Definizione
Si dice che la variabile z è una funzione reale di due variabili x
e y, nell’insieme piano D, quando esiste una legge di natura
qualsiasi che fa corrispondere uno e un solo valore della
variabile z ad ogni punto P x; y
 
x e y sono le variabili indipendenti; z è la variabile dipendente
D è detto insieme
 di esistenza o dominio della funzione.
 
z  f x; y


z  f P
Dominio delle funzioni in R2
 
z  f x; y  x 2  x  2xy  D f   R2
x  xy
z
y
 
 D f   R 2  x; 0


z  x 2  y 2 1

x 2  y 2 1  0

x 2  y 2 1
Dominio delle funzioni in R2
1
z
y  x2
y  x2  0


z  ln y  x

y  x2
y x 0

yx
Grafico di una funzione in R2
P

 
D
M x; y

Il grafico della
 funzione ha la proprietà caratteristica che ogni
retta perpendicolare al piano Oxy lo incontra, al più, in un punto.
Definizione
Si chiama curva di livello della funzione z la proiezione
ortogonale, sul piano xy, dell’intersezione della superficie che
rappresenta la funzione con un piano parallelo al piano xy di
equazione z  c
La curva di livello è la proiezione ortogonale, sul piano xy,
dell’insieme dei punti della superficie che hanno lo stesso

z c
valore

Curve di livello in R2
c3
c 2
c3


c 2

c 1

c2  x2  y2

z  x2  y2



c 1
 
z  f x; y
Continuità in R2


P0  x 0 ; y 0 int erno a D e di accumulazione
La funzione z si dice continua in P0 se risulta:
Lim f P  f P0 

P  P0
  
Lim f x; y  f x 0 ; y 0


x  x0
y  y0

Calcolo differenziale in R2
  P  x ; y  int erno a D
 f x; y  Diventa una funzione ad una sola variabile x
chiamata restrizione di z su y=y
f x ; y  Diventa una funzione ad una sola variabile y
chiamata restrizione di z su x=x
z  f x; y
fx
0
0
0
0
0
fy
0
0


f x x 0 ; y 0  Lim
h0

 
f x 0  h; y 0  f x 0 ; y 0
h

 
Derivata prima parziale rispetto a x della funzione z  f x; y


nel punto P0  x 0 ; y 0

Nota bene: una funzione può essere parzialmente derivabile
in un punto, pur non essendo continua in 
quel punto

Interpretazione geometrica
 
 f x; y 
f x; y
fx


y
y0
D
x



0
Calcolo differenziale in R2
P  1; 2
 
f x; y  2x  3xy  5y 1 f x; 2 2x  6x  41
f  x; y  4 x  3y  f  x; 2 4x  6 f  1; 2 10
f x; y  2x 2  3xy  5y 3 1
2
0
x
0
2
3
0
0
0
0
x
x

f 1; y  3y  5y 3  3
f x 0 ; y  2x 02  3x 0 y  5y 3 1


2
f y x 0 ; y  3x 0 15y 2 f y 1; y  315y f y 1; 2  63













Gradiente di una funzione in R2
La coppia delle derivate parziali di una funzione f calcolate in
un punto P del suo dominio determina un vettore chiamato
gradiente di f in P.



grad f  f x x 0 ; y 0 ; f yx 0 ; y 0 
 

f x; y  2x 2  3xy  5y 3 1


f x 1; 2  10





 

f y 1; 2  63 grad f 1; 2  10; 63



P0  1; 2

Determina il gradiente della seguente funzione
in P  2; 1
 
f 2; 1 4  2  2 ln11  2 1 2; 1 D f 
1


f x; y 
2x  y  f 2; 1 1 3  3
2 x  xy
2 2
2 2
f x; y  x 2  xy  2 ln y 1
x
2
0
x

1
2

f y x; y 
x  
2
y
2 x  xy

 
 
1
2
1

f y 2; 1 
2   2 
1
2 2
2
 3
1 
grad f 2; 1  
; 2

2 2
2 

 
Determina il gradiente della seguente funzione
 
f 0; 0 ln 1  e
 
0; 0 D f 
f x; y  ln 1 x 2  xy e 2y x in P0  0; 0
0
1
f
f
1
2y x

0; 0  1
x; y 
2x  y   e 1

2
x
x
1 x  xy

f
1
f
2y x
x; y 
0; 0  2
x   e 2
2
y
1 x  xy
y
 
 
 
 

  

f 0; 0  1; 2


Massimi e minimi relativi
Definizione:
Si dice che P0 x 0 ; y 0 è un punto di massimo relativo o locale
per la funzione f se esiste un intorno circolare C del punto P0
tale che
f x; y  f x 0 ; y 0  x; y C  D


  
  

Teorema: (condizione necessaria)
Se il punto P0 è un punto di massimo o di minimo relativo per
la funzione
 f e se in esso la funzione f è parzialmente
derivabile rispetto a x e a y, allora risulta:

f x0; y0  0
x






f x0; y0  0
y


  
f x 0 ; y 0  0; 0
P0x 0 ; y 0 è detto punto
 stazionario per f
Punti di sella
Definizione:
Si dice che P0 x 0 ; y 0 è un punto di sella per la funzione f se
è un punto stazionario e se:


 
 
sia f x; y  f x ; y  sia f x; y  f x ; y 
  x 0 ; y 0 contiene x; y tali che

0
0
0
0


punto di
massimo
punto di
minimo
punto di sella
Derivate parziali seconde
Sia f una funzione in due variabili definita in un insieme D di
R2 e sia f parzialmente derivabile sia rispetto a x sia rispetto a
y.
f xe f y
possono essere a loro volta funzioni parzialmente derivabili;
in tal caso le loro derivate si chiameranno derivate parziali
seconde
 
 
 
2
2


2 x
x
f x; y  y e  2x y  5
f
x;
y

y
e

4
y
f
x;
y

2e
2
2

x

y

f x; y  y 2e x  4 xy
Derivate seconde parziali pure
x

f x; y  2ye x 2x 2

Derivate seconde
parziali miste
y
22
2

f x; y  2yex  4 x
f x; y  2ye xx  4 x
yx
xy
2 x
 
2
 
 
 