Quale aiuto possono dare le
tecnologie per
l’insegnamento/apprendimento
dell’aritmetica e dell’algebra?
Pier Luigi Ferrari
Dipartimento di Scienze e Innovazione Tecnologica
Università del Piemonte Orientale
Calcolatrice, Calcolatore
LIM, Tablet , Cellulare,
TV, Radio, Microspie, …
Tecnologia
Web, piattaforme, CAS,
Fogli elettronici,
Geometria Dinamica,
Grafica, Micromondi, …
Curricula
Linee generali
Traguardi
Obiettivi
Potenzialità
Difficoltà e limiti
Miglior uso
Difficoltà e limiti
Formazione insegnanti
Miracolismo
Tecnologia come riflesso
Ricerca in Educazione Matematica
Poca ricerca
Pochi prodotti
Modelli di ricerca inadeguati
Tempi di apprendimento
Alcune competenze sembrano richiedere tempi di
riflessione più lunghi di quelli indotti dall’uso
ingenuo delle tecnologie.
Linguaggi visuali
Come funzionano? Che tipo di significati possono
comunicare?
Gabriele Lolli, ‘Contro le tecnologie’, in
Sistemi intelligenti 2/2002, pp. 337-340.
“Una proposta ragionevole non è quella di
inserire le nuove tecnologie nella scuola, ma di
bandirle. La scuola deve essere un luogo dove le
persone parlano e pensano. La scuola deve
essere un’oasi diversa, non immersa,
concorrente o alleata che sia, nel flusso di
sollecitazioni mediatiche in cui si è destinata a
perdersi.”
Tecnologia in percorsi che consentano agli
alunni di pensare, comunicare, approfondire.
Tecnologia e
risultati della
ricerca sul suo uso
Esperienze e risultati
della ricerca in
Educazione Matematica
Domanda fondamentale
Che cosa ci consente di fare la tecnologia in più di
quello che potremmo fare senza?
Dalle indicazioni nazionali per il primo ciclo
“ … il laboratorio … come momento in cui l'alunno è
attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le
conseguenze, progetta e sperimenta, discute e
argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati,
negozia e costruisce significati, …”
“… acquisizione graduale del linguaggio matematico.”
“… risoluzione di problemi, che devono essere intesi
come questioni autentiche e significative …”
L'uso consapevole e motivato di calcolatrici e
computer deve essere incoraggiato … ad esempio per
verificare la correttezza di calcoli mentali e scritti e per
esplorare il mondo dei numeri …
“… lo sviluppo di un'adeguata visione della
matematica, non ridotta a un insieme di regole da
memorizzare e applicare, ma ...”
Come dare significato alle attività svolte con
supporto tecnologico? Come controllarle?
Fare un ‘clic’,
scatola nera …
Cercare sugli
appunti o in
rete
Saper fare
Sapere
Saper fare le stesse
cose a mano
Aver interiorizzato
e incapsulato i
concetti
È oggi improponibile il modello di studente
che sapeva tutto a memoria e sapeva fare
tutto a mano.
Ma è altrettanto improponibile il modello di
studente che non sa nulla e non sa far nulla
autonomamente ma cerca di recuperare
informazioni in qualche modo e usa la
tecnologia.
La matematica è una rete di concetti e
procedimenti organizzati e collegati.
Non è possibile cominciare ogni volta da zero.
Nemmeno se si dispone di buone mediazioni
semiotiche e del supporto della tecnologia.
Riflessione sui programmi
della primaria (1985)
Tecniche di calcolo scritto: meno enfasi
sull’efficienza, di più sulla comprensione
Enfasi sulle relazioni numeriche elementari
(tabelline, …) e sul calcolo mentale
Qui la ricerca in EM era stata di aiuto.
Demana & Waits (anni novanta?)
Trasformazione di polinomi
a2 b2  (a+b)(a b)
4a2 9b2  (2a+3b)(2a 3b)
Senza CAS
Con CAS
Lo scarso controllo sulle rappresentazioni,
numeriche, simboliche o visuali, è un ostacolo
insormontabile per la risoluzione di problemi.
Non solo perle ma soprattutto paralisi, seguita
da risposte casuali o mancate risposte.
Questo non significa che
bisogna fare i prodotti notevoli!
Torniamo alla tecnologia …
Sistemi di rappresentazione
Strumenti di calcolo
Ambienti e strumenti per la comunicazione
Espressioni
simboliche
Dati numerici
Sistemi di
rappresentazione
Grafici
Figure
Procedimenti
Testi
Diversi formati numerici
Diverse modalità operative
Diverse modalità di immissione dati
La responsabilità del controllo di correttezza
ricade sullo strumento, non sull’insegnante.
Visualizzazione
Iconicità e convenzione
Le rappresentazioni fortemente iconiche sono
universali, richiedono poche inferenze e sono
interpretate rapidamente.
Per questo sono indispensabili in
moltissime circostanze.
Ma il linguaggio matematico è ricco di
convenzioni, e richiede molte inferenze.
La grande maggioranza degli studenti si
aspetta dalle rappresentazioni figurali un
grado di cooperatività maggiore rispetto
ad altre rappresentazioni.
In altre parole, sembrano ritenere che la
prima interpretazione che viene in
mente sia quella corretta.
Registri colloquiali
Registri evoluti
Iconici
Significati definiti
La matematica è un caso estremo di registro
evoluto.
Le definizioni prevalgono sull’iconicità
4
y
3
2
1
x
−2
2
−1
−2
−3
−4
Iconicamente è una funzione crescente.
In base alla definizione matematica, no.
375573+1
È un numero pari, ma nella rappresentazione
compaiono solo numeri dispari.
Anche le rappresentazioni visuali in
matematica richiedono momenti di
riflessione, discussione, verbalizzazione.
Halliday, M.A.K.: 2004. The Language of Science. London:
Continuum. (traduzione mia)
… e questo, infatti, è un punto di vista sul linguaggio scientifico:
quelcuno pensa che sia un modo di scrivere superfluo, più o meno
rituale, e che la scienza – concetti scientifici e ragionamento
scientifico – potrebbe benissimo essere espressa in termini
quotidiani, non tecnici. Si parla di questo altro tipo di linguaggio
come “linguaggio naturale”, “parole semplici”, e cose simili. Noi
potremmo rispondere a questo punto di vista con l’opinione
opposta, che è che la scienza dipende completamente dal
linguaggio scientifico: che tu non puoi separare la scienza da come
è scritta, o riscrivere il discorso scientifico in un qualunque altro
modo. In base a questo punto di vista, “imparare scienza” coincide
con imparare il linguaggio della scienza. Se il linguaggio è difficile da
imparare, questo non è un fattore aggiuntivo causato dalle parole
scelte, ma una difficoltà inerente alla natura stessa della scienza.
Ambienti e strumenti per la comunicazione
Costruzione e condivisione di testi scritti
Comunicazione e condivisione di testi scritti
Cooperazione in rete
Cooperazione in presenza con strumenti
Albano, G & P.L.Ferrari: 2007, ‘E-learning e ricerca in
educazione matematica: un esempio di integrazione’, in
Imperiale, R. et al. (a cura di) Matematica e difficoltà: i
nodi dei linguaggi, Bologna, Pitagora, 118-123.
Modulo ‘workshop’: gioco di ruoli.
Lo studente X formula
un problema.
Y risolve il problema
proposto da X.
Z corregge la soluzione di Y al problema proposto da X.
Un tutore discute il processo cogli studenti.
Reggiani, M.: 2011. ‘Collaborare online nella scuola
superiore: compiti, ruoli, motivazioni’. TD Tecnologie
Didattiche, 19 (3), 176-182.
Problema divertente  discussione  questionario
Problemi da Esame di Stato  workshop
Costruzione collettiva di una relazione di fisica
Costruzione collettiva di un saggio breve (wiki)
Altre forme di progettazione collaborativa
Gli alunni di V primaria preparano un percorso di avvio
all’uso di Excel per quelli di I.
Strumenti di calcolo
Dagli obiettivi per la secondaria di I grado
Eseguire addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni,
ordinamenti e confronti con numeri naturali, interi,
frazioni e decimali, a mente, scritti, con calcolatrici e fogli
di calcolo e valutando quale strumento sia più opportuno.
Dare stime approssimate per il risultato di
un’operazione e controllare la plausibilità di un calcolo.
Problema:
Trova un numero razionale x tale che:
200 < x2 < 220
Data una soluzione x:
Descrivi il procedimento che hai usato per trovare x.
È vero che x è razionale? Perché?
È vero che x2 > 200? Perché?
È vero che x2 < 220? Perché?
Problema:
Trova un numero razionale x tale che:
27
13  x 
7
Data una soluzione x:
Descrivi il procedimento che hai usato per trovare x.
È vero che x è razionale? Perché?
È vero che x > 13
? Perché?
È vero che
x2
27
< ? Perché?
7
Sono dati un rettangolo di dimensioni x, y e il
rettangolo ottenuto aumentando del 10% una
dimensione del primo e diminuendo del 10% l’altra.
Com’è l’area del secondo rettangolo
rispetto a quella del primo?
Minore
Maggiore
Uguale
Non si può dire,
dipende dai casi.
Sperimentazione numerica
Formula +Proprietà moltiplicazione
(1,1x)(0,9y)  0,99xy
Rappresentazione figurale
M = 3 ×5 ×7 ×11 ×13
12
7
9
8
6
È vero che M+7 è divisibile per 14?