Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 7
VERIFICHE
RELATIVE AL VOLUME
Claudio Pigato
Genio RuRale
TopoGRafia
IstItutI tecnIcI settore tecnologIco
indirizzo Agraria, Agroalimentare
e Agroindustria
Libro Web
Scarica gratiS la versione digitale del tuo libro!
Libro Web
Guida_Quadrante-OK____
SCHEDA
13-07-2009
12:09
DI VERIFICA N.
Pagina 26
1
Fondamenti di ottica
Alunno/a ...............................................
.............................................................
N.B.: ad alcune domande possono corrispondere
più risposte corrette
1.
Classe .........................
Data
.........................
In quali condizioni si può verificare una riflessione totale?
Quando la luce passa attraverso un prisma di vetro
Quando la luce passa da un mezzo più denso ad uno meno denso
3 Quando la luce passa da un mezzo meno denso ad uno più denso
4 Quando l’angolo di incidenza è inferiore all’angolo limite
1
2
2.
All’interno degli strumenti topografici è preferibile deviare un raggio luminoso mediante riflessioni semplici o riflessioni totali?
Mediante riflessioni semplici, perché sono più semplici da realizzare e quindi meno costose
Mediante riflessioni semplici, perché deviano i raggi luminosi con maggiore intensità
3 Mediante riflessioni totali, perché deviano i raggi luminosi con maggiore intensità
4 Mediante riflessioni totali, perché non esiste la possibilità che il prisma si appanni
1
DA STAMPARE
2
3.
Da quali parametri dipende l’indice di rifrazione k secondo la teoria di Gauss?
Dal dislivello e dalla distanza tra i due punti
Dall’angolo al centro della sfera locale determinato dai due punti
3 Dalla temperatura, dalla pressione e dall’umidità dell’aria
4 È costante, e si assume sempre pari a 0,14
1
2
4.
Quali sono le proprietà della lamina pian-parallela?
Il raggio emergente è parallelo al raggio incidente
2 Il raggio emergente è il prolungamento del raggio incidente
3 Il raggio emergente è traslato rispetto al raggio incidente di una quantità direttamente proporzionale all’angolo di incidenza
4 La traslazione del raggio emergente è indipendente dalla rotazione della lamina
1
5.
Ordinare le seguenti livelle da quella più precisa a quella meno precisa.
Livella torica
Livella sferica
Livella torica a coincidenza di immagini
6.
Mediante una livella torica graduata è possibile misurare angoli?
No
2 Solo gli angoli zenitali, quando sono di piccola entità
3 Solo gli angoli orizzontali, quando sono di piccola entità
1
2
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 27
Solo se sono di piccola entità
5 Sì, in ogni caso
4
7.
Qual è la differenza tra teodolite ripetitore e reiteratore?
I teodoliti ripetitori sono più precisi di quelli reiteratori
È diverso il sistema di aggancio del cerchio orizzontale al basamento
3 È diverso il sistema di aggancio del cerchio verticale all’alidada
4 È diverso il sistema di aggancio del cerchio orizzontale all’alidada
1
2
8.
Utilizzando un teodolite, quando deve essere eseguito l’adattamento alla vista?
Prima di ogni misura
2 Ogni qual volta cambia operatore
3 Ad ogni cambio di stazione
1
9.
Quando deve essere verificata la verticalità dell’asse primario di un teodolite?
Ogni due-tre anni, in occasione delle operazioni di manutenzione
Ogni qual volta cambia operatore
3 Quando si cambia punto di stazione
4 Quando si effettuano solo misure planimetriche in zone ristrette (max 15 km di raggio)
1
2
DA STAMPARE
10. Qual è la differenza tra il teodolite ed il tacheometro?
Il teodolite è più preciso del tacheometro
2 Il tacheometro è più compatto del teodolite
3 Il tacheometro ha un cannocchiale con un ingrandimento inferiore a quello del teodolite
1
11. Un segnale circolare deve essere visibile da almeno 2 km di distanza ad occhio nudo. Qual è il
valore minimo del suo diametro?
58 cm
2,0 m
3 20 cm
1
2
3
Guida_Quadrante-OK____
SCHEDA
13-07-2009
12:09
DI VERIFICA N.
Pagina 28
1
Fondamenti di ottica
1.
RISPOSTE
In quali condizioni si può verificare una riflessione totale?
Quando la luce passa attraverso un prisma di vetro
Quando la luce passa da un mezzo più denso ad uno meno denso
3 Quando la luce passa da un mezzo meno denso ad uno più denso
4 Quando l’angolo di incidenza è inferiore all’angolo limite
1
2
2.
All’interno degli strumenti topografici è preferibile deviare un raggio luminoso mediante riflessioni semplici o riflessioni totali?
Mediante riflessioni semplici, perché sono più semplici da realizzare e quindi meno costose
Mediante riflessioni semplici, perché deviano i raggi luminosi con maggiore intensità
3 Mediante riflessioni totali, perché deviano i raggi luminosi con maggiore intensità
4 Mediante riflessioni totali, perché non esiste la possibilità che il prisma si appanni
1
2
3.
Da quali parametri dipende l’indice di rifrazione k secondo la teoria di Gauss?
Dal dislivello e dalla distanza tra i due punti
Dall’angolo al centro della sfera locale determinato dai due punti
3 Dalla temperatura, dalla pressione e dall’umidità dell’aria
4 È costante, e si assume sempre pari a 0,14
1
2
4.
Quali sono le proprietà della lamina pian-parallela?
Il raggio emergente è parallelo al raggio incidente
2 Il raggio emergente è il prolungamento del raggio incidente
3 Il raggio emergente è traslato rispetto al raggio incidente di una quantità direttamente proporzionale all’angolo di incidenza
4 La traslazione del raggio emergente è indipendente dalla rotazione della lamina
1
5.
Ordinare le seguenti livelle da quella più precisa a quella meno precisa.
Livella torica
3 Livella sferica
1 Livella torica a coincidenza di immagini
2
6.
Mediante una livella torica graduata è possibile misurare angoli?
No
2 Solo gli angoli zenitali, quando sono di piccola entità
3 Solo gli angoli orizzontali, quando sono di piccola entità
1
4
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 29
Solo se sono di piccola entità
5 Sì, in ogni caso
4
7.
Qual è la differenza tra teodolite ripetitore e reiteratore?
I teodoliti ripetitori sono più precisi di quelli reiteratori
È diverso il sistema di aggancio del cerchio orizzontale al basamento
3 È diverso il sistema di aggancio del cerchio verticale all’alidada
4 È diverso il sistema di aggancio del cerchio orizzontale all’alidada
1
2
8.
Utilizzando un teodolite, quando deve essere eseguito l’adattamento alla vista?
Prima di ogni misura
2 Ogni qual volta cambia operatore
3 Ad ogni cambio di stazione
1
9.
Quando deve essere verificata la verticalità dell’asse primario di un teodolite?
Ogni due-tre anni, in occasione delle operazioni di manutenzione
Ogni qual volta cambia operatore
3 Quando si cambia punto di stazione
4 Quando si effettuano solo misure planimetriche in zone ristrette (max 15 km di raggio)
1
2
10. Qual è la differenza tra il teodolite ed il tacheometro?
Il teodolite è più preciso del tacheometro
2 Il tacheometro è più compatto del teodolite
3 Il tacheometro ha un cannocchiale con un ingrandimento inferiore a quello del teodolite
1
11. Un segnale circolare deve essere visibile da almeno 2 km di distanza ad occhio nudo. Qual è il
valore minimo del suo diametro?
58 cm
2,0 m
3 20 cm
1
2
5
Guida_Quadrante-OK____
COMPITO
13-07-2009
12:09
IN CLASSE N.
Pagina 32
1
Soluzione dei quadrilateri e coordinate polari e r ettangolari
Utilizzando un tacheometro sessagesimale destrorso e un nastro metrico si sono misurati i
seguenti elementi del quadrilatero ABCD:
Stazione
Punto collimato
Cerchio orizzontale
Distanza [m]
A
D
304° 35,6′
54,67
B
15° 22,9′
–
A
0° 0,0′
–
C
80° 28,4′
88,33
D
74° 45,8′
–
B
0° 0,0′
–
B
C
Con riferimento a un sistema di assi avente origine in A e con l’asse delle ascisse diretto lungo
il lato AB, si determinino le coordinate dei vertici, gli angoli, i lati e l’area del quadrilatero
ABCD. È richiesto inoltre il disegno del quadrilatero in scala 1:2.000.
SOLUZIONE
Si determinano innanzi tutto gli angoli del quadrilatero, per differenza degli angoli di direzione decimalizzati (vedi figura):
α = (AB) – (AD) + 360° = 15,3817 – 304,5933 + 360 = 70,7833°
β = (BC) – (BD) = 80,4733°
γ = (CD) – (CB) = 74,7633°
δ = 360° – (α + β + γ) = 133,9751°
y
C
γ
D
δ
P
α
ω
A
β
B
x
Del quadrilatero ABCD si conoscono dunque gli angoli e due lati opposti (AD e BC). La soluzione di
6
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 33
questo caso può essere ottenuta prolungando i due lati incogniti AB e CD, fino a farli incontrare nel
punto P. Detto ω l’angolo CPB, si ha:
ω = 180° – (β + γ) = 24,7634°
Applicando ora il teorema dei seni al triangolo PBC si ottiene:
PB =
BC
sen γ = 203,463 m
sen ω
BC
sen β = 207,968 m
sen ω
Applicando ora il teorema dei seni al triangolo PAD si ottiene:
PC =
PD =
AD
sen α = 123,249 m
sen ω
AD
sen δ = 93,926 m
sen ω
I lati incogniti del quadrilatero valgono quindi:
PA =
AB = PB – PA = 109,537 m
CD = PC – PD = 84,719 m
Si ricavano poi le coordinate dei vertici del quadrilatero:
x B = AB = 109,537 m
yB = 0,000 m
x D = AD sen ϑ AD = AD sen (90° – α ) = 17,990 m
y D = AD cos ϑ AD = AD cos (90° – α ) = 51,625 m
x C = x D + DC sen ϑ DC = x D + DC sen (90° – ω ) = 94,919 m
y C = y D + DC cos ϑ DC = y D + DC cos (90° – ω ) = 87,111 m
Si determina infine l’area, utilizzando la formula di Gauss:
1
A = y C ⋅ ( x B – x D ) + y D ⋅ x C = 6.437 m 2
2
[
]
7
Guida_Quadrante-OK____
COMPITO
13-07-2009
12:09
IN CLASSE N.
Pagina 53
2
Misura delle distanze e dei dislivelli
Per rilevare un appezzamento quadrilatero ABCD, si è fatta stazione con un tacheometro centesimale destrorso, con cannocchiale centralmente anallattico e costante diastimometrica pari
a 100, in punto S esterno all’appezzamento. Assumendo liberamente tutti i parametri ritenuti
indispensabili per il calcolo e per il punto A una quota pari a QA = 854,60 m s.l.m., si determini:
a) l’area dell’appezzamento;
b) le quote dei vertici B, C e D;
c) la pendenza del terreno tra i vertici AB, AC e AD.
È richiesto inoltre il disegno della planimetria dell’appezzamento, in scala opportuna.
Stazione
Punto collimato
C.O.
C.V.
S
h = 1,550 m
A
B
C
D
38,288c
95,874c
129,844c
165,730c
98,496c
102,350c
100,000c
101,233c
Letture alla stadia [m]
inferiore superiore
1,043
0,195
0,088
0,048
2,433
2,305
1,966
1,612
A
origine degli
angoli orizzontali
B
S
C
0
50 m
100 m
D
8
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 54
SOLUZIONE
Assumendo arbitrariamente l’origine degli angoli orizzontali, si ottiene la planimetria riportata nella
figura. Le distanze orizzontali misurate risultano:
SA' = KS sen 2ϕSA = 100 (2,433 – 1,043) sen 2 98,496 = 138,92 m
SB' = KS sen 2ϕSB = 100 (2,305 – 0,195) sen 2 102,350 = 210,71 m
SC' = KS sen 2ϕSC = 100 (1,966 – 0,088) = 187,80 m
SD' = KS sen 2ϕSD = 100 (1,612 – 0,048) sen 2 101,233 = 156,34 m
Le distanze topografiche risultano, assumendo un raggio della sfera locale di 6.377 km:
SA = SA'
6.377
= 138,90 m
6.377 + 0,8546
SB = SB'
6.377
= 210,68 m
6.377 + 0,8546
SC = SC'
6.377
= 187,77 m
6.377 + 0,8546
SD = SD'
6.377
= 156,32 m
6.377 + 0,8546
Dal libretto di campagna si ricavano quindi gli angoli al vertice:
ASB = (SB) – (SA) = 57,586 gon
BSC = (SC) – (SB) = 33,970 gon
CSD = (SD) – (SC) = 35,886 gon
ASD = (SD) – (SA) = 127,442 gon
L’area del quadrilatero può essere ottenuta sommando le aree dei tre triangoli ASB, BSC e CSD e
sottraendo l’area del triangolo ASD:
A( ABCD) =
(
)
1
SA ⋅ SB sen ASB + SB⋅ SC sen BSC + SC ⋅ SD sen CSD + SA ⋅ SD sen ASD = 19.542 m 2
2
Si risolve ora la parte altimetrica, determinando i dislivelli tra il punto di stazione ed i vertici dell’appezzamento, utilizzando la formula della livellazione tacheometrica (assumendo k = 0,14):
2
Δ SA
SA
= h S – l m + KS sen ϕ cos ϕ + (1 – k )
=
2R
138,922
1,043 + 2,433
+ 139,0 sen 98,496 cos 98,496 + 0,86
= +3,096 m
= 1,550 –
2
2 ⋅ 6.377.000
Δ SB = h S – l m + KS sen ϕ cos ϕ + (1 – k )
= 1,550 –
2
SB
=
2R
210,712
0,195 + 2,305
+ 211,0 sen 102,35 cos 102,35 + 0,86
= –7,479 m
2
2 ⋅ 6.377.000
9
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Δ SC = h S – l m + (1 – k )
Pagina 55
2
SC
0,088 + 1,966
187,802
= 1,550 –
+ 0,86
= +0,525 m
2
2R
2 ⋅ 6.377.000
2
Δ SD
SD
= h S – l m + KS sen ϕ cos ϕ + (1 – k )
=
2R
156,342
0,048 + 1,612
+ 156,4 sen 101,233 cos 101,233 + 0,86
= –2,307 m
= 1,550 –
2
2 ⋅ 6.377.000
Si noti che la correzione dovuta alla sfericità ed alla rifrazione atmosferica avrebbe potuto essere trascurata, come pure è ininfluente l’utilizzazione della distanza topografica o di quella orizzontale nel
termine correttivo. Se si usa direttamente la distanza per determinare il dislivello tra centro strumentale e punto collimato, anziché le letture alla stadia, deve invece essere utilizzata la distanza orizzontale
e non quella topografica.
Il primo dislivello calcolato permette di determinare la quota del punto di stazione S:
QS = QA – ΔSA = 854,600 – 3,096 = 851,504 m
Da questo valore si calcolano quindi le quote degli altri vertici:
QB = QS + ΔSB = 851,504 – 7,479 = 844,025 m
QC = QS + ΔSC = 851,504 + 0,525 = 852,029 m
QD = QS + ΔSD = 851,504 – 2,307 = 849,197 m
Per determinare la pendenza tra i vertici AB, AC e AD è necessario prima determinare la loro mutua
distanza. Applicando il teorema di Carnot e utilizzando le distanze orizzontali note, si ha:
2
2
AB' = SA' + SB' – 2SA' ⋅ SB' cos ASB = 165,88 m
AC' = SA' + SC' – 2SA' ⋅ SC' cos ( ASB + BSC) = 218,33 m
2
2
AD' = SA' + SD' – 2SA' ⋅ SD' cos ( ASD + BSC + CSD) = 248,78 m
2
2
Le pendenze richieste risultano quindi:
10
p AB =
Δ AB 844,025 – 854,600
=
⋅100 = –6,38%
AB'
165,88
pAC =
Δ AC 852,029 – 854,600
=
⋅100 = –1,18%
AC'
218,33
pAD =
Δ AD 849,197 – 854,600
=
⋅100 = –2,17%
248,78
AD'
Guida_Quadrante-OK____
SCHEDA
13-07-2009
12:09
DI VERIFICA N.
Pagina 80
2
Agrimensura
DA STAMPARE
N.B.: ad alcune domande possono corrispondere
più risposte corrette
Alunno/a ...............................................
.............................................................
Classe .........................
Data
.........................
1.
Ordinare i seguenti metodi grafici di misura delle superfici da quello più preciso a quello meno
preciso.
Integrazione grafica
Planimetro polare di Amsler
Planimetro digitale
Reticola di Bamberg
2.
1
L’area di un poligono intrecciato determinata con la formula di Gauss ∑ y i ( x i−1 – x i+1 ) può
2
risultare negativa?
1 No, mai
2 Sì, se le superfici i cui vertici si succedono in senso orario hanno un’area superiore a quella delle superfici i cui vertici si succedono in senso antiorario
3 Sì, se le superfici i cui vertici si succedono in senso orario hanno un’area inferiore a quella
delle superfici i cui vertici si succedono in senso antiorario
1 Sì, se il poligono ha le ordinate tutte negative
3.
Un appezzamento di terreno è stato rilevato con un teodolite e distanziometro posto su un punto
situato all’esterno, determinando le coordinate polari dei vertici. Qual è la formula che conviene
applicare per determinare l’area dell’appezzamento?
1 La sommatoria dei semiprodotti dei lati misurati per il seno dell’angolo fra essi compreso
2 La formula di Gauss, dopo aver determinato le coordinate dei vertici
3 La formula di Simpson, dopo aver disegnato la figura in scala
4 La formula di camminamento
5 Nessuna formula, disegnando la figura in scala ed utilizzando un planimetro polare
4.
Quali elementi devono essere noti per determinare l’area di un esagono regolare?
1 Almeno l’apotema ed il raggio della circonferenza circoscritta
2 È sufficiente la lunghezza del lato
3 È sufficiente la lunghezza dell’apotema
4 È sufficiente la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta
5 Due elementi qualsiasi del poligono
5.
Come viene schematizzato il contorno di una figura nella formula di Simpson?
1 Mediante una successione di archi di circonferenza
2 Mediante una successione di archi di parabola
3 Mediante una successione di segmenti tangenti al contorno
4 Mediante una successione di segmenti passanti per alcuni punti del contorno
6.
Può essere determinata l’area di un quadrilatero conoscendo le sue diagonali e l’angolo tra esse
compreso?
1 No, perché devono essere noti almeno cinque elementi di un quadrilatero per poterlo risolvere
2 Sì, eseguendo il semiprodotto delle diagonali per il seno dell’angolo fra esse compreso
3 Sì, ma solo se il quadrilatero è un trapezio, eseguendo il semiprodotto delle diagonali per il
seno dell’angolo fra esse compreso
4 Sì, eseguendo il prodotto delle diagonali per il seno dell’angolo fra esse compreso
11
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 81
7.
Quando è necessario, in un frazionamento catastale, rilevare tutti i punti che delineano la particella?
1 Quando la particella originaria ha un’area inferiore a 0,2 ha
2 Quando le particelle derivate hanno un’area inferiore a 1.000 m2
3 Quando la particella originaria ha un’area superiore a 2.000 m2
4 Quando i confini che delineano la particella sono ben individuabili sul terreno
8.
Le mappe catastali possono costituire un elemento probatorio per individuare la posizione dei
confini?
1 Sì
2 No
3 Solo se non esistono altri elementi certi sulla posizione dei confini
9.
Deve essere rettificato un confine bilatero ABC con una dividente MN parallela alla direzione
AC. Come potrebbe essere verificata la condizione che il terreno ceduto da un proprietario risulti uguale a quello acquisito dopo la rettifica?
Verificando che la somma delle aree dei triangoli situati sopra la dividente risulti uguale a
quella dei triangoli posti sotto la dividente
2 Imponendo che l’area determinata con la formula di Gauss del poligono intrecciato ABCNM
risulti nulla
3 Imponendo che l’area del triangolo ABC risulti uguale a quella del trapezio ACNM
1
10. Come si procede se deve essere rettificato un confine che delimita due terreni di diversa valenza unitaria?
12
DA STAMPARE
La rettifica dei confini può essere effettuata solo nel caso in cui la valenza dei due terreni
sia uniforme
2 Imponendo che l’area determinata con la formula di Gauss del poligono intrecciato costituito dal confine originale e dalla nuova dividente risulti nulla
3 Imponendo che l’area delle superfici situate sopra la dividente risulti uguale a quella delle
superfici situate sotto la dividente
4 Imponendo che il valore delle superfici situate sopra la dividente risulti uguale a quello delle
superfici situate sotto la dividente
1
Guida_Quadrante-OK____
SCHEDA
13-07-2009
12:09
DI VERIFICA N.
Agrimensura
Pagina 82
2
RISPOSTE
1.
Ordinare i seguenti metodi grafici di misura delle superfici da quello più preciso a quello meno
preciso.
3 Integrazione grafica
2 Planimetro polare di Amsler
1 Planimetro digitale
4 Reticola di Bamberg
2.
1
L’area di un poligono intrecciato determinata con la formula di Gauss ∑ y i ( x i−1 – x i+1 ) può
2
risultare negativa?
1 No, mai
2 Sì, se le superfici i cui vertici si succedono in senso orario hanno un’area superiore a quella delle superfici i cui vertici si succedono in senso antiorario
3 Sì, se le superfici i cui vertici si succedono in senso orario hanno un’area inferiore a quella
delle superfici i cui vertici si succedono in senso antiorario
1 Sì, se il poligono ha le ordinate tutte negative
3.
Un appezzamento di terreno è stato rilevato con un teodolite e distanziometro posto su un punto
situato all’esterno, determinando le coordinate polari dei vertici. Qual è la formula che conviene
applicare per determinare l’area dell’appezzamento?
1 La sommatoria dei semiprodotti dei lati misurati per il seno dell’angolo fra essi compreso
2 La formula di Gauss, dopo aver determinato le coordinate dei vertici
3 La formula di Simpson, dopo aver disegnato la figura in scala
4 La formula di camminamento
5 Nessuna formula, disegnando la figura in scala ed utilizzando un planimetro polare
4.
Quali elementi devono essere noti per determinare l’area di un esagono regolare?
1 Almeno l’apotema ed il raggio della circonferenza circoscritta
2 È sufficiente la lunghezza del lato
3 È sufficiente la lunghezza dell’apotema
4 È sufficiente la lunghezza del raggio della circonferenza circoscritta
5 Due elementi qualsiasi del poligono
5.
Come viene schematizzato il contorno di una figura nella formula di Simpson?
1 Mediante una successione di archi di circonferenza
2 Mediante una successione di archi di parabola
3 Mediante una successione di segmenti tangenti al contorno
4 Mediante una successione di segmenti passanti per alcuni punti del contorno
6.
Può essere determinata l’area di un quadrilatero conoscendo le sue diagonali e l’angolo tra esse
compreso?
1 No, perché devono essere noti almeno cinque elementi di un quadrilatero per poterlo risolvere
2 Sì, eseguendo il semiprodotto delle diagonali per il seno dell’angolo fra esse compreso
3 Sì, ma solo se il quadrilatero è un trapezio, eseguendo il semiprodotto delle diagonali per il
seno dell’angolo fra esse compreso
4 Sì, eseguendo il prodotto delle diagonali per il seno dell’angolo fra esse compreso
13
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 83
7.
Quando è necessario, in un frazionamento catastale, rilevare tutti i punti che delineano la particella?
1 Quando la particella originaria ha un’area inferiore a 0,2 ha
2 Quando le particelle derivate hanno un’area inferiore a 1.000 m2
3 Quando la particella originaria ha un’area superiore a 2.000 m2
4 Quando i confini che delineano la particella sono ben individuabili sul terreno
8.
Le mappe catastali possono costituire un elemento probatorio per individuare la posizione dei
confini?
1 Sì
2 No
3 Solo se non esistono altri elementi certi sulla posizione dei confini
9.
Deve essere rettificato un confine bilatero ABC con una dividente MN parallela alla direzione
AC. Come potrebbe essere verificata la condizione che il terreno ceduto da un proprietario risulti uguale a quello acquisito dopo la rettifica?
Verificando che la somma delle aree dei triangoli situati sopra la dividente risulti uguale a
quella dei triangoli posti sotto la dividente
2 Imponendo che l’area determinata con la formula di Gauss del poligono intrecciato ABCNM
risulti nulla
3 Imponendo che l’area del triangolo ABC risulti uguale a quella del trapezio ACNM
1
10. Come si procede se deve essere rettificato un confine che delimita due terreni di diversa valenza unitaria?
La rettifica dei confini può essere effettuata solo nel caso in cui la valenza dei due terreni
sia uniforme
2 Imponendo che l’area determinata con la formula di Gauss del poligono intrecciato costituito dal confine originale e dalla nuova dividente risulti nulla
3 Imponendo che l’area delle superfici situate sopra la dividente risulti uguale a quella delle
superfici situate sotto la dividente
4 Imponendo che il valore delle superfici situate sopra la dividente risulti uguale a quello delle
superfici situate sotto la dividente
1
14
Guida_Quadrante-OK____
COMPITO
13-07-2009
12:09
IN CLASSE N.
Pagina 84
3
Agrimensura (misura delle aree – frazionamenti)
Un appezzamento di terreno di forma pentagonale ABCDE è stato diviso in due parti a seguito dell’esproprio per la costruzione di una nuova strada, la cui larghezza complessiva, comprensiva delle scarpate e delle fasce di rispetto, è di 12,00 m, con asse rettilineo individuato
dall’allineamento BD. La parte di terreno di forma quadrilatera che contiene il lato AE deve
essere quindi frazionata in altre due particelle di area una il doppio dell’altra, con una dividente
perpendicolare alla strada BD, ed in modo che la superficie di area maggiore confini con i lati
AB ed AE.
Sono stati misurati i seguenti elementi:
AB = 90,15 m ; BC = 54,30 m ; DE = 132,75 m ; AE = 68,10 m
AED = 116,4074 gon ; EAB = 104,0047 gon ; ABC = 178,6685 gon
Dopo aver determinato l’area della superficie occupata complessivamente dalla strada, si
determini la posizione della nuova dividente perpendicolare all’asse BD, mediante la distanza
del suo estremo dal vertice E.
N
D
Q
R
E
S
C
A
M
B
P
SOLUZIONE
Innanzi tutto si risolve il poligono, suddividendolo nei tre triangoli ABE, BED e BDC, applicando il teorema di Carnot (essendo EAB ottuso l’angolo AEB può essere calcolato anche con il teorema dei seni):
Triangolo ABE:
2
2
BE = AB + AE – 2AB⋅ AE cos EAB = 116,346 m
2
2
2
AE + BE – AB
AEB = arccos
= 56,2799 gon
2AE ⋅ EB
15
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 85
ABE = 200 – EAB – AEB = 39,7154 gon
Triangolo EBD:
BED = AED – AEB = 60,1275 gon
2
2
BD = EB + ED – 2EB⋅ ED cos BED = 114,247 m
2
EDB = arccos
2
2
ED + BD – EB
= 61,7738 gon
2ED ⋅ BD
EBD = 200 – BED – EDB = 78,0987 gon
Triangolo BDC:
DBC = ABC – ABE – EBD = 60,8544 gon
2
2
DC = BC + BD – 2BC ⋅ BD cos DBC = 94,040 m
2
BCD = arccos
2
2
BC + CD – BD
= 107,8773 gon
2BC ⋅ CD
BDC = 200 – DBC – BCD = 31,2683 gon
Per determinare l’area della superficie espropriata si devono risolvere due trapezi, dei quali si conoscono la lunghezza della base comune BD, i due angoli adiacenti e l’altezza, uguale in entrambi i casi
a 6,00 m (metà della larghezza di occupazione della strada).
Indicate con M, N, P e Q le intersezioni della delimitazione della strada con i lati dell’appezzamento
(vedi ancora la figura), si ha:
ND =
h
h
h
= 7,272 m ; MB =
=
= 6,243 m
sen BDC
sen ABD sen ( ABE + EBD)
DQ =
h
h
= 12,721 m ; BP =
= 6,345 m
sen BDC
sen DBC
MN = BD − h( cot EDB + cot ABD) = 112,043 m
PQ = BD − h( cot DBC + cot BDC) = 98,792 m
L’area espropriata risulta quindi:
⎛ BD + MN BD + PQ ⎞
2
A=⎜
+
⎟ ⋅ h = 1.318,0 m
2
2
⎠
⎝
Per determinare ora la posizione della nuova linea dividente RS che divide in due parti il quadrilatero
AMNE, si ipotizza inizialmente che la dividente intersechi il lato ED, dato che l’area minore risulta
metà dell’altra. Tale ipotesi dovrà comunque essere poi verificata.
L’area complessiva del quadrilatero AMNE può essere subito determinata applicando la formula di
camminamento:
A=
[
]
1
AM ⋅ AE ⋅sen EAB + AE ⋅ EN ⋅sen AED – AM ⋅ EN ⋅sen ( EAB + AED) = 8.641,9 m 2
2
da cui si ricava l’area della particella derivata NRS:
A
= 2.880,6 m 2
3
Del triangolo rettangolo NRS si conosce ora l’area e gli angoli:
A1 = A( NRS) =
RNS = EDB = 61,7738 gon ; NRS = 100 – RNS = 38,2262 gon
16
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 86
Poiché l’espressione dell’area del triangolo può essere scritta nel seguente modo:
1
1
2
A1 = RS⋅ SN = RN sen RNS cos RNS
2
2
si può determinare la lunghezza dell’ipotenusa:
2A1
= 111,168 m < EN
sen RNS cos RNS
che, verificato che risulta inferiore alla distanza EN, conferma che la dividente interseca il lato ED,
come ipotizzato. La distanza richiesta vale pertanto:
RN =
ER = EN – RN = 132,75 – 7,272 – 111,168 = 14,31 m
COMPITO
IN CLASSE N.
4
Agrimensura (rettifica di confini)
Un’azienda agricola, i cui terreni sono contenuti nel quadrilatero di vertici PQRS del quale si
riporta l’estratto di mappa nella figura, viene divisa a seguito di successione ereditaria in due
parti, mediante una linea dividente perpendicolare all’allineamento PS. Le due proprietà devono risultare proporzionali ai coefficienti 1/3 e 2/3, con la parte più piccola confinante col lato
SR. I valori unitari delle varie particelle di terreno sono i seguenti:
Particelle 15, 18:
Particella 16:
Particella 17:
Particella 19:
u1 = 2,25 €/m2
u2 = 2,00 €/m2
u3 = 2,10 €/m2
u4 = 1,69 €/m2
Le misure effettuate sul posto con una stazione integrata sono le seguenti:
PS = 270,00 m ; SR = 214,00 m
T
16
SA = 102,00 m ; AB = 66,50 m
15
C
D
E
DE = 40,00 m ; EF = 29,10 m
Si determini:
a) il valore complessivo dell’appezzamento
di terreno;
b) la posizione della nuova dividente MN.
17
S
BC = 80,00 m ; CD = 40,50 m
Angoli in A, B, C, D, E, F, F′, G retti.
Q
P
QPS = 117,457 g ; PSR = 104,902 g ;
SRQ = 90,045 g
FF' = 48,00 m
V
U
A
M
F
S
B
19
F'
N
18
S
R
17
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 87
SOLUZIONE
Per determinare il valore complessivo dell’appezzamento di terreno si devono calcolare le aree delle
varie particelle che compongono la proprietà. Si risolve innanzi tutto il quadrilatero PQRS, del quale
si conoscono due lati e tre angoli, suddividendolo nei due triangoli PRS e RPQ.
2
2
PR = PS + SR – 2PS⋅ SR cos PSR = 357,191 m
Triangolo PSR:
2
2
2
SP + PR – SR
= 40,756 gon
2SP ⋅ PR
PRS = 200 – PSR – SPR = 54,342 gon
SPR = arccos
Triangolo PRQ:
RPQ = SPQ – SPR = 76,701 gon
PRQ = SRQ – PRS = 35,703 gon
PQR = 200 – (RPQ + PRQ) = 87,596 gon
PQ =
PR
sen PRQ = 193,648 m
sen PQR
RQ =
PR
sen RPQ = 339,968 m
sen PQR
Si determinano quindi le aree ed i valori delle singole particelle:
Particella 15:
BT = AP – AB cot SPQ = 270,00 – 102,00 – 66,50 cot 117,457 = 186,71 m
AP + BT
⋅ AB = 11.794 m 2
2
V15 = A15 ⋅ 2,25 = 26.536,50 €
A15 =
Particella 16:
CT = BT – BC = 186,71 – 80,00 = 106,71 m
DU = CT – CD cot SPQ = 106,71 – 40,50 cot 117,457 = 118,10 m
A16 =
CT + DU
⋅ CD = 4.552 m 2
2
V16 = A16 ⋅ 2,00 = 9.104,00 €
Particella 17:
EU = DE + DU = 40,00 + 118,10 = 158,10 m
FV = EU – EF cot SPQ = 158,10 – 29,10 cot 117,457 = 166,29 m
A17 =
EU + FV
⋅ EF = 4.720 m 2
2
V17 = A17 ⋅ 2,10 = 9.912,00 €
Particella 19:
L’area di questa particella si determina per differenza, sottraendo dall’area del trapezio
A′PVF′ quella delle particelle 15, 16 e 17.
VF' = VF + FF' = 166,29 + 48,00 = 214,29 m
A' F' = AB + CD + EF = 136,10 m
A' P = VF' + A' F' cot SPQ = 214,29 + 136,10 cot 117,457 = 176,01 m
18
Guida_Quadrante-OK____
13-07-2009
12:09
Pagina 88
A' P + F' V
⋅ A' F' = 26.560 m 2
2
A19 = AA′PVF′ – A15 – A16 – A17 = 5.494 m2
A A' PVF' =
V19 = A19 ⋅ 1,69 = 9.284,86 €
Particella 18:
L’area di questa particella si determina per differenza, sottraendo dall’area del quadrilatero SPQR quella delle particelle 15, 16, 17 e 19.
1
ASPQR = PS⋅ SR ⋅sen PSR + RQ ⋅ SR ⋅sen SRQ – PS⋅ RQ ⋅sen ( PSR + SRQ ) = 61.100 m 2
2
A18 = ASPQR – A15 – A16 – A17 – A19 = 34.540 m2
[
]
V18 = A18 ⋅ 2,25 = 77.715,00 €
Il valore complessivo del fondo ammonta quindi a:
VTOT = V15 + V16 + V17 + V18 + V19 = 132.552,36 €
Ciascuno dei due proprietari dovrà perciò possedere una superficie di terreno corrispondente al valore:
Va =
2
V TOT. = 88.368,24 €
3
1
V b = V TOT. = 44.184,12 €
3
Per determinare la posizione della dividente, si ipotizza inizialmente che essa ricada completamente
nella particella 18. In tale ipotesi l’area di terreno dell’appezzamento di valore proporzionale ad 1/3
vale:
V
A b = b = 19.637 m 2
2,25
Per risolvere il problema si determina l’area dell’appezzamento SRZ, essendo Z l’intersezione della
perpendicolare a SP passante per S col confine RQ.
ZSR = PSR – 100 = 4,902 gon
A ZSR =
1 2 sen ZSR sen SRQ
SR
= 1.745 m 2
2
sen ( ZSR + SRQ )
Si applica quindi il problema del trapezio per determinare la posizione della dividente:
SZ =
SR
sen SRZ = 212,06 m
sen SZR
SZN = ZSR + SRQ = 94,947 gon
A = Ab – AZSR = 17.892 m2
2
MN = SZ – 2A cot SZN = 205,24 m
SM = h =
2A
= 85,75 m
MN + SZ
19