se vuoi, ti faccio vedere come dall’1 si fanno tutte
le altre cifre?
- E allora come si fa?
- È semplicissimo, così:
1x1=1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 123211
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LA COMBINAZIONE DELLA CASSAFORTE
Il signor Gianni Smemorini ha dimenticato la combinazione della sua cassaforte; chiama a
raccolta tutta la famiglia per vedere se mettendo insieme i loro ricordi si riesce a
ricostruire la combinazione.
Il signor Gianni ricorda che il numero è formato da 5 cifre tra loro diverse
la moglie dice che la prima cifra è 9
il figlio ricorda che l’ultima cifra è 8
la figlia è certa che la somma dei valori delle cifre della combinazione è 22.
Con queste informazioni la famiglia Smemorini riesce a trovare alcune possibili
combinazioni.
* Scrivi tutte le possibili combinazioni che rispettano le informazioni date.
Analisi del compito e dei possibili sviluppi
Le informazioni date esplicitamente consentono di fissare la prima e l’ultima cifra
della combinazione della cassaforte:
9
8
La somma dei valori delle cifre della combinazione è 22, quindi la somma dei valori
delle cifre mancanti è 22 – (9 + 8) = 5. Tale somma deve essere ottenuta con tre
addendi distinti; si hanno i casi
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90148
90418
90238
90328
91048
91408
92038
92308
93028
93208
94018
94108
Nella seconda parte del
problema viene data
un’ulteriore informazione
(l’ordine decrescente dei valori
delle prime quattro cifre della
combinazione) che permette di
ridurre le soluzioni possibili alle
due seguenti
93208
94108
Dato che il signor Gianni ha a disposizione tre tentativi per aprire la
cassaforte prima di fare scattare l’allarme, ora può provare entrambe le
combinazioni senza correre rischi.
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NUMERI "CROCIATI" (cat. 4, 5)
7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999
Completate questo schema di numeri disponendo una cifra
per ogni casella, in base alle seguenti indicazioni:
Orizzontali
1. Multiplo di 4
2. Le tre cifre di questo numero sono numeri naturali
consecutivi (che si susseguono in ordine crescente)
3. Le due cifre di questo numero sono numeri la cui
differenza è un multiplo di 2
Verticali
A. Le due cifre di questo numero sono numeri dispari
consecutivi (che si susseguono in ordine crescente)
B. Multiplo di 9
C. Multiplo di 7 e di 11
Spiegate come avete ragionato
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NUMERI "CROCIATI" (cat. 4, 5)
7o RALLY MATEMATICO TRANSALPINO - PROVA II marzo - aprile 1999
Campo concettuale:
- aritmetica: numerazione, multipli
- organizzazione dei dati
Analisi del compito:
- leggere tutte le definizioni e scegliere quella che permette di definire un
numero in modo univoco: C verticale (77);
- capire che, di conseguenza, anche il 2 orizzontale risulta definito in modo
univoco (567) etc.;
- formulare le ipotesi necessarie per individuare l'1 e il 3 orizzontale e il B
verticale
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Le proprietà dello zero … a fumetti
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Notizie, non da poco, sullo zero
Zero. Storia di una cifra
autore Kaplan Robert
Prezzo: € 9,80
Editore Rizzoli
collana anno1999
pp.325
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Storia dello zero (Zero. Storia di una cifra)
ZERO
ZERO
Inizio carriera
Uno degli utilizzi
odierni
DUE CUNEI
obliqui appaiati o
parzialmente sovrapposti IN UN MUCCHIO
DI ARGILLA (inizio II millennio a.C)
Numerazione binaria, composta solo da
0 e 1, grazie alla quale funziona tutto ciò
che è digitale
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I numeri binari
Creato da: Tim Bell, Ian H. Witten e Mike Fellows
Materiale occorrente e regole del gioco:
• cinque carte per ogni alunno, come mostrato qui sotto, con punti su un lato e niente sull'altro
•
•
•
•
.
Quale regola unisce il numero dei punti presente sulle carte?
(Ogni carta ha il doppio dei punti della carta immediatamente alla destra).
Quanti punti avrebbe la prossima carta se ne aggiungessimo una a sinistra?
(32) e quella successiva?...
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Potete usare queste carte per scrivere numeri tenendone alcune coi punti rivolti verso di sè
e girando le rimanenti dal lato del dorso. La somma dei punti visibili è il numero.
Chiedete agli studenti di scrivere 6 (la carta 4 e la carta 2)
poi 15 (la 8, la 4, la 2 e la 1),
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Una carta visibile, cioè esposta dal lato coi punti, si rappresenta con un uno.
Una carta girata dal lato senza punti, si rappresenta con uno zero.
Questo è il sistema di numerazione binario.
0
1
0
0
1
1001 (2)= 9(10)
Quale numero binario corrisponda al decimale 17? (10001)
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ESERCITIAMOCI
Ora, mantenendo le carte nello stesso ordine rovesciate alcune carte sul dorso in modo che siano
visibili esattamente 5 punti.
Nello stesso modo provate ora a far comparire 3 punti, poi 12 e 19.
Qual è il massimo numero di punti che riuscite a far comparire?
Qual è il minimo?
C'è qualche numero di punti che non potete ottenere fra il numero minimo e quello massimo?
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RIASSUMENDO:
Nel sistema binario, un numero può essere scritto come la somma di prodotti di
numeri minori della base DUE, per le potenze decrescenti del 2.
Quindi il nostro numero potrebbe essere scritto così:
1 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23+ 1 x 22+ 1 x 21 + 1 x 20 =
= 1 x 32 + 0 x 16 + 0 x 8+ 1 x 4+ 1 x 2 + 1 x 1 =
= 32 + 0 + 0 +4 +2 + 1 = 39.
Quindi possiamo scrivere:
39(10) = 100111(2).
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DAL NUMERO DECIMALE A QUELLO BINARIO
Se vogliamo trasformare un numero del sistema decimale, ad esempio 39, in un numero del sistema binario,
procediamo nel modo seguente:
DIVIDIAMO il nostro NUMERO per 2.
Quindi, se prendiamo i resti delle successive divisioni in ordine contrario (1, 0, 0, 1, 1, 1)
abbiamo esattamente il numero binario cercato:
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Da "cifra", che risale
all'arabo "sifr" e che
significa "nulla",
Direttamente dall'arabo, essendo
questo numero una cifra. In
arabo, infatti, "zerret" significa:
"cosa da nulla".
Origine del termine “zero”
Dal "latino medievale del tredicesimo secolo":
"Zephyrum", accusativo di quello "Zephyrus" col
quale si soleva indicare il vento occidentale
primaverile, che spira con tale leggerezza da
ritenersi un "vento da nulla";
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30
Fibonacci
Fu in particolare Leonardo
Fibonacci (Leonardo Pisano) a far
conoscere la numerazione
posizionale in Europa: nel suo Liber
Abaci, pubblicato nel 1202, egli
tradusse sifr in zephirus; da questo
si ebbe zevero e quindi zero. Anche
il termine "cifra" discende da
questa stessa parola sifr.
(Pisa, 1170 – Pisa, 1250)
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Utilizzo dello zero
• Rende possibile la notazione “posizionale”
• Assume il significato di “valore limite” (calcolo infinitesimale)
• “lo zero assoluto” rappresenta la temperatura in cui le molecole non hanno
nessuna agitazione termica
• Rappresenta, nella scala del tempo, l’istante 0 dell’universo (Big Bang)
• 0°C, nella scala centigrada, individua il punto di fusione del ghiaccio
• L’altitudine 0 è l’altitudine di riferimento per la misura della pressione
• La longitudine 0 corrisponde a quella dell'Osservatorio di Greenwich
• I punti lungo l'equatore hanno latitudine 0°.
• Nel 900 la casa all’inizio della via aveva come numero civico 0
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Lo zero nella scuola (di Ennio Peres, RES 21, aprile 2001)
CONSIGLI DIDATTICI
MANEGGIARE CON CURA
Rischio: ottenere dei risultati
inattendibili.
Tanto per fare un esempio, si può arrivare a dimostrare che
ogni numero è uguale al proprio doppio.
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Prendiamo in considerazione la seguente semplice uguaglianza: A = B (dove
A e B rappresentano uno stesso numero reale, diverso da 0) ed eseguiamo i
passaggi algebrici qui di seguito indicati.
1. Moltiplichiamo per A entrambi i membri: A2 = AB
2. Sottraiamo B2 da entrambi i membri: A2 – B2 = AB – B2
3. Scomponiamo in fattori il primo membro: (A – B)(A + B) = AB – B2
4. Mettiamo in evidenza B nel secondo membro:
(A – B)(A + B) = B (A – B)
5. Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B
6. Sostituiamo B con A (dato che ha il suo stesso valore): A + A = A
7. Infine, scriviamo in forma più compatta il primo membro: 2A = A
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Che cosa è successo?
• I passaggi eseguiti sembrano tutti corretti, eppure il risultato ottenuto è
palesemente assurdo.
• In realtà, un errore lo abbiamo commesso.
• Dato che abbiamo supposto
A = B, allora A – B = 0;
Di conseguenza al punto 5
(A – B)(A + B) = B (A – B)
Dividiamo per (A – B) entrambi i membri: A + B = B
Abbiamo diviso entrambi i membri dell'uguaglianza per (A – B),
In realtà li abbiamo divisi per 0, compiendo un'operazione non
consentita in matematica.
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Perché non si può dividere per 0?
Il motivo per cui non è possibile eseguire la divisione per 0
è giustificato dalle seguenti considerazioni.
Sia X ∊R X≠0
se ∃ y
t.c. X/0 = Y
Si avrebbe anche: X = 0Y.
Dato, però, che ogni numero moltiplicato per 0 dà come
risultato 0,
risulterebbe: X = 0 (in evidente contrasto con l'ipotesi iniziale).
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Perché non si può dividere per 0?
Supponiamo:
X = 0,
∄un unico numero reale Y, t. c.
0/0 = Y
0 = 0Y ∀ Y
quindi, il risultato di tale operazione sarebbe indeterminato.
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