Disequazioni
Disequazioni di 1° grado
1. Esempio
2. Esempio con x negativo
Disequazioni di 2°grado
1. Metodo
2. Esempio
3. Schema
simboli
Simboli






< (minore)
> (maggiore)
≤ (minore o uguale)
≥ (maggiore o uguale)
Δ ( delta)
√(radice quadrata)
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Disequazioni
Definizione
Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni
letterali per la quale si vuole stabilire quali valori delle
lettere rendono la disuguaglianza vera.
Tutti i valori che soddisfano una disequazione costituiscono
l’insieme delle soluzioni.
Esempio:
x-6>0 è verificata da tutti i numeri maggiori di 6.
L’insieme delle soluzioni è {x E R | x > 6 }
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Disequazioni di I grado
altro
Esempi
2x -3 < 5 -4x
1. si spostano le x a primo membro
ed i numeri a secondo membro
2x + 4x > 5 + 3
2. si cambiano i segni
6x > 8
8
x> _
6
3. si semplifica
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Esempio con x negativo
5 - 7x < 9 –x
x -7x < 9 -5
-6x < 4
6x >-4
x > -4_
Devo cambiare i segni e il verso
6
Cioè 2
x> - _
3
esempio
2
- _
3
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Disequazioni di 2° grado
Per trovare le soluzioni di una disequazione di II grado
bisogna trovare le soluzione dell’equazione associata
di secondo grado nell'incognita x :
ax2+ bx + c=0
con a
≠ 0 (altrimenti sarebbe di primo grado...).
Questa è anche detta forma normale di un'equazione di
secondo grado.
Dal punto di vista grafico (geometria analitica),
risolvere un'equazione di secondo grado significa
trovare le intersezioni, se esistono, tra la parabola di
equazione y= ax2+ bx + c=0 e l’asse delle x.
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Metodi
Disequazioni 2°grado
Metodi
Pura
Spuria
Completa
Dis.2°grado
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Esempi
Disequazioni 2°grado
Esempi
Spuria
Pura
Completa
Disequazioni 2°grado
Metodo - Completa
ax2 –bx+5 <0
Δ= b2-4ac
-b - √ Δ
____________
x1=
2a
-b ± √ Δ
X= ____________
2a
-b + √ Δ
____________
x2=
2a
Metodi
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Esempio
Metodo
Disequazioni 2° grado
Metodi
Esempio-Completa
Schema
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x2+3x-4>0
Δ=b2 -4ac
Δ=9 – [4 (1)(-4)]
Δ=9+16=25
-3 -5
X1= ______
2
-b ± √ Δ
X= ____________
2a
-3+5
X2= ______
2
Osservando lo schema capirai che la soluzione è
8
__
X1=2
X2=
2
__
2
X<-4 U x>1
= -4
=1
Simboli
Disequazioni di 2° grado
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Schema
con a>0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c>0
•
•
Δ >0
Δ =0
• Δ<0
x<x1 U x>x2
x E R - { -b
__
2a
Valori ESTERNI
all’intervallo
delle radici
}
per ogni x E R
•Δ >0
•Δ =0
x ≤x1 U x ≥ x2
per ogni x E R
•Δ <0
per ogni x E R
ax2 + bx + c<0
• Δ>0
• Δ=0
•Δ<0
x1 <x<x2
non esiste x E R
non esiste x E R
Valori INTERNI
all’intervallo
delle radici
Valori ESTERNI
all’intervallo
delle radici
ax2 + bx + c ≤ 0
•Δ>0
x1 ≤ x ≤ x2
• Δ=0
b
__
x= 2a
• Δ<0 non esiste x E R
Valori INTERNI
all’intervallo
delle radici
Metodo-Spuria
X2-ax>0
X1= 0 (sempre)
b
x2= - ____
a
In questo caso
Osservando lo schema capirai che la soluzione è :
b
X<0 U x > - ___
a
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Esempio
Esempi-Spuria
X2-3x>0
X1= 0
X2= 3
In questo caso.
Osservando lo schema capirai che la soluzione è
Metodo
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X<0 U x>3
Metodo-Pura
x2-c ≥ 0
x2 ≥ c
si sposta il termine noto a 2 membro
L’equazione associata avrà queste soluzioni:
X= ± (
√c )
X1= - (√c )
X2=+ (√c )
Osservando lo schema capirai che la soluzione è
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x ≤ X1 U x ≥ x2
Esempio
Esempio-Pura
x2-9 ≤0
x2 ≤ 9
X= ±3
Osservando lo schema capirai che la soluzione è
Metodo
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-3 ≤ x ≤ 3