Lezione 5 1 Cosa c’è nell’Unità 2 • In questa sezione si affronteranno – Introduzione alle reti dinamiche – Determinazione dei valori iniziali – Transitori nelle reti ad una costante di tempo – Poli (o frequenze naturali) di una rete – Transitori nelle reti a due costanti di tempo – Equazioni differenziali di una rete Lezione 5 2 Reti nel dominio del tempo Lezione 5 3 Introduzione alle reti dinamiche Lezione 5 4 Tagli e maglie di elementi reattivi • Classificazione: • Reti non degeneri • Reti degeneri • Elementi topologici che comportano degeneranza: • Maglie di condensatori: – maglie i cui lati sono o condensatori o generatori di tensione • Tagli di induttori: Lezione 5 – tagli i cui lati sono o induttori o generatori di corrente 5 Esempio • La rete presenta un taglio di induttori (indicato in blu) ed una maglia di condensatori (indicata in rosso) Lezione 5 6 Reti non degeneri 1/2 • Una rete che contiene maglie di condensatori e/o tagli di induttori si dice degenere. – Esempio di rete degenere: Lezione 5 7 Reti non degeneri 2/2 – Esempio di rete non degenere: Lezione 5 8 Ordine complessita’ di una rete • L’ordine di complessità di una rete (degenere o non degenere) è definito dalle condizioni iniziali che devono essere definite per poter determinare la sua evoluzione temporale – l’ordine di complessità di una rete si può esprimere come differenza tra il numero totale di condensatori ed induttori e la somma totale di maglie di condensatori e tagli di induttori Lezione 5 Il 9 di li di t i id il Introduzione alle reti dinamiche Lezione 5 10 Variabili di stato 1/2 • Grandezze importanti nelle reti dinamiche: – Variabili di stato: • tensioni sui condensatori • correnti sugli induttori Lezione 5 11 Variabili di stato 2/2 • Nella rete le variabili di stato sono: vc1, vc2 e iL Lezione 5 12 Uscite • Uscite: tutte le tensioni e le correnti che interessa calcolare nella rete • Nella rete le uscite sono vL, i1, i2, vc1. Lezione 5 vc1 è anche variabile di stato 13 Ingressi • Ingressi: sono le tensioni e le correnti dei generatori ideali indipendenti presenti nella rete e e •LezioneNella rete gli ingressi sono a, e 1 2 5 14 Reti nel dominio del tempo Lezione 5 15 Determinazione dei valori iniziali Lezione 5 16 Definizioni • Se non sarà indicato diversamente le attivazioni delle reti saranno supposte nell’istante t=0 • Condizioni e valori iniziali – condizioni iniziali: sono i valori delle grandezze di rete nell’istante 0-. Esempio v(0-), i(0-) – valori iniziali: sono i valori delle grandezze di rete nell’istante 0+. Esempio v(0+), i(0+). Lezione 5 17 Teoremi • Nelle reti che non sono degeneri dopo l’attivazione di interruttori, non si hanno discontinuità temporali delle variabili di stato • Nelle reti non degeneri non si ha discontinuità delle variabili di stato anche in presenza di discontinuità temporali nei generatori Lezione 5 18 Continuità vc (0 + ) = vc (0 − ) La rete non è degenere. Si ha continuità dello stato vc (0 − ) = 0 , vc (0 + ) = Eo La rete è degenere. Si può avere discontinuità dello stato Lezione 5 19 Discontinuità delle uscite 1/2 • In generale le uscite di una rete in presenza di interruttori e/o generatori discontinui sono discontinui. Lezione 5 Eo i (0− ) = 0 , i (0+ ) = R 20 Discontinuità delle uscite 2/2 • La rete non è degenere. Tuttavia la corrente i(t) non è una variabile di stato: il valore iniziale in questo caso è differente dalla condizione iniziale! Lezione 5 21 Esempio 1/3 • Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore • Variabili di stato: – corrente i1(t) sull’induttore L1 – corrente i2 (t) sull’induttore L2 Lezione 5 – tensione vC (t) sul condensatore C 22 Esempio 2/3 • Continuità dello stato: i1 (0 + ) = i1 (0 − ) = 0 i2 (0 + ) = i2 (0 − ) = 0 vC (0 + ) = vC (0 − ) = 0 • Nell’istante t=0+: – Gli induttori equivalgono a circuiti aperti – Il condensatore equivale ad un corto circuito Lezione 5 23 Esempio 3/3 • Ne consegue Lezione 5 i3 (0 + ) = 0 24 Determinazione dei valori iniziali Lezione 5 25 Esercizio 1 (1/5) • Calcolare i3(0+) dopo l’attivazione dell’interruttore • Continuità della corrente sull’induttore e della tensione sul condensatore Lezione 5 26 Esercizio 1 (2/5) • Condizioni iniziali dello stato: – in t=0- la rete è a regime (stazionario) Il condensatore è un circuito aperto • l’induttore è un corto circuito • Lezione 5 27 Esercizio 1 (3/5) • Condizione iniziale dello stato vC (0− ) =1|| 2 ×1= 0.66V 1 iL(0−) = ×1=0.33A 2+1 • Condizione iniziale dell’uscita 2 ×1 = 0.66 A i3 (0− ) = 2 +1 Lezione 5 28 Esercizio 1 (4/5) • Situazione della rete in t=0+ Lezione 5 29 Esercizio 1 (5/5) • Valore iniziale dell’uscita: Si applichi Millman 10 vC (0+ ) + − iL (0+ ) + 1 1 1 2 = 4.4 A ≠ i3 (0− ) = 0.66 A i3 (0+ ) = 1 1 1 1 + + 1 2 1 Lezione 5 30 Esercizio 2 (1/5) • Calcolare v(0+) dopo la deviazione dell’interruttore • Continuità della corrente sull’induttore e della tensione sul condensatore Lezione 5 31 Esercizio 2 (2/5) • Condizioni iniziali dello stato: – in t=0- la rete è a regime (stazionario) – Il condensatore è un circuito aperto – l’induttore è un corto circuito Lezione 5 32 Esercizio 2 (3/5) 1||1 vC (0− ) = 10 = 3.33V , 1 + 1||1 vC (0− ) iL (0− ) = = 3.33 A 1 • Condizione iniziale dell’uscita Lezione 5 v(0− ) = 1||1 10 = 3.33V 1 + 1||1 33 Esercizio 2 (4/5) • Situazione della rete in t=0+ vC (0 + ) = vC (0 − ) = 3.33 V iL (0 + ) = iL (0 − ) = 3.33 A Lezione 5 34 Esercizio 2 (5/5) • Valore iniziale dell’uscita: Si applichi Millman vC (0+ ) 20 − iL (0+ ) + 1 = 6.6 V ≠ v(0 ) v(0+ ) = 1 − 1 1 1 + + 1 1 1 Lezione 5 35 Reti nel dominio del tempo Lezione 5 36 Transitori nelle reti ad una costante di tempo Lezione 5 37 Tipologie • Presenza di un induttore • Presenza di un condensatore Lezione 5 38 Formula fondamentale valore finale ⇓ y (t ) = ( y (0 + ) − Y∞ ) e − t τ + Y∞ ⇑ valore iniziale L τ = Re τ = Re C Lezione 5 induttore condensatore 39 Esempio 1/8 • Calcolare i(t) i (t ) = i (0 − ), t<0 i (t ) = [i (0 + ) − I ∞ ] e − t τ + I∞ , t > 0 • Continuità della corrente sull’induttore Lezione 5 40 Esempio 2/8 • Condizioni iniziali dello stato: – in t=0- la rete è a regime (stazionario) – l’induttore è un corto circuito Lezione 5 41 Esempio 3/8 12 5 + v AB (0 − ) = 2 4 = 5.8 V 1 1 1 + + 2 2 4 12 − v AB (0 − ) iL (0 − ) = = 3.1 A 2 • Condizione iniziale dell’uscita Lezione 5 i (0 − ) = v AB (0 − ) = 2.7 A 2 42 Esempio 4/8 • Situazione della rete in t=0+ iL (0 + ) = iL (0 − ) = 3.1 A Lezione 5 43 Esempio 5/8 • Valore iniziale dell’uscita: i (0 + ) = iL (0 + ) = 3.1 A ≠ i (0 − ) = 2.7 A Lezione 5 44 Esempio 6/8 • Costante di tempo Re = 2 + 2 = 4Ω, L = 3H Lezione 5 L 3 τ= = = 0.75 s Re 4 45 Esempio 7/8 • Valore finale dell’uscita: – l’induttore è un corto circuito Lezione 5 12 I∞ = =3A 2+2 46 Esempio 8/8 • Transitorio dell’uscita I ∞ = 3, τ = 0.75 i (0 + ) = 3.1, i (t ) = 0.1 e Lezione 5 − t 0.75 + 3 [ A], t > 0 47