Iperstatiche
Strutture piane caricate nel piano
e
Fuori dal piano
Condizioni di simmetria e antisimmetria
strutture simmetriche
no
si
no
si
no
si
Strutture antisimmetriche
si
no
si
si
no
no
INTEGRALI UTILI
FUNZIONE
sin 
cos 
sin 2 
cos 2 
sin  cos 
0

4
1
1
2
1
2
 1

8 4
 1

8 4
1
4
0

2
0 
1
2
1
0


4
2


4
1
2
2
0

4



2
2
1
2
1
1
2
 1

8 4
 1

8 4
1
4

1
1

2

2
1
2
Effetti termo-elastici su strutture piane
deformazione del concio elementare
dx
Ts dx
dT 
duT  
b
Ti dx
 (Ti  Ts )
b
Ti  Ts
dx
2
dx
Struttura simmetrica caricata simmetricamente

P
P
P
4
R
P
X
X
P
2
AB)
BC )
P
cos 
N'  sin 
2
P
T  X cos  
sin 
T'  cos
2
P
M  XR sin  
R(1  cos  )
M'  Rsin 
2
P

N  X sin  
cos   P sin(   )
N'  sin 
4
2
P

T  X cos  
sin   P cos(  )
T'  cos
4
2
P

M  XR sin  
R(1  cos  )  PR sin(   ) M'  R sin 
4
2
N  X sin  
P
2
PLV




NRd  4
MRd  2 NRd  2
MRd 
0   N'
 M'
  N'
 M '
EA
EI
EA 
EI

0
0
4
4

4
1 R2
P 1  1
1  R2
X (
 )
[(  )
 (  ) ]
4 EA EI
2 8 EI
2 2 8 EA
1  1
1  R2
(  )
 (  )
4 P 2 8 EA
2 8 EI
X 
1 R2
2

EA EI
Idem con carico antisimmetrico
X

4
P
P

4
P
P
2
Struttura antisimmetrica
A
B
x
X
x
P
L
2L
B
P
45°

C
A
45°
L
CALCOLO IPERSTATIC A
P
AB) N  0
BC)
N
P
2
MX
M  X-
M'  1
M'  1
C
P
x
2
PLV)
L
L
P
P L2
0   Xdx   (X x)dx  XL  XL 
2
2 2
0
0
X
PL
4 2
Presenza di effetti termici
Una distribuzi one lineare di temperatu ra dal bordo " i" (rosso) al bordo " s"
non altera in questo caso la natura dell' incognita iperstatic a
A
B
x
X
x
L
P
Ts
Ti
B
45°
L
P
P
2L
45°

A
C
CALCOLO IPERSTATIC A
AB) N  0
C
BC)
N
P
2
MX
M  X-
M'  1
M'  1
P
x
2
PLV)
L
0  (
0
X
X  (Ti  Ts )
P
1  (Ti  Ts )
P L2

)dx   [( X x)

]dx  XL  XL 
EI
b
b
2 EI
2 2
0
PL  (Ti  Ts )

EI
b
4 2
L
Spostamento
A
B
x
x
v

1
CALCOLO SPOSTAMENTO PUNTO A
C
M'  x
AB)
L
BC)
L
N'  -1
M'  L
L
P
dx
v-
dx   Xx
  L( X 
EI 0
0 EA 2
0
PL
1 3 XL2 PL3


(

)
2
EA 2 EI
2 2
P
dx
x)

2 EI
Carichi antisimmetrici
A
B
X1
x
X2
x
L
2L
B

P
P
45°
C
A
45°
L
P
L  1000mm A  2500mm 2 I  521000mm 4 E  200000MPa
X1  0,706 P
C
X 2  0,631103 P
Strutture piane caricate fuori dal piano
Vincolo in C tale da produrre la coppia iperstatica X
L
B +
+
b
cos x
+ +

y
q
+
C
+
CB)
+
c
h
X
BA )
A
b
L
PLV )
0   M' y
0
My
EI
L
dx   M' x
0
T'  0
x2
 X cos 
2
M x  X sin 
M' y   cos 
My  q
d
a
T  qx
T  qL
T'  0
c
M y  qL(  x)
2
b
M x  X  qL
2
M' y  0
a
a
My
Mx
M
dx

M'
dx

M' x x* dx
y
*


GI P
EI
GI P
0
0
L
1
qL3 cos  1 qLab 1
2
2
 X[ cos   * ( L sin   a)]  [

]
EI
GI P
6
EI
2 GI P*
L2 cos  1
1
 ab *
qL
3
EI
GI P
X
2 L cos 2   1 ( L sin 2   a)
EI
GI P*
se a  1000mm b  2000mm c  800mm   21,8 q  1N/mm
h  20mm d  120mm
X  1,618 106 Nmm
I
M' x  sin 
hd 3 *
I P  0,3dh 3 E  210000 MPa G  80769 MPa
12
M' x  1
Simmetria
geometrica e dei carichi
P
P


X1

X3

P
X1
no
X2
si
X3
no
X2
Simmetria
geometrica e antisimmetria dei carichi
P
P


X1

X3
X 1 si
-P
X2
no
X3
si
X2
Antisimmetria
geometrica e simmetria dei carichi
C
C
X1

X3
C
X1
no
X2
si
X3
si
X2
Antisimmetria
geometrica e dei carichi
C
C
X1

X3
X 1 si
C
X2
no
X3
no
X2
Esempio di struttura simmetrica
caricata simmetricamente: coppia C + effetto termico
Ts
a
a
C
C
2
h
Ti


X2
R
R

y
4
0  

4
x

4
C
sin 
2
C
M x  X sin   cos 
2
PLV )
M y  X cos  


M ' y  cos 
M ' x  sin 

4
C
1  (Ti  Ts )
C
Rd 
0   cos  [( X cos   sin  )

]Rd    sin  (X sin   cos  ) *
2
EI
a
2
GI P
0
0
4
1
1
1  (Ti  Ts )


C
EI GI P*
a
2
X 

1
1

1
1

1
1
 1 1
8(  )
(  ) * (  )
(  ) *
8 4 EI
8 4 GI P
8 4 EI
8 4 GI P
I
a 4 ( a  2h) 4

12
12
lm  4(a  h)
I*P 
4 Am2 h
A m  ( a  h) 2
lm