Prof Giovanni Ianne
I PRODOTTI NOTEVOLI
LA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA
IL QUADRATO DI UN BINOMIO
IL QUADRATO DI UN TRINOMIO
IL CUBO DI UN BINOMIO
IL CUBO DI UN TRINOMIO
LA POTENZA DI UN BINOMIO (TARTAGLIA)
LA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO
DIFFERENZA
Definizione:
La somma di due monomi per la loro
differenza è uguale al quadrato del
primo termine meno il quadrato del
secondo termine.
a  b a  b  a
2
b
2
Infatti, se si effettua il prodotto senza
applicare la regola si ottiene:
a  b a  b 
e semplificando i monomi simili:
 a  ab  ab  b 
2
2
 a b
2
2
Esempi:
2a  3b 2a  3b 
 2 a   3b   4 a  9b
2
2
2
2
3  1
3 
1
 m  n m  n 
5  2
5 
2
2
2
1 2 9 2
1  3 
  m   n 
m  n
2  5 
4
25
Test di verifica:
VERO o FALSO?
3x  y 3x  y  9 x  y
2
5 x


2
 y  5 x  y  25 x  y
VERO
4
2
2m  3n  2m  3n   4m
 9n
2
2
2
2
2
VERO
4
FALSO
1
 1
 1 a 2  8b 2 FALSO
 a  4b    a  4b  
2
 2
 4
Verifica:
Risolvi i seguenti
esercizi:
1°: 5a
2°:
2


 3ab  5a  3ab 
2
1 3
2  1 3
2 
 x  2x y   x  2x y  
3
 3

3°: 1  3m 1  3m 
I risultati sono:
1°:
25a  9 a b
2°:
1 6
4 2
x  4x y
9
3°:
1  9m
4
2
2
2
Il QUADRATO DI UN BINOMIO
Definizione:
Il quadrato di un binomio è uguale al
quadrato del primo monomio, più o
meno il doppio prodotto del primo per
il secondo, più il quadrato del
secondo.
a  b 
2
 a  2 ab  b
2
2
Infatti, se si esegue la moltiplicazione senza
applicare la regola si ottiene:
a  b 

2
2
 a  b a  b  a  ab  ab  b 
2
 a  2 ab  b
2
a  b 
2
2

 a  b a  b  a  ab  ab  b 
2
 a  2ab  b
2
2
2
Esempi:
x  2 y 
2
 x  2  x  2 y  2 y  
 x  4 xy  4 y
2
2
2
2
2
1

1
1


2
  m      2    m    m  
2

2
2
2
Esempi:
2a  b 
2
x  3 y 
2
m
2

2
 4 a  4 ab  b
2
2
 x  6 xy  9 y
2
 n  m  2m n  n
4
2
2
2
Test di verifica:
VERO o FALSO ?
12
2
2
2
2m  3n  4m  6 mn  9n
FALSO
2
1 2
1
2
2
4
 x  y   x  xy  y
2
 4
VERO
IL QUADRATO DI UN TRINOMIO
Definizione:
Il quadrato di un trinomio è uguale alla somma
dei quadrati dei tre termini, più o meno il
doppio prodotto di ognuno di essi per tutti
quelli che lo seguono.
a  b  c
2

a  b  c  2ab  2ac  2bc
2
2
2
Infatti, se si esegue l’operazione ignorando la
regola , si ha:
a  b  c 
 a  b  c a  b  c 
2
2
2
 a  ab  ac  ab  b  bc  ac  bc  c 
2
ed eseguendo la somma dei monomi simili
 a  b  c  2ab  2ac  2bc
2
2
2
Esempi:
3a  2b  c 
2

 9 a  4b  c  12ab  6 ac  4bc
2
2
2
a  2b  c 

2
2
2
 a  4b  c  4 ab  2ac  4bc
2
Altri Esempi :
3x  2x  x 
3
2
2
 9 x  4 x  x  12 x  6 x  4 x
6
4
2
1  x  2 y 
2
5
4

 1  x  4 y  2 x  4 y  4 xy
2
2
3
Test di verifica :
VERO o FALSO?
1°: 1  2a  3a

2 2

 1  4a  9a  4a  6a  12a
2
4
5 x  2 x
2°:
2
2
3
VERO

2
y 
 25 x  4 x  y  20 x  10 xy  4 x y
2
4
2
3
2
FALSO
IL CUBO DI UN BINOMIO
Definizione :
Il cubo di un binomio è uguale al cubo del
primo termine, più o meno il triplo prodotto
del quadrato del primo per il secondo, più il
triplo prodotto del primo per il quadrato del
secondo, più o meno il cubo del secondo.
a  b 
3
 a  3a b  3ab  b
3
2
2
3
Infatti, moltiplicando per se stesso tre volte
a  b a  b a  b 
si ha
 a  b   a  b  
2


 a  2ab  b  a  b  
2
2
ossia :
 a  a b  2a b  2ab  ab  b
3
2
2
2
2
3
e sommando i monomi simili si ha:
 a  3a b  3ab  b
3
2
2
3
Esempi:
2a  3b
3
 8a  36a b  54ab  27b
3
x  3 y 
3
m
2

3
2
2
3
 x  9 x y  27 xy  27 y
3
2
2
3
 n  m  3m n  3m n  n
6
4
2
2
3
Esempi (continua):
3a  b 
3

 3a   3  3a   b  3  3a  b  b 
3
2
2
3
 27a  3  9a  b  3  3a  b  b 
3
2
2
 27 a  27 a b  9 ab  b
3
2
2
3
3
Test di verifica:
VERO o FALSO ?
2m  3
VERO
 8 m  36 m  54 m  27
3
3
2
1  a   1  3a  3a  a
2
3
3
FALSO
3
1 

27 2 9 2 1 3
3
 3 x  y   27 x  x y  xy  y
2 
2
4
8

VERO
IL CUBO DI UN TRINOMIO
a  b  c 
3

 a  b  c  3a b  3a c  3ab 
3
3
3
2
2
 3b c  3ac  3bc  6abc.
2
2
2
2
Definizione:
Il cubo di un polinomio è dato dal polinomio
che ha per termini:
1°) i cubi di tutti i termini;
2°) i tripli prodotti dei quadrati di ciascuno dei
termini per ognuno degli altri;
3°) i sestupli dei prodotti a tre a tre.
Esempio:
2a  3b  1
3
 2a    3b    1 
3
3
3
 3 2 a   3b   32 a   1 
2
2
 3 3b   2a   3 3b   1 
2
2
Segue esempio:
 3 1  2a   3 1  3b  
2
2
 6  2a  3b 1 
 8 a  27 b  1  36 a b  12a 
3
3
2
 54 ab  9b  6 a  9b  36 ab
2
2
2
LA POTENZA DI UN BINOMIO (TARTAGLIA)
Definizione:
Lo sviluppo di a b n , con n intero e
positivo, è un polinomio di n-esimo grado
rispetto ad a e b, decrescente rispetto ad a e
crescente rispetto a b, i cui monomi hanno per
coefficienti i valori che si ottengono nel triangolo
di Tartaglia, presi sulla n-esima riga
e con i segni tutti positivi se si tratta di somma,
alterni se si ha una differenza .
Quando è usato?
E’ usato per calcolare potenze di
espressioni binomie del tipo:
4
a  b  ;
2 x  1 ;
6
x  2 
x  y  ;
;
5
n
La storia.
Niccolò Fontana (Brescia1500-Venezia1557),
matematico
italiano.
Fontana
venne
soprannominato “Tartaglia” per via della
balbuzie che lo colse da quando, nel 1512,
ancora ragazzo, venne ferito al viso da un
soldato francese durante l’invasione della sua
città natale.
(Continua)
(continua):
Fu autodidatta ed esercitò sempre altre
professioni unitamente all’insegnamento .
Scrisse, tra le altre cose, trattati di balistica e
fu uno degli scopritori della soluzione
dell’equazione di terzo grado .Tartaglia è
ricordato soprattutto per aver formulato la
regola algebrica conosciuta come “triangolo di
Tartaglia”.
Triangolo di Tartaglia
x  y 
4

1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 ..
..
..
.. ..
1
Esempi:
a  b 
4
 a  4 a b  6 a b  4 ab  b
4
3
(2x – 1)
2 2
3
4
5
=
 2 x   52 x   102 x   102 x   52 x   1 
5
4
3
2
 32 x  5  16 x  10  8 x  10  4 x  5  2 x  1 
5
4
3
2
 32 x  80 x  80 x  40 x  10 x  1
5
4
3
2
Altri Esempi
x  2
6

 x  6  x  2  15  x  2  20  x  2 
6
5
4
2
3
3
 15  x  2  6  x  2  2 
2
4
5
6
 x  12 x  80 x  160 x  240 x  192 x  64
6
5
4
3
2
Test di verifica:
VERO o FALSO ?
1  a 
4
 1  4a  6 a  4a  a
2
3
4
FALSO
a  1
4
x  y 
5
 a  4a  6 a  4a  1
4
3
2
VERO

 x  5 x y  10 x y  10 x y  5 xy  y
5
4
3 2
2 3
4
VERO
5
FINE
.