L1 Argomenti della lezione • • • • Criteri di divisibilità fattorizzazione m.c.m. e M.C.D. frazioni ed espressioni L1 Esercizio Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 2? Risposta Un numero è divisibile per 2 se e solo se la cifra delle unità è 0, 2, 4, 6, 8. Pertanto: • • il numero 821c è divisibile per 2 se c assume uno dei valori precedenti; il numero 82c1 ha la cifra delle unità uguale a 1. Di conseguenza non c’è alcun valore di c che lo rende divisibile per 2. L1 Esercizio Quale cifra deve assumere la lettera c affinché i numeri 821c e 82c1 siano divisibili per 3? Risposta Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre dà un numero divisibile per 3. La somma delle cifre vale, per entrambi i numeri 8 + 2 + 1 + c = 11 + c Affinché 11 + c, con c ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sia un multiplo di 3 deve essere 11 + c = 12 ⇒ c = 12 − 11 = 1 11 + c = 15 ⇒ c = 15 − 11 = 4 11 + c = 18 ⇒ c = 18 − 11 = 7 oppure e infine Altre possibilità non vi sono perché 11 + c = 21 dà c = 21 − 11 = 10, valore non accettabile perché 10 non è una cifra. Quindi i numeri richiesti sono • per 821c: 8211, 8214 e 8217; • per 82c1: 8211, 8241 e 8271. L1 Esercizio Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) ed il m.c.m (minimo comune multiplo) dei numeri 36, 90, 100. Risposta L’M.C.D. di un insieme di numeri naturali è il più grande numero che divide tutti i numeri dati. Il m.c.m. di un insieme di numeri naturali è il più piccolo numero che è multiplo di tutti i numeri dati. Determiniamo M.C.D. e m.c.m. usando la scomposizione (unica!) in fattori primi di ciascun numero. Abbiamo 36 18 9 3 1 2 2 3 3 ⇒ 2 2 36 = 2 · 3 90 45 15 5 1 2 3 3 5 Quindi è M.C.D.(36, 90, 100) = 2, ⇒ 2 90 = 2 · 3 · 5 100 50 25 5 1 2 2 5 5 2 2 ⇒ 2 m.c.m.(36, 90, 100) = 2 · 3 · 5 perché • • per il M.C.D. si prendono solo i fattori comuni a tutti i numeri con l’esponente più basso; per il m.c.m. si prendono tutti i fattori (comuni e non) a tutti i numeri con il grado più alto. 2 2 100 = 2 · 5 L1 Esercizio Determinare il M.C.D. (Massimo Comun Divisore) dei numeri 10002 e 9999. Risposta Sia k = M.C.D.(10002, 9999). Allora è 10002 = k · n1 e 9999 = k · n2 con n1 , n2 ∈ N opportuni. Pertanto, effettuando la differenza tra i due numeri, risulta 10002 − 9999 = k · n1 − k · n2 ⇔ 3 = k · (n1 − n2 ) Quindi, dato che k ∈ N, k è un divisore di 3 ossia è k = 1 oppure k = 3. Ora, sia 10002 che 9999 sono divisibili per 3. Pertanto, M.C.D.(10002, 9999) = 3. Osservazione Due numeri naturali il cui M.C.D. sia 1 si dicono primi tra loro. L1 Esercizio Sia H un insieme di numeri interi positivi. Se in H non c’è alcun numero dispari, allora siamo certi che in H non c’è alcun numero che sia [1] un multiplo di 3 [2] una potenza di 5 [3] divisibile per 7 e per 11 [4] il quadrato di un altro numero Risposta Poiché in H non ci sono numeri dispari vuol dire che ci sono solo numeri pari. • • • • H può contenere multipli di 3, tutti quelli pari (ad esempio, 6). Parimenti, H può contenere numeri divisibili per 7 e per 11 e che siano pari (ad esempio, 144 = 2 · 7 · 11). H può contenere quadrati di altri numeri presenti in H oppure no (ad esempio, 16 = 42 ). Le potenze di 5, invece, terminano sempre per 5. Quindi sono numeri dispari e, pertanto, non possono stare in H. Pertanto, siamo certi che H non contiene potenze di 5. L1 Esercizio Dimostrare che il numero N = n3 − n, n ∈ N è sempre divisibile per 6. Risposta Abbiamo N 3 2 = n − n = n(n − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1) · n · (n + 1) Quindi N è il prodotto di tre interi consecutivi. Ne segue che • • almeno uno è pari; almeno uno è multiplo di tre. Perciò, N ha tra suoi fattori 2 e 3. Di conseguenza, ha anche il fattore 6 = 2 · 3. Quindi è divisibile per 6. L1 Esercizio Siano m, n numeri naturali dispari. Allora (m + 1) · n è un numero [1] pari [2] dispari [3] sia pari che dispari Risposta Poiché m è dispari m + 1 risulta pari. Quindi, 2 è sicuramente uno dei fattori di m + 1 e, di conseguenza, anche di (m + 1) · n. Dunque, (m + 1) · n è pari. L1 Esercizio Siano m e n due numeri interi. Si supponga che 10 divida il prodotto m · n. Allora [1] 10 divide m e n [2] 10 divide m o n [3] nessuna delle due precedenti risposte è corretta Risposta E’ vera la terza opzione. In generale, se un numero divide il prodotto di altri numeri non è detto che sia un divisore di qualcuno di essi (anche se potrebbe esserlo). Ad esempio, prendendo m = 2 ed n = 5 abbiamo • • 10 divide m · n = 2 · 5 = 10 10 non divide né m né n. L1 Esercizio E’ data una sequenza di n numeri dispari consecutivi. Detto M il maggiore della sequenza ed m il minore, quale relazione è vera? [1] m = M − n [2] m = M − 2n [3] m = M − 2n + 2 [4] m = M − n + 1 Risposta Per qualche k ∈ N, gli n numeri dispari, essendo consecutivi, possono essere scritti come s1 = 2k + 1, s2 = 2k + 3, s3 = 2k + 5, s4 = 2k + 7, ··· , Quindi M = 2k + (2n − 1) e m = 2k + 1 per cui M − m = [2k + (2n − 1)] − [2k + 1] = 2n − 2. Dunque risulta m = M − 2n + 2. sn = 2k + (2n − 1) L1 Esercizio Sia n un numero naturale; allora il numero n351 + n227 è [1] sempre pari [2] sempre dispari [3] sia pari che dispari Risposta Generalizziamo al caso np + nq con p, q ∈ N. Distinguiamo due casi • n pari: E’ n = 2 · k , k ∈ N. Di conseguenza risulta np nq • = = (2 · k )p (2 · k )q = = 2p · k p 2q · k q ⇒ ⇒ np nq pari pari ff p ⇒ n +n q pari n dispari: E’ n = 2 · k + 1, k ∈ N. Ricordiamo che se m, n, p ∈ N con n > m allora (n − m)|(np − mp ) . Segue per m = 1 e tenendo conto che 1p = 1 p p p (n − 1)|(n − 1 ) = n − 1 Pertanto abbiamo • • • n − 1 = 2k n − 1|np − 1 np = (np − 1) + 1 dispari ⇒ ⇒ n − 1 pari 2|np − 1 ⇒ np − 1 pari Quindi, per p, q ∈ N e n dispari risulta np ed nq dispari. Pertanto, np + nq è pari. In conclusione, qualunque siano p, q, ed n, la somma np + nq è sempre pari! L1 Esercizio Qual è il valore della seguente espressione? − 21 − 34 −3 + 34 [1] − 1 6 [2] 5 [3] 9 45 16 Risposta Abbiamo − 21 − 34 −3 + 34 = = = = −2−3 4 −12+3 4 − 54 − 94 − 5 9 5 4 · „ « 4 − 9 [4] − 1 9 L1 Esercizio Scrivendo per esteso il numero decimale 17, 3 · 10−5 , quale cifra si trova al quarto posto dopo la virgola? [1] 7 [2] 0 [3] 1 [4] 3 Risposta Dobbiamo spostare la virgola di 5 posizioni verso sinistra aggiungendo eventuali zeri. Risulta −5 17, 3 · 10 Pertanto, al quarto posto si trova la cifra 1. = 0, 000173 L1 Esercizio L’espressione 4 · 10−8 5 · 10−3 è uguale a −12 [1] 8 · 10 −4 −6 [2] 8 · 10 [3] 8 · 10 Risposta Applicando la proprietà delle potenze risulta 4 · 10−8 5 · 10−3 = = = 4 −8−(−3) · 10 5 4·2 −5 · 10 5·2 8 −5 · 10 10 −5−1 = 8 · 10 = 8 · 10 −6 . −10 [4] 8 · 10 L1 Esercizio L’espressione − 2−2 3 4 è uguale a [1] 1 [2] 3 16 1 [3] − 3 [4] − 3 3 16 Risposta Abbiamo − 2−2 3 4 = − 12 2 3 4 =− 1 22 · 4 3 =− 1 3 . Osserviamo che la risposta deve essere un numero negativo perché l’espressione iniziale è il rapporto del numero negativo − 2−2 e del numero positivo 3/4. Dunque, le risposte [1] e [2] sono escluse a priori. L1 Esercizio Quale vale 12, 5 · 10−3 · 8 · 10111 ? 110 [1] 10 [2] 1 110 37 [3] 10 −333 108 [4] 100 · 10 [5] 1000 Risposta Applicando le proprietà delle potenze risulta subito −3 12, 5 · 10 111 · 8 · 10 −3+111 = 12, 5 · 8 · 10 108 = 100, 0 · 10 2 108 = 10 · 10 2+108 = 10 110 = 10 .