Epistemologia delle scienze
naturali 09-10 (II Sem.)
La natura del Tempo e la teoria della
relatività di Einstein
Francesco Orilia
Lez. 15
22/3/10
simultaneità per due eventi
spazialmente distanti
• Einstein suggerisce di considerare come "tempo"
ciò che indica "il mio orologio".
• Quindi, la nozione di simultaneità richiede la
sincronizzazione degli orologi.
• Supponiamo di spedire un segnale luminoso da A
(dove c'è un orologio stazionario, che segna il
tempo tA) ad una regione distante B (dove c'è un
altro orologio stazionario che segna il tempo tB).
• Questo segnale parte al momento tA ed arriva a B
nel momento tB [inviando così un certo
messaggio, diciamo tA = 0].
• Nel punto B viene riflesso da uno specchio e
ritorna così al punto A nel momento t'A [inviando
così il messaggio tB = 5, assumendo che 5 è ciò
che segna l'orologio all'arrivo del segnale da A].
• Nel momento t'A l'orologio in A segnerà un altro
orario [supponiamo t'A = 10].
• Gli orologi in A e B sono definiti sincronizzati sse
tB - tA = t'A - tB [nel nostro esempio abbiamo 5 0 = 10 - 5].
• Ma se tB - tA = t'A - tB, allora tB + tB = t'A + tA,
ossia 2tB = t'A + tA e dunque tB = 1/2(t'A + tA).
• Insomma gli orologi sono sincronizzati sse tB =
1/2(t'A + tA).
• In questo modo, può essere fissata una misura
uniforme del tempo in tutti i punti di un sistema
di riferimento per mezzo di una serie di orologi
stazionari nel sistema di riferimento
• Abbiamo a questo punto non solo un tempo di A
ed uno di B, ma un tempo comune che vale sia
per A che per B, assumendo per definizione che la
luce impiega lo stesso tempo sia all'andata che al
ritorno
• Su questa base possiamo definire la simultaneità di due eventi E1
ed E2 spazialmente distanti relativa ad un sistema di riferimento
• questo, presupponendo la simultaneità immediatamente
osservabile a livello locale, necessaria per asserire che un certo
evento è simultaneo con l'evento di un certo orologio vicino
all'evento che segna un certo tempo
• se un osservatore, date le condizioni e definizioni specificate sopra,
giudica che due eventi occorrono allo stesso tempo, allora i due
eventi sono simultanei.
• Il che conduce immediatamente alla relatività (rispetto al sistema di
coordinate di riferimento) della simultaneità (poiché, per le
trasformazioni di Lorentz il tempo registrato da un cronometro varia
con il sistema di riferimento).
• Insomma, più precisamente, assumendo idealmente che, dati due
luoghi A e B, troviamo in essi due orologi sincronizzati, possiamo
così definire la simultaneità a distanza (presupponendo quella
locale tra eventi approssimativamente nello stesso luogo) relativa
ad un certo presupposto sistema di riferimento inerziale:
• Un evento E2 che avviene nel luogo B è simultaneo (a distanza) con
un evento E1 che avviene nel luogo A se e solo E1 è simultaneo
localmente con il fatto (evento) che l'orologio in A segna il tempo t,
laddove (i) t = 1/2(t1+ t2), (ii) t1 è il tempo segnato dall'orologio in
A simultaneamente (nel senso locale) con la spedizione di un
segnale luminoso verso lo specchio in B che riflette il segnale
indietro verso A, (iii) t2 è il tempo segnato dall'orologio in A
simultaneamente (nel senso locale) con il ritorno del raggio dopo
che è stato riflesso dallo specchio in B.
• Nella definizione appena data, è stato assunto però che
la luce è isotropa, cioè ha la stessa velocità nel viaggio
di andata ed in quello di ritorno
• ma non è chiaro che ciò si possa verificare.
• La definizione di simultaneità sembra da questo punto
di vista basata su una convenzione.
• Qui bisogna distinguere accuratamente tra questo
aspetto di convenzionalità della definizione di Einstein
(c'è dibattito su quanto questa convenzionalità sia
evitabile) e il fatto che la simultaneità di Einstein è
relativa a un certo sistema di riferimento inerziale e
non è assoluta.
Conferme empiriche per SP
• v. Craig p. 65
•
• Per una mappa concettuale che associa idee a
dati empirici vedi
•
• http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/HBASE/relativ/relcon.html#relco
n
•
Lez. 16
24/3/10
Lezione sulle analogie tra
l'approccio operazionalista di
Einstein alla nozione di tempo ed il
verificazionismo del neopositivismo
Lez. 17
26/3/10
La distanza spazio-temporale
• Sebbene tempi e lunghezze cambino da un
sistema di riferimento ad un altro, c'è una
quantità che rimane la stessa per qualsiasi
sistema di riferimento.
• E' chiamata la distanza spazio-temporale tra
due eventi.
• Vedremo adesso come questa quantità viene
individuata
• Immaginiamo che dall'origine di un sistema di
riferimento si diffonda un segnale luminoso, che
quindi viaggia alla velocità c.
• Utilizziamo c come unità di tempo. Sicché
abbiamo il cronometro fissato a zero all'origine, il
cronometro che segna ct = c, dopo la prima unità
di tempo, ct = 2c, dopo la seconda unità di
tempo, ecc.
• Quindi, in generale, l'unità di tempo è della forma
ct.
• Supponiamo adesso che il segnale luminoso
sia inviato da un sistema K' che passa oltre il
sistema K con la velocità V, in modo tale che al
tempo t' = t = 0, l'origine di K' coincide con
quella del sistema K.
• Dall'origine di K' si diparte una sfera di luce
che al tempo t' ha il raggio ct' (poiché spazio =
velocità moltiplicata per il tempo).
• Quindi, per l'equazione della sfera abbiamo:
•
•
•
•
(1') x'2+y'2+z'2 = c2t'2
Ossia
(2') x'2+y'2+z'2-c2t'2 = 0
In generale, x, y, z identificano un punto nello spazio
tridimensionale. Se ct è il raggio di una sfera con centro
0, allora i valori di x, y e z che soddisfano questa
equazione corrispondono a punti nella superficie di
tale sfera
• Segue digressione sull'equazione della sfera tratta da
http://www.arrigoamadori.com/lezioni/SuperficieInR3
/SuperficieInR3.htm
•
x ² + y ² + z ² - R ² = 0 è l’equazione di
una sfera di centro O e raggio R
•
in quanto ogni punto P(x , y , z) della
sfera è tale per cui applicando il
teorema
di Pitagora ai triangoli rettangoli
OHH’ e OHP ottenuti proiettando il
punto P
sugli assi cartesiani come indicato
in figura si ottiene OH’² + H’H ² + PH ² =
R²
e quindi, sostituendo OH’ = x , H’H
= OH’’ = y e HP = z , si ha verificata
l’equazione.
• Seguendo Minkowski, prendiamo il tempo come una
quarta dimensione
• Dobbiamo pensare ad una superficie
quadridimensionale (non visualizzabile) in cui un punto
indicato da quattro coordinate, (x,y,z,t), corrisponde a
un evento del tipo "luce che raggiunge un certo
particolare punto spaziale (x,y,z) nel momento t" o
"presenza del segnale luminoso in un certo punto
spazio-temporale (x,y,z,t)".
• Possiamo applicare le trasformazioni di Lorentz per
sapere cosa corrisponde dal punto di vista di K
all'evento (x',y',z',t') visto da K'.
• (2') x'2+y'2+z'2-c2t'2 = 0
• Assumendo come al solito F = 1  Vc e inserendo in (2') i
valori tratti dalle trasformazioni di Lorentz otteniamo
• ((x- Vt)/F)2+y2+z2 - c2((t - (V/c2)x)/F)2 = 0
• Lavorando su questa equazione [metterò soluzione in
rete] otteniamo:
• (2) x2+y2+z2-c2t'2 = 0
• Da (2') e (2) otteniamo:
• x'2+y'2+z'2-c2t'2 = x2+y2+z2-c2t'2
• Ossia, abbiamo una quantità che è identica sia per K
che per K' ed è quindi chiamata Lorentz invariant
2
2
• Questa quantità è invariante: x2+y2+z2-c2t'2
• Ne consegue (metterò dimostrazione in rete)
che anche questa quantità è un invariante:
• (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2) 2 - c2(t1 - t2)2
• Intuitivamente, x1 - x2 è una distanza spaziale
tra due punti e ct1 - ct2 una distanza
temporale tra due istanti
• Nello spazio a due dimensioni, per il teorema di
Pitagora abbiamo (dove d è la distanza tra due
punti):
• d = ((x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2)
• d2 = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2
• Analogamente, sempre per Pitagora, nello spazio
a tre dimensioni:
• d = ((x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2)2)
• d2 = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2)2
• Seguendo Minkowski, pensiamo allo spazio e al tempo
come a tutt'uno con quattro dimensioni
• Consideriamo ancora la quantità invariante
(x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2) 2 - c2(t1 - t2)2
• Nello spazio a 4 dimensioni di Minkowski, questa
quantità si può vedere un analogo - la distanza spaziotemporale - della distanza tra due punti (data dal
teorema di Pitagora). Quindi, in analogia col teorema
di Pitagora, poniamo:
• d = ((x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2) 2 - c2(t1 - t2)2)
• d2 = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2) 2 - c2(t1 - t2)2
• d = ((x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2) 2 - c2(t1 - t2)2)
• d2 = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 +(z1 - z2) 2 - c2(t1 - t2)2
• Possiamo tralasciare per comodità le assi y e z
lavorando con una generica coordinata x che
sintetizza tutte le dimensioni spaziali (Boniolo, p.
26).
• Indicando con x la distanza spaziale e con t
quella temporale otteniamo:
• d = (x2 - c2t2 )
• d2 = x2 - c2t2