Università degli studi di Perugia Facoltà di Economia Corso di laurea magistrale in finanza e statistica Valutazione dei prodotti e dell’impresa di assicurazione Le basi tecniche delle assicurazioni sociali A cura di: Daniele Barbacci, Michele Berettoni, Daniele Maranghi e Luigi Zebi. L’invalidità costituisce causa di eliminazione dalla collettività degli assicurati; 2) Le rendite di invalidità si prolungano oltre l’età di vecchiaia per tutta la durata della vita dell’individuo; 3) Le prestazioni sono concesse senza periodi di attesa consistono solo in pensioni o rendite e competano soltanto agli individui, ai vecchi e ai nuclei superstiti degli assicurati e dei pensionati; 4) Le modalità di fissazione dei premi viene considerato il caso che questi siano stabiliti in percentuale dei salari. 1) LA POPOLAZIONE ASSICURATA Dati: α (età min per entrare in assicurazione), ξ (età max di appartenenza all’assicurazione), ω (età max raggiungibile dai pensionati); E’ possibile determinare per tutte le età x comprese tra α e ξ-1 la probabilità qax (probabilità totale di eliminazione): a a a a q x= i q x + d q x + w q x E’ possibile costituire una tavola di permanenza in assicurazione lax per mezzo della relazione: lax+1 = lax (1 – qax) Si indichi infine con va(m)x la generazione di nuovi assicurati entrante all’inizio di ogni anno di gestione (con α < x < ξ-1 e m corrispondente alle varie epoche di ingresso). Ipotesi generali Sotto queste condizioni si possono determinare i singoli elementi che vanno a formare la distribuzione della popolazione assicurata e il numero complessivo di tale popolazione basandosi su 4 ipotesi: Ipotesi 1: ingresso di una generazione composta da individui di una sola età, in un determinato anno; Ipotesi 2: ingresso di generazioni composte da individui di una sola età, in tutti gli anni; Ipotesi 3: ingresso di una generazione composta da individui di tutte le età, in un determinato anno; Ipotesi 4: ingresso di più generazioni composte da individui di tutte le età, in tutti gli anni. IPOTESI 1 Data una generazione entrata al tempo m – t è evidente che al tempo m la popolazione assicurata sarà costituita da un solo gruppo di individui di età y=x+t e di anzianità di assicurazione t, determinato come segue: a n a(m) y ,t v a ( m ,t ) x ly l a x Corrispondente al numero complessivo di assicurati indicato con Ina(m). IPOTESI 2 Ai tempi 0, 1, … , m - 1 entrano rispettivamente va(0)x, va(1)x, …, va(m-1)x individui di età x, costituenti le singole generazioni dei vari anni. La distribuzione della popolazione assicurata sarà quindi costituita da una sola diagonale di una tabella a doppia entrata che tenga conto delle due variabili età (righe) e anzianità (colonne). Sommando i termini generici na(m)y,t di ogni anno otteniamo: a a a ( m 1) a a ( m2) a ( m x ) II n a(m) v a(m) x l x 1 v x l v x l x 2 vx ... a a a(m) a a(m) lx vx l x v xa ( m ) l x v x a(m) a x,v come Definendo l’espressione tra parentesi il valore attuale di una rendita posticipata unitaria (m) v ( m ) (calcolato tramite la legge Lx (t ) a (xmt ) ) otteniamo: II n a ( m) v vx a ( m) a ( m) x x ,v a IPOTESI 3 (Una sola generazione entrata al tempo m – t e composta da individui di età comprese tra α e ξ-1) Al tempo m tutti gli assicurati avranno la stessa anzianità t, rappresenteranno cioè una sola colonna della tabella a(m) a doppia entrata. Il termine generico n y,t per x che varia tra α e ξ-t e quindi y tra α+t e ξ (con t>ξ-α) sarà quindi: t III n a(m) v x a ( m t ) x IPOTESI 4 Si supponga che sia m > ξ-α e che ai singoli tempi 0, 1, 2, …, m-1 siano entrate in assicurazione m generazioni di nuovi assicurati di età comprese tra α e ξ-1. Al tempo m si avranno assicurati di tutte le età e di tutte le anzianità (nella tabella a doppia entrata saranno presenti tutte le diagonali e tutte le colonne).L’elemento generico della distribuzione na(m)y,t per x che varia tra α e ξ-1, e t tra 1 e ξ-x sarà quindi: 1 IV n a(m) v x a(m) x a a(m) x ,v m È indispensabile determinare: • esistenti hai singoli tempi e i nuovi pensionati ad ogni anno. • Espressioni dell’elemento generico di ciascuna distribuzione, età ed anzianità di assicurazione (nuovi pensionati), età ed anzianità di assicurazione e pensionamento (pensionati esistenti) e di un raggruppamento intermedio per la popolazione pensionata. Convenzioni: • I numeri dei nuovi pensionati diretti e indiretti all’anno m, m+1 si suppongono concentrati all’epoca m (nuovi pensionati al tempo m). • Gli ingressi nella situazione di pensionato diretto e indiretto al tempo m si immaginano avvenuti dopo l’ingresso dei nuovi assicurati alla stessa epoca (pensionati diretti e nuclei diretti dell’assicurato), dopo l’ingresso dei nuovi assicurati e dei nuovi pensionati diretti alla stessa epoca (nuclei superstiti del pensionato). • I numeri dei pensionati diretti e indiretti esistenti al tempo m, sono riferiti alla fine dell’anno m-1. Al tempo m gli individui che entrano in blocco nello stato di pensionato e che hanno età y = x+t e anzianità di assicurazione t, sono dati dunque da: Ipotesi 1: una sola generazione entrata al tempo m-t, Ivi(m) è il numero complessivo dei nuovi pensionati. Ipotesi 2: da 0 a m siano entrate m+1 generazioni di nuovi assicurati e che sia m > ξ-x e occorrerà moltiplicare ciascun termine per iqya ed aggiungere il termine relativo ai nuovi pensionati che provengono dagli entrati in assicurazione al tempo m; avremo: Ipotesi 3 e 4: per m> ξ-α si avrà: Pensionati diretti esistenti Tempo m, con anzianità di pensionamento τ, anzianità di assicurazione t ed età z=x+t+τ. Espressione che si annulla per t > ξ-x, per t+τ > ω-x perché lzi è nulla per le età superiori a ω. Ipotesi 1: I𝑛 𝑖(𝑚) = 𝑣𝑥 𝑎 (𝑚 − 𝜏 − 𝑡 ) 𝑙𝑦 𝑎 𝑧−1,𝜀 𝑦=𝑥 𝑞 𝑙𝑥 𝑎 𝑖 𝑦 𝑎 𝑙𝑧 𝑖 𝑙𝑦 𝑖 Ipotesi 2: m generazioni entrate ai tempi 0,1,…m-1 e sia m > ω-x. 𝐼𝐼 𝑛 𝑖(𝑚) = 𝑣𝑥 𝑎 (𝑚 ) 𝑎 𝑥,𝑣 𝑎𝑖 (𝑚) Ipotesi 3: con m > ω − 𝑥 𝜀−1,𝜔−𝑡−𝜏 𝑥=𝛼 𝑎 𝑙𝑧(𝑥) 𝑖 𝑙 ) 𝑦 𝑧 𝑚 −1,𝜀 𝜏 𝑞 𝑦=𝑥m > ω-α Ipotesi 4: con 𝑙 𝑎𝑖 𝑦 𝑙 𝑖 𝑖(𝑚) = 𝑛 𝐼𝐼𝐼 𝑥 𝑦 𝐼𝑉 𝑛 𝑖(𝑚) 𝑣𝑥 𝑎 (𝑚 − 𝑡 − 𝜀−1 = 𝑣𝑥 𝑥=𝛼 𝑎 (𝑚 )𝑎 𝑥,𝑣 𝑎𝑖 (𝑚) • Gruppo dei superstiti degli assicurati, al quale appartengono nuclei titolari di rendite di famiglia • Gruppo dei superstiti dei pensionati, al quale appartengono nuclei titolari di rendite di reversibilità • Il complesso di questi nuclei costituisce la popolazione dei pensionati indiretti NUCLEI FAMILIARI SUPERSTITI DEGLI ASSICURATI Gruppo degli assicurati morti con famiglia v F ( m) z 1, 1 a ( m t ) a a a V ( l / l ) q x y x df y yx Numero complessivo degli assicurati morti con famiglia n F ( m) z 1, 1 yx (l ya / l xa ) df q ya (l zF / l yF ) Dove Dfqay rappresenta la probabilità di morire lasciando famiglia, mentre lF sono le tavole di eliminazione dei nuclei familiari NUCLEI FAMILIARI SUPERSTITI DEI PENSIONATI Nuclei familiari superstiti di pensionati V F ( m) 1, t a ( m t ) V x yx z ( x ), yx (l ya / l xa ) i q ya df q ya Numero complessivo dei nuclei familiari superstiti di pensionati n f ( m) vxa ( mt ) (l ya / l xa )i q ya (l z / l y ) df qzi Dove z è l’età dei pensionati, t è l’anzianità di assicurazione, τ è l’anzianità di pensionamento Analizziamo i metodi di valutazione per determinare gli impegni del fondo e l’importo dei contributi necessari per farvi fronte. Le principali metodologie sono: • • • • • METODO DEL PAGAMENTO CORRENTE METODO DELL’ACCANTONAMENTO INIZIALE METODO DELL’ACCANTONAMENTO A TERMINE METODI DI VALUTAZIONE DEI DIRITTI MATURATI METODI DI VALUTAZIONE DEI DIRITTI PROIETTATI ANALISI DEI METODI DI VALUTAZIONE Metodo del pagamento corrente L’importo del contributo è pari alla somma dell’ammontare delle prestazioni, erogate nell’anno e delle spese di amministrazione di competenza dell’esercizio • Metodo dell’accantonamento iniziale Si versano in un’unica soluzione i contributi necessari per far fronte all’erogazione della sua pensione a partire dall’età di pensionamento. • Metodo dell’accantonamento finale Tutti i contributi verranno versati al momento dell’entrata in quiescenza, data in cui si registra l’intero costo. Metodi di valutazione dei diritti maturati Costi e passività sono determinati sulla base di prestazioni maturate (variabili indipendenti) e sul costo (variabile dipendente). METODO DELL’UNITA’ DI CREDITO PROIETTATA Ogni anno di servizio da vita ad un’unità aggiuntiva di diritto pensionistico che è valutata separatamente per costruire l’obbligazione pensionistica totale. METODO DELL’UNITA’ DI CREDITO CORRENTE Simile al precedente ad esclusione del fatto che le prestazioni maturate sono valutate sulla base dei livelli salariali correnti. Metodi di valutazione dei diritti proiettati 1. METODO DELL’ETA’ NORMALE D’ENTRATA 2. METODO DEL PREMIO INDIVIDUALE UNIFORME 3. METODO AGGREGATO 4. METODO DELL’ETA’ RAGGIUNTA Si assume che ogni dipendente sia entrato nel fondo pensione non appena assunto o non appena abbia acquisito il diritto ad entrarvi. imputa il costo di ciascuna prestazione pensionistica lungo il periodo che va dalla data di entrata nel fondo alla data di pensionamento. Usa gli stessi principi del metodo individuale ma si applica al complesso dei partecipanti al fondo pensione. E’ simile al precedente con l’eccezione che il costo del servizio passato è calcolato a parte. Fonti: MARIO A. COPPINI, MARCO MICOCCI, Tecnica delle Assicurazioni sociali, Aspetti attuariali ed economicofinanziari. GRAZIE PER L’ATTENZIONE