Fondamenti di Analisi Matematica e riferimenti storici
Progetto di attività didattica
Serena Cenatiempo
classe di abilitazione A049
Le domande dei numeri primi e le risposte della matematica:
una sfida aperta da 23 secoli
Classe a cui è rivolta l’attività:
2◦ anno del Liceo Scientifico
Periodo dell’anno scolastico:
secondo semestre
Tempo previsto per l’attuazione:
12h di lezione
Motivazioni alla base della sceltà dell’attività
Le recenti indicazioni nazionali del MIUR pongono come obiettivo dell’insegnamento della matematica
nei licei – con particolare riferimento al liceo scientifico – la conoscenza della metodologia propria della
disciplina, sia dal punto di vista della comprensione dei procedimenti argomentativi e dimostrativi,
che della padronanza del linguaggio logico-formale.
Nel primo biennio del liceo gli aspetti metodologici della matematica sono introdotti in particolare in ambito geometrico, con la presentazione assiomatica della geometria euclidea nel piano. Per
quanto riguarda l’aritmetica e l’algebra i programmi ministeriali prevedono l’acquisizione delle abilità di calcolo letterale
√ e delle operazioni con i polinomi. Il teorema di Pitagora e la dimostrazione
dell’irrazionalità di 2 sono gli unici teoremi di algebra previsti – solitamente – nel biennio del liceo1 .
Questo progetto didattico si pone l’obiettivo di presentare i numeri primi e le domande che hanno
suscitato in matematica, in un’esposizione che – seppur adattata alle conoscenze di ragazzi di un secondo liceo scientifico – preservi il rigore della disciplina, offrendo spunti di riflessione metodologica. Lo
studio dei numeri primi porta con sé problemi aperti estremamente interessanti, che partono nel 300
a.C. e arrivano fino ad oggi. Nonostante al primo biennio sia possibile solo una trattazione qualitativa
di questi problemi, la loro presentazione permette di cogliere, sotto varie sfumature, cosa voglia dire
fare matematica2 .
Dal punto di vista interdisciplinare la teoria dei numeri primi presenta legami con le scienze, con
l’informatica, con le applicazioni quotidiane. Può essere questa l’occasione per una discussione in
classe sull’utilità della matematica (e della scienza in generale) e sul fatto che il porsi problemi del
tutto astratti, possa avere ripercussioni inaspettate sul piano pratico.
L’attività didattica potrà essere sviluppata lungo buona parte del secondo semestre, in parallelo
alle ore di geometria e di aritmetica – per un’ora a settimana – oppure come un unico nucleo didattico
alla fine del secondo semestre.
1
Si noti inoltre che il teorema di Pitagora viene presentato con un approccio geometrico, e non dal punto di vista
algebrico. Tutto questo rafforza nei ragazzi l’idea che la geometria consista in dimostrazioni e l’aritmetica in computazioni.
2
Si potrebbe obiettare che lo stesso argomento, proposto in una classe più avanzata, permetterebbe una trattazione
più rigorosa. Tuttavia il programma del triennio risulterebbe ulteriormente appesantito, a scapito della qualità della
didattica. Soprattutto il percorso sui numeri primi risulta estremamente formativo per gli studenti del secondo anno,
perché offre, ad esempio, lo spunto per interrogarsi sull’importanza di una dimostrazione e capire la distinzione tra una
congettura, una verifica al calcolatore e una dimostrazione.
1
Finalità didattiche ed educative dell’attività
- Presentare i concetti di divisibilità di un numero e di numero primo con un linguaggio formale più
avanzato di quello utilizzato nelle scuole medie inferiori. L’obiettivo didattico è che i ragazzi iniziano ad acquisire familiarità con il linguaggio della matematica già a partire dal secondo anno del liceo.
- Potenziare la capacità di ragionamento logico, attraverso la presentazione dei teoremi sull’infinità
dei numeri primi e sulla fattorizzazione in numeri primi.
- Mostrare che fare matematica non vuol dire solo acquisire abilità di calcolo ma porsi un problema
e provare a risolverlo con un metodo logico–deduttivo.
- Trasmettere ai ragazzi la differenza tra fare un’affermazione che sembra ragionevole e dimostrare
matematicamente un’affermazione.
- Offrire una visione, anche se qualitativa, delle sfide della matematica moderna.
Prerequisiti
-
Concetto intuitivo dell’insieme N dei numeri naturali3 .
Operazioni elementari con numeri naturali.
Algoritmo euclideo delle divisioni successive4 .
Concetto di funzione5 .
Breve sintesi dell’attività
L’attività è articolata secondo quattro nuclei didattici, indicati di seguito con lettere latine, comprendenti ciascuno un certo numero di lezioni. Per ciascuna lezione, della durata di un’ora, è stato descritto
in maniera sintetica il programma della lezione e sono stati sottolineati i punti che appaiono rilevanti
da un punto di vista didattico. Per ciascun teorema previsto nell’unità didattica è stato indicato se si
ritiene possibile dimostrare il teorema o se il teorema verrà presentato solo in maniera intuitiva.
A. I numeri primi (3h)
1a h. Richiamo su divisibilità di un numero e definizione di numero primo. I ragazzi già conoscono questi concetti, ma rispetto alla presentazione fatta alle scuole medie, viene data più
attenzione al linguaggio utilizzato e alle notazioni matematiche.
Def. Il numero a ∈ N divide il numero n ∈ N se esiste k ∈ N tale che n = ka. Sarà
introdotta la notazione a|n per indicare che a divide n. Ogni numero n ha sempre
due divisori banali: 1 e se stesso.
Def. Un numero p ∈ N è primo se p > 1 e se gli unici divisori di p sono quelli banali, cioè
1 e p.
Quando l’uomo ha iniziato a interessarsi dei numeri primi? Le incisioni babilonesi sono
una prima testimonianza, ma appartiene all’antica Grecia la scoperta del fatto che esistano
numeri che non sono divisibili.
I numeri primi nella natura (es. cicli di vita delle cicale americane). Importanza dei numeri
primi: enunciato del teorema fondamentale dell’aritmetica, con esempi.
3
Il problema della costruzione rigorosa degli insiemi numerici viene affrontata
√ al terzo anno del liceo scientifico. D’altra
parte nei nuovi programmi ministeriali la dimostrazione dell’irrazionalità di 2 è prevista al biennio, per cui i ragazzi
hanno già un’idea intuitiva (anche se non rigorosa) dei numeri naturali, razionali e irrazionali algebrici. Riferendosi alla
rappresentazione decimale dei numeri reali, il docente potrà richiamare la differenza tra numeri razionali (espansione
decimale finita o infinita periodica) e irrazionali (espansione decimale infinita non periodica) e far capire ai ragazzi – con
un semplice discorso probabilistico – che esistono molti più numeri irrazionali di quelli algebrici (es. lancio√di un dado
con 10 facce, ciascuna indicante una cifra da zero a nove: quali sono le probabilità di ottenere esattamente 2?)
4
Argomento previsto nelle indicazioni nazionali per il biennio del liceo scientifico.
5
Argomento previsto nelle indicazioni nazionali per il biennio del liceo scientifico.
2
La dimostrazione del teorema fondamentale dell’aritmetica è posticipata di qualche lezione
rispetto alla sua presentazione. Si ritiene utile enunciare il teorema all’inizio dell’attività
didattica per capire l’importanza dei numeri primi e il motivo per cui sono stati fatti tanti
sforzi nella storia della matematica per una loro comprensione.
2a h. Quanti sono i numeri primi? Il teorema di Euclide sull’esistenza di infiniti numeri primi
(300 a.C.). Dimostrazione del teorema.
Il teorema dell’esistenza di infiniti numeri primi, con la sua dimostrazione tanto semplice
quanto folgorante, offre lo spunto per riflettere con i ragazzi sul concetto di dimostrazione
matematica.
3a h. Come posso ottenere tutti i numeri primi? Il crivello di Eratostene, con esempi.
Esercizio: usando il crivello di Erastotene, fare la lista dei numeri primi fino a 50.
Si potrà far notare ai ragazzi come il crivello di Eratostene sia un algoritmo semplice
ma “lento”, ovvero abbia un’alta complessità computazionale; sono noti algoritmi di
primalità più sofisticati che sono decisamente più veloci. I ragazzi al secondo anno hanno
familiarità con il concetto di algoritmo, poiché l’informatica è prevista nei programmi
ministeriali a partire dal primo biennio.
Il crivello di Eratostene risponde alla nostra domanda iniziale? No, è un metodo costruttivo
per fare la lista dei numeri primi minori di un numero dato N , ma non fornisce un modo per
ottenere tutti i numeri primi.
Il docente avrà già fatto notare ai ragazzi che è possibile indicare una lista infinita di
numeri, se conosciamo la “regola” che li lega. Esempi semplici sono i numeri pari, i
numeri dispari, le potenze di numeri naturali e cosı̀ via. Possiamo trovare una “regola”
che ci dica come trovare tutti i numeri primi?
B. La fattorizzazione in numeri primi: dimostrazione del teorema (2h)
1a h. Lemma di Gauss e secondo teorema di Euclide. Sono presentati ai ragazzi senza dimostrazione, ma supportati da esempi.
Andrà sottolineato alla classe che anche questi due teoremi, che appaiono ai ragazzi intuitivi, devono essere dimostrati (e possono essere dimostrati) a partire dalle regole di base
che definiscono i numeri naturali, che verranno presentate al terzo anno.
Dimostrazione della prima parte del teorema di fattorizzazione in numeri primi: ogni n ∈ N
con n > 1 è prodotto finito di numeri primi.
La dimostrazione di questa prima implicazione è piuttosto semplice, anche se richiede
un maggiore sforzo logico–deduttivo della dimostrazione dell’esistenza di infiniti numeri
primi. Il docente può supportare i ragazzi nella comprensione del teorema facendo alcuni
esempi numerici. Questo darà l’occasione per sottolineare che dimostrare un teorema vuol
dire assicurarsi che la proprietà che stiamo affermando valga per un qualsiasi numero
naturale, senza che ci sia il bisogno di esplicitarlo.
2a h. Dimostrazione dell’unicità della fattorizzazione in numeri primi.
E’ possibile che questa seconda parte del teorema risulti di più difficile comprensione e
richieda maggiore sforzo didattico da parte del docente.
3
C. Esiste una regolarità nei numeri primi? Verso la matematica moderna. (4h)
1a h. Congetture sui numeri primi: congettura di Goldbach e congettura dei primi gemelli.
I ragazzi possono essere invitati a cercare, tra l’elenco di numeri primi stilato nelle lezioni
precedenti, i numeri primi gemelli, cosı̀ come a verificare la congettura di Goldbach per i
numeri pari tra 4 e 100.
Problemi aperti: la congettura di Goldbach è stata verificata al computer fino agli attuali
limiti di computabilità, ma non dimostrata. É noto che i numeri primi gemelli diventano
sempre più rari ma non si è in grado di dimostrare se le coppie di primi gemelli sono finite
o infinite.
n
Congettura di Fermat sui numeri primi (XVII sec.): Tutti i numeri della forma 22 + 1 sono
primi. Nel 1732 Eulero dimostra che già per n = 5 la congettura non è vera, ma sorge una
nuova domanda: quanti sono i numeri primi della forma congetturata da Fermat? A oggi
non è noto se esistono i primi di Fermat sono finiti o infiniti6 .
2a h. Il cambio di prospettiva di Gauss: invece di chiederci quali sono i numeri primi, possiamo
capire quanti sono i numeri primi minori di un certo numero x?
Per capire la domanda posta da Gauss si fanno semplici esempi con i ragazzi, utilizzando
l’elenco dei numeri primi fino a 50 trovati con il Crivello di Eratostene. Indicando con
π(x) la funzione che associa al numero x i numeri primi minori o uguali ad x si ottiene ad
esempio: π(1) = 0, π(2) = 1, π(20) = 8 etc. Con i ragazzi disegnare π(x) per x ≤ 50. Una
volta che i ragazzi abbiano compreso il significato di quello che si sta facendo è possibile
utilizzare Mathematica per disegnare π(x) con x > 20, con il comando:
Pi[x ] := Count[ Select[Table[Prime[n], n, 10000], # < = x &],
Integer]
Sarà qui importante sottolineare ai ragazzi che il comando Prime[n] utilizza la lista di
numeri primi già noti, che – pur essendo molti – non sono tutti i numeri primi, essendo
i numeri primi infiniti.
3a h. I numeri primi sono la maggioranza dei numeri, oppure sono solo una piccola porzione
dei numeri? Congettura di Gauss sull’andamento di π(x)7 . Riflessione con i ragazzi sulla
differenza tra congettura e dimostrazione.
L’idea di Gauss può essere presentata ai ragazzi solamente in maniera qualitativa. Utilizzando le tavole ad esempio uti tavole dei numeri primi che diventano sempre più rari.
L’idea chiave da trasmettere è che per la prima volta si intuisce una regolarità dei numeri
primi.
Ipotesi di Riemann sugli zeri della funzione di Riemann; conseguenza: stima ottimale per
la funzione π(x). La prova della congettura di Riemann fa parte dell’elenco dei 23 problemi
aperti della matematica presentati da Hilbert durante il congresso internazionale dei matematici del 1900. Accenni ai contributi di Hardy, Turing, Montgomery. La prova della
congettura di Riemann è a tutt’oggi un problema ancora aperto ed è il problema centrale
della teoria dei numeri.
Questa parte viene trattata con i ragazzi evidentemente in maniera qualitativa, puntanto
alla comprensione dell’idea che esistono problemi aperti in matematica e di che tipo di
problemi si tratti.
6
Il problema dell’esistenza di infiniti primi di Fermat è un problema intrinsecamente interessante per un matematico;
d’altra parte i numeri primi di Fermat sono anche legati al problema della costruibilità con riga e compasso dei poligoni
regolari (problema che sarà stato presentato al primo anno del biennio).
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L’introduzione del logaritmo è previsto al terzo anno del liceo, per cui il docente dovrà valutare se sia o meno
opportuno presentare ai ragazzi l’intuizione di Legendre limx→∞ π(x)/f (x) = 1 con f (x) = x/ log(x). In caso afferamtivo,
potrebbe essere interessante confrontare su Mathematica l’andamento di π(x) con f (x) = x/ log(x). Per quanto riguarda
la congettura di Gauss, può essere presentata parlando di area sotteso al grafico di f (x).
4
4a h. Numeri primi e crittografia. Breve storia della crittografia. Il funzionamento del cifrario
RSA. Accenni di crittografia quantistica (verrà ripresa al quinto anno).
D. Riflessione critica sul percorso didattico e conclusioni (2h)
1a h. Visione in aula del documentario della BBC “L’enigma dei numeri primi” (ref. 3).
Il documentario contiene tutti gli elementi introdotti nell’unità didattica, raccontati in maniera divulgativa ma rigorosa, e arricchiti da note storiche sulla vita dei matematici che
hanno lavorato sui sumeri primi e interviste a matematici contemporanei. In esso viene sottolineato a più riprese – e in maniera intelligente – cosa è o cosa non è la matematica. Dal
punto di vista didattico offre l’occasione per ricapitolare le idee chiave del percorso didattico.
2a h. Riflessione in classe su quanto appreso nell’unità didattica. Eventuali dubbi, curiosità, considerazioni, approfondimenti provenienti dai ragazzi.
Metodologia didattica impiegata
L’attività didattica verrà sviluppata secondo una metodologia di tipo laboratoriale, ovvero:
- i concetti vengono introdotti ponendo domande mirate sull’argomento, volte ad analizzare il
livello di conoscenze pregresse o ad anticipare i problemi o le idee che verranno presentate dall’insegnante;
- si utilizzano diverse strategie per rendere concreti i concetti che vengono introdotti: esempi, esercizi, supporto di software informatici e materiale multimediale;
- si incoraggia il lavoro autonomo, rimandando al libro di testo, a fonti consigliate dal docente o a
ricerche autonome per la riflessione e l’approfondimento;
- si richiede alla classe un’apprendimento cosciente della disciplina, scoraggiando lo studio mnemonico e prevedendo verifiche che indaghino la comprensione degli argomenti introdotti.
Bibliografia e sitografia ragionata
Il materiale indicato – a eccezione del primo libro – è una selezione di testi o riferimenti che possono
essere consigliati ai ragazzi per l’approfondimento personale.
1. G.H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press.
Testo classico ed elementare di introduzione alla teoria dei numeri, utile per il docente.
2. Andrew Wiles, La teoria dei numeri. L’evoluzione della matematica dall’antichità a oggi, La Biblioteca di Repubblica. Libretto divulgativo tratto da un’intervista ad Andrew Wiles ascoltabile on
line http://www.youtube.com/watch?v=xC9jAyGMNjE
3. http://www.youtube.com/watch?v=vt8o6BnP5Pk. Video divulgativo della BBC sui numeri primi.
4. http://www.matematicamente.it/cimolin/teorema numeri primi.pdf
Il teorema dei numeri primi, spiegazione adatta ad un liceo.
5. http://critto.liceofoscarini.it/mate/primi.html. Sito sui numeri primi del Liceo Classico Foscarini
di Venezia. Comprende una demo sul funzionamento del metodo RSA.
6. http://www.vialattea.net/esperti/php/risposta.php?num=8731
Sito divulgativo, con la lista di congetture sui numeri primi.
7. http://utenti.quipo.it/base5/numeri/euclidalgor.htm . Descrizione dei due algoritmi di Euclide per
il calcolo del MCD (metodo delle sottrazioni successive e metodo delle divisioni successive), con
rispettive applicazioni on line, che, dati due numeri, mostrano tutti i passi dell’iterazione dei due
algoritmi.
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