Università degli Studi di Padova
SCIENZE MM.FF.NN.
Laurea in Matematica
Laboratorio di Rilevamento e Geomatica
ANALISI CON FUNZIONI SPLINE
DI ACQUISIZIONI LINEARI
CON LASER A SCANSIONE
Laureanda: TINA BABETTO
Relatori: Prof. Giuseppe Salemi
Prof. Francesco Fassò
A. A. 2004 / 2005
1
Settore di interesse
Settore ARCHITETTONICO:
 Rilievi effettuati con moderne apparecchiature laser
scanning :
I dati vengono acquisiti con uno
scanner laser, capace di determinare
velocemente e con un alto grado di
precisione la geometria dell’oggetto.
L’acquisizione avviene su
una griglia di
campionamento, per
definizione discreta
2
Esempi di acquisizione
3
Problema
Una volta acquisiti i dati vengono elaborati mediante
software  attualmente il mercato offre strumenti in grado
di effettuare elaborazione globale dei dati
Punto debole
 Non è possibile effettuare un’analisi del singolo dettaglio
SOLUZIONE: analisi con interpolazione del rilievo
linea per linea , punto per punto
4
Strumento
• scanner Cyrax 2500
• Software Cyclone
LASER A SCANSIONE
Dimensione:
35,6 x 30,48 x 58,42 cm
Angolo di ripresa:
40° x 40°
Range di utilizzo medio:
1,5 – 50 m
Range di utilizzo massimo:
80 –100 m
5
Velocità di acquisizione:
1000 punti/secondo
Acquisizione:
Linea iniziale dell’acquisizione
 rappresenta un possibile profilo di
una struttura architettonica
6
Acquisizione:
In realtà:
7
Funzioni di interpolazione polinomiali
SPLINE
Strumenti matematici utilizzati:
Cubica
SPLINE
Bézier
Composite Bézier
Ambiente di lavoro:
Mathematica 4.1
8
Funzioni di interpolazione SPLINE
Definizione:
Sia a = x0< x1<…. < xn = b una suddivisione dell’intervallo [a,b] e sia m N.
Una funzione sm: [a,b]  R è chiamata SPLINE di grado m rispetto a questa
suddivisione se s Cm-1[a,b] e se la restrizione di s ad ogni sottointervallo
[xi,xi+1] è un polinomio di grado al più m.
Utilizzo:
Nella grafica 3D sono utilizzate per l’approssimazione di curve.
 SPLINE CUBICA (m=3)
s3= a0i + a1ix + a2i x2 + a3ix3
9
Funzioni di interpolazione SPLINE
Definizione:
i coefficienti b0,b1…..,bn  R 2 nella rappresentazione di un polinomio p  Pk
nella base di Bernstein
n
p ( x)   bk B ( x; a, b)
k 0
n
k
x  [a,b],
sono chiamati punti di controllo , o punti di BÉZIER, di p.
COMPOSITE BÉZIER: serie di curve di Bézier di classe C1 che interpola
alternativamente nodi e punti di controllo
10
Acquisizione
11
Acquisizione
12
I morfotipi
I modelli campionati sono 5:
Punti allineati
Box
Triangolo
Box
Picco
Curva
13
Applicazione
Per ogni tipologia di spline si è eseguita
l’interpolazione :
• su ogni singolo morfotipo
• su composizioni di morfotipi diversi
• su composizioni di morfotipi diversi a passi di campionatura diversi
• su ripetizioni dello stesso morfotipo
• su sequenze con morfotipi distanziati (“effetto rilassamento”)
14
Codice in Mathematica 4.1
Muro.jpg
15
Singolo morfotipo
Interpolazione CompositeBézier a confronto:
Box con 2 passi di campionamento diversi
16
Esempi di interpolazioni
su 2 sequenze di morfotipi
BÉZIER :
Triangolo + 2*Box
COMPOSITE
BÉZIER :
Curva + Linea +
Box + Picco +
Triangolo
17
Campionatura diversa
Interpolazione con passo di campionamento diverso per ogni
morfotipo
18
Sequenza “rilassata”
19
Costruzione 3D
Dall’ultima sequenza, ripetendo la funzione n
volte…
20
Costruzione 3D
Muro.jpg
… si ottiene una parete
21
Conclusioni
• La sperimentazione ha indicato alcune “linee” guida per
l’analisi di singoli morfotipi derivanti da acquisizioni con
laser a scansione.
• Inoltre, è stata studiata la sequenza di morfotipi elementari,
variandone la composizione, la ripetizione e la complessità
strutturale.
• E’ stato approntato un metodo alternativo di analisi delle
linee di acquisizione applicabile a situazioni diverse.
• I risultati ottenuti in ambito architettonico-strutturale sono
facilmente esportabili in altri ambiti (ad es. biostereometria).
22
23
Perturbazioni
errore umano
morfotipo affetto da errore
errore di macchina
24
Perturbazioni
 gli effetti dell’interpolazione cambiano
In caso di perturbazioni l’interpolazione non approssima
esattamente l’andamento cercato  è necessario effettuare
una depurazione dall’ errore (se possibile)
25