Elettroni nei semiconduttori
Risolvendo l'eq di Schrodinger per un cristallo semiconduttore si ottiene
una relazione di dispersione E-k.
Struttura a bande
Interessa soprattutto top della banda di valenza e fondo della banda di
conduzione.
Il top della banda di
valenza occorre a k=0
Il fondo della banda di
conduzione occorre a k=0
per alcuni semiconduttori
(GaAs, InP, etc.)
Per altri occorre a k≠0 (Si,
Ge, AlAs, etc.)
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1
Struttura a bande
Gap Diretta
intorno al minimo
Gap Indiretta
intorno al minimo
 2k 2
E k  = Ec +
2m *
Gap diretta →
forte accoppiamento con la luce
Gap indiretta →
debole accoppiamento con la luce
Conservazione del momento
favorisce transizioni verticali
Massa efficace
Nel Si si hanno sei minimi equivalenti lungo l'asse
x, y, z in corrispondenza del valore 2π 0.85,0,0 
a


2
2
2

k
+
k
 k x  k0x 
y
z
E k  = Ec +
+

2 
ml
mt
2


m*l massa longitudinale
0.98 m0
m*t massa trasversale
0.19 m0
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2
Struttura a bande
Masse effettive più «pesanti» corrispondono
a bande più «larghe».
1 2
1
E
=
E viceversa
 2 k 2
m* (k\ )
Minore il gap tra bande
minori le masse efficaci
Vicino al top della banda di valenza ci sono
due curve.
Buche pesanti
Buche leggere
 2k 2
E = Ev 
2m hh
 2k 2
E = Ev 
2m lh
In tutte le espressioni ricavate fin qui
occorrerà usare la massa efficace al posto
della massa reale dell'elettrone m0
Gap diretta → m* unica
Gap indiretta → m*DOS combinazione
delle diverse masse effettive
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3
Massa efficace in banda di conduzione


2
E k = Ec +
2

 k x  k0x 2
k y2 + k z2
+

ml
mt


Eq di un ellissoide di
rotazione intorno a k0
Assi a, b, b


4
8π 1 3 / 2
3/ 2
2
2


Vk = 2 πab =
2
E

E
m
m
c
l t
0
3
3 3
3/ 2
2
dVk
2
m
m
1/ 2
l t
0


=
E

E
dE = N E dE
c
3
2 3
8π
2π 
Numero di stati tra k0 e k0+dk
a=
b=
2m l E  Ec 

2m t E  Ec 

I 6 minimi equivalenti (±x, ±y, ±z)
3/ 2
2
t
mDOS = 6 ml m
Massa efficace in banda di valenza


 2k 2
E k = Ev 
2m
La banda di valenza è doppia
Buche pesanti
Buche leggere
N E dE =
32
2mDOS
1/ 2


E

E
dE
v
2 3
π 
2
3/2
3/2
m3/
=
m
+m
(
dos
lh
hh )
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4
Buche nei semiconduttori
La banda di valenza è completamente piena.
La banda di conduzione è vuota
T=0K



 ki =   ki  + ke = 0
 ki ke 
La banda di valenza cede qualche elettrone.
T>0K
Restano dei vuoti.
La banda di conduzione acquista qualche elettrone
k h = ke =
k
ki
ke
i
La massa della buca è positiva (quella
dell'elettrone mancante in banda di valenza
sarebbe negativa)
dk h

= eF + vh xB
Lo stato vuoto è chiamato buca,
ed è considerato una particella con
carica e momento -ke
dt
2

E
1
2
m =
k 2
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5
EX 2.3
m0=0,91x10-30 kg
ħ=1,05x10-34Js
Calcoliamo l’energia di un elettrone e di una buca nella banda delle lacune pesanti
di un semiconduttore a k=0,1 Å-1
La massa della lacuna pesante è pari a m0/2
L’energia di un elettrone in banda di valenza è
Per cui
 2k 2
E = Ev 
2m hh
Ee = Ev  1,2110 20 J = Ev  0,0755 eV
Eh = Ev  0,0755 eV
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6
Silicio
Relativamente facile da produrre
Si lavora agevolmente
Possiede un ossido naturale di alta qualità che può
fungere da isolante
Bandgap indiretta di 1.11 eV (300K)
Minimo della banda di conduzione è nella direzione
k= 2/a (0.85,0,0) ]
Parametro reticolare a=5.43 Å
Scarse proprietà ottiche (no laser)
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7
Arseniuro di Gallio
Struttura a bande molto buona.
Non possiede un ossido che può fungere
da isolante
Bandgap diretta di 1.43 eV (300K)
Il fondo della banda di conduzione è
isotropo → Superfici isoenergetiche
sferiche
Parametro reticolare a=5.65 Å
Ottime proprietà ottiche e di trasporto in
banda di conduzione
m*=0.067 m0
m*hh=0.45m0 m*lh=0.1m0
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8
Leghe di semiconduttori
Si possono unire alcuni semiconduttori a formare delle
leghe. (Parametri reticolari vicini)
AlxGa1-xAs Bandgap da 1.43eV a 2.16 eV (x=0 →
0.45)
A x B 1− x
a lb =xa A+ (1− x )a B
Legge di Vegard
A x B1− x
E lb (k )=xE A (k )+ (1− x )E B (k )
Lega binaria
Ex 2.4 e Ex 2.5
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9
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10
Portatori intrinseci
Metalli → elettroni in banda di conduzione parzialmente piena.
Densità molto alta ~1023 cm-3 Conduzione
Semiconduttori → Banda di valenza piena
Banda di conduzione vuota
No corrente
Ma se si creano degli elettroni in banda di conduzione e
delle buche in banda di valenza. (Energia termica)
Corrente di carica
n densità di elettroni in banda di conduzione
p densità di buche in banda di valenza
Dipende dall'ampiezza della gap
e dalla temperatura
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11
Portatori intrinseci
p =  N h E 1  f e E dE
n= ∫ N e (E ) f e (E )dE
n densità di elettroni in banda di conduzione
p densità di buche in banda di valenza
f h = 1
 N E  f E dE
h
h
1 e

1 e
1  2m e  E  Ec 
dE


2π 2   2   E  EF
k BT
e
1
1/ 2
n=
n = Nce
Massa efficace
della densità degli stati
EF ≫kBT
Approssimazione di Boltzmann
p = Nve
Ev  E F
k BT
m k T 
N v = 2 h B2 
 2π 
E=0,1 eV → fatt exp 0,01
1
E  EF
k BT
1
E  EF

k BT
E F  Ec
k BT
m k T 
N c = 2 e B2 
 2π 
3/ 2
Densità efficace degli stati al fondo
della banda di conduzione
3/ 2
Densità efficace degli stati in cima
alla banda di valenza
n=p
Ogni elettrone in conduzione
ha lasciato una buca in
valenza
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12
Portatori intrinseci

3
Eg
k T
 k T 
3/ 2
np = 4 B 2  me mh  e B
 2π 
Legge dell'azione di massa
Non dipendente dalla posizione di EF
Ma solo da T e proprietà intrinseche
 k T 
ni = pi = 2 B 2 
 2π 
3/ 2
me mh 3 / 4 e

Eg
2k BT
Nc(cm-3)
Nv(cm-3)
ni=pi (cm-3)
Si (300K)
2.78x1019
9.84x1018
1.5x1010
Ge (300K)
1.04x1019
6.0x1018
2.33x1013
GaAs (300K)
4.45x1017
7.72x1018
1.84x106
ni = pi
2
e
E Fi
k BT
= mh / me 
3/ 2
e
E c + Ev
k BT
EFi =
Ec + Ev 3
+ k BTln mh / me 
2
4
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13
Densità dei portatori
La concentrazione dei portatori intrinseci diminuisce
esponenzialmente con la gap di banda.
Dipende fortemente dalla temperatura. La
concentrazione degli intrinseci è determinata da T:
non può essere controllata esternamente
Se la concentrazione di portatori intrinseci supera un
valore di 1015 cm-3 il materiale non è più adatto per
dispositivi (troppo intrinsecamente conduttivo)
Interesse per semiconduttori ad alta gap (dispositivi ad
alta temperatura) Diamante, SiC, ...
Ma in presenza di impurezze la situazione è molto diversa ...
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14
Drogaggio:Donori e Accettori
Per alterare la densità degli elettroni e delle buche nei
semiconduttori e quindi ottenere valori di
conducibilità maggiori, si inseriscono delle
impurezze.
DONORI: Aggiungono elettroni in banda di conduzione
Atomi pentavalenti come P,As, Sb → Si o Ge.
Atomi tetravalenti come Si, Ge come sostituenti del Ga o
esavalenti come S come sostituti di As → GaAs
ACCETTORI: Aggiungono buche in banda di valenza
Atomi trivalenti come B, Al, Ga → Si o Ge.
Atomi tetravalenti come Si, C come sostituenti del As o
bivalenti come Be,Mg come sostituti di Ga → GaAs
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15
Livelli di Donori e di Accettori
Per i donori abbiamo un elettrone in più che vede una carica positiva
schermata dalla costante dielettrica del materiale. Problema dell'atomo
idrogenoide con massa efficace e potenziale schermato (e0  e)
 e2
U r  =
4πe r
e 4 me*
E d = Ec 
2
24π   2
 m  e 0 
= Ec  R y  
 eV
 m0  e 
*
2
La massa per i donori è la massa efficace di conduzione
Per gli accettori abbiamo un elettrone+carica nucleare
1in meno.
1  2E' come
1  se ci fosse un anti-atomo con
=  * + * 
*
nucleo
positiva (buca) in più. La
mσ 3 negativo+carica
mt ml 
buca vede una carica negativa schermata dalla
costante dielettrica del materiale. Problema
Per gli accettori è generalmente usata mhh*
dell'atomo idrogenoide invertito con massa efficace
(mh*) e potenziale schermato (e0 → e) . Il livello di
ionizzazione è EV e l'energia di legame è positiva
~1÷0.1
~ 0,1
 m*  e 0 

Ea = Ev + Ry 
 meV
 m0  e 
2
Ec-Ed~10 meV
Ev-Ea ~10÷100 meV
Ex 2.12
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16
Calcoliamo le energie di livelli accettori e donori
in GaAs e Si
Per il GaAs la massa effettiva è 0,067 m0 e e=13,2 e0
 m*  e 0 
Ed GaAs = Ec  Ry  
 eV
 m0  e 
= Ec  5,2 meV
2
Per il Si dobbiamo capire quale massa efficace dobbiamo usare nella espressione del livello
donore La scelta giusta è di prendere la media degli inversi delle masse efficaci ovvero la
massa efficace per la conduzione ms*
1
1  1  2 

3  m* m* 
ms*
t 
 l
La massa effettiva è 0,26 m0 e e=11,09 e0
 m*  e 0 
Ed Si  = Ec  Ry  
 eV
 m0  e 
= Ec  25 meV
2
Per i livelli accettori la questione è complicata dalla presenza delle due distinte bande di valenza.
Una scelta ragionevole è di effettuare il calcolo considerando la massa effetiva di buca pesante.
(0,45 per GaAs e 0,5 per Si)
Ea Si  = Ev  48 meV
Ea GaAs= Ev  36 meV
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Portatori in semiconduttori drogati
Nello stato di energia più bassa dell'atomo donore, l'elettrone extra è legato. Non può condurre.
L'energia di ionizzazione è però bassa e confrontabile con l'energia termica.
n-p≠0 Ma la legge di azione di massa è ancora valida
np=ni2
Infatti l'espressione per la densità di elettroni in banda di conduzione rimane
sostanzialmente valida ma EF cambierà con il drogaggio.
Possiamo scrivere
EF ≠ EFi
n = Nce
n
E  E / k T
= e F Fi B
ni
E Fi  Ec E F  E Fi
k BT
k BT
 Nce
e
dove
3/ 2
 me k BT 
N c = 2
2 
 2π 
W. B. Joyce and R. W. Dixon,Appl.
Phys.Lett., 31, pp. 354, (1977)
E F  Ec
k BT
p
 E  E / k T
= e F Fi B
ni
Il livello di Fermi si sposta verso la banda di conduzione (tipo
n). L'approssimazione di Boltzmann-Maxwell per la
probabilità di occupazione comincia a perdere validità.
In seguito assumeremo che tutti i donori o accettori sono
ionizzati
Soluzione
numerica
Joyce-Dixon
Boltzmann
T=0
Ovvero metalli
http://ecee.colorado.edu/~bart/book/book/chapter2/ch2
_6.htm
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Popolazione dei livelli di impurezza
A bassa temperatura tutti gli
elettroni sono confinati.
Freezeout
Al crescere della temperatura la
frazione di donori eccitati
cresce fino alla completa
ionizzazione e la densità di
portatori diviene uguale alla
densità di donori. Regione di
saturazione
A un certo punto inizieranno a
crescere i portatori provenienti
dalla banda di valenza
Frazione di donori
non ionizzati
nd
1
=
(E − E )
n+ n d
Nc − k T
e
+1
2 Nd
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c
d
B
19
Semiconduttori drogati pesantemente
Al crescere della concentrazione di dopanti la
situazione può complicarsi.
Bande di impurezze
Perturbazione della forma delle bande
Restringimento della separazione di banda
Un'espressione ragionevole per tale restringimento è:
N d 300
Δ E g = − 22.5
10 18 T ( K )
(
1 /2
)
meV
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20