Laurea Triennale
in SCIENZE MOTORIE
corso integrato
FISICA e STATISTICA
disciplina : FISICA MEDICA
EQUILIBRIO dei CORPI
RIGIDI
parte I
- EQUILIBRI TRASLAZIONALE E ROTAZIONALE
- CENTRO DI MASSA E BARICENTRO
a
MOMENTO DI UNA FORZA


F
braccio
z
x
y

M

r
O



M = OA  F = r  F
A


modulo F r sen  = F b
 
direzione
r, F
verso avanzamento vite che


ruota sovrapponendo r su F
dimensioni [M] = [forza][L]
• unità di misura: S.I. newton xm (Nm)
1
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
EQUILIBRIO TRASLAZIONALE



F1 + F2 + F3 + ... =

F

–F
corpo in rotazione

iF  R= 0


i

F1 + F2 = 0


F + ( –F ) = 0
condizione insufficiente !!
2
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
EQUILIBRIO ROTAZIONALE



iM  M
M1 + M2 + M3 + ... =


r1
O

r2
M1
A

F1
x
i
T
= 0
esempio
equilibrio rotazionale :



M1 = – M2
F2
B
z
y



M2
3
EQUILIBRIO DI UN CORPO RIGIDO
 i Fi  R = 0


 i Mi  M = 0


CONDIZIONI DI
EQUILIBRIO
T
2 relazioni vettoriali
6 relazioni scalari soddisfatte
contemporaneamente
F1x + F2x + F3x + ... = Rx = 0
F1y + F2y + F3y + ... = Ry = 0
F1z + F2z + F3z + ... = Rz = 0
M1x + M2x + M3x + ... = MTx = 0
M1y + M2y + M3y + ... = MTy = 0
M1z + M2z + M3z + ... = MTz = 0
semplificazione :
forze appartenenti
stesso piano
4
F1 , F2 , F3 giacenti nello stesso piano

M3

F3

r1


r3 O r2
punto O appartenente al piano
F1z = 0
F2z = 0
F32z = 0
Rz = 0

F1

M1

z

F2
M2
x
y

M direzione asse z
M1x = M1y = 0
M2x = M2y = 0
M3x = M3y = 0
MTy = 0
MTx = 0
equilibrio soddisfatto da 3 relazioni scalari
5
CONDIZIONI di EQUILIBRIO
di un SISTEMA MECCANICO
condizione di equilibrio traslazionale :



F1 + F2 + F3 + ... =


i

Fi  F = 0
L = F x = U1 – U2 = – U
forze conservative

F = – grad U
equilibrio : F = 0
U = 0
U = U2 – U1 = 0
U1 = U2
U
F=–
x
6
CONDIZIONI di EQUILIBRIO
di un SISTEMA MECCANICO
U = 0
U
instabile
U(x)
indifferente
o
stabile
x
7
CENTRO DI MASSA
CORPI PUNTIFORMI

ri (rix , riy , riz )
m2
m1
m3


r3
CM
r2
z

r CM

r1
x

r4
O y

m5
r5
• centro di massa CM di un insieme di corpi con
massa mi (mi concentrate in un punto)
• massa totale M = m1 + m2 + m3 + ... = i mi

• distanze ri da origine O assi cartesiani
8
m4
(mi concentrate in un punto

ri (rix , riy , riz )
)
m3


r3
CM
r2
m2

r CM

x
r1
m1

definizione r (centro di massa)
z

r4
O y

m5
r5
 rCM

M rCM = m1r1 + m2r2 + m3r3 + ... = i miri





9
m4
CENTRO DI MASSA
sistema a 2 corpi
m1

r1
M = m 1 + m2

y
x

r2


m2

M r CM = m 1 r 1+ m 2 r 2
• vettori r i stessa direzione
• origine O in CM :
M r CM
r1
m2
=
m1
r2
CM  origine O
z
moduli r i
 0 = m 1 (–r 1) + m 2 r 2
r1 + r 2 = d
10
BARICENTRO
baricentro B = punto di applicazione della forza peso
definizione coordinate baricentro r




B
:

Mg rB = m1 g r1 + m2 g r2 + m3 g r3 + ... =
= i mi g ri

forza peso applicata al baricentro
piccole dimensioni
g = costante


rB  rCM
11
BARICENTRO
determinazione baricentro corpi estesi
(metodo empirico)
A
A'
B
A
A'
B'
sospensione del corpo da punti diversi ( )
corpo assume diverse posizioni di equilibrio
baricentro ( ) posto su rette passanti per il cavo
di sospensione
12
CENTRO DI MASSA
CORPI ESTESI
(distribuzione continua di massa)
d = d(r) = densità del corpo
dm = d(r) dV
M
dm
d(r) dV
M = 
dm
=


M
V

r
O

M r CM


=  d(r) r dV
V
13
BARICENTRO
CORPI ESTESI
(distribuzione continua di massa)
d = d(r) = densità del corpo
dm = d(r) dV
B dm
M


rB
dm g


M =  dm =  d(r) dV
M
V

O
r


M r B = d(r) g r dV

M g
V
14
Equilibrio dei corpi rigidi





M = OA  F = r  F
Def. momento di una forza F:
; la direzione è perpendicolare al
piano di r e F, il verso è dato dalla regola della mano destra, il modulo è rFsen =Fb
Equilibrio di un corpo rigido: l’equilibrio traslazionale è dato da F1+F2+…= 0, quello
rotazionale è dato da M1+M2+…= 0 (3+3 relazioni scalari, che si riducono a 2+1 se le
forze appartengono allo stesso piano); l’equilibrio traslazionale non è sufficiente !
Def. centro di massa per un sistema di corpi puntiformi:
rCM = m1r1+m2r2+…/(m1+m2+…)
Def. baricentro per un sistema di corpi puntiformi:
rB = m1gr1+m2gr2+…/g(m1+m2+…)
Def. centro di massa per un corpo esteso: rCM =  d(r)rdV / d(r)dV
Def. baricentro per un corpo esteso: rB =  d(r)grdV / gd(r)dV
15
Oss: per corpi non molto estesi, baricentro e centro di massa coincidono