MATERIALI PER IL RECUPERO
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MISURA DELLE SUPERFICI
CONCETTI FONDAMENTALI
1. METODI ANALITICI
Formula di camminamento:
A=
Mediante coordinate polari:
⎤
1⎡
⎢∑ di −1 ⋅ di ⋅ sen α i −1 − ∑ di − 2 ⋅ di ⋅ sen α i − 2 + α i −1 + ...⎥
2 ⎣ i=2
i=3
⎦
n −1
n −1
(
)
Formula di Gauss:
)
(
1 n
∑ Y ⋅ X i −1 − X i +1
2 i =1 i
(positiva con vertici orientati in senso antiorario)
A =
A =
(
1 n
∑ d ⋅ d ⋅ sen ϑ i +1 − ϑ i
2 i =1 i i +1
2. METODI GRAFO-NUMERICI
Metodo di Bézout:
b ⎡
A =
⎢Y + Yn + 2
2 ⎣ 0
n −1
∑Y
i =1
i
)
⎤
⎥
⎦
Metodo di Simpson:
A =
n / 2 −1
n/2
⎤
b ⎡
⎢Y0 + Yn + 2 ∑ Y2 i + 4 ∑ Y2 i −1 ⎥ (n pari)
3 ⎣
i =1
i =1
⎦
ESERCIZIO SPIEGATO
COMMENTO DELL’AUTORE
• Un appezzamento di terreno ABCDE è stato rilevato con un tacheometro ses-
IN QUESTA COLONNA TROVI, IN FORMA SINTETICA,
LA SOLUZIONE COMMENTATA DALL’AUTORE.
sagesimale destrorso dotato di distanziometro elettronico, con altezza del prisma
pari a 2,10 m per tutti i punti rilevati, registrando i dati riportati nel seguente libretto di campagna:
STAZIONE
PUNTI COLLIMATI
CERCHIO ORIZZONTALE
CERCHIO VERTICALE
DISTANZA INCLINATA
B
h = 1,672 m
C
h = 1,312 m
D
h = 1,543 m
A
C
B
D
C
E
22,310°
113,316°
292,444°
62,956°
298,985°
24,665°
90,125°
88,754°
91,051°
87,403°
92,3534°
103,802°
264,499 m
375,139 m
375,122 m
318,371 m
318,310 m
250,134 m
Il rilievo consiste in semplice poligonale aperta non orientata, sconsigliato nella pratica,
data la mancanza di elementi sovrabbondanti
nelle misure, ma di valenza didattica. Per la
figura si può scegliere per esempio la scala
1:5.000, cominciando dalla stazione B e
determinando via via le altre stazioni. Si noti
che è assegnata la distanza inclinata, che
comunque non incide nel disegno della figura.
Assunti liberamente tutti i parametri ritenuti utili per il calcolo non forniti dal
testo ed effettuato un disegno dell’appezzamento in scala opportuna, si determini:
A
E
1) l’area dell’appezzamento ABCDE col metodo ritenuto più opportuno, esprimendo il risultato nel sistema catastale;
y
2) le coordinate dei vertici dell’appezzamento, con riferimento ad un sistema di
assi avente il semiasse positivo delle ascisse diretto lungo BC ed origine in B;
3) il dislivello e la pendenza della congiungente i punti A ed E.
SOLUZIONE
Ricaviamo gli angoli nei vertici di stazione, applicando la regola “angolo di direzione successivo meno angolo di direzione precedente, eventualmente aggiungendo
un angolo giro se la differenza risulta negativa”:
β = (BC) – (BA) = 91,006°
γ = (CD) – (CB) + 360 = 130,512°
δ = (DE) – (DC) + 360 = 85,680°
β
δ
B
x
D
γ
C
Si noti che, considerando gli angoli orizzontali della punta D anziché della base C, si sarebbero ottenuti i seguenti valori:
α = (AB) – (AD) = 80,0208 gon
β = (BC) – (BA) = 57,8807 gon
quindi una distanza coincidente con quella
ottenuta per il punto C.
COMMENTO DELL’AUTORE
ESERCIZIO SPIEGATO
Calcoliamo ora le distanze orizzontali, moltiplicando quelle inclinate per il seno
dell’angolo zenitale ed eseguendo la media aritmetica per quelle determinate sia
in andata sia in ritorno:
—
a = AB = di · sen ϕBA = 264,498 m
dCB ,i ⋅ sen ϕ CB + dBC,i ⋅ sen ϕ BC
b = BC =
2
c = CD =
dCD,i ⋅ sen ϕ CD + dDC,i ⋅ sen ϕ DC
2
= 375,055 m
= 318,043 m
Nel calcolare le distanze orizzontali si può
effettuare la media aritmetica di quelle determinate sia in andata sia in ritorno, prestando
attenzione che la media può essere eseguita
solo con le distanze orizzontali, dato che quelle inclinate non sono geometricamente comparabili tra loro; si osservi a tale scopo la
seguente figura, dove sono indicate in rosso e
in verde due ipotetiche stazioni che si collimano reciprocamente. Come si può notare,
mentre la distanza orizzontale è la medesima
nei due casi, le distanze inclinate sono molto
diverse tra l’andata e il ritorno.
—
d = DE = di · sen ϕDE = 242,912 m
Notiamo che del pentagono ABCDE abbiamo tutti i lati meno uno e gli angoli tra
essi compresi. Siamo quindi nella condizione di poter già determinare l’area dell’appezzamento mediante la formula di camminamento. Riteniamo quindi che questo sia il metodo di calcolo più opportuno, dato che non dobbiamo calcolare altri
elementi intermedi.
⎡a ⋅ b sen β + b ⋅ c sen γ + c ⋅ d sen δ − ⎤
1⎢
⎥
A(ABCDE) = ⎢+ a ⋅ c sen (β + γ ) − b ⋅ d sen (γ + δ)+⎥ =
2⎢
⎥⎦
⎣+ a ⋅ d sen (β + γ + δ)
= 162.645 m 2 = 16 ha 26 a 45 ca
Per determinare le coordinate dei vertici dell’appezzamento, determiniamo prima
gli azimut, utilizzando la formula di trasporto, considerato che il primo azimut è
l’angolo retto, dato che BC è posto sull’asse delle ascisse:
ϑBC = 90°
ϑCD = ϑBC + γ – 180° = 40,512°
ϑDE = ϑCD + δ + 180° = 306,192°
L’azimut ϑBA lo ricaviamo invece sottraendo l’angolo β direttamente dal primo azimut ed aggiungendo un angolo giro per non avere numeri negativi:
ϑBA = ϑBC – β + 360° = 358,994°
Ora possiamo determinare le coordinate dei vertici:
⎧⎪x A = BA ⋅ sen ϑ BA = −4,644 m
⎨
⎩⎪yA = BA ⋅ cos ϑ BA = 264,457 m
⎪⎧xB = 0,000 m
⎨
⎩⎪yB = 0,000 m
⎧⎪xC = BC = 375,055 m
⎨
⎩⎪yC = 0,000 m
⎧⎪ xD = xC + CD ⋅ sen ϑ CD = 581,658 m
⎨
⎩⎪yD = yC + CD ⋅ cos ϑ CD = 241,799 m
⎧⎪xE = xD + DE ⋅ sen ϑ DE = 385,618 m
⎨
⎪⎩yE = yD + DE ⋅ cos ϑ DE = 385,236 m
Per facilitare il calcolo dell’area con la formula di camminamento è utile usare il tasto M+
della memoria della calcolatrice: dopo aver
eseguito il primo prodotto lo si inserisce in
memoria (usualmente i tasti che eseguono
questa operazione sono indicati con STO, Min
o X→M); successivamente ogni prodotto è
aggiunto alla memoria utilizzando i tasti M+
o M– a seconda del segno. Il vantaggio di questa procedura è che in caso di errore non si
va ad influire sulla somma. Al termine, basterà richiamare il contenuto della memoria
(RCL) e dividere per 2 il risultato.
La formula della livellazione tacheometrica
prevede il termine che dà il dislivello tra centro strumentale e centro del prisma mediante il rapporto:
d
tan ϕ
in cui d è la distanza orizzontale.
La distanza effettivamente determinata dal
distanziometro è quella inclinata, per cui
sempre più spesso nei libretti delle misure si
preferisce indicare tale distanza, che non è
affetta da alcun calcolo. Anche il catasto, con
la procedura Pregeo, richiede nelle misure
con determinazione altimetrica proprio la
distanza inclinata.
In tali casi, il termine sopra indicato nella formula della livellazione tacheometrica può
essere così sostituito:
di ⋅ sen ϕ di ⋅ sen ϕ
d
=
=
= di ⋅ cos ϕ
tan ϕ
tan ϕ
sen ϕ
cos ϕ
MATERIALI PER IL RECUPERO
ESERCIZIO SPIEGATO
COMMENTO DELL’AUTORE
Per risolvere la parte altimetrica calcoliamo dapprima tutti i dislivelli che si sono
misurati, assumendo k = 0,14 e R = 6.377 km:
264 2
= −1,000 m
Δ BA = hB − hpr. + dBA,i cos ϕ BA + 0,86
2 ⋅ 6.377.000
Δ BC = hB − hpr. + dBC,i cos ϕ BC + 0,86
375 2
= 7,739 m
2 ⋅ 6.377.000
Δ CB = hC − hpr. + dCB,i cos ϕ CB + 0,86
375 2
= −7,669 m
2 ⋅ 6.377.000
Δ CD = hC − hpr. + dCD,i cos ϕ CD + 0,86
318 2
= 13,644 m
2 ⋅ 6.377.000
Δ DE = hD − hpr. + dDE,i cos ϕ DE + 0,86
Δ'BC =
Δ'CD =
Δ BC − Δ CB
2
Δ CD − Δ DC
2
= 13,634 m
ΔAE = ΔAB + ΔBC + ΔCD + ΔDE =
= – ΔBA + ΔBC + ΔCD + ΔDE = –37,889 m
Per determinare la pendenza ci serve la distanza orizzontale, che possiamo determinare facilmente avendo calcolato le coordinate:
(xE − x A )2 + (yE − yA )2 = 408,524 m
Δ AE
AE
Nell’eseguire la media aritmetica tra dislivelli misurati in andata e in ritorno si deve ricordare che il segno di tali dislivelli è opposto.
= 7,704 m
Possiamo ora calcolare il dislivello richiesto:
pAE =
Si noti che nel calcolare l’errore dovuto alla
sfericità terrestre e alla rifrazione atmosferica abbiamo indicato la distanza arrotondata
al metro. Ciò deriva dalla circostanza che l’errore in questione è una quantità piccolissima
e resta invariato se la distanza cambia anche
di qualche metro. Ad esempio, se consideriamo una distanza di 375 m o di 376 m troviamo che l’errore è il medesimo: 9,5 mm. Per
cui è del tutto ininfluente considerare le cifre
decimali della distanza nel calcolo dell’errore
di sfericità e rifrazione, come pure preoccuparsi di inserire la distanza orizzontale o inclinata.
250 2
= −60,227 m
2 ⋅ 6.377.000
Dato che alcuni dislivelli sono stati determinati sia all’andata sia al ritorno, effettuiamo la media aritmetica delle doppie misurazioni:
AE =
❯
= −9,275%
Esiste una semplice regola che permette di
determinare il dislivello tra due punti uniti da
una poligonale. Inserendo tutti i dislivelli in
sequenza, le lettere vicine uguali si possono
semplificare e il dislivello risultante è pari a
quello determinato dalle lettere rimaste:
ΔAB + ΔBC + ΔCD + ΔDE =
= ΔAB + ΔBC + ΔCD + ΔDE = ΔAE
ESERCIZI CON TRACCIA DELLA SOLUZIONE
1
Si deve determinare l’area del quadrilatero ABSR, in
cui i due vertici A e B sono costituiti dalle sommità di due
tralicci della corrente elettrica, quindi inaccessibili. Si è
fatta stazione con un tacheometro centesimale destrorso
nei due vertici R e S, determinando i seguenti dati:
STAZIONE
PUNTO
CERCHIO
DISTANZA
COLLIMATO
ORIZZONTALE
ORIZZONTALE
A
B
S
R
A
B
55,321 gon
0,000 gon
120,549 gon
51,592 gon
108,296 gon
165,504 gon
307,886 m
307,882 m
-
R
S
-
Determinare l’area del quadrilatero e l’angolo formato tra
gli allineamenti RS e AB.
A
ε
B
[R.: A = 274.726 m2; ε = 16,377 gon
Il problema si risolve con il metodo della base fittizia di
Hansen. Si disegna una figura fittizia, partendo da R, determinando la posizione di S e la direzione dei punti inaccessibili A e B.
La distanza RS è pari alla media aritmetica delle due distanze
misurate. Si passa quindi in S, si trova l’origine del C.O. mediante
una rotazione antioraria pari all’angolo (RS) e si determinano le
direzioni dei punti A e B. Dall’intersezione con le direzioni tracciate prima si trova la posizione dei vertici. Analiticamente conviene trovare le coordinate di A e B in un sistema di riferimento
locale, ad esempio con l’asse y lungo RA. Determinati gli angoli
γ1 e γ2 in R e δ1 e δ2 in S, applicando il teorema dei seni si determinano le distanze RA e RB, che consentono di determinare le
coordinate di A e B. L’angolo formato tra i due allineamenti AB e
RS si determina per differenza di azimut. ]
2 Un appezzamento di terreno ABCD è stato rilevato con
un tacheometro centesimale destrorso dotato di distanziometro elettronico, con altezza del prisma pari a 1,80 m per
tutti i punti rilevati, registrando i dati riportati nel seguente
libretto di campagna:
STAZIONE
B
h = 1,590 m
PUNTI
CERCHIO
CERCHIO
DISTANZA
COLLIMATI
ORIZZONTALE
VERTICALE
INCLINATA
A
C
D
78,514 gon
150,466 gon
116,622 gon
101,441 gon
98,065 gon
100,000 gon
110,415 m
105,765 m
145,564 m
Assunti liberamente tutti i parametri ritenuti utili per il calcolo non forniti dal testo ed effettuato un disegno dell’appezzamento in scala opportuna, si determini:
a) l’area dell’appezzamento ABCD;
b) le quote dei vertici, assumendo QD = 100,00 m.
R
γ1
γ2
δ2
δ1
S
[R.: A = 8.427,6 m2; QA = 97,345 m; QB = 99,790 m; QC = 103,004 m
L’area si determina con la formula per coordinate polari, dopo
aver determinato le distanze orizzontali, oppure si determinano
le aree dei due triangoli delimitati dalla diagonale BD. Per le
quote, si trovano i tre dislivelli e, partendo da D, si calcolano le
altre tre quote. Non è necessario considerare
l’errore di sfericità e di rifrazione.]