Assicurazioni vita e mercato del
risparmio gestito
Lezione 13
Modelli media varianza con N titoli
Modello con N titoli rischiosi
•
•
•
In un modello con N titoli rischiosi la determinazione della frontiera
efficiente conduce a una relazione non lineare, un ramo di iperbole
(una parabola se il rischio è misurato con la varianza)
La determinazione della frontiera efficiente consente di stabilire il
principio di separazione dei fondi:
Rendimento e rischio di un qualsiasi portafoglio sulla frontiera
efficiente possono essere ottenuti costruendo un portafoglio di due
portafogli efficienti
Perché due portafogli? Perché due sono i vincoli del problema di
ottimizzazione. Ricordiamo che cerchiamo i portafogli di minima
varianza sotto il vincolo che
1. La ricchezza sia tutta investita
2. Il rendimento atteso del portafoglio sia pari a un target predefinito
•
Se includessimo più vincoli nell’algoritmo di determinazione della
frontiera efficiente otterremmo un numero maggiore di fondi
Minimizzazione della varianza
• Assumiamo di poter investire un’unità di ricchezza, in un
insieme di N titoli rischiosi, con matrice di covarianza V.
• Esempio: Individuiamo il portafoglio con la varianza
minore possibile (e è il vettore unità)
min w* w ' Vw
s.t. w ' e  1
Il Lagrangiano
• Il problema è scritto come il lagrangiano
L  w ' Vw  2 w ' e  1
con le condizioni del primo ordine (FOC)
0  Vw  e
0  w' e  1
La soluzione
• La soluzione è
w*  V 1e
e' w*  1  e' V e
1
V 1e
w* 
1
e' V e
Frontiera efficiente
• Introduciamo Assumiamo di investire un’unità di
ricchezza, in un insieme di N titoli rischiosi, con
rendimento atteso dato dal vettore  matrice di covarianza
V.
• Le migliori allocazioni del portafoglio possibili sono
l’insieme dei vettori w che risolvono il problema
min w* w ' Vw
s.t. w '   E rp 
w' e  1
Il Lagrangiano
• Il problema è scritto come il lagrangiano
L  w ' Vw - 21 w '   E rp   22 w ' e  1
con le condizioni del primo ordine (FOC)
0  Vw  1  2e
0  w' e  1
0  w '   E rp 
La soluzione
• La soluzione è
 1 
w*  V  e 
2 
1
1
 1V   2 V e
1
…e dobbiamo ricavare i moltiplicatori di
Lagrange dai vincoli
Moltiplicatori di Lagrange
• I moltiplicatori di Lagrange sono ottenuti da
 1 
 1 
 E rp 

 1
 1    e w*   e V  e   A  


 2
 2
dove abbiamo definito
1
1




V


V
e a b
1
A   e V  e  


1
1 
b
c



e V  e V e  

La soluzione
• La soluzione è alla fine


 1 
1
1  E r p 
w*  V  e   V  eA 


1


 2
1  c  b   E rp 
1
 V  e



2 

b
a
1
ac  b 


1
La frontiera efficiente
• La relazione media-varianza è

2
1   1
 p  w*' Vw*  E rp  1A   V VV 1 
 e 
 E rp 
 E rp  1 A 

1


 c  b  E rp 
1

E rp  1 
 1 
2

b
a
ac  b





1





a  2bE rp   c E rp 
ac  b 2
2
 E rp 
eA 

1


1
La frontiera efficiente con N titoli
rischiosi
Modello con N titoli rischiosi ed uno
privo di rischio
• Assumiamo di investire un’unità di ricchezza, in
un insieme di N attività rischiose, con rendimento
atteso dato dal vettore  e matrice di covarianza V
e un titolo non rischioso che garantisce un
rendimento pari a Rf
• Il problema di allocazione del portafoglio
min w* w ' Vw
s.t. w '   R f e   E rp   R f
La soluzione
• La soluzione è ottenuta con la stessa tecnica
di prima
0  Vw *    R f e 
0    R f e   E rp  R f 
da cui
w*  V   R f e  w 0  1  w ' e
1
*
Frontiera efficiente
• Recuperiamo il moltiplicatore di Lagrange
sostituendo i vincoli nella relazione della
varianza

Erp   R f     R f e'V 1   R f e   a  2bR f  cR 2f
 2p  w * ' Vw *  2   R f e ' V 1VV 1   R f e 

E r   R 
 2 a  2bR f  cR 2f
2

p
a  2bR
f
f
 cR 2f



La frontiera efficiente