Didattica della Matematica Matematica 2 Anno Accademico 2003-2004 L’importanza delle Matematiche nella vita di tutti i giorni: I processi di matematizzazione, cenni su grandezze e loro misura. Il numero Naturale. Richiami sulle Operazioni con i Naturali. Alcune proprietà Filippo Spagnolo Facoltà Scienze della Formazione [email protected] • • • • http://math.unipa.it/~grim Materiali Didattici SISSIS e Formazione Primaria Conferenze dell'AICM Attività di Ricerca e pubblicazioni del GRIM Proceedings dei Convegni del gruppo Internazionale “21st Project for Mathematics Education” 1 Il processo di matematizzazione • Il ruolo delle grandezze nel rapporto con le altre discipline: primo approccio alla matematizzazione. • Matematica ed arte: La sezione Aurea, la spirale di Archimede; • Matematica nella Natura: Fibonacci e il numero di foglie in un albero. 2 Modelli, Metafore, … Pitagora ed i processi di quantificazione nella cultura occidentale • Cosa significa Modellizzare: esempi di collegamento con le discipline scientifiche e non. Il ruolo della Metafora. • Nel Novecento cosa significa matematizzare: i grafi, algebra astratta e linguistica, ecc… • Nell'insegnamento: matematizzazione attraverso le grandezze, Modellizzare analizzando la coerenza interna del modello. 3 Lavoro di gruppo: • Individuare nei libri di testo in vostro possesso le attività di matematizzazione attraverso le grandezze; • Provate a costruire una grandezza in relazione alle scienze umane. 4 Il problema delle "Grandezze" è quello più generale applicabile poi alle discipline più disparate che richiedono anche un approccio "quantitativo". • Possiamo parlare di "Grandezze Omogenee" quando possiamo fare le operazioni di sommare e confrontare. Questo è sufficiente per discipline come la fisica. • Una teoria organicamente più forte. 5 Rapporto storico epistemologico tra "Grandezze" e "misura". • Commensurabilità e incommensurabilità. • Rapporto Razionale e Reale. Il problema di √2. 1u 1u u Piuttosto che definire il rapporto si cercava di metterlo in relazione ad un altro rapporto dello stesso tipo: 2 sta a 7 come 4 sta a 14. 6 • • • • • • • • Le Frazioni sono gli strumenti adeguati per esprimere i rapporti. Euclide: geometricamente. La nozione di rapporto in Q e in R. (a/b è la stessa cosa di a:b da un punto di vista formale e di comportamenti da parte di allievi su di un problema dato?) a:b rapporto geometrico (operatore, scalare) Rapporti interni: grandezze omogenee; Rapporti esterni: grandezze di natura diversa; Diversi tipi di rapporti: numerici, rapporto come differenza numerica (cosa bisogna aggiungere ad A per ottenere B). 7 Proporzione… • • • • • • Mettere in relazione due oggetti in una analogia permette il trasporto di una struttura o una proprietà conosciuta dall'una verso l'altra. Essa permette di parlare con un linguaggio dell'altro e definire una tale struttura dai caratteri comuni di questi oggetti. Questa analogia è alla base della modellizzazione. Una proporzione è definita come l'uguaglianza tra due rapporti. La teoria delle proporzioni è formalizzata nel XVIII secolo dopo la formalizzazione dell'algebra. Lunghezze e misure. La lunghezza d'un segmento è l'insieme di tutti i segmenti congruenti ad esso. Confronto di lunghezze. Portiamo il primo segmento sul secondo. Evidenziamo le parti congruenti. Quindi si può affermare quale dei due è più grande. 8 • Gli approcci al Numero Naturale: • L'idea del numero naturale è complessa e richiede pertanto "un approccio che si avvale di diversi punti di vista (ordinalità , cardinalità, misura, insiemistica, ricorsività , etc...) " [3] e viene acquisita dopo lunga interiorizzazione da parte del bambino. • Approccio insiemistico (cardinale) - Russell • Approccio ordinale • Approccio ricorsivo - Peano • Approccio basato sulla misura 9 • • • • • • • • • • • In "Arithmetices Principa nova methodo exposita" [1] del 1889 G.Peano espone l’Aritmetica in forma di sistema ipotetico-deduttivo, assumendo quattro concetti primitivi (numero, unità, successivo e uguale) e nove assiomi (di cui quattro riguardanti l’eguaglianza). In seguito assumerà soltanto i concetti primitivi di zero, numero naturale, e successivo di un numero naturale. I numeri naturali formano una classe (insieme); Zero è un numero naturale; Il successivo di un numero naturale è un numero naturale; Numeri naturali che hanno lo stesso successivo sono uguali; Zero non è successivo di alcun numero naturale; Sia S una classe: se zero è un elemento di S e se ogni qulavolta un numero naturale x sta in S anche il successivo di x sta in S, allora tutta la classe dei numeri naturali è contenuta in S. [1]- art.16,[22] 10 =1, 2, ..., n, ... dove "1" sta per "unità" ed n=n+1 per "successivo". N 0=0, 1, 2, ..., n, ... dove "0" sta per "zero" ed n=n+1 per "successivo". P =2, 4, ..., 2n, ... dove "2" sta per "unità" e (2n) =2n+2 per "successivo". P0=0, 2, 4, .., 2n, ... dove "0" sta per "unità" e (2n) =2n+2 per "successivo". M=n, 2n, 3n, .., kn,... dove "n" sta per "unità" e (kn) =kn+n per "successivo". M0=0, n, 2n, .., kn, ... dove "0" sta per "zero" e (kn) =kn+n per "successivo». Per a0,A=1/a, 1/a2,.., 1/ak, .. dove "1/a" sta per "unità" ed (1/ak) =1/ak1/a per "successivo". Per a0,A0=1/a0, 1/a, ...., 1/ak, ... dove "1/a0 "sta per "zero" e (1/ak) =1/ak1/a per "successivo". Per b0,B=b, b2, ...., bk, .... dove "b" sta per "unità" e (bk) =bkb per "successivo". Per b0,B0=b0, b, ...., bk, .... dove "b0 " sta per "zero" e (bk) =bkb per "successivo". La struttura N0 (+, ) è più ricca della struttura N (+, ) in quanto possiede un elemento neutro rispetto ad entrambi le operazioni; l’elemento neutro dell’operazione di moltiplicazione si comporta in entrambi i modelli in maniera naturale rispetto all’operazione di addizione mentre l’elemento neutro dell’addizione ha rispetto all’operazione di moltiplicazione un comportamento non naturale, in quanto n0=0 n N, cioè "lo zero distrugge" ogni naturale; segue quindi che l'elemento neutro dell'addizione non ha comportamento "naturale" anche rispetto all'operazione di divisione, inversa della moltiplicazione. 11 Il principio di Induzione completa Sia N l'insieme dei numeri nNaturali; ad ogni numero naturale n corrisponda una proposizione Pn. Se accade che: – P0 è vera. – Se Pm è vera allora è vera anche Pm' (essendo m' il successivo del numero naturale m) Allora Pn è vera nN. – I numeri naturali formano una classe (insieme); – Zero è un numero naturale; – Il successivo di un numero naturale è un numero naturale; – Numeri naturali che hanno lo stesso successivo sono uguali; – Zero non è successivo di alcun numero naturale; – Sia S una classe: se zero è un elemento di S e se ogni qulavolta un numero naturale x sta in S anche il successivo di x sta in S, allora tutta la classe dei numeri naturali è contenuta in S. Dimostrazione: Sia M il sottoinsieme di N tale che Pm è vera per tutti e soli gli mM. Si ha 0M e ogni qualvolta un numero naturale x sta in M allora sta in M anche il successivo di x. Allora, per l'assioma 5; NM; ma per ipotesi M è formato da numeri naurali, cioè MN; ne segue che M=N cioè Pn è vera per ogni nN. 12 • • • • • • • • • • • • • • Le operazioni in N con gli assiomi del Peano. L'addizione. a+0=a a+b'=(a+b)' Dimostriamo con l'induzione che: "Ad ogni naturale n associamo la proposizione Pn: Esiste il numero naturale a+n." (cioè la definzione 2 è ben posta). P0 è vera: a+0=a ed a è un numero naturale. Se Pm è vera allora esiste il numero naturale a+m e dunque anche il suo successivo (a+m)' è un numero naturale (assioma 2); poiché per definizione è a+m'=(a+m)' esiste il numero naturale a+m' e quindi Pm' è vera. Allora per il principio di induzione completa, Pn risulta vera nN, cioè esiste il numero naturale a+n, qualunque sia il numero naturale n. Le proprietà delle operazioni si possono tutte dimostrare con il principio di induzione completa: associativa, commutativa. 13 • La moltiplicazione. • a0=a • ab'=(ab)+a essendo a,bN e b' il successivo di b. • Si dimostra per induzione. Come anche le proprietà associativa e commutativa. • Ordinamento. • Presi a,bN, si dice che a è minore o uguale a b, e si scrive ab, s esiste un cN • tale che b=a+c. • Presi a,bN si dice che a<b se è ab e ab. 14 La ricorsività. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … z=x+y Cominicia con x=1 e y=1 calcola z=x+y scrivi y al posto di x scrivi z al posto di y 15 L'approccio Cardinale. • • • • • • • • Per l'approccio cardinale è indispensabile avere come prerequisito la conoscenza della teoria ingenua degli insiemi. Introdurre poi una relazione: "… essere eqipotente…", due insiemi sono equipotenti se possono essere messi in corrispondenza biunivoca tra di loro. Nel caso finito; Nel caso infinito: Cantor. L'unione di due insiemi (): corrisponde alla somma se i due insiemi sono disgiunti. Addizione. m,nN, siano A e B tali che AB= e tale che card A= m e Card B= n. Si definisce m+n=Card (AB). 16 • • • • • • • Sottrazione. Sia A un insieme finito, Card A=m; sia BA, CardB=n; si definisce mn=Card (A\B). (A\B= differenza tra due insiemi) Moltiplicazione. Siano m,nN; siano A, B due insiemi (non necessariamente disgiunti) tali che Card A=m, Card B=n. Si definisce mn=card (AxB) Divisione. Sia A un insieme. Per partizione di A si intende ogni suddivisione degli elementi di A a due due disgiunti. Se è possibile ripartire gli elementi di A in insiemi a due a due disgiunti ciascuno costituito da b elementi, diremo che il naturale a è divisibile per il naturale b e chiameremo quoziente di a per b il numero q degli insiemi della partizione. 17 • • • • • • • • • • Approccio ordinale. Nell'approccio ordinale gli elementi da prendere in considerazione sono: La corrispondenza biunivoca; La relazione d'ordine. Quindi si definirà una corrispondenza biunivoca tra un determinato insieme A e l'insieme N. La corrispondenza biunivova ordinata sarà anche chiamata isomorfismo d'ordine. N rappresenta: sia la card A (corrispondenza biunivoca) sia una corrispondenza biunivoca ordinata. 18