Meccatronica Applicata
Applicazioni Matematiche
e tecnologie delle
macchine automatiche
Ing Gabriele Canini
KPL Packaging spa
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata
Applicazioni matematiche a casi industriali nelle macchine automatiche
1) Come fare poca fatica (ottimizzazione risorse software e computazionali)
- interpolazione leggi di moto polinomiali
2) Come spendere meno (ottimizzazione costi attuatori)
- dimensionamento ottimo trasmissione cinematica
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
MOTORE
RIDUTT
Interpolazione Polinomiale
T. CINGHIA
NASTRO, M. TRASLANTE
Y
ATTUATORE
1:n
Z1 : Z2
TRASMISSIONE
Dx
p
CARICO
Ci interessa descrivere la legge di moto del mezzo operativo Y rispetto ad
un master di macchina X
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
6 g.d.v : Y 0, V 0, A0, in X 0 e Y 1, V 1, A1, in X 1
servono 6 g.d.l che possono essere fissati nei 6
coeff di un polinomio di 5° grado
YY
slave
Interpolazione Polinomiale
1.1) Y ( X )  P5  X 5  P4  X 4  P3  X 3  P2  X 2  P1  X  P0
Y1
rK
V1 rN
A1
V0
A0
Y0
r2
r1
0
X
X0
X1
master
360 [°]
1 [ciclo]
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
Y ( X )  P5  X 5  P4  X 4  P3  X 3  P2  X 2  P1  X  P0
Y
Y1
rK
V1
A1
V0
A0
Y0
X0
X
X1
Dati i vincoli geometrici [Y 0, V 0, A0, Y 1, V 1, A1] nei punti
[ X 0, X 1]
bisogna determinare i coefficienti [ P 5, P 4, P 3, P 2, P1, P 0]
del polinomio interpolante Y ( X ) per X  [ X 0, X 1]
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
1.2) Y ( X )  P5  X 5  P4  X 4  P3  X 3  P2  X 2  P1  X  P0
dY
1.3) V ( X ) 
 5P 5  X 4  4 P 4  X 3  3P 3  X 2  2 P 2  X  P1
dX
dV
1.4) A( X ) 
 20 P 5  X 3  12 P 4  X 2  6 P 3  X  2 P 2
dX
Vincoli in X 0
1.5) Y ( X 0)  Y 0  P5  X 05  P 4  X 04  P3  X 03  P 2  X 02  P1  X 0  P0
1.6) V ( X 0)  V 0  5P5  X 04  4P4  X 03  3P3  X 02  2P2  X 0  P1
1.7) A(X 0 )  A0  20 P5  X 03  12P 4  X 02  6P3  X 0  2P 2
Vincoli in X 1
1.8) Y ( X 1)  Y1  P5  X 15  P4  X 14  P3  X 13  P2  X 12  P1  X 1  P0
1.9) V ( X 1)  V1  5P5  X 14  4P4  X 13  3P3  X 12  2P2  X 1  P1
1.10) A(X 1 )  A1  20P5  X 13  12P4  X 12  6P3  X 1  2P2
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
Le eq. 1.5) – 1.10) possono essere riscritte in forma matriciale
4
3
2
Y 0   X 05
X0
X0
X0
V 0 
4
3
2
2X 0
5
X
0
4
X
0
3
X
0
  
 A0 20 X 03 12 X 02 6 X 0
2
1.11)    
5
4
3
2
Y
1
X
1
X
1
X
1
X
1
  
2
3
V 1  5 X 14
3X1 2 X1
4X1
  
2
 A1  20 X 13 12 X 12 6 X 1
X0
1
0
X1
1
0
1  P 5 
  
0  P 4 
0  P 3 
 
1  P 2 
0  P1 
  
0  P 0 

1.12) B 6  1  H 6  6  P 6  1
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
4
3
2
Y 0   X 05
X0
X0
X0
V 0 
4
3
2
4 X 0 3X 0 2 X 0
   5X 0
 A0 20 X 03 12 X 02 6 X 0
2
1.11)    
5
4
3
2
X1
X1
X1
 Y1   X 1
2
3
V 1  5 X 14
3X1 2 X1
4X1
  
3
2
6X1
2
 A1  20 X 1 12 X 1
X0
1
0
X1
1
0
1  P 5 
  
0  P 4 
0  P 3 
 
1  P 2 
0  P1 
  
0  P 0 
Interpolazione Polinomiale

1.12) B 6  1  H 6  6  P 6  1
1.13) P 6  1  H 1 6  6  B6  1
Risolvendo il sistema 1.11) o 1.12) di ordine 6x6 si ricava il vettore P 6  1 dei
coefficienti del polinomio in funzione dei vincoli geometrici B6  1.
La soluzione deve essere SIMBOLICA e non Numerica perché :
1) La precisione della soluzione peggiora tanto più la matrice H è mal
condizionata. det( H )  0
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
2) Poiché al cambiare del formato di macchina cambiano i vincoli del
profilo di moto (da B a B  ) è meglio assegnare in forma chiusa i
coefficienti del polinomio così da adattarli a qualunque situazione e
non avere errori numerici
3) Normalmente i computer di macchina non dispongono di librerie
matriciali, (questo non è un vero ostacolo)
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Il sistema 6x6
4
3
2
Y 0   X 05
X0
X0
X0
V 0 
4
3
2
4 X 0 3X 0 2 X 0
   5X 0
 A0 20 X 03 12 X 02 6 X 0
2
1.11)    
5
4
3
2
Y
1
X
1
X
1
X
1
X
1
  
4
2
3
V 1   5 X 1
3X1 2 X1
4X1
  
2
 A1  20 X 13 12 X 12 6 X 1
X0
1
0
X1
1
0
Interpolazione Polinomiale
1  P 5 
  
0  P 4 
0  P 3 
 
1  P 2 
0  P1 
  
0  P 0 
non si riesce ad invertire agevolmente a mano (ore di lavoro e alto rischio di
sbagliare).
Tanto meno aiutano i risolutori simbolici tipo Maple V o Mathematica perché
non forniscono espressioni semplificate (sparano 40 pag di calcoli da ridurre a
posteriori manualmente)
Serve un’alternativa ASTUTA !!
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
ALTERNATIVA :
Traslando il punto di inizio del ramo rk (X 0 ,Y 0 ) nell’origine ( 0 ,0 ) si
risolvono immediatamente 3 g.d.l ed il sistema totale si riduce ad un problema
3x3
1.14) x  X  X 0
1.15) y  Y  Y 0
Y
Y1
con X  [ X 0, X 1]
con Y  [Y 0, Y1]
1.16) y ( x)  p5  x5  p 4  x 4  p3  x3  p 2  x 2  p1  x  p 0
y
rK
V1
A1
V0
A0
Y0
X0
spazio originale
y1
X
X1
V1
A1
rK
V0
A0
0
0
x
x1
spazio traslato
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
Infatti calcolando i vincoli di spazio, velocità ed accelerazione nel punto
master x  0 si ottengono immediatamente i primi 3 coeff. di grado più
basso [ p 2, p1, p 0] del nuovo polinomio interpolante y (x) nello spazio
traslato:
y
y1
rK
V0
A0
0
Vincoli in x  0
V1
A1
0
x
x1
1.17) y(0)  0  p5  x5  p 4  x 4  p3  x3  p 2  x 2  p1  x  p0
1.18) v(0)  V 0  5 p5  x 4  4 p 4  x3  3 p3  x 2  2 p 2  x  p1 
1.19) a(0)  A0  20 p5  x3  12 p 4  x 2  6 p3  x  2 p 2
p0  0
p1  V 0
A0
p2 
2
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
Scrivendo le equazioni di vincolo nel punto x  x1 e combinandole con le
1.17)-1.18)-1.19) si ottiene il sistema ridotto ad un 3x3
4
3
 y1  ( p 2  x12  p1  x1  p 0)  x15
x1
x1   p 5 

 

4
3
2 
1.20) 
V 1  (2 p 2  x1  p1)    5 x1
4 x1 3 x1    p 4 

 20 x13 12 x12 6 x1   p 3 
A1  2 p 2
1.20.1) C 3  1  G 3  3  P 3  1
Il sistema 3x3 si risolve agevolmente a mano e porta ad espressioni semplici
facilmente implementabili in qualunque calcolatore di controllo di una
macchina automatica
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
L’algoritmo per i coeff. del polinomio 5° grado traslato :
Dati i vincoli geometrici [Y 0, V 0, A0, Y 1, V 1, A1] nei punti [ X 0, X 1]
1.21) x1  X 1  X 0
1.22) y1  Y 1  Y 0
traslazione
1.23) p 0  0
coeff. di grado 0,1,2
1.24) p1  V 0
1.25) p 2  A0 / 2
1.26) b5  y1  ( p 2  x12  p1  x1  p 0)
1.27) b 4  V 1  (2 p 2  x1  p1)
1.28) b3  A1  2 p 2
1.29) p 3  (b3  x12  8b 4  x1  20b5) /( 2 x13)
variabili ausiliare
(colonna termini noti)
coeff. di grado 3,4,5
1.30) p 4  (b3  x12  7b 4  x1  15b5) /( x14)
1.31) p 5  (b3  x12  6b 4  x1  12b5) /( 2 x15)
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
Per calcolare il polinomio interpolante nel dominio originale si trasla
all’indietro il polinomio interpolante così ottenuto
 X  [ X 0, X 1]
 x  X  X0
5
y ( x)   pk  x k
k 0
Y(X)  y ( x)  Y 0
Questa soluzione è molto comoda da implementare con cicli di calcolo
iterativi nei computer della macchina automatica
Successivamente si itera il metodo a tutti i rami della legge di moto
Ing Gabriele Canini
Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
Polinomio di 3° Grado :
I vincoli sono solo in posizione e velocità (no accelerazione) [Y 0,V 0, Y 1,V 1]
nei punti [ X 0, X 1] . Applicando il solito criterio della traslazione :
1.32) x  X  X 0
1.33) y  Y  Y 0
con X  [ X 0, X 1]
con Y  [Y 0, Y1]
1.34) y( x)  p3  x3  p 2  x 2  p1  x  p 0
Y
Y1
y
V1
rK
V1
y1
rK
V0
Y0
V0
X
X0
spazio originale
X1
x
0
0
x1
spazio traslato
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Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
L’algoritmo per i coeff. del polinomio 3° grado traslato :
Dati i vincoli geometrici
[Y 0,V 0, Y 1,V 1]
1.35) x1  X 1  X 0
1.36) y1  Y 1  Y 0
traslazione
1.37) p 0  0
1.38) p1  V 0
coeff. di grado 0,1
1.39) b3  y1  ( p1  x1  p 0)
1.40) b 2  V 1  p1
variabili ausiliare
1.41) p 2  (3b3  b 2  x1) /( x12)
coeff. di grado 2,3
nei punti [ X 0, X 1]
1.42) p 3  (b 2  x1  2b3) /( x13)

X  [ X 0, X 1]

x  X  X0,

3
y ( x)   pk  x k
k 0
Y(X)  y ( x)  Y 0
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Meccatronica Applicata :
Interpolazione Polinomiale
DOMANDE ?
Ing Gabriele Canini