HANS KAYSER
MANUALE DI ARMONICA
(§§ 29 - 38)
© 2009 Maria Franca Frola
III Quaderno
Titolo originale dell’opera: Lehrbuch der Harmonik
Note introduttive di Maria Franca Frola
Traduzione di Alessia Boldoni
Prima edizione internet a cura della redazione di Progetto Esonet - http://www.esonet.it
settembre 2009
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NOTE INTRODUTTIVE
III
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Le proporzioni armonicali in architettura e la Trinità, rispettivamente i §§ 29 e 30
del Manuale di Armonica, concludono la sottosezione I sul diagramma tonale
della sezione C, la quale si intitola ai teoremi dei gruppi tonali (si veda l’intero
indice alle pagine 9-11 delle note introduttive al primo quaderno).
Questo terzo quaderno prosegue coi §§ 31-38, formanti la II sottosezione dei teoremi dei gruppi tonali, dedicata alle classificazioni. Risulta così conclusa la sezione C.
Il quarto quaderno conterrà i §§ 39-51 della sezione D, intitolata alle selezioni. Il
quinto quaderno vedrà i §§ 52-54, che concludono la sezione D e il § 55, il solo
della sezione E, a carattere storico.
In queste note introduttive al terzo quaderno informiamo anche su Grundriß eines
Systems der harmonikalen Wertformen (1938), quinta fatica kayseriana, che chiude la triade concettualmente unitaria formata insieme ai precedenti Der hörende
Mensch (1932) e Abhandlungen zur Ektypik harmonikaler Wertformen (1938).
Diamo anche un cenno alla sesta opera kayseriana Harmonia Plantarum (1943).
Col 29° § del Manuale le proporzioni, illustrate nel paragrafo precedente, il 28°
(si veda il secondo quaderno) assurgono ad armonia portante in architettura. Un
esempio per tutti: gli anfiteatri della Grecia antica offrono una splendida dimostrazione acustica delle conoscenze armonicali in possesso dell’epoca. Lo spettatore
seduto nella fila più alta e lontana sente parole e musica esattamente come se
fosse seduto in basso e vicino alla fonte, grazie alla inclinazione del suono e alla
installazione di risonatori proporzionalmente posizionati e accordati in diverse
tonalità. (Si veda la tavola proporzionale euritmica di Vitruvio).
Il 30° paragrafo continua ed amplia il 25°, nell’attesa di compiersi negli ultimi e
conclusivi. È un pilastro ectipico nell’arcata spirituale costruita sulle analogie sintetiche, presenti in ogni cultura. Tutte le religioni e tutte le visioni esoteriche del
mondo annettono al numero 3 un’importanza strutturale di cui non forniscono una
dimostrazione scientificamente accettabile, che esuli dall’atteggiamento fideistico.
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MARIA FRANCA FROLA
Le figure 234, 235, 236 e 237, alle quali rimandiamo, illustrano la dimostrazione
armonicale della distinzione nella uguaglianza della triplice identità dei toni scaturenti dal vertice del Lambdoma. Il concetto di trinità, comune all’oriente e all’occidente, si illumina allora di luce improvvisa indicando come l’essere umano porti
inscritta nel cuore, come valore formale, la sua provenienza divina, che la mente è
chiamata a scoprire e a definire tramite l’intelletto e la ratio.
Il diagramma tonale originario 1/4 TEx, ossia un quarto di piano tonale a indice
variabile, è il punto di partenza per ogni ulteriore costruzione.
Nei §§ dal 31° al 38° Kayser sbizzarrisce la sua creatività armonicale e la sua
immaginazione ectipica presentando nella sezione C II le più disparate classificazioni, variazioni, combinazioni, composizioni dell’1/4 TEx a diversi indici, che
conducono alle immagini sonore.
Nel § 31 vengono costruite tre variazioni elementari nei tipi triangolare, quadrato
e circolare. Nel § 32 i tre tipi vengono combinati in sistemi identici, originando
strutture di estrema bellezza. Con una combinazione sestupla l’incrocio delle equitonali partorisce la stella a sei punte (fig. 253). Unendo fra loro ad esempio le
terze e le seste o i valori di c o i valori delle triadi si ottengono le più svariate figurazioni. La figura 268 si propone di rappresentare apticamente il tema del Parsifal:
do-sol-la-mi, con il suo contrappunto do-fa-mi bemolle- la bemolle.
Il § 33 illustra le coordinate tonali circolari e costruisce i vettori; un volo ectipico
che presume di poter fornire una spiegazione al fenomeno della telepatia.
Nel § 34 è la volta delle spirali e delle curve tonali; esperimenti originali sono la
costruzione del cicloide e della sua ellissi, come prototipo delle orbite planetarie e
la delineatura della protofoglia.
Al § 35 viene analizzato nelle sue straordinarie caratteristiche il piano tonale completo (fig. 300), composto di quattro quadranti, dove fra le altre tipicità si nota
come la diagonale generatrice rappresenti il momento statico dei toni e la diagonale delle potenze di direzione il momento dinamico.
Una attenta valutazione del piano tonale (TE) aperto permette di considerare la
legge di gravitazione come concetto psichico animicamente immanente nell’essere umano e strutturalmente sotteso all’universo. Ruotando l’incrocio degli assi
centrali del piano tonale aperto, rappresentanti due volte la polarità maggiore e
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NOTE INTRODUTTIVE III
minore, la croce cristiano-occidentale si trasforma in quella greco-ortodossa, con
conseguenti differenziazioni simboliche.
Analogamente ai consueti diagrammi tonali decimali completi il § 36 tratta i diagrammi tonali logaritmici. Questi ultimi si rivelano particolarmente proficui nella
rilevazione della crescita biologica e evidenziano la possibilità per non dire la
necessità della fondazione di una matematica della forma.
Nel § 37 il piano tonale completo acquista la terza dimensione, passando dalle
coordinate piane a quelle spaziali, dal piano tonale allo spazio tonale. Il cubo tonale a indice 3 porterà la sigla TK3; il cerchio diviene sfera, l’ellissi diviene spirale,
chiocciola spaziale, mezzi raffinati per descrivere ad esempio la fisiologia dell’orecchio, il quale risulta morfologicamente strutturato secondo la legge tonale.
Il § 38 con le immagini sonore traspone ulteriormente l’aspetto acustico dell’essere nel suo ignoto correlato visivo. Oggetto della descrizione è la figura umana
esterna nelle sue due differenziazioni. Lo spazio maschile (per lunghezza di
corda) si può dividere in razioni terze, lo spazio femminile in razioni quinte. La
descrizione della figura umana con immagine sonora interiore avviene sviluppando, ossia aumentando gradatamente gli indici dopo aver composto una combinazione di tipo Ia e Id, e facendo coincidere gli assi delle generatrici nell’1/1.
Con acribia e costanza Kayser ricomincia nel Grundriß eines Systems der harmonikalen Wertformen (1938) Lineamenti di un sistema delle forme di valore armonicali a descrivere i fondamenti teorici dell’Armonica rendendo autonomamente
consultabile anche questa singola opera. I più alti concetti etici, estetici e spirituali, come quelli di divinità, libertà, immortalità, bene, bellezza, sono apriorismi
ancorati nell’essere umano, che giungono alla codificazione cosciente sotto una
qualche forma, scaturendo da profondità animiche. Il raccordo scientifico con il
regno spirituale, il ponte concreto, la struttura normativa che ad esso conduce, al
di fuori di tesi apodittiche e presunzioni dogmatiche è rappresentato dal numero
tonale, entità originaria e sintetica di numero e suono, aprioristicamente ancorata
nell’essere e spontaneamente riconoscibile. Il tono è l’elemento sensibile, appercepibile, il numero è l’elemento razionale. Il numero tonale sintetizza sentimento
e pensiero e ha significato solo se altri numeri tonali entrano in rapporto con lui.
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La difficoltà di interiorizzare questa realtà è data dallo stato di rudimentale evoluzione nel quale tuttora langue l’umanità. Il singolare connubio di anima e intelletto, di essere e valore, raggiungibile tramite, per esempio, la scoperta del rapporto
tra indice e generatore, o della dinamica reciproca tra tonalità maggiori e tonalità
minori, fornisce una chiave preziosa per il disvelamento di problematiche tuttora
fortemente misteriose.
Come è noto a tutti un brano musicale composto ad esempio in do maggiore può
essere trascritto in un’altra tonalità senza perdere nulla della sua interna struttura.
Il campo di studio dell’Armonica è l’interno ordine dei toni, la struttura della
melodia e dell’armonia, non l’apparenza esteriore del suono, ma la configurazione
interna, occulta della sua norma. Suonando una nota qualunque gli armonici superiori percorrono una sequenza intervallare fissa: unisono, ottava, quinta, ottava,
terza, dodicesima (ottava della quinta), etc. La natura a sua discrezione, sceglie
autonomamente la sequenza che il nostro orecchio riconosce, opera con un principio di selezione, che diviene norma. Questa via dal caos alla forma, dall’infinito al
limitato, dalla molteplicità all’unità, trova spiegazione tramite la simbolica armonicale.
Il Grundriß è organizzato in tre sezioni. La prima, come si è accennato, è a carattere introduttivo, la seconda enuncia i teoremi armonicali, la terza identifica le
forme di valore deducibili dai teoremi stessi e la loro interpretazione ectipica.
Per teorema s’intende la descrizione delle leggi tonali così come esse si evincono
dalla osservazione sperimentale e dalle sequenze tonali costruite tramite l’osservazione stessa. I teoremi rappresentano i singoli rapporti che il fenomeno originario
del numero tonale emanativamente produce. La sequenza dei teoremi è autocoordinata. Essi presentano carattere psicofisico. L’intento è quello di fornire una prototipicità armonicale, ossia una sistematica compilazione delle norme armonicali
originarie. I teoremi enunciati sono 49: a) Teoremi del numero tonale, 1) Teorema
della coincidenza di essere e valore, 2) Coincidenza di estensivo ed intensivo, 3)
Coincidenza di materia e spirito, 4) Coincidenza di statico e dinamico, 5)
Reciprocità di spazio e tempo, 6) Ritmo e periodicità. I primi sei pertengono al
numero tonale. Dal settimo al 23° teorema l’oggetto è dato da: b) I teoremi della
serie tonale: 7) Teorema delle direzioni, 8) Dei numeri interi, 9) I quanti, 10)
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NOTE INTRODUTTIVE III
Continuità e discontinuità, 11) Convergenza e divergenza, 12) Finito e infinito,
13) Prospettiva ed equidistanza, 14) Reciprocità di tonalità maggiore e minore,
15) Polarità in generale, 16) Logaritmica armonicale, 17) Potenza e riduzione
d’ottava, 18) Potenze d’intervallo, 19) Divisione enarmonica, 20) Indice, 21
Generatore, 22) Senario, 23) Costanza d’intervallo. I paragrafi dal 24° al 49° trattano: c) I Teoremi del gruppo tonale, 24) Teorema delle serie armonicali, 25)
Rotazioni, 26) Raggi armonicali, 27) Proporzioni, 28) Dialettica, 29)
Complementarietà, 30) Valori tonali identici, 31) Localizzazione dei valori tonali,
32) Emancipazione del valore tonale dal numero tonale, 33) Autonomizzazione
delle serie, 34) Gradi di valore, 35) Sviluppo triadico, 36) Teorema dell’1/1, 37)
Teorema dello 0/0, 38) Immagini sonore, 39) Permutazione, 40) Combinazioni, 41)
Cadenza, 42) Accordica, 43) Melodica, 44) Tono intero, 45) Consonanza e dissonanza, 46) Tolleranza, 47) Risonanza, 48) Rimanenza d’intervallo, 49) Rapporto
di indice e generatore.
Se i teoremi armonicali sono l’enunciazione, la constatazione di realtà comportamentali, le forme di valore armonicale sono spiegazioni di quei comportamenti,
dei loro rapporti e del loro significato. I valori armonicali non sono esclusivamente espressioni dei postulati della ragione pratica, quali Dio, libertà, immortalità e
dei principi etici ed estetici ad essi correlati; i valori armonicali, dice Kayser, sono
forme costruttive, che stanno non solo alla base di particolari ambiti del mondo
del dovere, ma anche di quello dell’essere, costruendo fra ambedue un collegamento inedito. Le forme di valore armonicale si differenziano dalla simbolica tradizionale, non per avere un’origine arbitraria e una interpretabilità ad libitum, ma
per il loro fondarsi sul fenomeno originario del numero tonale, il quale consiste in
un esatto collegamento fra essere e valore, natura e anima, che possiamo trasporre
in una visione spirituale tramite il nostro sapere, il nostro intelletto, la nostra
ragione, dunque attraverso chiari strumenti conoscitivi. La terza parte del
Grundriß organizza dunque l’applicazione interpretativa dei teoremi armonicali
derivandone i valori formali. Siccome una forma di valore può fondarsi su più teoremi, questi ultimi vengono indicati nel sottotitolo. Conduciamo un esempio per
tutti.
La prima forma di valore enunciata è la differenziazione; essa si basa sui teoremi
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8, 9, 10. Andiamo a leggerli.
L’ottavo teorema è quello dei numeri interi, il cui contenuto si può così riassumere: la sequenza semplice dei numeri interi con i loro reciproci è apparentemente
priva di significato e pare essere un a priori prescritto alle nostre strutture logiche.
Ma i primi sei numeri interi producono per frequenze l’accordo maggiore e per
lunghezza di corda l’accordo minore. Nell’ulteriore sviluppo gli intervalli si rimpiccioliscono, continuando tuttavia a produrre nuovi valori tonali. Al posto dell’uniforme concetto numerico abbiamo una sequenza di ben precise forme animiche,
una sequenza di forme basate sulla successione dei numeri interi. Ad una osservazione animica quest’ultima si rivela dunque essere non solo una sequenza di 1, 2,
3, 4, etc., unità di oggetti qualunque (ad esempio, contare delle mele), ma deve
essere ancorata in noi come struttura a priori significativa, caratterizzata e individualmente accentuata in ciascuna delle sue parti, altrimenti la ricezione delle
forme tonali non sarebbe possibile. Nella classe dei numeri interi l’Armonica, così
come la matematica, pone anche le cosiddette frazioni pure, ossia tutti quei numeri i cui fattori sono esprimibili attraverso numeri interi. Quindi tutti i campi delle
coordinate tonali appartengono al concetto di numeri interi.
Il nono teorema è quello dei quanti e dice che il teorema dei numeri interi è soltanto l’espressione matematica lineare di un momento discontinuo del teorema dei
quanti. Tra il numero 2 e il numero 3 si possono presumere infinite grandezze
numeriche (2,1; 2,15; 2,125 etc.) ma non è affatto possibile fare la stessa cosa fra
il 2 e il 3, quali elementi di una serie armonicale primaria, dove il valore tonale c’
(con c=1), corrispondente alla razione 2, salta indubbiamente al valore tonale g’,
corrispondente alla razione 3, sia che si soffi in un corno o si cerchi l’analogo tono
flautato su una corda di do. Questo salto è il fenomeno discontinuo, quantico,
all’interno dello sviluppo delle serie armonicali.
Il decimo teorema o della continuità e discontinuità enuncia che le discontinuità
del nono teorema stanno all’interno di una qualunque continuità, sia essa una serie
di ipertoni o solo la direzione di un determinato valore (per es.: 0/0). Il concetto
viene ulteriormente chiarito da Kayser nei teoremi dei gruppi tonali.
Avendo letto l’ottavo, il nono e il decimo teorema torniamo alla loro applicazione
nella prima delle forme di valore enunciate, ossia quella della differenziazione.
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NOTE INTRODUTTIVE III
Kayser ne esplicita l’essenza. Tra il nulla e il tutto si estende l’infinita possibilità
dei continui, delle entità ininterrotte e indistinguibili di qualunque natura. Solo
attraverso la differenziazione, attraverso il frazionamento del continuo in entità
esterne ed interne, si produce la realtà, solo attraverso questa limitazione insorge
la manifestazione, sia dell’essere, sia dei valori.
Per differenziazione s’intende comunque solo il fenomeno della discontinuità in
sé, senza i suoi accidenti. Questa forma di valore trova la sua derivazione fenomenologica sia estensivamente e dal punto di vista dell’essere nella legge naturale
della serie delle coordinate tonali, sia intensivamente e dal punto di vista del valore, nel fatto che, se sul monocordo vogliamo ascoltare gli stessi toni (valori) che la
legge naturale produce nelle serie armoniche, dobbiamo suddividere la corda esattamente secondo la stessa legge numerica discontinua. Sia il percorso fisico, sia
quello psicologico conducono alla stessa meta, in altre parole: la forma di valore
della differenziazione è presente sia in natura, sia nella nostra anima, come principio formale caratteristico a priori.
Il campo d’applicazione di questa forma di valore è straordinariamente grande e
tale che non vi è quasi nessun ambito nel quale essa non abbia un ruolo. Il primo
problema è quello del numero stesso. Non certo quello del contare le mele, quanto
il concetto di numero, la singolare realtà che l’intera matematica è costruita su
metodi del discontinuo. Fin che si restava nell’ambito dei meri numeri, ciò appariva ovvio, ma quando si vollero calcolare i fenomeni del continuo, come forza,
tempi, accelerazione, caduta, si dovette inventare il calcolo infinitesimale, illudendosi di aver trovato nel differenziale e nell’integrale una soluzione adeguata. Ma
per quale ragione lo spirito matematico si muove in discontinui? In effetti dovrebbe essere pensabile che noi avessimo la facoltà di calcolare i continui e che di
fronte al discontinuo, dovessimo inventare una sorta di calcolo infinitesimale,
naturalmente su base continua, come il calcolo differenziale si fonda sul discontinuo. Kayser ne identifica la ragione nella tendenza del nostro intelletto cognitivo
alla differenziazione. Non abbiamo altra scelta di pensare matematicamente, se
non per discontinui, perché questo modo del pensiero è presente a priori, come
forma psichica nella nostra anima.
Passando in un’altra sfera umana d’espressione vediamo il valore formale della
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differenziazione connotare la capacità comunicativa, la lingua e i suoi elementi, la
parola, la lettura, la metrica, la grammatica. Si può senz’altro sostenere che una
qualunque sequenza parlata è un continuo senza cesure e che solo dopo il suo persistere si è giunti al discontinuo delle sue parti. Ed è una realtà evidente, che solo
il discontinuo ha permesso la nascita delle civiltà. Anche negli eventi naturali è
osservabile il principio dell’articolazione, della differenziazione, ad esempio nella
teoria atomica e quantistitica. Il principio pare ancorato a priori nella struttura primaria della materia, in modo tale che venga incontro alla nostra struttura psichica,
rendendo possibile al nostro intelletto di riconoscere la discontinuità.
Come nell’esempio portato Kayser procede nella applicazione e nella valutazione
ectipica delle ulteriori forme di valore così suddivise: A. Topica armonicale, 1) La
differenziazione, 2) Il significato dei gradi, 3) Il rapporto dei gradi, 4) L’ordine dei
gradi, 5) I gradi elementari, 6) La verticale dei gradi, 7) L’orizzontale dei gradi, 8)
La dialettica dei gradi; B. I vettori armonicali, 1) Le direzioni, 2) La scelta della
direzione, 3) I rapporti di direzione, 4) L’orientamento di direzione, 5) La rotazione di direzione; C. Le inversioni armonicali, 1) L’uso del rapporto, 2) La forma
del rapporto, 3) I confini del rapporto, 4) Il completamento del rapporto, 5) La
rotazione del rapporto, 6) L’equilibrio del rapporto; D. La tettonica armonicale. 1)
La formazione dei gruppi, 2) La permutazione dei gruppi, 3) La spirale dei gruppi,
4) La limitazione dei gruppi, 5) Il collegamento dei gruppi; E. Le assiologie armonicali; a.) Le assiologie statiche, 1) I luoghi dell’essere, 2) La gerarchia dell’essere, 3) La sfera dell’essere, 4) L’interezza dell’essere, b.) Le assiologie dinamiche,
1) Il ritmo dell’essere, 2) La proporzione dell’essere, 3) La risonanza dell’essere,
4) La scelta dell’essere. c.) Le assiologie etiche, 1) L’ordinamento dell’essere, 2)
L’emancipazione dell’essere, 3) L’armonia dell’essere, 4) L’etica dell’essere; F. Le
ambivalenze armonicali, 1) Spazio e tempo, 2) Mondo esterno - mondo interno, 3)
Materia – forma, 4) Conoscenza – volontà, 5) Esistenza – vita, 6) Comunità –
individuo, 7) Unità – opposizione, 8) Finito – infinito, 9) Essere – valore.
Si è voluto riprendere qui l’intero indice del Grundriß per mostrare come tutte le
problematiche armonicali siano in quest’opera per la prima volta trattate con lucida e severa consequenzialità. I lineamenti di un sistema delle forme di valore
armonicali è un’opera teorica di filosofia dell’armonica. Poiché formula una teo9
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NOTE INTRODUTTIVE III
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ria generale, limita grandemente gli esempi esplicativi, compito demandato al
Manuale, al trattato che stiamo traducendo. Essi sono tuttavia corredati di una
serie di 29 tavole, tra le quali fanno spicco la numero 11 e la numero 14. La prima
è tratta dalla edizione del De Architectura di Vitruvio, pubblicata a Como nel
1521 (fig. 1 e 2), la seconda è tolta da Geheime Figuren der Rosenkreuzer aus
dem 16ten und 17ten Jahrhundert, pubblicato ad Altona nel 1775 (fig. 3 e 4)
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figura 2
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NOTE INTRODUTTIVE III
figura 3
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Kayser illustra queste quattro immagini (le prime due rappresentano il duomo di
Milano)all’interno del D2, ossia nel capitolo sulla permutazione dei gruppi della
tettonica armonicale. Questa forma di valore ha come base il teorema 39 o delle
permutazioni. Come già sappiamo vi sono tre tipi permutatori: il quadrato, il triangolo equilatero e il cerchio o spirale tonale, ampiamente trattati in Vom Klang der
Welt e altrove (si vedano le note introduttive al secondo quaderno di questa traduzione alle pagine 13-15).
La forma di valore della permutazione dei gruppi sostiene che ogni forma naturale
insorge da un campo materiale tramite il campo di realizzazione, ossia attraverso
la potenza o fattore della forma, che è un più alto grado di integrazione. Punto e
linea sono dunque esclusi come caratterizzanti la delimitazione. Il primo schema
formale regolare è il triangolo equilatero, seguito dal quadrato e dall’esagono. Il
pentagono e l’eptagono non permettono di formare una sequenza priva di soluzione di continuità. Il cerchio, come abbiamo già visto, è considerato come un poligono con un numero infinito di lati. Triangolo, quadrato e cerchio sono gli schemi
diagrammatici permutativi dello sviluppo di gruppo nel piano (coordinate). Nello
spazio configurazionale dell’Armonica vi è una ulteriore serie di possibilità permutatorie. Nella edizione di Vitruvio citata sopra sono presenti i due diagrammi
che seguono:
figura 5
La forma di valore della permutazione ha un ruolo basilare nella creatività archi14
MARIA FRANCA FROLA
tettonica delle epoche più diverse. Le espressioni tramandateci dal gotico parlano
infatti, ad esempio, di triangolazione e quadratura. Poiché quei triangoli e quei
quadrati erano sempre inscritti in un cerchio o ad esso circoscritti con un raggio
predeterminato, le diagonali, le corde e le secanti che ne conseguivano permettevano una quantità di figure geometriche fondanti l’interna unitarietà della costruzione. Esempi analoghi si trovano nelle incisioni su rame dell’Opus mago cabbalisticum di Georg von Welling e nel frontespizio della prima edizione di
Amsterdam delle opere di Jakob Böhme. Le centinaia di opere alchemiche, teosofiche e astrologiche del tardo medioevo e la simbologia massonica si esprimono in
schemi quadratici, triangolari e circolari.
Se interpretiamo i tipi permutatori sotto il profilo delle forme di valore armonicali
è fuor di dubbio, sostiene Kayser, che all’interno di una simbolica come quella
testé considerata, in effetti estranea all’intelletto e proveniente da un’area subconscia, espressa in immagini, assistiamo alla evidenziazione esterna di una precisa
struttura psichica primigenia. Le permutazioni primarie sono dunque M 0, presenti come aprioristico impulso delimitante sia in natura, sia nell’anima, mentre la
spirale, che ha il suo compimento artistico più alto nel capitello della colonna
ionica, trattata al D3 sempre in base al teorema 39, viene definita con una frase di
Goethe: consideriamo la tendenza a spirale come l’effettivo principio producente
la vita.
Chiudiamo qui la descrizione dei Lineamenti di un sistema delle forme di valore
armonicali con un gesto di volontà, freno necessario alla commozione della
mente, rimandando al commento all’Orphikon, l’escatologia armonicale di finito e
infinito, essere e valore.
La sesta opera kayseriana dal titolo goethiano di Harmonia plantarum (1943) è
una monografia organizzata in quattro settori: La forma della pianta, La funzione
della pianta, Le forme di valore armonicali della pianta, L’essere della pianta.
Kayser formula e dimostra dieci tesi:
1) La pianta è una creatura psicofisica (animico-naturale) il cui prototipo esterno
corrisponde ad una connotazione interna.
2) Questa connotazione corrisponde a sua volta a forme precise della nostra
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NOTE INTRODUTTIVE III
anima.
3) Lo habitus della forma della pianta ha origine in un punto centrale, la tonica,
dalla quale possono dipartirsi uno solo o due sistemi armonicali. In questa polarità
l’Armonica scorge l’origine della vita.
4) Poiché in ogni sistema armonicale la polarità si manifesta come reciprocità di
maggiore e minore, insorgono diverse possibilità di prototipi, le quali danno un’esatta morfologia delle forme originarie.
5) In conseguenza della adattabilità tellurica dell’accordo minore è possibile
rivolgere uno sguardo psichico al rapporto tra radice e fusto e risolvere il mistero
del geotropismo.
6) La forma esterna della duplicità di sistema e l’interna reciprocità di maggiore
– minore connotano l’aspetto del prototipo; la dominante come germoglio, l’asse
maggiore verticale come fusto o stelo e radici, verso l’alto e verso il basso.
Ramificazione sia nell’ambito superiore, sia in quello inferiore.
7) La rappresentazione logaritmica è la più idonea a definire la forma esteriore
della pianta; essa infatti non cresce secondo numeri tonali, dunque non secondo
impulsi materiali, bensì secondo valori tonali, ossia nello stesso modo in cui si
comporta il nostro orecchio nelle sua funzione dell’udire. La pianta cresce secondo impulsi animici. Anche la suddivisione laterale offre spiegazioni intorno alla
ramificazione, e il limite, il confine si esprime in misure spaziali inscindibili da
valori tonali.
8) Equiparando il centro generatore (1/1c = 10/10c) all’indice corrispondente del
sistema logaritmico si calcola la crescita della pianta e si interpreta il fenomeno
della limitazione che consiste in una indicizzazione aprioristica. L’embrione cresce secondo un indice già in esso presente che determina le sue dimensioni definitive.
9) Una scelta selettiva di razioni preferite (quinte, terze) spiega la nascita di differenti gruppi di forme da un’unica protoforma.
10) Le ragioni delle diverse manifestazioni esteriori della stessa pianta si spiegano
presupponendo che all’interno dello stesso indice non solo possano venir privilegiati determinati intervalli quali quarte, quinte o terze, ma anche che, esattamente
come in una composizione musicale, vengano scelti temi e motivi particolari.
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Riassumendo: Kayser sostiene che la pianta nella sua forma generale è la riproduzione di una nostra struttura animica, le cui forme sono accessibili per via armonicale sia all’intelletto, sia alla sensazione. Il processo di crescita dell’immagine
sonora della pianta è in tensione polare fra l’ambito luminoso della luce e quello
oscuro della terra. Solo quando quella tensione ha raggiunto l’equilibrio l’armonia
è compiuta. Come ogni composizione gioca intorno ad una tonalità principale,
scegliendo dai dodici semitoni solo alcune melodie, così la forza creatrice dalla
idea originaria della pianta coglie solo determinate permutazioni geometriche dell’immagine sonora armonicale, per costruire il rigoglio infinito delle più disparate
forme.
Goethe avrebbe voluto intitolare Harmonia Plantarum la sua opera
Metamorphose der Pflanzen (lettera a Knebel del luglio 1787). Kayser appropriandosi di questo titolo paga il tributo di una interpretazione armonicale alle
intuizioni scientifiche del poeta.
Quattro sono le suddivisioni morfologiche goethiane della metamorfosi delle
piante:
1) Organo primario (foglia)
2) Espansione – contrazione
3) Ritmo sestuplice: cotiledone, foglia, sepalo, petalo, stame, carpofillo.
4) Differenziazione (raffinazione).
La pianta si sviluppa attraverso una sestuplice espansione – contrazione dei succhi
di un organo di base, che è la foglia, i quali salendo verso l’alto si raffinano.
Armonicalmente la foglia è una disposizione di forme di valore, le cui unità permettono la metamorfosi sia all’interno del genere che della specie (asse della
generatrice, ramificazione come impulso delle serie tonali, logaritmica dei valori
tonali come principio limitante). Espansione e contrazione, altrimenti dette anche
inspirazione e espirazione, sono la prospettiva e l’equidistanza, i momenti centripeto e centrifugo, il maggiore e il minore. Il senario armonicale rappresenta alla
perfezione i sei stadi goethiani della formazione della pianta: 1c cotiledone, 2c’
foglia, 3g’ sepalo, 4c’’ petalo, 5e’’ stame, 6g’’ carpofillo. Il raffinarsi dei succhi
esprime la ritmica dei diversi gradi di crescita della pianta (o nodi per usare il termine goethiano) ed è rapportabile al fenomeno acustico della oscillazione della
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NOTE INTRODUTTIVE III
corda.
Il trattato sull’armonia delle piante, procedendo nell’ascolto dell’infinita melodia
del mondo vegetale estrinsecantesi in forme di struggente bellezza, contiene anche
le più disparate osservazioni teoriche, tecniche e pratiche. Riportiamo due soltanto
degli innumerevoli esempi.
Come tutti sappiamo l’aria è una mistura e non un composto di 21% di ossigeno
(O) e di 78% di azoto (N); il restante 1% è formato da acido carbonico, argon e
altri gas nobili. Senza azoto la pianta non cresce. Così come ricava il suo fabbisogno di carbonio attraverso le foglie, potrebbe procurarsi l’azoto tramite l’aria,
anziché assimilarlo per mezzo di un complicato processo di trasformazione degli
aminoacidi in proteine. L’azoto è indispensabile alla vita, ma è anche un elemento
pigro, che non si combina volontariamente. Noi viviamo in un mare di azoto che
respiriamo continuamente, senza poterne usare un solo grammo, esattamente
come il naufrago muore di sete in mezzo al mare, non potendo il suo corpo elaborare l’acqua salata.
Attraverso un’analisi armonicale è possibile almeno spiegare la ragione dell’indolenza e della incompatibilità dell’azoto con gli altri tre componenti l’accordo organico naturale: idrogeno (H), ossigeno (O) e carbonio (C). Partendo dai loro pesi e
numeri atomici avremo lo schema seguente:
Toni
Pesi atomici
Elementi
Numeri atomici
Toni
c
1
H
1
c
g
12
C
6
g
*b
14
N
7
*b
c
16
O
8
c
All’intervallo di quinta e quarta c-g-c l’azoto aggiunge un intervallo molto strano
nel sistema tonale puro, che dall’orecchio viene ancora sentito come puro nei confronti di c e di g (i controlli al monocordo lo danno molto basso, più tendente
quindi ad una consonanza piuttosto che ad una dissonanza), che però è inutilizzabile insieme agli altri valori senari, ossia se voglio introdurre il 7/1*b nei valori
tonali musicalmente utili. (l’unico modo per farlo sarebbe costruire dei valori
18
MARIA FRANCA FROLA
senari nei quali la razione 7/1*b fungesse da 1/1). Se ora registro questo 7/1*b nel b
della scala temperata e suono per esempio su un pianoforte i toni c-g-b, mi accorgo immediatamente che il b è il tono caratteristico del cosiddetto accordo di settima di dominante:
c
prima
g
dominante
b
settima
ossia quella dissonanza con la quale nella musica classica incomincia la modulazione, il passaggio in un’altra tonalità. Questa settima minore b non sta bene nell’intervallo di base c-g e si accorda con quest’ultimo solo in quanto, in qualità di
corpo estraneo, lo costringe ad una trasformazione in altri accordi. Così interpretata diviene comprensibile la pigra indolenza dell’azoto, ma contemporaneamente
anche la sua estrema importanza come uno dei quattro basilari mattoni della vita:
H C N e O.
Continuando una scelta d’esempi congruenti a quelli delle note introduttive ai
quaderni precedenti citiamo l’immagine che in Harmonia Plantarum compare a
pag. 288. Kayser cerca di rappresentare con tre immaginifici stenogrammi l’armonica dei tre regni naturali, come segue:
cristallo
pianta
animale
figura 6
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NOTE INTRODUTTIVE III
Nel cristallo si realizza l’armonica secondo le permutazioni teoriche di gruppo
partenti da 1/1 ed intorno ad esso. L’indice non vi gioca ancora nessun ruolo, mentre lo ha il generatore, ossia il principio di scelta interna di razioni privilegiate e
permutazioni precise.
Nella pianta il sistema armonicale si divide in un settore n/1 e un settore 1/n. La
polarità risultante tra luce e tenebre radica la pianta nella terra e conduce alla
nascita della vita come tensione interna primigenia ed elementare.
Nell’animale la polarità si accresce attraverso la congiunzione di due sistemi autonomi che si congiungono solo nell’1/1. Si instaura così la motilità poiché vien
meno il rapporto geotropico 1/n – n/1. Inoltre la comparsa di immagini circolari scalate del corpo dell’animale crea organi interni ed esterni e psichicamente la capacità di sentire e di “parlare” come prima rudimentale espressione di una cosciente
volitività.
Leggendo la Harmonia Plantarum si riemerge a fatica dalle profondità salubri del
regno vegetale, storditi dalla musicalità incantevole delle sue occulte melodie, che
per ora si appalesano soltanto se, muniti di un qualunque strumento musicale, ne
riproduciamo acusticamente gli accordi. Possa il nostro equipaggiamento sensoriale dall’ottica attuale, solo aptica, dopo lungo esercizio, mutarsi sinesteticamente
in una non mediata acroatica appercezione delle sinfonie dei mondi naturali terreni e celesti.
Maria Franca Frola
20
LASCIATA INTENZIONALMENTE IN BIANCO
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HANS KAYSER
MANUALE
DI ARMONICA
(§§ 29-38)
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LASCIATA INTENZIONALMENTE IN BIANCO
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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§ 29.1 Note storiche
Nel campo dell’architettura si verifica la sintesi di due momenti che vengono altrimenti a coincidere solo in pochi altri casi: funzionalità ed utilità estreme da una
parte, e una libera creatività dall’altra. Questa sintesi implica però, quanto meno
se osservata da un punto di vista esterno, una parzialità apparentemente inevitabile: l’eliminazione completa dell’aspetto temporale a favore di quello spaziale, il
che equivarrebbe a considerare la musica come il polo opposto della spazialità,
costituita esclusivamente da una unilaterale temporalità.
Alla base di questi elementi diametralmente opposti vi è forse proprio la coscienza
di quella “coincidentia oppositorum” che l’estetica è sempre riuscita a cogliere: la
consapevolezza che tra architettura e musica esiste comunque un’unità di fondo;
la definizione di “musica congelata” che sorge davanti allo spettacolo di costruzioni significative non è altro che l’espressione di questa coincidenza sentita in
profondità.
Nell’ambito di questo testo ci si deve occupare, per quanto possibile, degli sfondi
concreti di queste relazioni comuni, le quali si riveleranno risalire a dei proporzionamenti armonicali: ad un tertium comparationis cioè, che non è più solo architettura (spazio) o solo musica (tempo), ma che, grazie al fenomeno originario del
numero tonale, che in sé unifica spazio e tempo, mostra regole semplici e certe
che stanno alla base del processo creativo di entrambe queste arti.
Per discorsi più generali sull’Armonica e l’architettura, e sul valore e disvalore dei
diversi proporzionamenti, prego di leggere le pagg.257-279 del mio “H.M.” (L’uomo in ascolto-), le pagg. 140-146 in “Kl. d. W.” (-Del suono del mondo-), e le
pagg. 280-288 (“La proporzione essenziale”) nel “Grundriß” (-Compendio-), che
mi evitano inutili ripetizioni in questo luogo.
Albert Eichhorn
Tutti gli studiosi e ricercatori di Armonica si imbattono costantemente in opere
che furono notate da pochi già al tempo della loro prima comparsa, e che vennero
24
MANUALE DI ARMONICA
in seguito del tutto dimenticate. Tra le più importanti, oltre alla “Harmonikale
Symbolik” (-Simbologia armonicale-) di A.v.Thimus, sono da considerare, tra le
altre, le opere dell’architetto berlinese Albert Eichhorn: (1. “Die Akustik großer
Räume nach altgriechischer Theorie” - L’acustica dei grandi spazi secondo la teoria greco-antica -, Berlino 1888, e 2.“Der akustische Maßstab” - La misura acustica -, Berlino 1899); questi si adoperò per primo a portare dei chiarimenti sugli
antichi proporzionamenti spaziali, (un settore complesso e di cui furono tramandate solo le fonti in modo rudimentale), e di renderlo nuovamente accessibile al pensiero e alla prassi contemporanea.
Degli esiti delle ricerche di Eichhorn dobbiamo limitarci in questa sede a riportare ciò che è rilevante per il nostro tema: i proporzionamenti armonicali in
architettura.
Vitruvio
La fonte da cui Eichhorn deriva le sue conoscenze, e da cui trae le sue conclusioni
in modo autonomo, è Vitruvio.
Vitruvio, il teorico di architettura (“De architectura libri X”) che visse a Roma ai
tempi di Cesare ed Augusto, parla infatti della teoria dell’Armonica (libro V cap
IV) come di un “ramo scientifico difficile e oscuro” delle proporzioni numeriche
musicali, in particolare per coloro che non conoscono la lingua greca; egli riconosce poi indirettamente la scomparsa dell’Armonica architettonica greco-antica già
ai suoi tempi, ma sostiene comunque che l’architetto debba possedere “competenze musicali”.
La sua opera è piena di indicazioni proporzionali precise, e le sue affermazioni
armonico-musicali più specifiche, tratte in realtà da Aristosseno (il quale a sua
volta non aveva già più compreso l’antico sistema tonale pitagorico), offrono
ancora sufficiente materiale prezioso per potersi appoggiare ad esso.
Eichhorn parte dalla corda del monocordo, che definisce come la “Simmetria” (=
Tonica) = unità di misura per grandezze architettoniche e musicali. Egli suddivide
la corda “secondo il canone” (secondo lo scritto di Euclide º! ! ` º!
"
= divisione del canone, cioè del monocordo) in modo sistematico come segue:
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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figura 218
Una suddivisione successiva conduce alle razioni settime, le quali non sono più
musicali, cioè “puramente” percepibili a livello animico; anche qui dunque il
momento senario si mostra con evidenza.
Come abbiamo già appreso, la corda viene suddivisa ogni volta in due segmenti.
L’uno (qui a destra) veniva chiamato dagli antichi il “plagale”, che deriva dal dorico !!" e dallo ionico " = tocco, suono, perché questo segmento veniva
“suonato”, o meglio “pizzicato” - cosa che lo strumentista d’arco fa ancora oggi,
passando l’archetto proprio su questa e non sull’altra parte della corda.
L’altro (qui a sinistra) veniva chiamato “autentico”, da !" , che significa “il
creatore effettivo”, e cioè ciò che determina il criterio effettivo per la divisione
della corda 1/1 1/2 1/3 ecc.
La differenza tra la teoria armonica musicale e la teoria armonica architettonica
consiste secondo Eichhorn solamente nel fatto che gli architetti antichi includevano nei loro proporzionamenti entrambi i segmenti della divisione della corda,
quello plagale e quello autentico, mentre lui crede che gli antichi musici utilizzassero solo i valori proporzionali delle sezioni plagali. Comunque sia, Eichhorn
giunge attraverso la somma delle suddette divisioni allo schema finale:
26
MANUALE DI ARMONICA
figura 219
e dice. “Otteniamo così dal punto di vista acustico-architettonico - che prende
come punto di partenza delle sue ricerche non i toni ma i segmenti della
Simmetria che originano i toni - la regola fondamentale secondo la quale il criterio
da utilizzare per la progettazione di ambienti interni deve comprendere queste
divisioni, le quali corrispondono in ambito musicale agli accordi minori. (“Der
ak.M.” - La misura acustica - p. 19).
Vitruvio utilizzò questi “senari”, ossia quei numeri e segmenti comprensibili solo
attraverso la divisione del monocordo, cioè armonicalmente, per formulare i suoi
cosiddetti “Numeri proporzionali euritmici”, che furono raccolti da Eichhorn nella
tabella a pag.41 del suo “Ak.M.” (- La misura acustica -) (cfr. pagg. 33, 34 della
presente traduzione).
Il contenuto musicale-senario di questi numeri è estremamente evidente; a ciò
seguono poi, sempre nel V libro, il cap. 4: “Die Lehre von der Harmonie” (- La
teoria dell’armonia -), cioè delle proporzioni tonali musicali, il cap. 5, che tratta
dei singolari contenitori sonori (risuonatori) degli anfiteatri; Vitruvio richiede
inoltre esplicitamente (ibid) di costruire seguendo un preciso diagramma musicale
di Aristosseno, include tra i requisiti necessari ad un architetto anche delle “competenze musicali”, e aggiunge molto altro ancora; mi risulta così incomprensibile
come un’autore quale G.F.Hartlaub (“Musik und Plastik bei den Griechen in
Zeitschrift für Ästhetik und allg. Kunstwissenschaft” - Musica e plasticità dei
greci nella rivista per l’estetica e scienza dell’arte universale -, 30 vol., 1936)
possa attenersi ancora a quei pregiudizi antiquati che sostengono la non dimestichezza dei greci con le relazioni della triade, e che egli tenti inoltre, se non di
negare quanto meno di mettere in dubbio le classificazioni proporzionali determinate tonalmente, solo perché non sono state tramandate delle esplicite “ricette”
armonicali.
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
Già i primi rudimentali tentativi sul monocordo condussero subito agli intervalli,
alle triadi e agli accordi; è poi di secondaria importanza che i greci li abbiano utilizzati nella loro musica pratica o solamente suonati e cantati “orizzontalmente”.
Mi sembra dunque impossibile, in particolare dopo i precedenti riferimenti a
Thimus e ad Eichhorn, persistere ancora in tale cecità aptica.
Eichhorn non si ferma qui. Tra le sue ricerche più interessanti credo sia da considerare la riscoperta di una teoria molto particolare dei greci sulla propagazione del
suono, che viene sviluppata da Eichorn in modo dettagliato nella sua prima opera
(“Die Akustik großer Räume”) (-L’acustica dei grandi spazi-) a quanto sembra
soprattutto sulla base di alcune indicazioni di Porfirio, fornite nel suo commento
sull’Armonica di Tolomeo - un’altro documento antico passato fin’ora quasi inosservato, la cui menzione va cercata nella moderna scienza musicale con la lente
d’ingrandimento, ammesso che la si riesca a trovare.
Di questo testo è anche uscita nel frattempo una nuova edizione - cfr. § 55! - ma di
una valorizzazione del suo contenuto non mi è fin’ora giunta alcuna notizia.
Cito a questo riguardo dal mio “H.M.” (-L’uomo in ascolto-) pag. 259: “Il risultato
è sommariamente questo: mentre oggi ci si immagina la propagazione del suono
più o meno come la propagazione della luce, cioè uscente sfericamente da un centro, i greci riconoscevano due modi completamente diversi di propagazione del
suono dal suo stesso centro di eccitazione. Una propagazione orizzontale del
suono, come un’onda d’acqua, e contemporaneamente una propagazione verticale
dello stesso, dal centro verso l’alto e il basso, a forma di superficie cilindrica.
Questi due modi di propagazione, dei quali il verticale avanzava al doppio della
velocità rispetto all’orizzontale, venivano distinte con precisione attraverso le
"
" (spinger via).
espressioni !
(scattar via) e º
Per delle informazioni più dettagliate a dimostrazione della sorprendente capacità
di immedesimazione degli antichi acustici nel processo fisico del suono, e dell’altrettanto sicura capacità di simbolizzazione geometrica e matematica di questo
processo, ci si riferisca all’opera di Eichhorn.
Importanti sono le conclusioni. E queste portarono i greci a due conseguenze
applicative a cui essi si attennero rigorosamente per la costruzione dei loro teatri.
Se il teatro era all’aperto, dunque un anfiteatro, essi calcolavano esattamente l’an28
MANUALE DI ARMONICA
golo di inclinazione del suono dal suo centro di eccitazione, che risultava essere
per lo più 1 : 3. Questa era infatti esattamente la direzione del suono che permetteva anche allo spettatore seduto nelle file più in alto di sentire le parole pronunciate
o la musica cantata o suonata tanto forte quanto gli spettatori delle file più in
basso.
E non si fermarono qui. Per evitare il più possibile le eventuali dispersioni di
suono (a causa del vento, ecc.), inserivano in punti precisi e calcolati proporzionalmente delle file a sedere dei cosiddetti risonatori, cioè dei recipienti a forma di
tamburo o di botte, grandi o piccoli, realizzati in metallo oppure in argilla; questi
risonatori venivano accordati secondo tonalità precise, e venivano posizionati con
l’apertura inclinata obliquamente verso il palco, così da rimandare indietro il tono
a cui rispondevano.
Si dovrebbe comprendere quale raffinato sapere acustico tali disposizioni implicavano, e soprattutto quale continuo sperimentare, prima di arrivare così lontano!
È infatti evidente che queste teorie non furono applicate solo per amore di un’idea
fissa, ma che furono estremamente utili per l’aspetto acustico del teatro. Ne sono
la dimostrazione gli antichi anfiteatri conservatesi fino ad oggi, anche se i migliori
tra questi sono ormai solo rovine.
La seconda conseguenza applicativa riguarda meno gli esperimenti sulla direzione
del suono, quanto piuttosto le ricerche teoriche sullo sviluppo tonale.
Eichhorn ha condotto una nuova verifica di queste ricerche, in particolare nella
sua seconda opera (“Der akustische Maßstab” - La misura acustica -), ed è giunto
al risultato già visto sopra, che sostiene che “il criterio da utilizzare per la progettazione di spazi interni grandi e delle loro dimensioni fondamentali deve comprendere queste divisioni, che nella musica corrispondono ai numeri costitutivi dell’accordo minore 5, 4, 3, (per le corde = lunghezze dei segmenti)” (op.cit. pag.46).
Ci si riferisca a quest’ultima opera di Eichhorn per approfondimenti sui particolari
di pertinenza architettonica, e sullo specifico calcolo modulare necessario per questi procedimenti.
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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MANUALE DI ARMONICA
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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Nelle conclusioni delle ricerche di Eichhorn si trovano dunque da quasi mezzo
secolo moltissime indicazioni concrete per una acustica spaziale, che nascono da
riflessioni non fisiche ma tonali.
Si deve poi stabilire se le sue affermazioni abbiano un nesso logico.
E solo l’esperienza pratica lo può decidere, e cioè le proporzioni effettive degli
spazi architettonici tutt’ora esistenti, e famosi per la loro “buona acustica”.
Eichhorn cita le misure dell’Accademia di canto di Berlino, costruita a suo tempo
da Schinkel, forse l’unica tra tutte le sale di Berlino in cui fosse piacevole ascoltare musica; questa sala aveva le seguenti proporzioni:
figura 221
come si può notare, le pure proporzioni della triade, con differenze di secondaria
importanza dovute al processo edilizio.
E.Schieß : Acustica edilizia
Ernst Schieß, acustico ed esperto costruttore d’organi, è l’autore di molti dei più
begli organi della Svizzera, i cui registri furono accordati secondo gli ambienti in
cui questi organi vennero collocati; a lui si deve anche la buona acustica della sala
del conservatorio di Berna e di altre sale, ed un riferimento alla relazione originaria tra tono e spazio e le loro antiche regole tradizionali.
Schieß mi comunica quanto segue: la sala grande del nuovo conservatorio di
Berna ha queste precise dimensioni interne: lunghezza 22m, larghezza 11m, altezza 7,3m; e cioè le proporzioni 6 : 3 : 2.
Le proposte originarie, che in seguito all’inserimento della Terza avrebbero sicuramente prodotto un’acustica ancora migliore, erano:
lunghezza 28m, larghezza 11,2m, altezza 8,4m = 5 : 4 : 3 e 21,3m, 12,8m, 8,5m, =
32
MANUALE DI ARMONICA
5 : 3 : 2.
Non fu purtroppo possibile realizzare queste proposte per motivi di ordine edilizio.
Una delle migliori piccole sale della Svizzera, la saletta da musica di Zurigo, risalente agli anni ‘90, ha la stessa misura dell’accademia di canto di Berlino: 30, 12,
9m = 2 x 5 : 4 : 3.
Nonostante le proteste, questa sala venne ridotta di 2,5m, diventando così dal
punto di vista acustico sensibilmente peggiore. Anche l’aula della scuola femminile di Biel, oggi rovinata (cioè abbassata), aveva le stesse proporzioni: 17,1 : 7 : 5,3
= 5 : 4 : 3.
Il migliore salone da concerto della Svizzera, nel Casinò di Basilea, ha la misura
della Sezione aurea: 35,5 : 21 : 14,5 , ed è portata a 5 : 3 : 2 con l’assunzione di 36
: 21,7 : 14,5.
La sala per musica da camera di Basilea, oggi distrutta, aveva la misura della
Sezione aurea: 19,5 : 11 : 8,5, e deve avere avuto un’acustica straordinaria.
Poiché dunque, come ho sempre ripetutamente fatto notare (specialmente “Harm.
Pl.” - L’armonia delle piante - pag. 148 e segg.), la Sezione aurea è un problema di
Terza-Sesta, ne consegue che anche le sale costruite in base alla Sezione aurea
hanno come sfondo le proporzioni della triade.
È infatti sufficiente mettere a confronto due rettangoli (cfr. la Fig. 222), di cui il
primo ha la proporzione armonicale della Sesta (inversione della Terza) 5 : 8, ed il
secondo ha la proporzione della Sezione aurea 21 : 34, per rendersi subito conto di
come l’occhio non noti alcuna differenza, mentre l’orecchio invece, ascoltando le
relative lunghezze delle corde sul monocordo, percepisce ancora una chiara differenza tra l’impurità delle lunghezze delle corde 21 : 34, e la chiara purezza del 5 :
8.
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
figura 222
Questa è solo una piccola selezione di proporzionamenti tipicamente armonicali
con buoni risultati acustici, di cui si potrebbero dare molti altri esempi, come mi
scrive E.Schie.
La nuova sala da concerti del Gewandhaus a Lipsia misura 38 : 19 : 14,3 = 8 : 4 :
3, le sue vecchie misure erano 22,6 : 11,3 : 6,8 = 10 : 5 : 3, e si potrebbero aggiungere ancora molti altri esempi.
Ci soffermiamo così a lungo su questi fatti non senza una ragione, ma in quanto
essi sono oggi di scottante attualità.
Dopo la recente semidistruzione dell’Europa, avrà presto inizio una grossa attività
edilizia; è purtroppo diffuso ovunque il problema della pessima acustica delle
sale, e dell’ancor peggiore acustica di quasi tutte le sale radiofoniche, coi loro folli
metodi di attenuazione del suono, che spesso durante la trasmissione lasciano sentire il grattare dell’archetto o i disturbi della laringe piuttosto che la musica o la
voce stessa; ebbene, tutti coloro che percepiscono questo problema si chiederanno
perché debba continuare ad imperversare una tale trascuratezza retrograda ed aptica, che offre solo apparecchi fisici di misurazione del suono, e perché non si ritor34
MANUALE DI ARMONICA
ni finalmente a dedicarsi a quelle norme che nascono spontaneamente dalle leggi
tonali, e che si sono oltretutto affermate attraverso migliaia e migliaia di anni.
Perché questo si possa realizzare è necessario naturalmente anche un cambiamento interiore, un fattore ulteriore rispetto alla semplice convenienza e utilità: un
profondo rispetto per la segreta unità tra tono e spazio, cosa che non deve assolutamente passare in secondo piano.
I risonatori di Vitruvio
Non vorrei tralasciare in questo luogo di richiamare l’attenzione su un’interessante scoperta che Ernst Schieß fece in occasione della costruzione del nuovo organo
nella chiesa della città di Biel (Svizzera), nel 1944. Qui infatti comparvero nella
parete circolare del matroneo dei fori , dietro ai quali erano murati dei vasi di terracotta di diverse dimensioni. Proprio queste loro differenti dimensioni e la loro
regolare distribuzione nell’edificio portano ad una sola conclusione: questi vasi
sono i tanto famosi quanto famigerati (perché spesso messi in dubbio) risonatori
di Vitruvio, cioè dei rafforzatori di suono che venivano accordati secondo tonalità
precise.
Poiché alcuni di questi vasi erano già stati estratti durante un precedente restauro,
Schieß ha potuto fotografarli, ed ha gentilmente messo a mia disposizione le fotografie (cfr. Fig. 223/224).
figura 223
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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figura 224
Questa chiesa fu costruita nell’anno 1451; secondo l’architetto locale responsabile
dei lavori di ristrutturazione, questi risonatori devono essere stati inseriti secondo
diversi indizi edili già durante la costruzione della chiesa, e poiché tutte le pubblicazioni di Vitruvio sono di data posteriore, non si può trarre che una sola conclusione: nei cantieri edili gotici doveva essersi conservata ancora una tradizione di
quei risonatori di Vitruvio; questo chiarisce definitivamente l’estrema sensibilità
acustica posseduta in quell’epoca.
Questa chiesa di Biel ha tra l’altro un’acustica particolarmente buona, e comunica
un’impressione di estrema armonia nonostante evidenti irregolarità nelle sue proporzioni interne.
Il problema che si poneva essenzialmente Eichhorn era quello del buon proporzionamento degli ambienti interni in funzione della loro buona acustica.
Egli si era imbattuto nelle proporzioni armonicali greco-antiche, che, come abbiamo visto, si esprimono attraverso l’ormai a noi familiare “Senario”, cioè un principio di selezione già ancorato al sistema delle coordinate tonali (l’accordo puro
delle razioni 1 - 6 ecc.). Con queste razioni senarie dunque gli architetti antichi
stabilivano la forma costruttiva. Se il lettore di questo libro esamina con le conoscenze armonicali acquisite la “Tavola proporzionale euritmica dei templi greci
secondo Vitruvio” riportata nelle pagine precedenti e i suoi numeri proporzionali
senari (tra i quali non si ritrova alcun valore tonale!), egli non avrà più dubbi sullo
sfondo armonicale di questi numeri, e gli accadrà esattamente ciò che probabilmente accadde a Vitruvio: dopo aver scoperto come questi numeri siano “esatti”,
“accordati” ed “euritmici”, egli non avrà più bisogno di aggiungere alcun valore
tonale, in quanto questi numeri proporzionali “suonano” comunque.
È questo il punto chiave dell’incomprensione, o del rifiuto di riconoscere le norme
36
MANUALE DI ARMONICA
armonicali. Per il fatto che nelle fonti antiche non si trovino mai, o solo di rado,
delle indicazioni concrete che comprendano numeri e toni, si sostiene allora che il
momento “musicale” in tutti questi campi sia, nel migliore dei casi, un epitheton
ornans, se non addirittura una fantasia. Eppure nell’antichità la dimostrazione
numerica sulle lunghezze del monocordo (Nicomaco, Giamblico, Euclide) era largamente diffusa, e veniva utilizzata persino per contollare i rapporti proporzionali.
Difficoltà delle ricerche armonicali
Poniamo il caso di un teorico dell’arte di oggi che prenda seriamente in considerazione l’affermazione di Vitruvio: “Un’architetto deve avere competenze musicali”
(I,1) , o “La teoria dell’armonia” (V, 4): poiché generalmente uno studioso d’arte
non si intende per nulla di teoria musicale, egli si riferirà ad uno specialista delle
scienze musicali per avere dei chiarimenti a riguardo, e si sentirà rispondere:
“Caro collega, anch’io di queste cose non capisco molto, questa è acustica fisica,
dovrebbe chiedere ad un fisico!”. Giunto dal fisico, dopo avergli illustrato con
molto impegno le ricerche sul monocordo, l’enarmonica, il sistema tonale greco, i
risonatori negli antichi anfiteatri ecc., egli riceverà in risposta che oggi la fisica
non si occupa più di cose così datate, e che se anche la scienza musicale non ha
competenze a riguardo, allora che egli provi piuttosto a rivolgersi ad un filologo
classico, magari uno specialista di Platone o dei Presocratici. Rassegnato, il nostro
studioso d’arte proverà anche qui, per imbattersi certamente in un gran pozzo di
scienza, completamente amusicale, e per il quale il momento musicale dell’antica
grecia è un enigma, e come tale abbandonato.
Dopo tutto questo, il teorico dell’arte tornerà a casa e cercherà di fissarsi chiaramente in testa o per iscritto più o meno ciò che segue, citando liberamente da
Lichtemberg: “L’armonica non dovrebbe avere alcuna influenza sull’architettura,
e invece ne ha (forse, presumibilmente, probabilmente)”; con ciò egli sarà giunto
ad una constatazione di fatto, ma non ad una risposta alle sue domande originali.
Questo esempio illustra a quali innumerevoli difficoltà si trovi di fronte la ricerca
armonicale, in ogni campo.
Queste difficoltà non riguardano solo gli specialisti del settore, ma sopraffanno
abbastanza spesso anche colui che conduce studi ed interessi armonicali in modo
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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autonomo. I presupposti per affrontare un lavoro del genere sono a quanto sembra
troppo universali, le conoscenze necessarie troppo estese perchè un “comune mortale” si possa dedicare a ricerche di questo tipo con la coscienza tranquilla.
Come motivo principale viene sempre addotto il fatto che oggi è impossibile possedere un sapere universale; fu ancora possibile per un Leibniz o per un Goethe,
mentre oggi anche solo una visione generale discretamente soddisfacente sembra
irraggiungibile.
Universalità
Poiché queste osservazioni toccano tanto il lettore quanto l’autore, mi si permetta
di rispondere con ciò che segue: l’“Universalità” nel senso onnicomprensivo del
termine, così come l’intendono questi oppositori, non è mai esistita. Non è difficile dimostrare che Platone, Leibniz, Goethe ecc. non conoscevano nulla di alcuni
se non di molti fatti ed eventi importanti della loro epoca, o quanto meno non li
menzionarono.
Universalità in senso profondo non significa assolutamente la conoscenza di ogni
cosa, ma la comprensione e l’esperienza dell’essenziale delle conoscenze dell’epoca. E i grandi spiriti come Leibniz e Goethe possedevano questa universalità
nella misura più ampia.
Io sono fermamente convinto che questa vera universalità sia ancora raggiungibile, fino ad un certo livello, per tutti coloro che sono interiormente aperti e ricettivi.
Faccio un esempio concreto. Il campo dei moderni “risultati e problemi delle
scienze naturali” sembra impossibile da dominare. Chi però si impegnasse due ore
al giorno per un trimestre nello studio serio di un testo molto buono, come potrebbe essere il libro omonimo di B.Bavinks, arriverebbe a conoscere l’essenziale; l’unico presupposto necessario è solo la normale formazione scolastica superiore, o
semplicemente un vivo interesse per quei problemi in sé. Ciò che vale per questo
campo vale anche per gli altri: possediamo per tutte le discipline quasi senza eccezione opere del genere, orientate cioè “universalmente”.
Scrivo ciò per tranquillizzare il mio lettore, in seguito a pluriennali esperienze personali, soprattutto esperienze proprio con uomini aperti di quel genere, che a dire
il vero ho ritrovato solo raramente nella cerchia degli esperti, ma che ho piuttosto
38
MANUALE DI ARMONICA (§§ 29-38)
incontrato all’interno di quel pubblico di profani per i quali il sapere non è solo
specializzazione o conoscenza onnicomprensiva, quanto piuttosto una via per
giungere all’essenziale, un’orientamento sul perché, percome e per quale scopo
siamo stati posti proprio come uomini su questo pianeta.
Ma torniamo all’Armonica architettonica.
“Chiavi” armonicali
La ricerca di leggi proporzionali ha sempre indotto e portato a stabilire delle
forme matematiche e geometriche precise ed isolate come “chiavi” per risolvere i
misteri della forma, e a considerarle come metro per l’intera struttura, non solo
architettonica. Se si analizzano però queste chiavi nei loro aspetti armonicali, si
ritrovano quasi sempre dei dati armonicali sul loro sfondo: il ricondurre la
“Sezione aurea” (cfr. il diagramma a pag.112) ad un problema di Terza-Sesta classifica già tutta la vasta letteratura esistente sulla Sezione aurea all’interno
dell’Armonica, come un suo caso particolare.
Il triangolo pitagorico, che fu utilizzato molto nei tempi antichi non solo per il calcolo dell’angolo, ma anche in riferimento alle proporzioni dei segmenti (p.es. il
triangolo 3 : 4 : 5 dedicato a Osiride, Oro e Iside nella camera reale della piramide
di Cheope, ecc.), si è rivelato nelle pagine precedenti, con la sua triade 3sol 4do
5mi (secondo le frequenze; secondo le lunghezze della corda risulta l’accordo
minore 3fa 4do 5la bemolle), come la vera fonte formale della scala tonale cromatica; fino a tutto il medioevo ebbe inoltre un ruolo molto importante nel campo
delle proporzioni.
Nella cosiddetta “quadratura”, cioè la sezione del cerchio in quattro o in otto parti
(“il luogo ottavo”), in base alla quale p.es. fu costruita la cattedrale di Aquisgrana,
ritroviamo in prevalenza razioni ottave.
“Il luogo ottavo è originato dal quadrato a cui viene sovrapposto un secondo quadrato, della stessa grandezza e ruotato, per usare il termine tecnico. Se al quadrato
ne viene iscritto un altro più piccolo, i cui angoli coincidono con il punto medio
dei lati del quadrato più grosso, e se questo trucco viene ripetuto ancora, allora i
lati dei quadrati aventi la stessa posizione diritta si trovano in un rapporto proporzionale di 1 : 2 : 4 (ottave), mentre quelli dei quadrati ruotati in un rapporto di 12
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MANUALE DI ARMONICA (§§ 29-38)
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: 22 : 42 ” (Th.Fischer, op.cit., pag. 12/13).
Eichhorn mette in rilievo questo fatto (“Der ak. M.” - La misura acustica -) e definisce questo proporzionamentto come la misura ottica o 4 del cantiere edile di
Strasburgo”
Nella “triangolatura”, o sezione del cerchio in tre parti, e nei triangoli inseriti in
determinate sezioni di questo, compaiono invece in prevalenza delle quinte come
momenti costitutivi.
Th.Fischer (op.cit., pag.14 e segg.) porta come riscontro musicale l’esempio delle
note iniziali della IX Sinfonia di Beethoven, e dice a riguardo: “C’è qualcuno che
sentirebbe dentro di sé in modo ridotto l’incredibile effetto della Quinta e della
Quarta discendenti, con cui inizia la nona Sinfonia, perché è a conoscenza del
fatto che Quinta e Quarta con la loro relazione di 2/3 e 3/4, le quali insieme costituiscono l’Ottava con 1/2, sono l’asse strutturale di tutto il sistema musicale? Ci porremo in seguito la questione di quanto queste cose riguardino il conscio o l’inconscio; ciò che si è discusso fino ad ora ha solo lo scopo di definire il tema in discussione in questo luogo, che è semplicemente il tentativo di dimostrare gli accordi
fondamentali delle proporzioni, come dice Goethe, e forse anche, come egli lascia
intendere, di penetrare nei loro segreti appena percepibili con il massimo rispetto.
Quanto è vero che triangolatura, quadratura, geometria del cerchio ed altri punti
che tratterò in seguito sono fondamentalmente presupposti puramente tecnicorazionali, tanto io sono certo del fatto che a partire da questi fenomeni, ma comunque al di fuori di essi, nascono delle armonie che riguardano l’anima. Questo è
dunque il tema.”.
Secondo Sulpiz-Boisserée il duomo di Colonia, opera di Gerhard v. Riles, è stato
costruito nel suo impianto secondo la misura 25, o più precisamente 50: 50 piedi
romani = larghezza della navata centrale, 3 x 50 = 150 piedi la larghezza complessiva della chiesa a cinque navate, 9 x 50 = 450 piedi la sua lunghezza. Il transetto
sta alla lunghezza totale della chiesa come 5 : 9, e questo rapporto viene chiamato
“Simmetria tedesca”, oppure “la più alta e raffinata misura fondamentale dello
strumento musicale del triangolo”. L’altezza del coro è pari alla larghezza della
chiesa. L’altezza totale sta alla lunghezza come 2 : 5 ; la stessa proporzione vale
per il livello inferiore fino alla sommità delle piccole volte, e per il livello superio40
MANUALE DI ARMONICA
re, dalla sommità delle volte fino alla croce del frontone a punta sulle finestre.
Il prof. Castle ha identificato nel duomo di S.Stefano a Vienna il numero 37 come
cifra cardinale. Larghezza della navata longitudinale 2$3$37 = 222 piedi, lunghezza della chiesa 3$3$37 = 333 piedi, altezza della torre 4$3$37 = 444 piedi; proporzione tra larghezza totale e lunghezza totale = 2 : 3 ; altezza della navata centrale
2/ $ 3$37 = 74 piedi. Quando il numero primo 37 viene moltiplicato per il numero
3
3 e i suoi moltiplicatori, esso dà dunque come risultato i prodotti 111, 222, 333,
444 ecc..
Non c’è nulla di cui stupirsi se Castle suppone che il costruttore del duomo fu un
profondo teologo e matematico, per il quale il numero chiave 37 = XXXVII aveva
anche un altro valore simbolico elevato: nella sua grafia romana, il triplice segno a
croce X, cioè la Trinità, si associa infatti al mistico 7 dei sette giorni della creazione! Come si può notare, qui gioca il ruolo essenziale un presunto numero chiave,
il quale, come il metro, il piede, ecc., non ha assolutamente bisogno di essere sempre di natura armonicale, ma che è collegato sempre a razioni tipicamente armonicali come 3, 9, 5, 2/3 ecc.: cioè una importante misura fondamentale, simbolica o
naturale (= “la giusta misura fondamentale”), da cui poi, attraverso proporzionamenti armonicali, l’estrema molteplicità delle altre forme si diffonde a ventaglio,
fin nei suoi minimi particolari.
E.Mössel
La “Geometria del cerchio” di Ernst Mössel è un tentativo imponente e dotato di
un’ampia documentazione dimostrativa di ricondurre tutte le arti creative alle
sezioni regolari del cerchio 4, 5, 6, 7, 8, 10 e 12, e alle loro forme geometriche; in
esso troviamo una grande quantità di razionamenti e proporzionamenti tipicamente armonicali, in particolare nella sua opera principale: “Vom Geheimnis der Form
und Urform des Seins” (- Del segreto della forma e del modello dell’essere -),
1938; nei discorsi introduttivi del libro, belli e disseminati di pensieri profondi,
nell’analisi armonicale del Triangolo 3: 4 : 5 , pag.430, ed anche in una singolare
visione contenuta in un precedente libro di Mössel: “Die Proportionen in Antike
und Mittelalter” (- Le proporzioni nell’antichità e nel medioevo -), 1926, pag.117
e segg., si bussa in modo molto persuasivo alle porte armonicali, che però non
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
vengono aperte; basandosi appunto sulle ricerche di Mössel si pone il problema
dell’effettivo fondamento di questa geometria del cerchio: con gli argomenti
espressamente utilizzati da Mössel, cioè che l’essenziale sia non il numero (aritmetica) ma la forma (geometria), si giunge vicino all’evidente trasformabilità del
numero in segmento e viceversa, che agli antichi era nota da sempre.
È anche vero solo in parte che le proporzioni geometriche siano irrazionali
(“V.Geheimnis d.F.” - Del segreto della forma - pag. 47). Esistono moltissimi segmenti e proporzioni razionali tra i punti in tutta la geometria, ed è possibile affermare che tutte le irrazionalità sono circondate, anzi addirittura prodotte da razionalità, o che al contrario i radicandi irrazionali sono i punti d’origine delle razionalità - cosa che è possibile osservare molto bene nella formula di Thimus !
nel § 28 - con cui però solo le relazioni razionali diventano reali; e questa dialettica era ben nota ai greci.
Certamente il numero antico era forma a priori; ma bisogna vivere il concetto
della geometria in modo profondo e quasi univoco, esserne completamente pervasi come lo era Mössel, se ci si vuole fermare a ciò e accontentarsene.
La domanda cardinale è cioè: perché proprio queste sezioni del cerchio, e non
altre, erano così importanti e determinanti?
Dov’è quella sfera della nostra anima a cui esse sono ancorate, e dov’è il ponte
per il nostro intelletto che conduce fino a quella sfera?
Mössel risponderà: sono le forme geometriche come archetipo che stanno nella
nostra anima come forme a priori; questo mi basta, non ho bisogno e non voglio
sapere altro.
Di ciò non si accontenta però un architetto accorto e intimamente dedito all’intero
complesso di domande sul proporzionamento come Th.Fischer.: “Se tutti i discorsi
sulle proporzioni vogliono avere un senso, allora bisognerà trovare un ponte tra
questa lettura dei segmenti e l’impressione immaginifica dello spazio o del corpo.
E se sposto questo ponte a livello dell’inconscio, questo non può essere considerato fuori dal normale proprio nella nostra epoca junghiana.”.
Testimoni più antichi e non meno importanti sostengono questa tesi: Leibniz dice
della musica, tanto per riprendere il parallelo: “Musica est exercitium arithmeticum occultum nescientis se numerare animi”, in italiano: “La musica è un segreto
42
MANUALE DI ARMONICA
esercizio aritmetico dell’anima, che non è cosciente del suo operare con dei numeri!” (Th.Fischer, op.cit. pag.80/81).
Sono completamente fuorvianti i continui tentativi di Mössel di screditare le indicazioni di Vitruvio sul proporzionamento delle costruzioni antiche secondo la triade (3 : 5 : 8), che invece sono molto chiari, con l’argomento che questo sia solo un
“sostituto” delle vere proporzioni irrazionali delle sezioni del cerchio, in particolare quelle della Sezione aurea.
Abbiamo visto sopra come quest’ultima si avvicini di molto all’accordo di TerzaSesta. E proprio per questo motivo la Terza-Sesta non è un “surrogato” della
Sezione aurea, ma il contrario: il fantasma della “Sezione aurea” casualmente
quasi coincidente con la triade 3 : 5 : 8 deve essere sostituito con la realtà psicofisica della triade; in questo modo la proporzione irrazionale puramente geometrica
della Sezione aurea acquista nel suo significato visivo reale la sua “razionalità”, la
sua comprensibilità; ossia solo attraverso la consapevolezza che essa sia quasi
identica ad una forma animica che sta in noi, cioè la proporzione della triade.
E come il nostro orecchio desidera ascoltare questa triade e in essa trova diletto,
così il nostro occhio vuole vedere le proporzioni della triade (trasposizione dell’uditivo in visivo).
Th. Fischer stesso tocca l’Armonica solo ai margini, nel punto citato sopra e in
particolare nella seconda relazione del suo libretto; ma le sue visioni penetrano nel
cuore del problema: nell’inconscio ci deve essere un denominatore comune nascosto per numero, forma e tono; solo quando saremo arrivati a questo punto potremo
sperare di fondare una “teoria architettonica” affine alla teoria musicale; proprio a
quest’idea si rivolge, come è noto, anche l’intera opera architettonica di
Th.Fischer, in particolare nelle sue costruzioni di Stoccarda.
Questo denominatore comune non è altro che quello armonicale.
Se nelle proporzioni fondamentali dell’architettura classica, romanica e gotica 1 :
1, 1 : 2 fino a 1 : 6 e le sue varianti 2 : 3, 3 : 4 ecc., la nostra anima riconosce quegli intervalli puri, quegli accordi e quegli intervalli pieni spontaneamente, attraverso l’ orecchio, come “esatti”, e vive il loro uscire come toni e proporzioni tonali in modo conforme al loro valore, allora tutto ciò che può essere udito ed ascoltato è solo la secondaria appercezione di una struttura formale primaria presente nel
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
profondo dell’inconscio; e questa struttura fondamentale si rivela al nostro livello
visivo-ottico in un altro modo chiaro, viene sinottizzata.
A ciò si aggiunge, come abbiamo visto nel § 21, e come vedremo nel § 38a 1 , §
41,4 e § 55,8, la fertilità del canone di divisione armonicale per le misurazioni
razionali dei segmenti, cioè l’utilità tecnico-pratica dell’Armonica geometrica per
i tecnici dei cantieri edili antichi (cfr. il mio lavoro su Villard negli “H.S.” - Studi
armonicali -, quaderno I ; ed. Occident, Zurigo, 1946, il quale, secondo me, con la
dimostrazione di un “Canone di divisione armonicale” ancora indubbiamente esistente nel medioevo mette a disposizione una chiave proporzionale, che innanzitutto grazie alla sua multilateralità permette effettivamente una più estesa possibilità d’impiego rispetto alle precedenti geometria del cerchio, Sezione aurea, /4 =
triangoli, ecc., e in secondo luogo, grazie ai numeri tonali sullo sfondo, rende
possibile un significato psico-simbolico che tutte le altre non fornivano).
La dignità dell’accordo sonoro puro e delle proporzioni senarie da cui è circondato, con rare inclusioni del mistico “sette” ed altri proporzionamenti eccezionali,
aveva per gli antichi greci, oltre a quella animica, anche una pregnanza “umana”
molto concreta.
In Vitruvio (IV, 1, 6 e 7) si trova questo bel passo: “Quando essi (gli antichi greci)
ebbero scoperto che il piede corrisponde ad un sesto dell’altezza di un uomo, essi
applicarono questa proporzione anche alla colonna, e presero lo spessore del fusto
della colonna, che considerarono come il suo piede, sei volte per ottenere l’altezza, incluso il capitello. Così, fin dall’inizio la colonna nel tempio dorico rappresentò la proporzione, la solidità e l’eleganza del corpo maschile. Vollero poi
costruire il tempio di Diana, e nel tentativo di creare un nuovo genere, pur rispettando le stesse proporzioni e tenendo come unità di misura l’impronta del piede,
conferirono alle colonne l’esilità della figura femminile, e stabilirono che per
essere più slanciate esse dovessero avere il diametro equivalente ad un ottavo dell’altezza.”
Io non considero tutto ciò, come sostiene invece L.Curtius (“Die antike Kunst” L’arte antica -, vol.II, 1, pag.124), “una favola che si rifà all’estetica filosofica”,
ma una tradizione antica e ancora nota a Vitruvio, la quale riconduce davvero
tutto, anche la forma dell’uomo, ad un proporzionamento psicofisico universale.
44
MANUALE DI ARMONICA
Nel § 38 verrà dimostrato che anche il corpo umano presenta rapporti armonicali.
§ 29,2 Oggi
Dopo essersi occupati a sufficienza di aridi dati storici, si vuole ora finalmente
costruire in prima persona!
Cominciamo innanzitutto seguendo la cosiddetta “proporzione armonica”, come
l’abbiamo sviluppata nel § 24a,1.
Poiché in ogni proporzione il prodotto dei termini interni ed esterni è uguale, ne
consegue l’uguaglianza delle superfici dei rettangoli corrispondenti.
figura 225
Nella proporzione armonicale riportata sopra, AC : CB = AD : DB (2 : 1 = 6 : 3)
sarà dunque AD $ BC = AC $ DB. Poiché geometricamente il prodotto di due segmenti dà un rettangolo, abbiamo qui due diversi rettangoli in posizione caratteristica (Fig. 226).
Troviamo AD $ BC nel rettangolo A D s t e C B y z.
Troviamo AC $ DB nel rettangolo A C w x e B D u v.
figura 226
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
figura 227
Come si può vedere, dagli armonicali : 1 c 2 c 3 f 6 f (o da 1 = 6/6 1/6 g 2/6 g 3/6
c 6/6 c) si ricava una proiezione architettonica ben strutturata internamente.
Ancora un altro esempio dagli armonicali:
2 c 3 f 10 as 15 des
In questa proporzione armonica (cfr. Fig. 227!)
AD : AC = BD : BC
15 : 10 = 3 : 2
46
MANUALE DI ARMONICA
I relativi rettangoli AD $ BC e AC $ BD sono disegnati sopra la base divisa armonicamente, analogamente alla Fig. 226.
Naturalmente il lettore deve immaginarsi questa proiezione tridimensionalmente
(fisicamente), e disegnarla da solo in prospettiva; egli opererà correttamente se si
eserciterà in molte proiezioni di questo tipo, secondo le indicazioni del § 24a, 1.
Osservando questi ed altri progetti simili ci si chiederà: una “fabbrica“?
Ebbene, perché non una fabbrica?
Quando la follia di questa guerrasarà alla fine, e le fabbriche costruiranno ancora
cose che aiutano l’uomo e non lo rovinano, niente vieterà di dare a quegli edifici
una misura “umana”.
Proseguiamo ancora oltre: disegnamo una pianta
delle coordinate tonali con indice 5 analoga ai
modelli del § 23 b. Nella Fig. 228 sono disegnate solo le razioni esterne per motivi di
chiarezza.
Se ci si immagina un edificio equivalente a
questa pianta, qualcosa come un grattacielo, allora si riconoscerà l’esistenza di possibilità architettoniche completamente
nuove, che hanno inoltre come conseguenza anche degli altrettanto nuovi
benefici pratici - in questo caso p.es.
uno sfruttamento ottimale della luce
attraverso il preciso orientamento
dell’angolo 1/6 f ,,, verso sud, tra gli
altri.
Se proviamo a dare alla proporzione continua “aritmetica” e “armonica” un’espressione architettonica, otteniamo più o meno le Figg.
229 e 230.
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figura 228
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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Avremmo qui due aspetti tipici delle guglie che si trovano ovunque, nelle città nordiche in particolare.
Questi esempi, che vogliono solo illustrare una
trasformazione dei proporzionamenti armonicali
in forme ottico-spaziali, portano al cuore della
questione: l’occhio ha anche una risonanza
a determinate figure spaziali, in particolar
modo a discontinui armonicali?
figura 229
figura 230
48
MANUALE DI ARMONICA
Th.Fischer porta un esempio interessante (Fig. 231) nei suoi “2 Vorträge über
Proportionen” - Due relazioni sulle proporzioni - e scrive a riguardo (loc.cit., pag.
86): “All’intervallo della musica può essere paragonata come mezzo espressivo in
architettura la proporzione tra altezza e larghezza.
Vorrei tentare di dimostrare graficamente, senza intenzioni di suggestione, che il
rettangolo, la più semplice di tutte le figure, può contenere una sensazione: poniamo alla destra di un quadrato tre rettangoli coi numeri indice dell’accordo di Terza
maggiore, e alla sinistra del quadrato altri tre rettangoli coi numeri indice uguali
ma reciproci, che poi corrispondono all’accordo di Terza minore.
Sostengo questo anche per la non irrilevante ragione che è possibile distinguere
tra proporzioni dei rettangoli piacevoli e meno piacevoli, cioè in consonanze e dissonanze - più sfumate di quanto non sia nella musica, concesso! Ma concesso solo
tenendo presente ciò che si è detto sull’esercitazione che si sta svolgendo in questo luogo: un esercizio che riguarda l’individuo, la generazione, il popolo.
figura 231
In campo musicale è la caratteristica della dissonanza che non permette alla musica di sostare, ma che la spinge sempre più avanti, fino alla sua risoluzione.
Possiamo osservare lo stesso fenomeno nei rettangoli.
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
figura 232
50
MANUALE DI ARMONICA
Rettangoli con proporzioni incerte, come 8/15, 6/13, 9/10 o 12/13, invitano, per così
dire, ad un complemento o alla divisione in senso proprio; è uguale se inducono
alla divisione in due rettangoli di proporzioni chiare ed armonizzanti, o alla risoluzione in un sistema di rettangoli, in cui si segua il principio dell’analogia.
Se invece il rettangolo della superficie di una parete o del perimetro di una certa
stanza ha già di per sé delle proporzioni certe, allora non si sentirà la necessità di
alcuna divisione, il che non significa che per questo motivo essa sia proibita.
Lo psicologo Fechner tentò 50 anni or sono di fare una statistica, misurando il formato dei quadri nelle grandi gallerie; arrivò a scoprire dei valori medi, e cioè la
proporzione 4/5 per i formati verticali, e 3/4 per i formati orizzontali.” Se portiamo
avanti questa idea di Th.Fischer e la convertiamo in proporzioni di intervalli, che
sono costanti ma i cui elementi vengono comunque variati, come succede ovunque in architettura, allora otteniamo per l’Ottava, la Quinta e la Terza le possibilità
della Fig. 232 (qui naturalmente ne si mostra solo una scelta).
figura 233
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
In queste tre serie di combinazioni di intervalli, che con un minimo di fantasia ci
si può facilmente immaginare come primi profili di edifici, giardini, mobili ed
altre cose, non è importante solo la grande variabilità degli elementi tra di loro,
ma soprattutto il paragone tra i tre tipi di serie (Ottava, Quinta, Terza) l’uno con
l’altro.
Visto fisiognomicamente nel suo complesso, si potrebbe affermare che il tipo
della Quinta al centro con le sue varianti abbia in sé qualcosa di equilibrato rispetto agli altri due, mentre il primo tipo dell’Ottava è pretenzioso, e l’ultimo tipo
della Terza quasi grazioso, accattivante.
Questa è comunque una questione di sensibilità, ed ogni tipologia susciterà in
ogni singolo osservatore un’impressione diversa.
Ma la cosa decisiva è che proprio questi tre tipi suscitino diverse sensazioni, cioè
che, detto concretamente, un complesso architettonico basato sulla forma edilizia
dell’“Ottava” abbia altre caratteristiche rispetto ad uno basato sulla forma edilizia
della “Quinta” o della “Terza”.
E in quest’ultima osservazione sta appunto una eventuale forma edilizia “normata”, il cui significato è identico al senso della “giusta misura fondamentale” degli
antichi costruttori delle cattedrali, o della proporzione fondamentale di tutti templi
greci.
Possiamo valerci di un punto d’appoggio ancor più preciso per per una futura teoria armonicale delle proporzioni edilizie se prendiamo le prime razioni senarie,
cioè l’indice 6 delle coordinate tonali, come proporzioni, e le disegnamo come nel
diagramma tonale (cfr. Fig. 233).
Vediamo qui innanzitutto che tutte le forme posizionate “verticalmente” al di
sopra della diagonale del tono originario sono reciproche rispetto alle forme posizionate “orizzontalmente” al di sotto di questa diagonale, il che in questo caso
significa che esse sono uguali per quanto riguarda il contenuto, ed hanno solo una
posizione diversa.
Poiché dunque compaiono anche qui, proprio come nei toni, delle forme identiche, p.es. i quadrati della generatrice, i rettangoli 3/1 6/2; 2/1 4/2 6/3; 3/2 6/4, che pur
avendo misure diverse hanno le stesse proporzioni, allora il numero delle figure
realmente diverse presenti all’interno di questo indice 6 si riduce a complessiva52
MANUALE DI ARMONICA
mente 12.
Se ora si prendono queste forme diverse (nella Fig. 233 disegnate in grossetto), e
si riducono ad un qualsiasi denominatore comune - così p.es. il quadrato 6/6 è
“omologo» al rettangolo 6/5 ecc. - allora si ottiene già un numero definito (12) di
forme tipologiche primarie, per mezzo delle quali è chiaramente possibile sviluppare una “Teoria di armonia architettonica”, in particolare se si prendono in considerazione anche le sue possibilità combinatorie spaziali tridimensionali.
Se oggi ci lamentiamo della mancanza di stile, ciò non dipende dal fatto che alla
nostra epoca manca il “senso dello stile” - ogni epoca ha il suo stile, anche la
nostra, e non è affatto necessario che questo si esprima prevalentemente in campo
architettonico - ma dal fatto che (per quanto riguarda l’architettura) non solo
ognuno costruisce come gli piace e come gli sembra bello, ma anche che ogni
costruzione o complesso di edifici nelle sue misure particolari è soggetto a proporzionamenti completamente arbitrari, o al massimo determinati da uno scopo preciso. Nel caso l’architetto in questione sia dotato di un talento notevole o sia davvero un artista di prim’ordine, allora egli sarà in grado di realizzare opere eccellenti
anche oggi. Ma per i mille altri che, pur avendo buone intenzioni, mancano però
di idee personali e si aiutano in qualche modo con delle imitazioni, per loro un filo
conduttore sarebbe estremamente auspicabile. Non solo darebbe loro una “nota
personale”, ma conferirebbe anche ai loro piani e progetti una certa uniformità,
che conterrebbe appunto all’interno di norme determinate il caotico disorientamento stilistico attuale.
Posso addirittura immaginarmi che proprio l’architetto naturalmente dotato stabilisca da solo tali norme nei suoi progetti, e credo che non si troverebbe male assumendo come tali dei proporzionamenti armonicali, soprattutto tenendo conto di
quanto riportato e sviluppato in questo §, sia per ciò che concerne l’ “ottica” quanto soprattutto l’“acustica” delle sue costruzioni.
Costruire è qualcosa di meraviglioso! Non utilizziamo già il semplice termine
come espressione del fare, del creare per eccellenza?
Ad un capo di questo concetto sta il dominio, la strutturazione della materia grezza al fine della delimitazione dello spazio, della protezione dell’uomo per la sua
vita, la sua coscienza, il suo lavoro.
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§ 29 PROPORZIONI ARMONICALI IN ARCHITETTURA
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Dall’altro capo sta la quasi sconfinata possibilità di creazione artistica, e cioè, se a
questo si aggiunge il concetto dell’“architetto d’interni”, la comprensione unitaria
di tutte le arti creative e le arti applicate.
A questo va ad aggiungersi l’ordine ben strutturato secondo misura e numero, unicamente in base al quale un’opera architettonica può essere realizzata, un’assolutezza che ha probabilmente fornito il contributo essenziale alla comprensione
cosciente di numero e forma geometrica!
§ 29 a Bibliografia
Oltre alle fonti citate nel testo di questo capitolo, tra cui si consiglia in particolare
il libretto di Th.Fischer come prima introduzione all’argomento, si vogliono citare, per coloro i quali desiderano seguire le tracce dei proporzionamenti armonicali,
anche i seguenti autori:
Bötticher: “Tektonik der Hellenen” (-La tettonica degli elleni-), 1874; Reinhardt:
“Gesetzlichkeit der griechischen Baukunst” (-Regolarità dell’architettura greca-),
1903; Röber: “Geometrische Grundformen antiker Tempel” (-Le forme geometriche fondamentali del templi antichi-), 1854; Schadow: “Polyklet” (-Policleto -),
1866; Schulz: “Werkmaß und Zahlverhältnisse griechischer Tempel” (-Misure e
proporzioni numeriche dei templi grec -),1893; Koldewey-Puchstein: “Die griechischen Tempel in Unteritalien und Sizilien” (-I templi greci in Suditalia e Sicilia
-); Weickert: “Typen der archaischen Architektur in Griechenland und Kleinasien”
(- Una tipologia dell’architettura arcaica in Grecia ed Asia minore -); M.Theurer :
“Der griechisch-dorische Peripteraltempel. Ein Betrag zur antiken
Proportionslehre” (-Il tempio periptero dorico-greco. Un contributo alla teoria
proporzionale antica-); Semper : “Kleine Schriften” (-Piccoli scritti-); Thiersch :
“Handbuch der Achitektur” (-Manuale di architettur-) IV, 1, 1904, sulle
“Proporzioni”; Sulpice-Boisserée ed altra nuova letteratura si trova citato e discusso in Th.Fischer : “2 Vorträge über Proportionen” (-Due relazioni sulle proporzioni-), ed. Oldembourg, Monaco 1934.
Martin Strübin (Basilea), ha pubblicato sulla Rivista svizzera di Architettura (20
Settembre 1947) un saggio : “Das Villard-Diagramm, ein Schlüssel zur Bauweise
der Gotik?” (-Il Diagramma di Villard, una chiave per la forma costruttiva del
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MANUALE DI ARMONICA
Gotico?-), in cui l’autore, animato dai miei “II. Harmonikale Studie” (-II. Studi
armonicali-), analizza, tra gli altri, il duomo di Berna secondo il Canone di divisione armonicale.
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§ 30 TRINITÀ
§ 30 TRINITÀ
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§ 30 Trinità
§ 30,1 Religione, religioso
All’uomo non è dato di potersi orientare completamente negli spazi infiniti e nei
tempi eterni del mondo e del proprio io. Nonostante le sue migliori intenzioni egli
si perde spesso negli abissi della sua anima confusa, nei labirinti dei suoi pensieri
disperati e delle sue azioni più folli, se non più malvage.
Il “Numinoso” può avere un ruolo determinante nell’esistenza umana: per le creature primitive nella sua configurazione più elementare di idolo come per gli uomini più evoluti nella forma più elevata di timore di Dio.
Io credo però che l’uomo moderno diventi, debba diventare “religioso” nel
momento in cui, ad un certo punto della sua vita, egli si trova improvvisamente
davanti ad una mancanza di senso insolubile, e arrivi a superare questa insensatezza solo permettendo ai suoi pensieri e sentimenti di riscoprire che “nonostante
tutto” esiste il Bene, in seno a Dio, pur se in ultimo nascosto alla nostra logica.
Certamente ognuno ha una diversa “religiosità”; l’ “essere religioso” non ha di per
sé ancora nulla a che fare con il “concetto di Dio”, tanto che il cosiddetto ateista è
spesso più credente di molti di coloro che si definiscono cristiani o teisti, perché
affronta il problema delle cose ultime in modo estremamente serio, e dimostra già
solo in questo modo una relazione interiore con le questioni fondamentali dell’uomo.
Alla vera “Religio” appartiene però esattamente ciò che la parola significa: una
considerazione, una congiunzione con una causa prima del mondo che sia piena di
senso, e non assurda.
È mia convinzione che questa vera “Religio” non sia consegnata solo al cuore, ma
che sia accessibile anche alla ragione, e che una ricerca che abbia un’impostazione
sintetica debba occuparsi in qualche modo del problema religioso.
Dal punto di vista armonicale noi abbiamo già toccato la sfera religiosa in occasione della discussione dei due concetti di Dio (0/0 e 1/1) (§ 25).
In quell’occasione risultò che le forme armonicali, che sono forme della nostra
56
MANUALE DI ARMONICA
anima e della natura, permettono una spiegazione sufficiente per i due concetti
divini, se non addirittura, in un certo senso, una “dimostrazione di Dio”, per quanto il nostro intelletto sia in grado di comprendere.
In ciò che segue indagheremo uno dei più importanti teoremi religiosi, quello
della Trinità: vogliamo perciò prima di tutto fornire un sostegno ai dati armonicali, e poi osservare il problema dal punto di vista storico-religioso nelle successive
considerazioni ectipiche.
§ 30,2 I dati armonicali sulla Trinità
§ 30,2a
Prendiamo in esame l’inizio dello sviluppo tonale del sistema delle coordinate
tonali, il quale, come dobbiamo sempre tenere presente, non è semplicemente un
teorema scientifico (legge delle armoniche superiori), ma anche (controllo al
Monocordo!) una forma dei valori dell’essere, riconosciuta come “vera” dalla
nostra anima:
figura 234
Abbiamo qui tre valori tonali: tutti valori -c , con lo stesso carattere ma di diverse
altezze (un’ottava verso l’alto (c’) e una verso il basso (c,), con l’uscita - c nel
mezzo). Da un punto di vista numerico questa diversità si esprime nei loro quozienti 1/2 1/1 2/1, i quali però, se concepiti armonicalmente e non solo numericamente, esprimono allo stesso modo un’identità di rapporti d’ottava, sia in riferimento alle frequenze che alle lunghezze della corda.
Ci troviamo dunque davanti ad un fatto singolare: in questa triade armonicale tre
elementi sono uguali, uniformi, uniti, e contemporaneamente diversi, altri, separati. Una disgiunzione precisa potrebbe dare una definizione di questo tipo: in questa triade i singoli componenti sono diversi e uguali in base al loro valore (animicamente) (c, c c’), e invece solo diversi in base al numero (materialmente) (se si
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§ 30 TRINITÀ
prendono in considerazione solo i quozienti).
§ 30,2b
Scopriamo un’altra triade se consideriamo lo 0/0 come effettivo punto di riferimento del sistema delle coordinate tonali :
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figura 235
In un primo momento sembra che non esista alcuna differenza sia tra i valori (tre
valori tonali) generatori, che tra i numeri (i tre quozienti hanno tutti per risultato
1), se li si mette a confronto senza considerare la loro posizione all’interno del
sistema delle coordinate tonali. Se diamo però un significato autonomo a queste
tre razioni nel sistema, se cioè accordiamo al luogo in cui esse si trovano un valore proprio - cosa che come abbiamo visto dobbiamo fare, per molte ragioni già
considerate - allora la loro diversità, la loro alterità, la loro differenza starà proprio
in questo momento teorico di gruppo, in questa “localizzazione“. Anche qui
abbiamo dunque una triade di identità e disgiunzione interiore, al vertice della
gerarchia del gruppo armonicale.
§ 30,2c
Per poter comprendere completamente determinate regolarità del sistema delle
coordinate tonali (la parabola, per fare un esempio tra gli altri), dobbiamo considerare come loro presupposto le cosiddette “serie dello zero”. Anche in questo
caso giungiamo ad una triade superiore, e comunque astratta:
figura 236
58
MANUALE DI ARMONICA
In questa triade solo il valore 0/0 (= c) ha un suono per noi comprensibile, e solo se
riduciamo la Monas (1/1) all’Eidos (0/0), cosa che ci è permessa dalla idealità dei
due simboli matematici. Per le espressioni 0/1 e 1/0 non abbiamo però più nessun
termine equivalente che permetta la loro appercezione sensoriale. Anche in questo
caso però vale quanto appena detto riguardo al significato della “localizzazione”,
e vedremo ancora più tardi (§ 54.6) come questo astratto “ambito dello zero ”
possa diventare importante per la spiegazione di determinati concetti religiosi.
§ 30,2d
Se concepiamo il sistema delle coordinate tonali come una totalità, e valutiamo la
sua espressione fisiognomica sotto l’aspetto vettoriale, vedremo allora che il suo
sviluppo si concentra in tre grandi configurazioni:
figura 237
Anche qui abbiamo in un certo senso una triade a tre direzioni: una direzione
verso il campo della profondità, dell’oscurità, del concentrarsi in sé, del restringersi; una direzione verso l’alto, verso la luce, l’espandersi, il propagarsi; e nel
centro una direzione verso la “coincidentia oppositorum”, l’unione dei contrari,
del finito ed infinito che conduce all’unità. Verremo a conoscere in seguito (§ 42,3
e § 54,4) il significato di questa triade anche nei suoi effetti concreti: una triade
intesa come triplici entità che, semplicemente grazie alla loro unificazione e al
loro movimento dialettico interno, sono diverse e contemporaneamente una cosa
sola.
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§ 30 TRINITÀ
§ 30 a Ectipicità
§ 30 a,1 Della Trinità
In “Helios und Keraunos, oder Gott und Geist” (-Elio e Tuono, o Dio e Spirito-)
(Innsbruck 1924, pag. 3), un’opera di Paul Sarasin molto elabotata e ricca di materiale, l’autore pone la questione. “Come è nato il pensiero della Trinità, un’idea di
per sé del tutto inconcepibile se non addirittura assurda?”.
Sarasin risponde alla domanda seguendo le tendenze astral-mitologiche del suo
tempo, con il triplice aspetto che assumeva il sole (mattino, mezzogiorno, sera)
davanti all’uomo primitivo in cui si era finalmente destata una coscienza propria.
A partire dalla monade della stella più importante venerata come divinità, passando per la diade del mattino nascente e della sera morente (per la spiegazione ad
essa collegata della “destra” e “sinistra” si faccia riferimento all’opera di P.Sarasin
in oggetto nel § 23,b2!) e giungendo alla triade dei tre punti solari fondamentali, e
in seguito alla tetrade delle quattro regioni celesti ecc., Sarasin riconosce nello
sfondo astrale l’agente motore del mitologema monadico, diadico e in particolare
di quello triadico, che ci interessa qui.
Ma una spiegazione così superficiale e materiale per delle forme mitologiche elevate, anzi divine, mi sembra sinceramente oggi quantomeno primitivo da parte di
una mente così ricca di conoscenze come P.Sarasin.
Anche supposto che le tre posizioni fondamentali del sole al mattino, mezzogiorno e sera abbiano suscitato la venerazione esteriore ed interiore dei nostri antenati
rispettivamente verso l’oriente, il sud e l’occidente, ciò non toglie che questa
manifestazione non sia che un’altra delle molte congruenze superficiali di una
forma di valore presente nell’inconscio dell’animo umano già da allora, ossia fin
dal principio, per la quale poi la coscienza destatasi in seguito ha cercato degli
equivalenti adeguati.
Ascoltiamo prima anche il punto di vista cristiano ortodosso. Il “Kirchlichen
Handlexicon” (- Enciclopedia ecclesiastica -) cattolico, 1907, vol. I, riporta sotto il
"
lemma “Dreifaltigkeit” (Trinità): “La Trinità o Unità trina (Trinitas, !)
è il
mistero fondamentale del cristianesimo: una natura e tre persone uguali e distinte
in Dio, col nome di Padre, Figlio e Spirito Santo... Al Santissimo mistero sono
essenziali in egual misura tanto la trinità delle persone quanto l’unità dell’esse60
MANUALE DI ARMONICA
re...I Simboli ecclesiastici richiedono la fede nella Trinità come fondamento della
religione cristiana; i Santi Martiri conquistano e professano questa fede con il loro
sangue...tutto il vivere e l’agire cristiano si compie in nome della Trinità, come
dimostrano da sempre il rito del Battesimo, il segno della croce, la dossologia, le
formule conclusive delle ovazioni, le benedizioni, le formule delle preghiere
durante le funzioni eucaristiche...La Trinità è mistero in senso stretto: anche dopo
l’avvenuta rivelazione la ragione umana non può arrivare a comprendere e dimostrare questa verità solamente attraverso i suoi principi, per quanto essa possa ritenersi evoluta”.
Oltre al punto di vista cristiano delle tre persone, la Trinità compare in quasi tutti i
sistemi religiosi e filosofici dell’antichità: Osiride, Iside e Oro per gli egizi; Anu,
Bel e Ea per i babilonesi; Brahma, Vishnu e Shiwa in India; Odino, Hömir, Loki
per i popoli germanici; Giove, Posidone, Ade; Chronos, Rea, Zeus per i greci, ed
altri ancora. Consideriamo poi la dottrina del corpo-anima-spirito, che in un modo
o nell’altro è comune a quasi tutti i sistemi filosofici e teosofici, e ancora i tre
“movimenti” dialettici della logica; i più diversi principi triadici, come quello
cinese del Taiki, Ying, Yang; il finito e l’infinito dei Pitagorici, e l’“Armonia”
derivante da essi; il Kether, Chochmah, Binah della Cabala, come gli innumerevoli simboli e concetti ternari nelle speculazioni religiose mistico-naturalistiche. E
infine l’effettiva o anche solo immaginaria importanza del numero Tre, come fattore strutturante per i settori più diversi, in cui però il concetto della Trinitas come
Trinità si annacqua ed impoverisce nel semplicistico concetto puntuale di tre
unità.
Dopo tutto ciò non possono più sussistere dubbi sul fatto che nel simbolo della
Trinità si presenti una forma di valore quanto mai radicata nel modo di pensare e
di sentire dell’intera umanità. Come ci si potrebbe altrimenti spiegare che in tutti i
tempi e presso quasi tutti i popoli l’idea della Trinità sia giunta, in una forma o
nell’altra, ad una realizzazione metaforica o concettuale proprio nel campo più
importante per l’uomo, quello religioso, simbolico-speculativo e filosofico?
I giudizi sulla Trinità di per sé differiscono totalmente: lo stesso P.Sarasin inizialmente considera questo concetto come “del tutto inconcepibile”, se non “assurdo”,
e se dal lato opposto l’ortodossia cristiana parla di un “mistero fondamentale”, la
61
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§ 30 TRINITÀ
cui verità non potrà mai essere dimostrata dalla ragione umana e dai suoi principi
logici, allora tutto ciò non significa altro che una resa del nostro pensiero davanti a
questo mistero, il quale viene comunque considerato un positivum sommo per la
fede.
Di argomenti di fede si preferisce di solito discutere con propri correligiosi.
Noi armonici non possiamo però assolutamente fermarci al solo livello della fede.
Il senso e il valore dell’analisi armonicale si rivelano in modo chiaro e semplice
proprio in questo caso, in un certo senso particolarmente esposto, della Trinità: il
lettore rifletta e faccia proprio l’esempio riportato al 2a, si prenda tempo per meditare interiormente su questo esempio concreto, in cui tre valori dell’essere (dati
materiali ed animici) sono uguali e diversi; egli mediti anche sulla forma di questo
esempio, che non è per nulla arbitraria o casuale ma che segue esattamente le
leggi dello sviluppo tonale numerico-matematico e tonale-animico del fenomeno
originario del numero tonale; e osservi di conseguenza che gli elementi di questo
esempio sono ancorati alla natura e alla nostra anima, e devono perciò esistere di
fatto tanto in noi quanto al di fuori di noi - mi sembra così che si possa vedere qui
senza alcuna pretesa una prima prova della Trinità, che soddisfa l’intelletto e il
cuore.
Sarebbe però completamente errato, se non presuntuoso, credersi in qualche modo
soddisfatti da questo: “Il fantasma della trinità è finalmente chiarito, il mistero
risolto...”. Prego il lettore di far valere proprio qui una delle prime massime armonicali: cioè non considerare mai “ovvia” una spiegazione data per mezzo di analisi
armonicali. Questa spiegazione non è solo una questione intellettuale, ma è altrettanto una questione del cuore, e se “compresa” e “sentita” nel modo giusto, non
può che rifugiarsi in seno all’Acroasi, e là rimanere, come forma di valore, un
mistero della forza creatrice che tutto plasma e governa.
Il fatto che sia possibile concepire la Trinità come una forma di valore armonicale
è da considerarsi un progresso da non sottovalutare, da una parte nei confronti dei
tentativi di spiegazione più o meno insulsi azzardati fin’ora, e dall’altra parte
davanti al rifiuto di qualsiasi comprensione concettuale. Se la forma di questo
simbolo, in sé così straordinario e pregnante, e nello stesso tempo sviluppatesi in
modo così vario dal punto di vista storico, si lascia dimostrare come psicofisica62
MANUALE DI ARMONICA
mente esistente di fatto, allora essa passa dallo stato teorico in cui essa viene pensata e creduta a quello oggettivo dell’evidenza dell’essere, e questa certezza ontologica è a mio giudizio il risultato più prezioso dell’analisi armonicale.
§ 30 a,2 L’evoluzione gerarchica delle divinità
P.Sarasin porta, nella sua opera citata sopra: “Elio e Tuono o Dio e lo Spirito”,
moltissimi esempi della cosiddetta “molteplicità” delle più diverse configurazioni
mitologiche, delle quali la triade, o meglio la Trinità, è una sorta di caso particolare.
La “metamorfosi” di una determinata figura divina, di un concetto mitologico che
dall’unità si trasforma in dualità, trinità, tetralità, riceve qui una spiegazione del
tutto esteriore quanto superficiale, attraverso la “molteplicità” giudicata da un
punto di vista esclusivamente numerico; poiché dal punto di vista armonicale è
invece possibile ricondurre questa particolarissima trasformazione morfologica
quantitativo-numerica a delle affinità animiche che hanno una precisa successione
armonicale, io preferisco dare a questa metamorfosi numerica il nome di “evoluzione gerarchica“.
Se per esempio osserviamo che la figura di Giano, la più antica divinità adorata
dai romani, era originariamente “il padre di Giano”, dalla cui monade si sviluppò
la famosa diade “bifronte” (a due volti), che proseguì poi la sua evoluzione in un
Giano trifronte o tricipitinus e addirittura in un Giano quadrifrons (Usener, da
Sarasin, op.cit. pag.32), questa non è allora semplicemente una “molteplicità”, ma
una prova della presenza di una forte sensibilità delle forme di valore per la posizione del Giano bifronte nella serie superiore dell’evoluzione armonicale, ossia di
una sequenza formale psicofisica.
Una diade è inconcepibile senza la monade che la precede, ma appunto il collegamento psichico interiore (c, c c’) con questa dà origine ad una concezione triadica
della divinità e porta poi da questa fino al Giano quadrifronte:
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§ 30 TRINITÀ
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figura 238
come vuole lo sviluppo psicofisico dei valori armonicali dell’essere. La figura di
Giano è però puntata, concentrata nella diade, e se leggiamo che questa “antichissima divinità autoctona italiana” (secondo Momsen) è ” l’astrazione dell’apertura
e della rivelazione”, che le due teste che guardano verso due diverse direzioni
sono connesse con le porte aprentesi verso due lati dei templi di Giano - che venivano infatti costruiti con due porte - allora ponendo semplicemente alla base il
concetto figurativo armonicale della diade (duplicità) che si estende verso l’infinito 1/1 # /1 e verso il finito 1/ # 1/1 è possibile vedere nell’aspetto bifronte
della figura di Giano non una banale “doppiezza” (come viene spesso interpretato)
, ma la personificazione mitologica di un principio polare fondamentale che pervade l’intera realtà materiale e spirituale.
La figura opposta al Giano romano è l’Ermete greco-egiziano. Ad Atene le statue
o i pilastri a due volti di Ermete erano comuni, e, dalla mistica alessandrina fino
alle speculazioni alchemiche dei Rosacroce, il concetto di “Hermes trismegistos”
è un’idea che ritorna di continuo.Anche questa figura divina subisce una evoluzione gerarchica. La monade e divinità originariamente pelasgica di Ermete si incarna, in modo insolito e significativo, sottoforma di un fallo eretto, secondo quella
formidabile sintesi sensoriale-spirituale dell’ellenicità, che nell’actus eroticus contemplava e comprendeva sempre anche il lato spirituale e divino. Questa “erma”
raffigurata solitamente come una stele col fallo eretto e la testa ritta, si trasforma
presto in una diade dai due volti e dai relativi attributi, e subisce all’interno di
questa diade - molto significativa dal punto di vista armonicale, e comprensibile
nel suo senso più profondo solo a partire dall’Acroasi - una trasformazione nell’
“Ermafrodito” con due sessi. Così, proprio come noi vediamo i due vettori armonicali uscenti dall’ 1/1 verso sinistra e verso destra (basso, alto) esprimersi nei due
64
MANUALE DI ARMONICA
mondi Maggiore e Minore, allo stesso modo questo doppio aspetto trova nell’ermafroditismo la sua configurazione simbolica e figurativo-concettuale, non solo
presso i greci ma già presso gli indiani (P.Sarasin, op.cit. pag. 41). Hermes è poi
‘ ),
anche, come diade, il messaggero degli dei (º
il viandante tra cielo e terra
(!). “Ermes Trismegistos”, cioè Ermete come triade, è per gli egizi la personificazione del pensiero discorsivo, della scrittura. È anche il padre della scienza, e l’inventore della lira a sette corde , e quando più tardi (§ 39) osserveremo che solo a
partire dalle terze razioni si può rappresentare la scala tonale diatonica a sette toni,
che gli antichi consideravano come la misura fondamentale del mondo, allora
cominceremo a considerare anche questo attributo “musicale” della simbolizzazione triadica della figura di Ermete sotto una luce nuova.
La trasformazione della triade in diversi simbolismi “triquetrici” (triquetri come
p.es. una testa di medusa con tre piedi su alcune monete siciliane) negli ambiti di
culto più vari, e il suo sbocco finale anche in questo caso in una “quadriplicità”
(tetrametria) ,è illustrato nel testo di P.Sarasin e in particolare in Grenzer
(“Symbolik und Mithologie”, -Simbolismo e mitologia -II ediz., 1820, 4 vol. e un
vol. di tavole). Si troveranno qui abbondanti corrispondenze armonicali che portano alla convinzione che, proprio nel campo della simbologia e dell’antica mitologia, un settore estremamente complesso e ricchissimo di spiegazioni confuse
quando non spesso astruse, l’Armonica mette a disposizione un filo conduttore
sicuro, un “filo di Arianna” , il quale è soprattutto in grado di ricondurre il problema della “molteplicità” dei diversi simboli e configurazioni divine (un problema
estremamente particolare, che rifiuta qualsiasi altra spiegazione), ad una evoluzione gerarchica di prototipi armonicali.
§ 30 b Bibliografia
H.Kayser : “Kl. d. W.”, pagg.166, 167, 174; “Gr.”, pagg. 266, 269. In particolare
inoltre, l’opera di P.Sarasin citata nel testo: “Elio e Tuono” (un tentativo di spiegazione della triade nella storia comparata delle religioni, 1924), che fornisce anche
una ricchissima bibliografia.
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II
“LE CLASSIFICAZIONI”
66
LASCIATA INTENZIONALMENTE IN BIANCO
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
A partire dal § 20 abbiamo sviluppato il diagramma originario delle coordinate
tonali (1/4 TE) e le forme contenute in esso, ed abbiamo studiato le sue conseguenze più importanti. Sebbene questo diagramma costituirà sempre il punto di partenza di ogni indagine sistematica, esso è innanzitutto solamente una delle possibilità
di rappresentazione delle coordinate, anche se la più rilevante, e poi non è che l’inizio di ulteriori possibilità di sviluppo del suo contenuto - cosa che viene già
espressa dal simbolo 1/4 TE.
In questo paragrafo analizzeremo in quale altro modo il diagramma delle coordinate tonali possa essere rappresentato in modo elementare, e poi dimostreremo
come questo diagramma originario possa essere variato; il benevolo lettore è invitato ad una attenta collaborazione grafica, in questo e nei seguenti paragrafi in
modo particolare. Con l’aiuto dei supporti forniti nel § 20 b egli realizzi i diagrammi che seguiranno disegnandoli nel modo più colorato possibile, e su fogli
singoli che daterà e riunirà in un’apposita cartella. In questo modo sorgeranno in
lui fin da subito nuove idee, la cui pronta elaborazione o almeno notazione non
deve andare perduta. Più tardi, nella continuazione autonoma del suo lavoro, il
contenuto di questa cartella, o cartelle, costituirà per lui un aiuto prezioso, e contemporaneamente un buon criterio per il suo processo di sviluppo armonicale.
§ 31,1 Possibilità elementari di rappresentazione del diagramma tonale
§ 31,1a
Riportiamo qui la consueta raffigurazione del diagramma tonale che ci è ormai
familiare, al solo scopo di un confronto con le rappresentazioni che seguiranno:
serie lineare del diagramma tonale:
coordinate in piano del diagramma tonale:
figura 239
68
1/3 f,, 1/2c, 1/1 c 2/1 c’ 3/1 g’ 1/ c 2/ c’ 3/ g’...
1
1
1
1/ c, 2/ c 3/ g...
2
2
2
1/ f,, 2/ f, 3/ c...
3
3
3
MANUALE DI ARMONICA
Il momento caratteristico di questa rappresentazione “originaria”, “primaria” (o
come la si voglia chiamare) è l’equidistanza esteriore di tutte le razioni. Ciò ha
come conseguenza la loro ripartizione uniforme nel reticolo delle coordinate. Ogni
punto tonale è equidistante dal suo vicino, senza considerazione del suo contenuto
interiore. Con questo principio democratico non è però collegato assolutamente
nulla di “artificioso”, come ci hanno dimostrato le dozzine di analisi di questo diagramma ed i controlli al monocordo, altrimenti non sarebbero possibili le linee
equitonali e le sezioni del monocordo da esse indicate. La natura di questa rappresentazione equidistante deve dunque essere in qualche modo conforme alla natura
dello sviluppo tonale, o viceversa: questo sviluppo tonale deve trovare nel consueto diagramma regolare delle coordinate tonali un’espressione a lui adeguata anche
interiormente
§ 31,1b
Partendo da un punto zero si disegnino le razioni aliquote 1/2 1/3... e le razioni della
serie armonica superiore 1/1 2/1 3/1... secondo le loro reali lunghezze quantitative.
Otterremo linearmente la serie seguente:
figura 240
Possiamo rendere il campo delle coordinate corrispondenti ad essa con due diverse disposizioni. Ognuna di esse è degna di nota sotto aspetti diversi. Il diagramma
(fig. 241) mostra le serie armoniche sui lati reciproci come di consueto perpendicolari tra loro. La sua costruzione successiva è la seguente. Si prenda la distanza
1/ - 0 (= monocordo) nella misura più grande possibile (20 cm sarebbe l’ideale),
1
in modo da poter iscrivere in essa un numero sufficiente di razioni, senza che
siano troppo vicine l’una all’altra. Dopo aver segnato il punto 1/2 c’ nel punto
medio tra 1/1 e 0, si disegni sulla retta orizzontale uscente da questo punto la
distanza 0 - 1/2, e i successivi punti 1/2 c’ 2/2 c 3/2 f, 4/2 c, 5/2 as,, 6/2 f,, 7/2 xd,,...
tanto quanto permette la grandezza del foglio (all’inizio saranno sufficienti circa
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
80 cm). Naturalmente si saranno già
prima riportate sulla retta orizzontale
uscente dal punto 1/1 c le razioni 1/1 c
2/ c, 3/ f,, 4/ c,, , con la misura dell’u1
1
1
nità (1/1 - 0). Si costruiscano in modo
analogo le altre serie orizzontali di
razioni uscenti dai punti 1/3 g’ 1/4 c’’
ecc. , sempre con le misure delle grandezze calcolate dallo zero.
Come si può vedere dal diagramma
della fig. 241, qui compaiono delle
proprietà particolari rispetto al diagramma tonale consueto.
figura 241
70
MANUALE DI ARMONICA
Tutte le linee equitonali (qui sono disegnate solo le linee 1/2 c 2/1 c, 3/1 f,,) hanno
una direzione diagonale obliqua, sono parallele l’una all’altra e proiettano sulla
linea orizzontale superiore uscente dallo 0 tutti i valori tonali contenuti nell’indice
del diagramma, in ordine perfettamente scalare. Tutte le serie n/1 giacciono sull’asse orizzontale; tutte le serie 1/n sono invece sul fascio di raggi uscente dal punto
zero. Tutte le razioni minori di 1 giacciono all’interno del triangolo delimitato
dalla linea della generatrice, cioè la diagonale uscente dall’1/1 c verso l’alto a
destra. Questo campo è limitato, anche se il suo spazio può teoricamente venire
riempito anche con “infinite” razioni. Abbiamo qui una prova tanto interessante
quanto evidente della “limitatezza” (convergenza) geometrica e dell’ “infinitezza”
(divergenza) aritmetica del campo degli aliquoti armonicali, da noi menzionati più
volte. Tutte le razioni maggiori di 1 stanno invece nello spazio a destra della linea
della generatrice. Questo campo è dunque “illimitato” anche nello spazio delle sue
coordinate, esattamente come la tendenza delle sue razioni 1 2 3 è divergente. Se
analizziamo le serie verticalmente al di sopra dei punti 2/1 3/1 4/1... , scopriremo
durante la ricerca di queste serie nel nostro consueto diagramma tonale (p.es. 2/1
3/ 4/ 5/ ; 3/ 5/ 7/ ecc.) che esse si incontrano tutte nel punto 1/ !
2 3 4
1 2 3
0
Il diagramma della fig.242 mostra lo stesso ordine, solamente con delle modificazioni diverse.
La variazione rispetto al diagramma precedente (fig. 241) consiste solo in una collocazione obliqua del lato della serie armonica inferiore, cioè a 45° rispetto agli
assi orizzontali superiore ed inferiore. In questo modo il punto 1/1 c si sposta verso
destra di un’unità, sull’asse orizzontale inferiore, e ciò ha come conseguenza che
le linee equitonali prima oblique (fig. 241) diventano qui linee verticali. Si ottiene
così un bel quadro simmetrico dell’importanza del valore delle singole razioni.
Il triangolo del campo armonico inferiore “finito” rispecchia qui quello della precedente fig. 241.
Da un punto di vista simbolico è da notare in entrambi i diagrammi (fig.241 e fig.
242) che le serie armoniche inferiori ritornano al punto 0 come fasci di raggi,
mentre le serie armoniche superiori vanno come parallele verso l’infinito, dove si
intersecano - inteso proiettivamente - in punti infinitamente sempre più lontani.
71
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
figura 242
72
MANUALE DI ARMONICA
Anche qui abbiamo dunque lo schema:
0 1/1 #
che mette ancora una volta in rilievo le singolari discrepanze tra i due campi tonali menzionate
prima.
§ 31,1c
Continuiamo con questa “aptificazione”, e
costruiamo un diagramma in cui le razioni
armoniche superiori si susseguano in successione come somme, partendo dal punto zero orizzontalmente verso destra; si prenda prima di
tuttto a partire dal punto 1/1 (lunghezza dell’unità = il segmento 0/1 - 1/1), due volte l’unità , e
si disegni il punto 2/1, poi da qui si consideri tre
volte l’unità e si trovi il punto 3/1, e così via per
tutte le “serie armoniche superiori“; disegnando
poi le serie delle aliquote verso il basso, si
ottiene il diagramma della fig. 243, che sembra
contenere un vero e proprio Eldorado di diverse
curve di secondo grado (alcune di esse sono
indicate a punti!).
Io non ho ancora studiato oltre questo diagramma; forse il lettote potrà scoprire altre cose interessanti con un’analisi più precisa.
figura 243
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
Riflettiamo a fondo sulle modificazioni del diagramma tonale mostrate con a, b e
c , e valutiamole in quanto il contenuto interiore si esprime nella maniera più semplice: non avremo allora dubbi sul fatto che il modo di raffigurazione del diagramma a noi più familiare è quello che deve avere la preferenza. Tutte le altre modificazioni esprimono delle singole regolarità, certamente in modo spesso più chiaro e
più evidente; ma attraverso il consueto sistema di coordinate equidistanti tuttavia,
l’intera struttura interiore riceve la sua rappresentazione più esauriente. Possiamo
perciò, sulla base dei tentativi b , c e di altri ulteriormente possibili, giungere alla
rilevante constatazione che la rappresentazione in un certo senso più astratta
mostrata in a è “la più naturale”, ossia quella che esprime il contenuto interiore
nel modo più adeguato, mentre tutti gli altri tentativi di fissare in modo più esatto
(geometricamente) le quantità delle razioni rendono confusi, “innaturali” i relativi
diagrammi. Tutt’altra cosa è la rappresentazione logaritmica, cioè la raffigurazione del diagramma solamente in base ai loro valori, di cui parleremo nel § 36.
Tutto ciò però non significa assolutamente che le altre modificazioni non debbano
avere alcun significato, al contrario: il lettore che collabora con solerzia e che realizza autonomamente dei tentativi ulteriori verrà introdotto proprio grazie a ciò
nella maniera migliore e più semplice possibile nella normativa interna del sistema armonicale, e potrà giudicare in questo modo le singole regolarità partendo
dagli aspetti più diversi con la sicurezza più completa.
§ 31,2 Variazioni
Possiamo fare tre variazioni elementari del diagramma tonale, nei tre tipi: triangolare (triangolare equilatero), quadrato e circolare (cfr. fig.244!). Quest’ultimo
richiede una trattazione molto ampia, per cui preferiamo trattarlo specificatamente
più tardi, nei § 33,a e § 34.
Ognuno di questi tre tipi si lascia più o meno permutare, cioè trasformare all’interno delle stesse variazioni, mantenendo costante il suo contenuto esteriore. La fig.
244 mostra solo alcune delle possibili permutazioni del I e II tipo; ne svilupperemo ancora delle altre nel corso di questo §.
74
MANUALE DI ARMONICA
figura 244
Le permutazioni del I e II tipo (fig. 244) si lasciano inoltre combinare , cioè comporre nei modi più diversi, un’operazione che verrà spiegata nel seguente § 32.
Come si può vedere dalla fig. 244, il diagramma tonale ormai a noi familiare rap75
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
presenta un caso particolare, sia sotto l’aspetto tipologico che permutatorio.
Diamo la precedenza al tipo triangolare, in quanto esso corrisponde alla figura
geometrico-regolare più semplice, il triangolo equilatero. Da questo e dal tipo
quadrato si possono costruire dei reticoli di coordinate piane; a partire dal pentagono regolare ciò non è più possibile, poiché il pentagono non si lascia più
costruire completamente su una superficie piana. I sistemi di coordinate elementari sono dunque limitati ad un reticolo di rispettivamente 30°- 45° e 60°- 90°.
Tutte le permutazioni dei tipi di coordinate armonicali avvengono sotto la condizione che si mantenga la successione di razioni, e che non venga interrotta neppure geometricamente. Di conseguenza queste permutazioni non sono senza fine, ma
sono limitate.
Ci si procuri della carta millimetrata triangolare, e si disegni con la china un reticolo le cui maglie misurano 1 cm; lo si posizioni sui disegni, si appoggi sopra di
esso un foglio di carta lucida e si sperimentino le possibilità delle diverse permutazioni, senza fare prima riferimento alla fig. 244. Dopo aver fatto ciò, si ponga la
razione 1/1 c su un angolo qualsiasi, poi negli angoli adiacenti alla sua sinistra e
alla sua destra si pongano le razioni 1/2 c e 2/1 c’, e si cerchi finalmente nel mezzo
(sopra o sotto - ma proprio questo “sopra” o “sotto” dà appunto origine alle diverse permutazioni!) il punto 2/2 c , cioè la direzione della linea della generatrice. Una
volta determinate queste quattro razioni, ad esse seguiranno necessariamente tutte
le altre.
Si noterà immediatamente che le possibilità di permutazione sono molto limitate.
Le più importanti tra quelle del I tipo sono indicate nella fig. 244 nei diagrammi I
a e I d. Il lettore si abitui a disegnare, nel sistema di coordinate in questione, le
razioni con inchiostro nero (china), le due serie sui lati 1/2 1/1 2/1 con inchiostro
verde o blu, e la linea della generatrice 1/1 2/2 3/3 e le linee equitonali con inchiostro rosso.
Nella valutazione di questo tipo triangolare, in particolare nella forma I a e I b , si
potrebbe essere tentati di affermare che esso non sia altro che un normale sistema
di coordinate quadrangolare, “rappresentato” in un trapezio. Se ci si immagina
infatti, p.es. il tipo I a della fig.244 come “mobile”, compresso un po’ dall’alto e
dal basso, si otterrà indubbiamente il tipo II a. Questo è vero. Ma in un caso il reti76
MANUALE DI ARMONICA
colo è costituito da una forma triangolare, nell’altro caso invece da una forma
quadrangolare, e inoltre il tipo morfologico delle due modificazioni è completamente diverso, come osserveremo più tardi parlando delle possibilità combinatorie. Nella loro struttura interiore tutti i tipi, insieme con le loro variazioni e combinazioni, sono comunque identici. Si tratta dunque solo di diversità della struttura
morfologica, che sono naturalmente ancora una volta di natura armonicale - le
razioni, diadiche o ternarie 2 4 8... e 3 6 12... che, come vedremo in seguito, in
qualità di divisori di parti sono già da sole sufficienti per la composizione di un
sistema tonale completo, assumono dunque qui geometricamente un ruolo analogo
in quanto esauriscono i sistemi elementari di coordinate piane. Il lettore si guardi
bene dal considerare queste permutazioni solo come una questione esteriore, o
addirittura come un giochino. Per chi possiede un forte senso della forma e una
buona sensibilità geometrica, triangoli e quadrilateri sono mondi diversi come lo
sono quinte ed ottave, e queste permutazioni e combinazioni all’interno di queste
forme fondamentali, per giunta su basi armonicali, non hanno più assolutamente
nulla a che fare con delle “esteriorità”, nel senso riduttivo del termine: hanno
invece un altissimo valore ed interesse morfologico.
Questo valore si mostrerà comunque solo nella „ectipicità”, in particolare nella
tipologia combinatoria (cfr. § 32); ma colui che ha seguito praticamente le indicazioni date in questo § 31, e che come risultato si trova davanti a un’intera serie di
diagrammi disegnati in prima persona, sentirà giungere a sé un alito di quell’atmosfera intesa da Platone con il motto iscritto sopra l’entrata della sua accademia:
’
’ " ‘ ”
"
“‘!
" (“Nessuno che non conosca la
geometria entri nella mia dimora!”). In questo tipo triangolare e nelle permutazioni del I e del II tipo è interessante notare il controllo al monocordo. Qui viene
indicato solo per il tipo I a nella fig. 247. Il lettore comunque sperimenti personalmente anche per le altre permutazioni di questo tipo dove sono possibili controlli
al monocordo, e dove non lo sono!
§ 31,2b Il II tipo quadrato e le sue permutazioni
Anche in questo caso il lettore sperimenti le possibilità di permutazione con la
consueta carta millimetrata, e confronti solo poi i suoi risultati con i tipi II a fino a
77
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
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II d della fig.244. Egli noterà due diverse permutazioni principali, o meglio una
variante fondamentalmente diversa rispetto al tipo abituale II a , che è già stata
illustrata da A.v.Thimus nelle figure I e II della prima tavola contenuta nel I volume della sua Simbologia armonicale (fig.245 e 246). La fig.245 mostra il nostro
solito diagramma tonale (fig.244 , tipo II a) con il relativo controllo al monocordo.
figura 245
78
MANUALE DI ARMONICA
La fig. 246 mostra invece la permutazione della fig. II di Thimus non riportata
nella fig. 244, e cioè il cosiddetto “Lambdoma” dei Pitagorici (chiamato così in
quanto avente la forma di una 7 greca = L = “Lambda” !), anch’essa col rispettivo
controllo al monocordo.
figura 246
Mentre dunque nella fig. 245 il monocordo con un prolungamento può venire
accostato rettilineamente al campo tonale inferiore, nel caso del Lambdoma della
fig.246 esso deve venire “piegato” in questo campo, così che ogni lunghezza tonale prende qui a partire dall’ 1/1 una “direzione” propria. Nella fig.248 do una rappresentazione di questo “Lambdoma” già pubblicata in “Grundriß”, pag.164.
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
figura 247
80
MANUALE DI ARMONICA
figura 248
La direzione delle serie armoniche inferiore e superiore qui cambia ogni volta,
sempre a partire dalla linea della generatrice - a differenza dei precedenti tipi di
permutazioni dell’usuale diagramma tonale. Così p.es. la serie che parte da 1/3 g’’
procede prima orizzontalmente fino a 3/3 c e poi curva verso destra in basso.
Un’osservazione del “Lambdoma” (fig.248) lascia supporre che gli antichi abbiano utilizzato proprio questa modificazione per delle dimostrazioni simboliche. Il
simbolo della divinità 0/0 al vertice, a destra e a sinistra il “finito” e “infinito” con
le loro varianti delle tenebre e della luce, la vastità e la ristrettezza, il maggiore e il
minore; al centro la ricchezza del “Pleroma”, cioè il mondo della realtà, il “limitato”, ordinato dalla linea demiurgica 1/1 2/2... secondo delle proporzioni armoniche,
ecc.. Forse che l’espressione “Triangolo demiurgico” abbia il suo fondamento
effettivo proprio qui?
§ 31a Ectipicità “Coordinate
Poiché ci siamo già occupati dei sistemi di coordinate in occasione della spiegazione delle coordinate tonali, ed ora nel presente capitolo, mi sembra questo il
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
punto per alcune brevi osservazioni fondamentali all’approfondimento di questo
concetto.
Il concetto delle coordinate è antichissimo, almeno per quanto concerne il suo
habitus geometrico. In una camera rimasta incompleta nella tomba di Belzoni,
appartenente alla XIX dinastia egizia, venne ritrovata una parete suddivisa in quadrati: probabilmente un ausilio per dei rilievi da realizzare in seguito. M.Cantor (I,
pag. 108) riconosce in questo gli inizi di una teoria delle proporzioni geometriche.
Nel primo libro del suo manuale sulle sezioni del cono, Apollonio di Pergia (circa
200 a.c.) utilizza un sistema di coordinate che ha come suo punto iniziale proprio
la sezione del cono, e nello stesso periodo Erone di Alessandria utilizza un “metodo consapevole di coordinate ortogonali“.
L’astronomo Tolomeo (150 a.c.) sembra avere già sviluppato delle considerazioni
che si avvicinano al concetto delle coordinate spaziali, ed i romani si immaginavano addirittura che i territori sotto il loro dominio fossero organizzati in un sistema
di coordinate ortogonali - un’idea ben poco confortante per le popolazioni del
tempo, in quanto si riferiva naturalmente solo alla dominazione e alla distribuzione del territorio “in modo produttivo“. Alla fine del primo libro della geometria di
Boezio si racconta: “Per evitare errori nelle loro moltiplicazioni, scomposizioni e
misurazioni, i Pitagorici avevano ideato per uso proprio una formula - tanto essi
eccellevano in finezza e capacità inventiva - che chiamarono Tavola pitagorica in
onore del loro maestro; in quanto ciò che essi rappresentarono con una figura era
giunto fino a loro attraverso la spiegazione del loro caposcuola. Questa tavola
venne chiamata dai posteri Abbaco.”
Tutto questo ci riporta ancora una volta ai Pitagorici, e dopo tutto ciò che abbiamo
comunicato secondo le fonti classiche nel § 20 riguardo la riscoperta da parte di
Thimus del “Lambdoma” pitagorico, dovrebbe essere fuor di dubbio che già 500
anni prima di Cristo i Pitagorici conoscevano le coordinate, non solo come matrici
geometriche, ma come supporto per il loro sistema numerico armonicale e le sue
figurazioni geometriche - un fatto che viene taciuto dai testi matematico-storici
redatti fino ad oggi. Solo presso un filologo scrupoloso, Thimus a parte, ho potuto
ritrovare una valutazione esatta di questa scoperta pitagorica.
Eberhard Hommel (“Untersuchungen zur hebräischen Lautlehre”, - Ricerche sulla
82
MANUALE DI ARMONICA
fonetica ebraica -, parte prima: l’accento; Lipsia 1917) riferisce ciò che segue
riguardo alla tecnica armonicale dei Pitagorici:
“La scuola pitagorica aveva notoriamente stabilito una stretta relazione tra toni e
numeri, attraverso la dimostrazione dei rapporti numerici semplici esistenti tra le
lunghezze della corda. Le ricerche furono condotte sul monocordo, una semplice
tavola o un telaio, dotato di un ponticello mobile e di una scala graduata, su cui
era tesa una corda tirata con forza diversa da dei pesi pendenti. Questo strumento,
con l’aiuto del quale i maestri di canto insegnavano i toni dai tempi più antichi
fino a quelli di Guido d’Arezzo, veniva chiamato “Canone”, ed il suo utilizzo
“Sezione del canone”, su cui Euclide di Alessandria ci ha lasciato un suo scritto. Dopo che furono sperimentati e scoperti i rapporti tra le lunghezze delle corde o di
altri corpi oscillanti aeriformi, e dimostrati coi rapporti tra i segmenti di una linea
semplice, ci si spinse oltre e si costruirono delle figure geometriche ed una specie
di sistema di coordinate , ossia un sistema di linee parallele ed intersecantesi tra
loro, il “diagramma” (letteralmente: intersezione di linee), in cui i rapporti numerici e tonali venivano rappresentati attraverso dei segmenti e delle semplici operazioni geometriche. Da qui si passò finalmente ai sistemi circolari e a sistemi sferici solidi, in cui i toni non venivano più rappresentati attraverso dei segmenti, ma
anche attraverso sviluppi dell’arco ed angoli.
A questo ambito appartengono il sistema sferico-cinetico dei grammatici ebraicoarabo, la teoria delle inclinazioni dei toni nella terminologia dei grammatici latini
e della fonetica siriaca ed araba. Chiari punti di contatto si riconoscono anche con
l’antica teoria astrologica degli aspetti o delle configurazioni degli astri, che furono paragonati agli intervalli della scala tonale come grandezze angolari anche
nell’ “Harmonice Mundi” di Keplero“.
Tutto questo riguarda l’aspetto storico della questione. Ciò che però oggi si intende per “sistemi di coordinate” si rifà essenzialmente alla geometria analitica di
Cartesio. Questa stabilisce il collegamento effettivo dalla geometria pura (sintetica, proiettiva) all’analisi (algebra, numero), collegamento che viene stabilito attraverso le “coordinate“. Nel corso del tempo si sono costruiti tutti i sistemi di coordinate possibili; tutti si rifanno però alle due originarie coordinate piane cartesiane
(ascisse e ordinate) o alle tre coordinate spaziali. In tutti i sistemi di coordinate
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§ 31 VARIAZIONI TIPOLOGICHE
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matematici la posizione di un elemento geometrico è sottordinata ad un certo elemento numerico, o viceversa; la sua struttura interiore è regolare, come schema,
ed ha la sua origine in un punto zero.
Anche le coordinate tonali armonicali si basano sullo schema geometrico degli
assi cartesiani, o di altre coordinate (polari) qualsiasi. Anche qui determinati luoghi (punti tonali) sono correlati a certi numeri. Il punto di origine effettivo di tutti
i diagrammi delle coordinate tonali però non è lo 0 ma l’ 1 , e da qui scaturisce a
priori una struttura interiore irregolare dello spazio numerico, poiché esso non si
sviluppa sulla base dello schema:
# 2 1 0 1 2 #
ma sulla base dello schema:
1/ 1/ 1/ 1/ 2/ 3/ #/
# 3 2 1 1 1 1
I
II
Nel § 18 abbiamo già visto che i diagrammi tonali possono, attraverso una trasformazione logaritmica, convertirsi anche nello schema I , e già da ciò è possibile
trarre la conclusione che, rispetto alle coordinate matematiche, le coordinate
armonicali costituiscono in un certo senso uno “stato originario” del concetto
numerico del numero. Il rifarsi ad un concetto originario del numero può essere
paragonato - se cerchiamo degli esempi analoghi nella scienza matematica - in un
certo qual modo alla regressione dalla costruzione del cerchio a quella della linea
della cosiddetta “nuova” geometria (proiettiva). Rispetto alla più vecchia geometria “solida” , che utilizza per le sue costruzioni soprattutto il cerchio, cioè una
“linea” di secondo grado, la geometria proiettiva si accontenta sostanzialmente
della riga, cioè di una linea di primo grado. Anche in questo caso la linea è in un
certo qual modo lo “stato originario” di ogni forma geometrica, come lo è l’intera
serie dei numeri interi coi loro reciproci per l’idea del numero.
Ma per quanto concerne la differenza sostanziale delle coordinate armonicali
rispetto a quelle matematiche normali, cioè l’accostamento di un tono al numero,
ossia la valorizzazione animica del numero, si viene con questo ad affiancare alla
“irregolarità” numerica un’altra configurazione e una verifica specificatamente
animica, che manca fin dal principio al concetto matematico delle coordinate, e
84
MANUALE DI ARMONICA
che questo comunque non vuole e non ha assolutamente bisogno di avere.
In questo modo, le coordinate armonicali acquistano grazie alla loro diversa struttura numerica e all’inserimento del valore una maggior ricchezza di strutture interiori rispetto alle coordinate matematiche usuali, fondate su un concetto numerico
uniforme, ma acquisiscono soprattutto delle possibilità di applicazione teoretiche
di gruppo molto più ampie, di cui il prossimo § mostrerà alcuni esempi.
§ 31b Bibliografia
H.Kayser: “H.M.” pag.82 e segg.; “Kl.” pag.113 e segg.; “Abh.” pag.87 e segg.;
“Gr.” pag.119 e segg., pag.255. Il libretto “Koordinatensysteme” (- Sistemi di
coordinate -) di P.B.Fisher appartenente alla raccolta Göschen, nr.507 (1911) fornisce una buona visione generale dei sistemi di coordinate matematici.
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§ 32 TIPI COMBINATORI
§ 32 TIPI COMBINATORI
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Con tipi combinatori si intende il collegamento di varianti tipologiche uguali o
diverse, e le loro permutazioni in forme in sé compiute. In queste combinazioni
viene ad esprimersi in modo particolarmente evidente il momento di gruppo del
diagramma delle coordinate tonali, che noi definiamo con il concetto riassuntivo
di “immagine sonora”, e a cui dedicheremo ancora in seguito un altro paragrafo (§
38).
Come prima cosa però è necessario procurarsi dei sostegni fondati su basi il più
estese possibile.
§ 32,1 I tipi combinatori quadrati
Prendiamo in considerazione innanzitutto le possibilità combinatorie del diagramma tonale che ci è più familiare (Fig.244, IIa).
Negli esperimenti che seguono, è bene riportare sempre sui fogli di coordinate in
questione solo le razioni delle serie dei due lati, l’asse della generatrice, le linee
equitonali delle prime due ottave superiore e inferiore (4/1 c’’ 2/1 c’’ e 1/2 c, 1/4 c,,),
e disegnare inoltre le prime con dei puntini, il secondo con una linea spessa e le
ultime con una linea sottile (tutte di colori diversi).
Cominciamo innanzitutto con la combinazione di due sistemi identici. Nella
Fig.249 tratta da “Harmonia Plantarum” (pag.29), vediamo rappresentato nel Nr.3
il sistema consueto del nostro diagramma tonale; il Nr.4 mostra lo stesso, con il
vertice rivolto verso il basso, e il Nr.5 dà la combinazione di questi due sistemi
che si compongono e si congiungono nel punto 1/1.
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MANUALE DI ARMONICA
figura 249
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§ 32 TIPI COMBINATORI
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Da questo primo esempio apprendiamo già diverse cose. Innanzitutto, la condizione con la quale si deve e si può combinare: la congiunzione nel punto 1/1, e il rigoroso mantenimento della successione delle razioni. Poi (Fig.249, Nr.5) il ritorno
dei due fasci equitonali nei due punti 2/2 dell’asse della generatrice, e questi punti
si identificano per ognuno dei due sistemi con il rispettivo punto 0/0, il quale però
non compare qui come luogo autonomo. Il lettore è pregato di prendere ancora in
considerazione la Fig.244. Di questa scegliamo il tipo permutatorio IIc , ma con la
linea della generatrice posta obliquamente e non verticalmente verso l’alto:
figura 250
Come già sappiamo dal § precedente, la composizione di questi tre elementi (serie
armonica superiore, serie armonica inferiore, linea della generatrice) determina in
modo decisivo il tracciato dei sistemi di volta in volta in oggetto. Se posizioniamo
questo nuovo tipo permutatorio con il punto 4/1 c’’ verso l’alto, e quindi con la
linea orizzontale inferiore delle serie dei lati in posizione verticale, avremo la
metà sinistra del tipo combinatorio Nr.7 della Fig.249, per il cui completamento
deve semplicemente esserle accostata la sua immagine speculare come parte
destra.
Partiamo ancora dallo schema permutatorio IIc considerato (nella Fig.244), lasciamolo così com’è e posizioniamolo analogamente al precedente, con il punto 4/1 c’’
verticalmente verso l’alto, e completiamolo questa volta con la sua immagine speculare verso il basso, ottenendo così il tipo combinatorio Nr.6 della Fig.249.
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MANUALE DI ARMONICA
Fino ad ora abbiamo sempre combinato solamente due sistemi. Dopo queste
prove, il lettore è pregato di fare degli altri tentativi: questi e i successivi esperimenti sono estremamente importanti per penetrare nella morfologia della sistematicità armonicale.
Combineremo ora più sistemi, cominciando dal consueto tipo quadrato IIa
(Fig.244) in una quadruplice combinazione (Fig.251).
figura 251
Disegnamo anche qui i tre elementi principali: l’asse della generatrice, le serie dei
due lati e le linee equitonali delle due ottave superiore e inferiore, ed otteniamo
una figura radiale a forma di stella, di grande bellezza, come è caratteristico di
tutti questi tipi combinatori.
È però anche possibile combinare tipi di permutazioni (non di variazioni!) diversi.
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§ 32 TIPI COMBINATORI
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Il presupposto per questo è solo che essi si sovrappongano, ossia coincidano, nel
punto 1/1 e negli assi laterali. A questo scopo ci riallacciamo ancora una volta alla
Fig.244, e consideriamo il tipo IIa e IId. Il risultato della loro combinazione è la
figura 252
In questo tipo combinatorio notiamo una certa somiglianza esteriore con il Nr.7
della Fig.249; ma la configurazione interiore degli assi è completamente diversa,
nonostante naturalmente la composizione delle razioni rimanga sempre la stessa,
nella prima come nella seconda e in tutti i tipi di questo genere.
§ 32,2 I tipi combinatori triadici
Possiamo a questo punto essere brevi, e dare subito il tipo Ia combinato sei volte
nella Fig.253, analogamente alla Fig.251.
90
MANUALE DI ARMONICA
figura 253
Le linee equitonali creano qui un esagono stellare al centro. Se combiniamo invece il tipo Ia con il tipo Id della Fig.244 , otteniamo la Fig.254. Come è facile notare, abbiamo qui il pendant triangolare del tipo quadrato della Fig.252.
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§ 32 TIPI COMBINATORI
figura 254
Questi esempi, che per il lettore non devono essere altro che un incitamento ad
ulteriori sperimentazioni, ci siano sufficienti. E sia anche esplicitamente annotato
che la ricchezza interiore delle forme è ben lungi dall’esaurirsi coi soli tracciati
delle tre forme elementari: le serie dei lati, l’asse della generatrice e le linee equitonali primarie. Questa ricchezza si accresce in modo significativo coi successivi
tracciati di curve caratteristiche, che prenderemo in considerazione tra poco, e
ancora più tardi.
Colui che sta qui imparando si limiti però all’inizio alla notazione delle strutture
principali, in modo da procurarsi così un “archivio delle immagini sonore elementari” il più completo possibile. Sarà poi molto facile più tardi completare delle
altre configurazioni geometriche sui fogli elaborati fino ad ora.
92
MANUALE DI ARMONICA
§ 32 a Ectipicità
§ 32 a,1 Questioni teoriche di gruppo
Colui che ha elaborato correttamente questo e il precedente paragrafo si sarà posto
la questione: a che scopo tutto ciò, non si tratta più o meno semplicemente di un
“trastullo”? A prescindere dal fatto che è già possibile giustificare degli ulteriori
sviluppi regolari di coordinate geometrico-aritmetiche da un punto di vista puramente matematico, a prescindere poi dalla inequivocabile “logica evidente” di
queste forme, e dalle possibilità di applicazione ectipiche, in particolare delle
variazioni armonicali del nostro diagramma delle coordinate tonali, che esamineremo immediatamente con alcuni esempi, la domanda è in se naturalmente giustificata: cosa stiamo facendo in realtà, quando variamo, permutiamo e combiniamo
in questo modo?
Ci stiamo muovendo in questo caso in un campo che la matematica chiama
“Teoria dei gruppi“. Le nostre coordinate tonali, secondo il loro contenuto formale
e numerico non sono altro che uno degli schemi teorici di gruppo più elementari,
forse addirittura il più elementare, in quanto esse si sviluppano dalla semplice
serie dei numeri interi coi loro reciproci. Parlando molto in generale, con il concetto di teoria dei gruppi si intende un calcolo con dei gruppi.
A.Speiser (Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung -Teoria dei gruppi di
ordine finito- , II ediz., 1927, pag.6) afferma che i greci consideravano come tipico esempio per il passaggio da un gruppoide ad un gruppo il risultare dell’intervallo tonale da una diade, per esempio della quinta da C - G o E - H. A pag.13
della sua opera, Speiser dà una tavola di gruppo “di importanza rilevante per le
analisi successive”, indicata in seguito nella Fig.255.
figura 255
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§ 32 TIPI COMBINATORI
La sua somiglianza con le coordinate tonali, che, come già abbiamo appreso nel §
20, furono già indicate da Giamblico e Nicomacheo come pitagoriche, salta immediatamente agli occhi. I greci sarebbero quindi giunti non solo al concetto della
totalità, che procede dalla parte (tono) al tutto (intervallo, accordo) , ma anche ad
un tipico schema teorico di gruppo.
Che il gruppo delle coordinate tonali venga preso in considerazione anche da un
altro punto di vista matematico (teorico degli insiemi), in ogni caso sempre senza
sfondo tonale, viene mostrato da F.Waismann, oltre che da ciò che si è già detto
nel § 21 a.
Nel suo “Einführung in das mathematische Denken” (- Introduzione al pensiero
matematico - 1936, pag.107) egli sostiene: ” È possibile addirittura costruire delle
serie a partire dalla caratteristica paradossale che ognuno dei suoi punti di accumulo è un punto di accumulo. La totalità dei numeri razionali ne fornisce un
esempio. Per ordinarli in una successione, immaginiamoci segnate prima tutte le
frazioni con il numeratore 1 , poi le frazioni con il numeratore 2 , dopo di esse le
frazioni con il numeratore 3 , e così via. Di queste, quelle positive si lasciano indicare sottoforma dello schema bidimensionale seguente:
figura 256
Se si ordinano le frazioni mettendo in fila le linee trasversali consecutive, si ottiene una serie che comincia così :
1/ 1/ 2/ 1/ 2/ 3/ 1/ 2/ 3/ 4/ ...
1 2 1 3 2 1 4 3 2 1
in questa serie si ripresenterà comunque più volte una stessa frazione, come p.es.
94
MANUALE DI ARMONICA (§§ 29-38)
1/
Se si escludono ora tutte le frazioni che sono già comparse una volta, si
giunge ad un ordine che presenta ogni frazione una sola volta, e che arriva ad indicare tutte le frazioni. In questo modo l’insieme dei numeri razionali positivi viene
ordinato in una successione; naturalmente al prezzo di interrompere completamente l’ordine naturale delle frazioni secondo la loro grandezza. Se adesso si vogliono
avere tutte le frazioni, basterà porre dietro ad ogni frazione della serie la frazione
negativa, e mettere davanti al primo membro lo 0. In questa serie ogni numero
razionale è un punto di accumulo, così che questa serie si compone esclusivamente di punti di accumulo.”. Questo è quanto sostiene Waismann. Poiché lo schema
di Waismann riferito sopra è in tutto identico alle nostre coordinate tonali già
nominate da Nicomaco e Giamblico e riscoperte da A.v.Thimus, allora i Pitagorici
non sarebero stati solo i primi teorici dei gruppi, ma anche i primi teorici degli
insiemi!
In senso strettamente matematico, il diagramma delle coordinate tonali rientra,
oltre che nel concetto di gruppo preposto, anche nei determinanti e nelle matrici.
“Una matrice A (= coordinate tonali) non significa un numero, ma un sistema
ordinato quadratamente di numeri n1 (Weber-Wellstein : “Enzykl. der Elementaren
Mathematik” - Enciclopedia di matematica elementare - , Vol.I, 1922, pag. 310).
Naturalmente, con l’osservazione riportata sopra viene stabilita la relazione “legittima” del diagramma tonale con la teoria dei gruppi ed i settori ad essa collegati.
Lo studio teorico effettivo della teoria dei gruppi sta ancora attendendo un suo
specialista, in quanto essa richiede come presupposto necessario una profonda
conoscenza della teoria dei gruppi in sé - un ramo della matematica superiore non
tra i più semplici.
1
2/
2.
§ 32 a,2 Esempi di applicazioni dei tipi combinatori
Nel cap. 6 del suo “Theorie der Gruppen” (- Teoria dei gruppi -) , A.Speiser dà dei
meravigliosi esempi classici e preclassici di simmetrie degli ornamenti. “Anche i
cosiddetti arabeschi sono compresi tra questi. Essi devono la loro vivacità e la loro
varietà esclusivamente alla geometria, in quanto le foglie stilizzate che li compongono hanno conservato le loro forme quasi invariate attraverso i secoli.” (op.cit.
pag.2). Lo stesso autore sull’arte dell’ornamento in sé sostiene, a pag.77 : “L’arte
95
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§ 32 TIPI COMBINATORI
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dell’ornamento si rivela così essere un’arte geometrica. Nei tempi moderni essa
viene sottovalutata, e questo ha come conseguenza che non sono più stati creati
nuovi ornamenti.”.
A seguito di ciò potremo permetterci di analizzare per una volta il nostro diagramma delle coordinate tonali dal punto di vista di tali possibilità puramente “ornamentali“. Per questo scopo scegliamo la quadruplice combinazione del tipo quadrato consueto (Fig.257) , che analizziamo da diversi punti di vista di accentuato
valore (nel senso letterale di queste parole!) nelle Figg. 258 - 263.
Nella Fig.257 si collegano di volta in volta le quinte maggiori e minori, incrociandole al di sopra della linea della generatrice.
figura 257
La Fig.258 mostra una immagine lineare delle terze e delle seste c e as a es.
Il particolare ornamento a ziczac dà un’impressione asimmetrica insolita, quasi
sconcertante, nonostante la sua precisa simmetria geometrica.
96
MANUALE DI ARMONICA
figura 258
Nella Fig.259 si uniscono diversi valori -c con degli archi di cerchio, in modo che
gli archi non tocchino nessun altro valore tonale.
figura 259
97
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§ 32 TIPI COMBINATORI
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La Fig.260 mostra alcuni cerchi di scale tonali, che si ordinano in una simmetria
circolare con una quadruplice combinazione.
figura 260
Le Figg. 261 - 263 presentano delle simmetrie nel diagramma tonale detto “aperto” e “completo” ; di questo parleremo in modo preciso nel § 35, ma possiamo già
qui mostrare le sue simmetrie di valori interiori. Nella Fig.261 si collegano ancora
una volta delle quinte. Da esse risulta un ornamento a forma di stella, i cui singoli
settori sono riempiti in nero per evidenziarne ancor più chiaramente la struttura.
98
MANUALE DI ARMONICA
figura 261
figura 262
La Fig. 262 presenta
un collegamento delle
triadi: c e g ,e: f as c ,e
nella Fig.263 si uniscono ancora dei valori -c con degli archi di
cerchio.
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§ 32 TIPI COMBINATORI
figura 263
Se il benevolo lettore ha disegnato questi ed altri esempi, egli noterà ben presto, in
particolare se si considerano anche i tipi di combinazioni triangolari, che qui si
trova un campo immenso per delle scoperte ornamentali. E precisamente una ricchezza di forme di ornamenti riconducibili sempre ad uno sfondo animico, e non
solo matematico-geometrico.
In seguito all’ultima figura curvilinea della Fig.263, nelle Figg. 264 - 267 aggiungo delle altre curve disegnate in modo analogo, tratte da “Harmonia Plantarum”.
Dovendo semplificare, le Figg. 264 - 266 mostrano diverse linee curve, disegnate
in un quadrante del 1/4 TE , che uniscono di volta in volta determinati toni o intervalli. Per ricavare da esse un ornamento simmetrico, si devono naturalmente
prima combinare sempre 4 di questi quadranti, poi scegliere una sola curva, o
eventualmente le curve di un settore tonale superiore o inferiore, e disegnarle 8
volte nei settori reciproci.
100
MANUALE DI ARMONICA
figura 264
figura 265
101
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§ 32 TIPI COMBINATORI
figura 266
La Fig.264 mostra dall’alto verso l’interno prima la curva della terza 1/2 c - 5/1 e’’
10/ e’’ 15/ e’’ , poi 1/ 10/ e’’’ , poi 1/ c 5/ e’ 10/ e’ , e come quarta curva 1/ c 5/ e
2
3
1
1
1
2
4
1
4
8/ as 10/ e 16/ as 15/ e e così via. Nel settore inferiore sinistro si uniscono delle
5
8
10
12
quinte.
La Fig.265 presenta a destra in alto le terze minori nel loro mutamento d’ ottava; a
sinistra in basso ci sono invece due ottave -c : c,, c, -c collegate con una serpentina.
Nella Fig.266 sono disegnati diversi frammenti melodici coi loro contrappunti, dai
quali si origina una simmetria già nel singolo quadrante - l’analisi precisa si trova
in “Harmonia Plantarum” , pagg.181-183. Da questo diagramma scegliamo solo il
primo tema (superiore sinistro) , con il suo contrappunto:
figura 267
102
MANUALE DI ARMONICA
notoriamente il più bel tema del Parsifal, isoliamolo e componiamolo in un quadruplice tipo combinatorio. Otteniamo così la Fig.268, che vorrebbe allo stesso
tempo mostrare come si possono creare molteplici combinazioni ornamentali dai
dati della Fig.266, che presentano inoltre solo una scelta ristretta dei raggruppamenti possibili.
figura 268
In “Harmonia Plantarum” lo scopo di queste raffigurazioni era il tentativo di scoprire la struttura morfologica dei diversi petali dei fiori. Si può però penetrare nel
mistero della struttura dei fiori anche in un altro modo, considerando un diagramma combinatorio come p.es. quello della seguente Fig.269 anch’esso tratto da
“H.P.” , pag.177 , unendo con delle linee tutti e solo i valori -c che compaiono in
esso, e suonando il cerchio delle ottave -c.
103
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§ 32 TIPI COMBINATORI
figura 269
Anche qui la simmetria si presenta nella combinazione dei quattro settori, mentre
la caratteristica interiore si rivela nella scelta o accentuazione di un determinato
valore animico - in questo caso il tono di base con le sue ottave.
È chiaro che altre selezioni tonali - il principio di selezione di ciò che ha un ruolo
fondamentale nell’Armonica verrà trattato più dettagliatamente nella sezione D producono ancora altri tipi morfologici completamente diversi.
Come altro esempio ectipico appartenente ad un settore completamente differente,
quello della teoria musicale, riporto nella Fig.270 la cosiddetta “scala tonale ottagona” - un diagramma combinatorio delle due permutazioni del tipo quadrato
(Fig.271).
104
MANUALE DI ARMONICA
figura 270
figura 271
105
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§ 32 TIPI COMBINATORI
Proprio con questa scala tonale ottagona già pubblicato in “H.M.” , pag.26, ho a
suo tempo compreso il valore morfologico di questo diagramma combinatorio.
Poiché in questo caso specifico si tratta nientemeno che della prima dimostrazione
delle scale musicali nell’esatta serie successiva dei loro toni - in cui devono
comunque essere comprese le diagonali della generatrice - da un principio teorico
di gruppo immanente alla legge tonale. I quattro grandi cerchi contengono una
scala musicale B- maggiore: 9/8 bv linea della generatrice c 8/9 d 3/5 es (2 volte) 4/3 f
3/ g 5/ a (2 volte). Ritorneremo su questo argomento nel paragrafo sulla scala
2
3
musicale (§ 39).
Per concludere, ancora un esempio tratto dalla cristallografia. Ho già pubblicato
nel “Grundriß” , pag.260 e Tavole 21-25 , un certo numero di tipi combinatori
triangolari con una serie di registrazioni di cristalli di neve, e riporto qui due figure analoghe (Fig.271a).
figura 271a
106
MANUALE DI ARMONICA
Non avrebbe naturalmente nessun senso cercare delle concordanze precise tra
questi due prototipi (diagrammi) ed ectipi (cristalli di neve) , per la semplice
ragione che a questo scopo sono necessari dei diagrammi con un indice decisamente superiore, ed un archivio di diagrammi combinatori esagonali ad indice
superiore di questo tipo richiede un grande e lungo lavoro. Ogni cristallo di neve
infatti, dal punto di vista del suo aspetto molecolare è già un’ immagine straordinaria ad indice molto elevato.
Dal confronto della Fig.271a è comunque già possibile vedere che esistono delle
corrispondenze morfologiche tra il prototipo e l’ectipo, e non si deve dimostrare
altro che questo: che il “calcolo combinatorio” armonicale è in grado di spiegare
anche il mistero dell’immensa varietà formale della natura dei cristalli. Questa ricchezza formale ha come suo sfondo una serie di valori animici, tanto da poter
affermare: in ogni nevicata si vengono a creare migliaia di combinazioni di forme
animiche, un magico mantello argentato di “toni congelati” che ci portano la testimonianza di una Armonica universale della misteriosa potenza creatrice.
§ 32 b Bibliografia
H.Kayser : “H.M.” pagg.82,84 ; “Kl.” pag.118 ; “Gr.” pagg.121, 122, 260 e segg. ;
“H.Pl.” pagg.26, 27, 31.
L’opera di Owen Jones: “Grammatik der Ornamente” (- Grammatica degli ornamenti -) (molte edizioni, ediz.tedesca dal 1865) fornisce moltissimi esempi di arte
ornamentale.
107
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
§ 33 DIAGRAMMI POLARI
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Giungiamo ora a parlare delle rappresentazioni circolari e polari (da non confondere con la “polarità“ come forma di valore!) del diagramma delle coordinate
tonali. Esistono tre diverse possibilità elementari di rappresentazione, e cioè:
1- la forma circolare semplice delle coordinate tonali, in cui il reticolo di coordinate ad angolo retto o obliquo viene trasformato in coordinate polari; 2- la divisione del cerchio (della circonferenza o dell’angolo al centro) secondo la misura
delle razioni tonali, e 3- la trasformazione di queste razioni, cioè del diagramma
delle coordinate tonali, in vettori (angoli), collegata a una notazione contemporanea degli stessi come distanze dal centro, e cioè il cerchio della generatrice.
§ 33,1 Le coordinate tonali circolari
Esse consistono fondamentalmente solo in una variazione circolare del solito diagramma tonale. Lo possiamo notare nel modo migliore nella costruzione delle
Figg. 272 e 273. I normali fogli polari in vendita forniscono una divisione del cerchio in 16 parti, ma è naturalmente possibile realizzare da soli con facilità queste
coordinate polari, porle su un supporto di cartone, e fare i propri esperimenti su
carta lucida appoggiata su questo.
Poniamo dunque (Fig.272) l’ 1/1 nel centro, 1/2 2/1 ed anche 2/2 sui tre punti del
primo cerchio successivo, e proseguiamo in questo modo fino ad ottenere un reticolo di razioni che si chiude in alto con l’indice 9. In queste due permutazioni le
serie dei lati compongono una curva a forma di cuore.
108
MANUALE DI ARMONICA
figura 272
Ripartiamo dal punto 1/1 al centro, e scegliamo questa volta lo sviluppo delle
razioni in modo che la serie armonica superiore non salti nessuno dei cerchi successivi, la linea della generatrice ne salti sempre uno, e la serie armonica inferiore
ne salti sempre due, e ricaviamo così la permutazione della Fig.273.
109
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
figura 273
Si ottengono delle variazioni di questo tipo circolare con delle divisioni diverse
del cerchio (qui è stata scelta la divisione in 16 , cioè la “divisione dell’ottava“!).
Si ricavano delle permutazioni con una scelta diversa delle razioni di partenza,
esattamente come nei tipi triangolari e quadrati analizzati nel § 31. Sia in questo
caso che nel precedente, la “variazione” e la “permutazione” sono una questione
innanzitutto geometrica (a questo riguardo si confronti la successiva divisione del
cerchio secondo le razioni armonicali!) ; anche questi tipi circolari guadagnano la
loro possibilità di utilizzo armonicale solo fissando diversamente il contenuto
delle razioni, attraverso cioè una valorizzazione animica. Il lettore sperimenti da
110
MANUALE DI ARMONICA
solo questa relazione, ed anche eventuali possibilità di combinazioni , che si presentano però decisamente più complesse, e che fino ad ora non sono ancora state
analizzate.
§ 33,2 Le divisioni del cerchio secondo le razioni del diagramma tonale
Se ci immaginiamo la circonferenza del cerchio come una corda piegata del
111
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
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monocordo, e dividiamo la sua lunghezza (lunghezza della corda) o vibrazione
(frequenza) secondo la misura della successione dei numeri interi, ricaviamo le
quattro possibilità della Fig.274 , che sono qui sviluppate fino all’indice 8 in 7
colonne.
figura 274
112
MANUALE DI ARMONICA
Ancora qualche parola a chiarimento della Fig.274.
Per “suddivisione“ si intende la divisione della circonferenza del cerchio (=
corda). La “sovradivisione“ presuppone come prima cosa il suono del cerchio
intero come unità della corda (unità della frequenza) , e poi affianca a queste unità
i relativi settori delle divisioni del cerchio in oggetto.
Per quanto riguarda innanzitutto la razionalizzazione che risulta da queste divisioni del cerchio, si mettano a confronto tutte le razioni di un gruppo di 4 elementi,
come la divisione in 6 parti (6) di un diagramma delle nostre coordinate tonali. Se
si riportano le frazioni dei 4 cerchi :
figura 275
si vede immediatamente che attraverso queste divisioni del cerchio si ottengono
alla fine tutte le coordinate tonali:
figura 276
Da un punto di vista geometrico siamo qui di fronte al cosiddetto “quadrilatero
regolare“.
Da un punto di vista tonale di giunge però ad un risultato ancor più interessante, in
quanto in seguito all’analisi delle lunghezze della corda e delle frequenze, ogni
razione acquista il suo valore tonale reciproco, il quale viene qui indicato nei cerchi riportati sotto a e b .
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
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La caratteristica tonale di queste divisioni del cerchio è illustrata nell’esempio
delle note al di sotto di ognuna di esse.
Ho realizzato di proposito le variazioni complete della Fig.274 per fornire al lettore un sostegno per delle altre analisi di questo tipo - nei casi successivi potremo
quindi essere più brevi.
Non possiamo intraprendere un’analisi e una valutazione di determinate divisioni
del cerchio nel dettaglio (angolo, poligono regolare, luoghi del cerchio dei toni)
prima di aver esaminato la terza e più importante modalità dei diagrammi circolari
armonicali, che prenderemo in considerazione ora.
§ 33,3 I diagrammi vettoriali
Mentre prima abbiamo diviso la linea del cerchio consecutivamente in 2, 3, 4 parti
uguali (archi) , ed abbiamo analizzato gli archi determinati dal poligono regolare
come “toni“ (= lunghezze della corda e frequenze) , esamineremo ora ciò che
risulta dividendo l’angolo di 360° secondo le razioni armonicali.
Un angolo naturalmente non può “suonare“, ma noi siamo assolutamente autorizzati a paragonare l’angolo intero di 360° alle lunghezze della corda, o unità di frequenza 1/1 , e suddividere o sovradividere questi 360° come unità = 1/1 , come
abbiamo fatto con la circonferenza del cerchio. Questo è stato indirettamente realizzato già prima (Fig.274) , dividendo attraverso il poligono regolare ed i suoi
assi l’angolo interno al centro secondo le stesse razioni.
Spostiamo ora il nostro punto di vista completamente sulle sezioni dell’angolo, e
vediamo accadere così qualcosa di completamente nuovo: la trasformazione dei
valori tonali determinati precedentemente con segmenti o frequenze in direzioni
(vettori) ; ogni angolo infatti non è altro che l’indicazione di una determinata direzione.
È necessaria qui però molta attenzione, per cominciare in modo del tutto indipendente dalle precedenti divisioni del cerchio.
Dividiamo come prima cosa l’angolo intero di 360° successivamente in 2, 3, 4, 5 e
6 parti, ottenendo così l’immagine della Fig.277.
114
MANUALE DI ARMONICA
figura 277
Partendo dalla retta (vettore) 0° = 360° e muovendosi verso il basso, risulterà
dalla parte opposta l’ottava 1/2 c’ 180° , poi 1/3 g’ 120° e così via (valori tonali
secondo le lunghezze della corda). È facile vedere come nella metà superiore del
cerchio rientrino alla fine tutte le razioni aliquote, che si avvicinano sempre più al
grado zero, secondo la legge della quantizzazione e della “prospettiva“ armonicale, ma che non lo raggiungono mai. Nonostante dunque si sia diviso l’angolo intero di 360° secondo le razioni armonicali, e si siano ottenuti i vettori corrispondenti, non si può giungere molto lontano in questo modo; con ciò infatti abbiamo in
effetti ottenuto solo la rappresentazione vettoriale dello “smorzarsi“ della consueta
serie tonale, che ci è mostrata linearmente da ogni divisione della corda. Oltre a
ciò, all’interno del cerchio si ha un equilibrio estremamente irregolare. È necessario dunque cercare un’altra strada.
A questo scopo ci sono utili due riflessioni. Poiché i toni si sviluppano “al di
sopra“ e “al di sotto“ dell’ 1/1 , sarà opportuno porre questo 1/1 non come il centro
del cerchio, ma esso stesso come cerchio, in modo che le razioni armoniche supe115
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
riori ed inferiori si collochino (come cerchi) all’esterno o all’interno del cerchio
dell’unità. Ciò non ha ancora nulla a che fare con i toni come vettori. Il loro collegamento con i vettori realizza però, come vedremo più tardi, la creazione unitaria
della “spirale tonale“ , che rappresenta la sintesi dei vettori (angolo, direzione) e
delle grandezze (distanza dal cerchio dell’unità).
La seconda riflessione riguarda la necessità di realizzare, all’interno dell’angolo
intero di 360°, una distribuzione dei vettori tonali che si dispongano in tutto lo
spazio dell’angolo nel modo più uniforme possibile. A questo scopo è necessario
un mezzo molto semplice: la trasposizione d’ottava che già conosciamo, cioè la
proiezione di tutti i toni nello spazio dei 360° , che viene considerato come un’ottava. Per fare ciò si devono innanzitutto ridurre i toni a questa “ottava angolare“,
cosa che possiamo realizzare attraverso l’operazione seguente, che illustriamo
attraverso le razioni 3/2 g e 4/3 f :
figura 278
Come mostra l’esempio a destra, è necessario innanzitutto portare la razione 2/3 f
all’ottava 4/3 che sta al di sopra di 1/1 c , e fare lo stesso con tutte le razioni più piccole di 1/1.
Il procedimento è quindi molto semplice, si pone :
1 : numero tonale = angolo intero : x
e si ricava poi per x l’angolo che corrisponde al numero tonale. È possibile inoltre
notare che qui, al contrario delle Figg. 274 e 277 , la posizione dell’ottava delle
razioni in oggetto è indifferente: tutte le ottave - c 1/2 c, 1/1 c 2/1 c’ si trovano sul
raggio 0° (360°) , tutte le ottave - g 3/4 g 3/2 g 3/1 g’... sul raggio 180° , e così via.
Per compensare questa mancanza della trasformazione d’ottava, e includerla
ugualmente nell’immagine grafica, esaminiamo queste ottave sottoforma di
116
MANUALE DI ARMONICA
distanze regolari all’interno e all’esterno del cerchio dell’unità. A questo consegue
che per ogni angolo tonale si avrà anche un cerchio tonale.
Veniamo ora alla costruzione di questo diagramma fondamentale, per il quale ci
serviamo dei numeri e dei valori delle frequenze. Poniamo il tono c come unità 1/1
, il cui campo sarà dunque un cerchio con il raggio = 1 ; il raggio corrisponde alla
grandezza del tono; la sua circonferenza è il luogo per tutti i valori 1/1 c. Il raggio
può prendere una qualsiasi direzione a partire dal centro, la quale deve dunque
essere stabilita arbitrariamente, tracciando un raggio qualsiasi (Fig.279).
figura 279
A partire da questo, si definiscono tutti gli altri vettori. Due “dimensioni“ completamente diverse, una grandezza (distanza dal centro 0) ed una direzione (raggio)
vengono qui dunque ad incontrarsi in una rappresentazione unitaria. Le razioni
successive sono 1/2 c, e 2/1 c’ . Non è più necessario cercare la loro direzione, che
dev’essere chiaramente identica a quella del valore 1/1 c. La grandezza dei raggi
invece deve essere rispettivamente il doppio e la metà del raggio del cerchio 1/1.
Otteniamo così il diagramma della Fig.280:
117
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
figura 280
Se costruiamo questi diagrammi secondo l’indice del diagramma tonale, cioè
secondo lo schema di razioni:
figura 281
con un indice 2 otterremo un raddoppiamento del primo valore -c (1/1 e 2/2) , che è
bene marcare raddoppiando, triplicando (disegnando con una linea più grossa) il
cerchio della generatrice (Figg. 280, 282, 284). Con l’indice 3 compaiono vicino a
3/ c due nuovi valori, il cui angolo è già stato calcolato sopra: 2/ f 120° e 3/ g
3
3
2
180°.
118
MANUALE DI ARMONICA
Dividiamo innanzitutto il raggio 0 - 1/1 c in tre parti, prendiamone i 2/3 all’interno
del cerchio e suoniamo la circonferenza 2/3 f , . Considerando i 3/2 del raggio 1/1 ,
suoniamo ora la circonferenza 3/2 g . Calcoliamo ora gli angoli 120° f e 180° g in
senso orario, e tracciamo a partire dai relativi cerchi i raggi f e g (cfr. la Fig.282,
in cui non sono disegnati i cerchi 2/1 c’ e 1/2c, !).
figura 282
È evidente che proseguendo in questo modo e disegnando anche i cerchi delle
ottave delle razioni successive, si otterranno in breve dei diagrammi grandi ed
estesi. Il lettore non trascuri di sviluppare almeno un diagramma di questo tipo per quanto l’apertura del suo compasso gli consenta.
Questo procedimento, molto bello da un punto di vista grafico e figurativo ma
abbastanza complesso, non è però necessario, se ci interessa soltanto esprimere il
119
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
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maggior numero di valori tonali possibile in vettori. Poiché infatti nel sistema
delle coordinate tonali tutti i valori compaiono prima o poi nel campo della prima
ottava superiore e inferiore, sarà sufficiente utilizzare questo spazio del diagramma tonale circoscritto dalle due linee equitonali 0/0 2/1 c’ e 1/2 c 0/0 , per esempio
con l’indice 7 (Fig.283).
figura 283
Se costruiamo ora a partire da queste razioni un diagramma, seguendo le indicazioni appena date, si otterrà la Fig.284.
120
MANUALE DI ARMONICA
figura 284
Tentiamo qui di disegnare i singoli vettori secondo la loro “potenza“ , ed i cerchi
secondo il loro “peso“. Poiché sul vettore -c compaiono 7 valori -c , questo viene
disegnato con 7 linee sottili. Già qui vediamo presentarsi una differenziazione
abbastanza grande nei vettori e nei cerchi; la Fig.284 mostra anche un altro nuovo
momento caratteristico, già nominato sopra. Se colleghiamo infatti i punti dei cerchi da cui partono i singoli vettori con una linea curva, otteniamo una spirale.
Trattandosi qui di uno schema decimale del diagramma tonale, ho chiamato questa
spirale: “spirale tonale decimale“ , a complemento di una spirale possibile anche
121
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
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nello schema logaritmico.
Possiamo semplificare ulteriormente i diagrammi polari se ci limitiamo a considerare solamente l’angolo (vettori, direzione dei toni) , e trascuriamo completamente
i cerchi tonali corrispondenti ad essi.
Siamo così di fronte solo ad una grande circonferenza qualsiasi, su cui compaiono
i toni - più o meno come nella Fig.285, e come nei diagrammi polari che incontreremo in seguito esaminando la scala tonale e gli accordi.
figura 285
Questa versione semplificata è del tutto sufficiente per affrontare molte analisi.
Una comprensione approfondita di questo fondamentale diagramma polare armonicale è così importante da doverlo ulteriormente studiare , dopo aver ricapitolato
ciò che si è detto fino ad ora.
Dividendo l’angolo intero di 360° oppure la circonferenza del cerchio secondo
122
MANUALE DI ARMONICA
una determinata successione continua, è possibile ottenere tutte le razioni della
serie armonica superiore senza calcoli, ma in modo puramente geometrico. Questo
è illustrato chiaramente nella Fig.286.
figura 286
Poniamo innanzitutto la linea 1/1 c (cerchio 1) , giriamo intorno a questo cerchio
una volta (seconda operazione) ed otteniamo così l’ottava 2/1 c’. Con la terza operazione si giunge ad un nuovo valore 3/1 g’ : è necessario qui fare la prima suddivisione dei 360° in 180° , così da ricavare la linea -g. La quarta operazione non dà
un nuovo valore con 4/1 c’’, poiché la sua razione viene segnata sulla linea -c. Con
la quinta operazione si ottiene un nuovo valore -e : il settore 180° dev’essere qui
diviso in 90° , ricavando così la linea -e sui 90° , e così via. Vediamo dunque che è
possibile ricavare i vettori tonali esatti della serie armonica superiore 1 2 3 4 ,
attraverso continue bisezioni dei nuovi valori che compaiono di volta in volta,
cioè con un procedimento semplicemente geometrico e senza calcoli angolari.
Facciamo una prova con 11 fis’’’ 135° dell’ultimo cerchio della Fig.286 :
123
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
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figura 287
La posizione di questo ° fis è identica alla sua posizione nell’ultimo diagramma
circolare a destra della Fig.286 , e proprio il confronto di questo con le divisioni
regolari del cerchio della Fig.274 ci fornisce la spiegazione di come è possibile
ottenere tutte le razioni ed il loro angolo (vettori) in modo puramente geometrico.
La divisione diadica rispettivamente circolare e angolare in 2 4 8... parti dà origine
dunque a tutte le serie armoniche primarie, che cominciano con le razioni 1/1 1/2 1/4
1/ e così via.
8
La divisione triadica in 3 6 12 24... parti produce tutte le serie delle quinte, che
cominciano con le razioni 1/3 1/6 1/12 e così via.
La divisione pentadica in 5 10 20... parti origina tutte le serie delle terze, ecc..
Il cosiddetto “poligono regolare“ compare qui allora sotto una luce nuova. Da un
punto di vista armonicale esso rappresenta la possibilità di rappresentazione geometrica delle coordinate tonali, tanto secondo le sue lunghezze e frequenze, quanto secondo gli angoli (vettori).
Il momento della spirale tonale verrà analizzato più specificatamente nel prossimo
§.
§ 33 a Ectipicità
§ 33 a,1 Spettri tonali e modello atomico
1- Nei miei “spettri tonali“ (nelle “Abhandlungen“) , che danno dei fondamenti
nuovi alla relazione tra gli spettri ottici e la legge tonale, il diagramma polare
armonicale fondamentale della “spirale tonale decimale“ viene utilizzato per dare
un’idea di come si possa giungere ad un’emissione di spettri a partire da un
modello atomico ipostatizzato.
Rimandiamo il lettore interessato a maggiori particolari alle relative dissertazioni,
124
MANUALE DI ARMONICA
in quanto esse richiederebbero qui troppo spazio.
Quanto appreso in questo capitolo permette però al lettore di comprendere i due
diagrammi riportati nelle tavole delle Figg. 288 e 289 di questo manuale, il primo
(la spirale tonale delle TE 5) tratto da “Grundriß“ (tav.19) , ed il secondo (il
modello atomico acustico) dagli spettri tonali appena menzionati (tav. VIII).
figura 288
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
figura 289
Quanto alla tavola della Fig.288, essa mostra nella figura in alto a sinistra il
campo di coordinate del piano tonale ad indice 5 da analizzare, secondo le misure
del quale sono disegnati sia gli angoli (raggi) e i cerchi, che le distanze dei cerchi
dal cerchio centrale della generatrice (segnato in grassetto) verso l’interno e verso
l’esterno. La tabella a destra in basso mostra i valori tonali, ordinati secondo la
frequenza con cui si presentano. In questo modo diventa per esempio immediatamente evidente il raggio c disegnato con 11 tratteggi al suo margine superiore, in
126
MANUALE DI ARMONICA
quanto qui si accumulano tutti i valori -c , e allo stesso modo si nota anche la
“potenza“ del cerchio della generatrice, che coi suoi valori “interni“ -c è “forte“ di
8 unità. Lo spettro a sinistra mostra le 7 linee dello spettro, in cui si accumulano le
razioni (ridotte di ottava) delle TE 5 del modello atomico. Proprio questo “accumulo“ , cioè la differente potenza delle linee dello spettro, per la quale non è stata
ancora trovata una spiegazione sufficiente, si lascia seguire con la massima esattezza in base alla sua formazione armonicale. Per quanto riguarda i molti altri
momenti importanti della “struttura sottile“ degli spettri ottici, che si possono
spiegare solo con delle analisi e concezioni armonicali, si confrontino gli “spettri
tonali“.
Il “modello atomico acustico“ indicato in quel luogo (nostra Fig. 289) , le cui
razioni presentano uno spettro angolare decimale del tipo I del quadrante tonale ad
indice 3 (cfr. § 37!) , sarà comprensibile per il lettore anche senza descrizioni più
dettagliate.
Caratteristico di questo diagramma sviluppato dal cubo tonale è, nonostante il suo
basso indice 3 ed i pochi valori tonali che compaiono in esso, il suo “involucro
elettronico“ (cerchi al di fuori del cerchio della generatrice 1/1) effettivamente
grande rispetto al piccolo “nucleo“ (cerchi all’interno del cerchio della generatrice). Poiché esistono più di 90 “elementi“, le cui orbite elettroniche si sommano
consecutivamente in base al loro numero atomico, a partire dall’elemento più
semplice (idrogeno), allora secondo la rappresentazione armonicale, degli atomi
con un numero atomico elevato emetterebbero, in un nucleo estremamente fitto,
una “energia a distanza“ altrettanto intensa - una riflessione che portebbe forse
spiegare l’enigma della cosiddetta “radiazione cosmica“ , ed anche la coesistenza
universale della materia nonostante gli “spazi vuoti“ esterni, e ancora l’ipotetico
“etere“, ecc. , le cui idee sono state abbandonate anche dalla fisica odierna.
Poiché oltretutto nei prototipi e nelle concezioni armonicali si parla di oscillazioni
e di onde, a cui sottostanno tuttavia certi altri valori, si sarebbe con ciò data soddisfazione alle rappresentazioni concettuali della fisica moderna.
§ 33 a,2 Telepatia
2- È possibile qui spingersi anche oltre. Poiché tutti i prototipi armonicali non
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§ 33 DIAGRAMMI POLARI
sono altro che figurazioni di valori, è possibile immaginare la “testa“ dell’uomo
come una specie di sfera armonicale, in cui il cervello è il “nucleo“, e l’emissione
dei pensieri l’ “involucro“.
Fornendo delle basi formali al “modello atomico acustico“ sarebbe quantomeno
possibile, con una trasformazione nel piano dei valori, fornire una spiegazione ad
un fenomeno la cui fattività dovrebbe oggi essere incontestabile, ma per il quale
non si possiede ancora alcuna concezione scientificamente plausibile: la telepatia.
Al contrario del campo d’azione “materiale“ dell’atomo, che è legato rigidamente
ad una singola configurazione di campi d’onde, l’uomo può formulare liberamente
i suoi pensieri, o se vogliamo esprimerci in termini armonicali: può determinare
liberamente l’indice e la selezione delle sue emanazioni psichiche.
Così come ci si può fare un’idea della coesistenza universale della “materia“ e del
suo effetto a distanza basandosi sulla rappresentazione del modello atomico acustico, partendo da un’ipotesi analoga per le “onde dei pensieri“ è possibile immaginarsi una trasmissione di pensieri “sincronizzata“ temporalmente e in grado di
attraversare grandi spazi, la cui unisonità presuppone comunque da parte del destinatario una risonanza che sia concorde con l’ emissione relativa.
Presupponendo il carattere analogico di questo esempio, si ammetterà che il punto
di vista armonicale fornisce qui perlomeno una via d’accesso all’enigma degli
effetti a distanza materiali e spirituali, comprensibile sia all’intelletto che al cuore.
Catalogare i fatti significa già molto; ma se due uomini, in due parti opposte della
terra hanno nello stesso momento dei pensieri identici o estremamente simili,
avremo tutte le ragioni di stupirci di questo fenomeno assolutamente inspiegabile
coi nostri metodi scientifici attuali.
Proprio per questa ragione vogliamo allora “sapere“ come ci si debba, ci si possa
spiegare tutto ciò: e l’Armonica, attraverso il suo diagramma polare, è in grado di
fornirne almeno un’idea sufficiente, fondata su concetti che sono frutto di studi
esatti e incontestabili, e con delle giustificazioni maggiori di tutte le teorie sulla
telepatia vaghe, fantasiose o miseramente primitive formulate fino ad oggi.
Per ciò che riguarda il significato del momento della direzione (vettori) , che
acquista per così dire un’autonomia propria nei diagrammi polari, ma che compare comunque in tutte le configurazioni armonicali, ci si riferisca al § 44.
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MANUALE DI ARMONICA
§ 33 b Bibliografia
H.Kayser : “H.M.“ pagg. 90, 91 e tav. IV ; “Kl.“ pag.81 e Fig.5 ; “Abh.“ pagg. 90,
149 e segg. e tav. IV (spettri tonali) , pag.165 e segg. e tav. VIII (ibid.) ; “Gr.“
pagg.120, 121, 240 e segg. e tav. 19 ; “H.Pl.“ pag.142 e segg. , pag.152 e segg.,
pagg. 270 - 276.
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
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Nel § 27 abbiamo sviluppato le 3 curve caratteristiche di 2° grado (parabola, iperbole, ellisse) a partire dalla configurazione del diagramma tonale, ponendo cioè
alla loro base il sistema delle coordinate piane del diagramma tonale o le loro
grandezze quantitative o logaritmiche, a cui naturalmente corrispondono sempre
dei valori.
§ 34,1 Spirali tonali fondate sulle lunghezze della corda e le frequenze
Le spirali tonali decimali
Vogliamo ora analizzare alcune curve tipiche che si incontrano nei diagrammi
angolari (-vettoriali) delle coordinate tonali.
Abbiamo già conosciuto queste spirali tonali decimali nei precedenti § 33,3 e § 33
a (ho chiamato fino ad ora questo tipo di spirali tonali “decimali”, e quelle fondate
sui logaritmi tonali “spirali tonali logaritmiche”
, il che però può causare
degli errori nella terminologia - cfr. il punto 2
sotto!).
Nelle Figg. 290-291
vogliamo darne una rappresentazione riassuntiva in due varianti: la
Fig.290 con le razioni
secondo le lunghezze
della corda, e la Fig.291
con le razioni secondo le
frequenze.
figura 290
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MANUALE DI ARMONICA
figura 291
Nel realizzare questi diagrammi reciproci è necessario seguire un ordine, qualsiasi
esso sia: qui si considera come momento comune la successione ascendente dei
passi tonali all’interno di un’ottava (= cerchio) , a partire da 360° = 0° in senso
orario: Le due spirali prendono in questo modo una direzione reciproca (speculare) ; “sovrapponendole”, la loro forma coincide perfettamente.
Questo non accade invece agli intervalli geometrici dei passi tonali. In questo caso
la direzione dello smorzarsi, della riduzione dell’intervallo va da sinistra verso
destra in senso orario nel diagramma secondo le lunghezze della corda, e invece
da destra verso sinistra nel diagramma secondo le frequenze. Sappiamo che questa
riduzione è il momento caratteristico della “Legge della quantizzazione armonicale”, che ritroviamo tra l’altro anche nella divisione del monocordo, in cui le sezioni verso l’alto diventano sempre più strette. La domanda è però questa: quale tipo
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
di riduzione corrisponde alla riduzione delle lunghezze della corda se si considera
la circonferenza del cerchio come una corda del monocordo?
È chiaro che bisognerà mettere alla base il diagramma della spirale secondo le
lunghezze della corda della Fig.290, cosa che risulta già dal confronto con la
tabella della Fig.274, in cui p.es. il tono si trova nel secondo cerchio dell’indice 5
e nel luogo esatto della divisione della corda (5/5 c 0° , 6/5 a 72° , 7/5 x fis 144° , 8/5
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e 216°) e cioè su 260°.
La tabella seguente 292, in cui sono riportati solo i toni es , e , f , g , as , a , dà
un’istruttiva visione d’insieme della relazione reciproca dei diagrammi delle Figg.
290-291. La reciprocità si esprime qui in modo molto chiaro, sia negli intervalli
che nei relativi angoli e le loro differenze.
figura 292
In quanto alla caratteristica matematica di queste spirali tonali, si è qui davanti
alla cosiddetta spirale archimedica. La scelta di quale delle due varianti sia da utilizzare dipende dalle analisi ectipiche per cui essa ci può servire, e prescinde dal
suo significato autonomo. Nella grande tavola delle razioni riportata alla fine di
questo manuale sono indicati gli angoli di entrambe le varianti; le altre tavole e
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MANUALE DI ARMONICA
tabelle riportano solo gli angoli delle frequenze, poiché di solito lavoriamo soprattutto con queste.
§ 34,2 La spirale tonale in base ai logaritmi (la spirale tonale logaritmica)
In anticipo al prossimo § 35, vogliamo parlare già qui della spirale tonale logaritmica, in quanto il confronto di questa con le spirali tonali decimali pone in evidenza sia la loro differenza da questa che la loro particolarità. Si confronti ciò che
segue con la Fig.293.
figura 293
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
Poiché qui i cerchi, le distanze e gli angoli non corrispondono alle grandezze
quantitative delle lunghezze della corda e delle frequenze, ma ai valori tonali qualitativi, i cerchi delle ottave 1/1 c 2/1 c’ 4/1 c’’ 8/1 c’’’... devono essere equidistanti;
noi sentiamo infatti le ottave come spazi tonali alla stessa distanza. L’angolo tonale si calcola in base alla formula riportata a sinistra nella Fig.293. Le distanze
degli altri cerchi tonali si muovono sempre nello spazio tra 0 - 1000 (con tre decimali) : le si può disegnare nel modo più semplice utilizzando della carta millimetrata come falsariga, e realizzando le ottave 0- 1/1 - 2/1 ecc. di 10 cm. Tre ottave
sono già sufficienti, per la posizione degli angoli addirittura una sola, come in tutti
i diagrammi polari. Con più cerchi di ottave si ha però il vantaggio di ottenere più
giri della spirale, e quindi la sua fisiognomia in modo più chiaro.
Per quanto riguarda la ripartizione dei toni sulla circonferenza del cerchio della
spirale tonale logaritmica e del diagramma polare logaritmico, anch’essa si regola
in base alle distanze “animiche”, cioè in base a come si sentono gli intervalli, e
non a come si misurano. Il momento “prospettico” dello sfumare dei suoni qui
scompare, e l’occhio vede gli intervalli distribuiti come l’orecchio li sente.
Ciò che è interessante in questa “spirale tonale logaritmica” è che non si ottiene
per niente una spirale logaritmica, ma una comune spirale archimedica; è necessario dunque distinguerla bene dalle “spirali logaritmiche” in sé in senso matematico.
A questo riguardo ci documenteremo meglio nel § successivo.
§ 34,3 Le curve tonali della disposizione polare
Ai punti 1 e 2 abbiamo costruito le spirali tonali a partire da un centro del cerchio
fisso. Se si lascia “vagare” questo centro sulla corda del monocordo in modo regolare, si otterrà una curva estremamente particolare, che io ho chiamato “curva
tonale” (“H.Pl.” , pag.127), e che è riportata nella Fig.294.
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MANUALE DI ARMONICA
figura 294
Ci si immagini l’intera lunghezza come una corda di monocordo di 120 cm. Si
considerino poi come angoli quelli delle lunghezze della corda. Cominciamo a
porre a metà della corda, nel punto 60 (cm) l’angolo 0° (= c), il cui vettore coincide con la metà superiore della corda. Il tono seguente sarà 16/15 h (sempre secondo
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
le razioni delle lunghezze della corda!). Dividiamo la metà della corda del monocordo innanzitutto in 15 parti, aggiungiamo 1/15 in basso e troviamo il luogo della
corda per 16/15 h (il vettore di questo tono è stato tralasciato per errore sulla matrice). Troveremo il suo vettore seguendo lo schema (x/y x 360) - 360 , e cioè 16
360 = 5760 : 15 = 384 - 360 = 24° (16/15 h). Come già detto, quest’angolo ed il vettore corrispondente mancano nella Fig.294.
Segue il valore 12/11 °h. Per trovare il luogo della corda, possiamo dividere un’altra
volta la metà della corda in 11 parti ed aggiungere 1/11. Oppure possiamo calcolare: 60 : 11 = 5,454 x 12 = 65,44cm. , detrarre questa quantità dalla lunghezza del
monocordo 120 cm , ed ottenere così la lunghezza 54,5 cm , che riportiamo dal
basso verso l’alto fino a trovare il luogo della corda 54,5 cm per il tono 12/11 °h.
Calcolando ora l’angolo corrispondente analogamente a sopra, (12/11x 360) - 360,
si otterrà 32,7. Posizioniamo questo angolo (a destra o a sinistra) , tracciamo il suo
vettore (raggio) e riportiamo su di esso il resto della corda di 54,5 misurato dal
basso (resto che diventerà dunque sempre più corto nelle razioni successive).
Procedendo allo stesso modo con tutti i toni si otterrà la “curva tonale” della
Fig.294. Si possono naturalmente scegliere a piacere i valori tonali da un qualsiasi
diagramma tonale; essi devono solo essere prima ridotti d’ottava, ed essere scelti
in modo che i vettori si distribuiscano sulla curva nel modo più uniforme possibile: si potranno così costruire i vettori come linea di collegamento dei punti finali
dei vettori in modo preciso. Come la circonferenza del cerchio delle spirali tonali
precedenti, anche la spirale tonale comprende tutti i toni possibili, ossia infinitamente tanti toni ridotti di ottava.
§ 34,3a Il cicloide tonale
Invece della parte più corta della corda, è anche possibile riportare la parte più
lunga. Prendiamo cioè non la misura della sezione inferiore più corta, ma quella
della sezione superiore più lunga della corda del monocordo sul compasso, e
riportiamola sul vettore. Operando in questo modo per tutti i toni otterremo una
curva ancor più interessante, che io definisco “cicloide tonale” - una ellisse irregolare vicina alla forma del cerchio. Si ritrova questo cicliode nella tavola della
Fig.295.
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MANUALE DI ARMONICA
figura 295/295a
La curva tonale, alla quale essa si relaziona in modo reciproco per quanto riguarda
le lunghezze del monocordo, viene qui disegnata nel cicloide per permettere un
confronto migliore.
Questo cicloide tonale è straordinariamente interessante sotto diversi aspetti.
Supponendo che si tratti di un’ellissi, ho costruito l’ellissi col diametro più piccolo e più grande del cicloide - un procedimento che si può ritrovare in tutti i
manuali di matematica. Sovrapponendo questa ellissi regolare al cicloide - nella
tavola 307 a l’ellissi è stampata su un foglio trasparente e appoggiata sul cicloide
per un confronto - si può vedere che il cicloide quasi coincide con l’ellissi, ad
eccezione di alcune rientranze ed allargamenti.
Se si fosse ricavato e definito il cicloide solo come una curva, a partire da un
materiale di osservazione, quale espressione di un qualsiasi fenomeno naturale,
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
p.es. le orbite planetarie, senza conoscere la sua origine armonicale regolare, si
sarebbe senza dubbio indicata l’ellisse come relazione matematica, e per spiegare
le irregolarità dell’ellisse - per riprendere l’esempio delle orbite dei pianeti - si
sarebbero altrettanto indubbiamente cercati dei “fattori di disturbo” qualsiasi, in
questo caso delle influenze gravitazionali di altri pianeti ecc..
Il cicloide permette invece una spiegazione regolare di queste “irregolarità” , che
proviene dalla natura dell’origine armonicale della curva stessa!
Tra il cicloide e l’ellissi corrispondente esistono poi delle relazioni ancora più
strette. L’asse del monocordo viene diviso dal cicloide in tre “ottave” uguali :
nelle due ottave del monocordo vero e proprio, e in una ottava supplementare,
costituita dal prolungamento uscente dal monocordo verso il basso. Questa “ottava” si ripresenta nell’ellissi come distanza dei due fuochi F e F1 dai due punti
degli assi B e A della curva dell’ellisse. Gli angoli secondo i quali l’asse più grande (AB) e più piccola (CD) dell’ellisse taglia la linea del monocordo nel punto E e
G , misurano entrambi 45° ; si viene così a costruire, con il centro dell’ellisse S ,
un triangolo rettangolo isoscele SEG , la cui altezza dimezza EG (nel tono f).
Io non credo che queste relazioni possano essere semplicemente casuali.
La cosa più singolare è la “posizione laterale” che viene ad assumere in questo
modo la linea del monocordo che origina il cicloide, ed anche il centro S dell’ellissi relativa, che sembra stare in un completo isolamento.
Ipotizzando che sia possibile considerare questo cicloide armonicale - una figura
sicuramente nota agli antichi armonici, considerato il grande talento dei greci per
le costruzioni geometriche, anche se tenuta volontariamente segreta come gli altri
teoremi armonicali importanti - come il prototipo delle orbite planetarie, secondo
il pensiero pitagorico si dovrebbe chiamare il centro S dell’ellisse con il nome del
misterioso “parelio” pitagorico, cioè il “sole centrale” , un concetto rimasto fino
ad oggi impenetrabile, e che qui emerge dal cicloide armonicale e la sua ellisse in
modo assolutamente chiaro ed inconfutabile.
Proseguendo nella ricerca di questa ectipicità astronomico-simbolica, si raggiungeranno delle altre conoscenze “sferico-armonicali” rilevanti, riguardanti quella
“Ottava di Pitagora” così importante nell’antichità.
Qui all’interno del cicloide la si ritrova come momento creatore. Quando nella let138
MANUALE DI ARMONICA
teratura odierna si parla della “scala tonale” e dei ” 7 pianeti” , i due concetti fondamentali su cui si fonda l’antica Armonia delle sfere, questi concetti sono comprensibili in base alle antiche fonti essoteriche, le quali non conoscono e non
dispongono più dei veri fondamenti esoterici.
Se si ritorna però indietro all’interno del pensiero originario pitagorico, e si
comincia a procedere pitagoricamente nelle ricerche, risulta allora in modo evidente che il pitagorismo era un ambito di ricerca e di pensiero molto raffinato ed
immensamente esteso da un punto di vista armonicale, e che era ben lontano dal
dedicarsi a delle riflessioni primitive come si crede oggi.
Così è secondo me evidente che l’ “ottava” stessa, e non la “scala tonale” che
occupa lo spazio dell’ottava , era lo spazio originario dell’antica Armonia delle
sfere, e che all’interno di questo spazio venivano scelti i corrispondenti passi diatonici importanti, i loro valori tonali e vettori (cerchio - sfere) , per giungere ad un
confronto e ad una spiegazione delle luci celesti.
Si può vedere già nella nostra Fig.295 che esistono decisamente molto più di 7 valori tonali importanti all’interno dell’ottava. Per delle future ricerche armonicali questo cicloide tonale e la sua ellissi a mio avviso non sono solo importanti per delle
analisi storiche di tipo soprattutto sferico-armonicale, ma lo sono ancor più per una
spiegazione prototipica delle orbite planetarie. Per sviluppare però il vettore armonicale di ogni pianeta, la relativa distanza dal sole e la sua ellisse caratteristica a partire dal cicloide tonale, è necessario l’intenso lavoro specialistico armonicale di un
astronomo esperto, per il quale tutto ciò che è stato detto fino ad ora può essere solo
un incitamento. Se questo lavoro riuscisse, l’astronomia moderna avrebbe riconquistato il suo collegamento completo con il pitagorismo, che Keplero tentò già di realizzare nel suo “Il segreto dei mondi” , realizzò in parte con la sua III legge, e a cui
credette con tutte le sue forze per tutta la sua vita!
§ 34,3b La foglia primordiale (la protofoglia)
Se ora consideriamo gli angoli che poco fa nella curva tonale e nel cicloide abbiamo posto di volta in volta su una diversa parte della corda del monocordo (nel
nostro caso a sinistra; è naturalmente possibile porre gli angoli anche a destra,
ottenendo le stesse figure, solo in modo speculare) , e li collochiamo simmetrica139
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
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mente al centro dell’asse, otteniamo la curva tonale della “foglia primordiale (protofoglia)” - una definizione che preferiamo mantenere per ragioni di semplicità,
essendo questa curva già stata indicata in “H.Pl.” , pag.125, come il prototipo
armonicale della foglia per eccellenza.
figura 296
140
MANUALE DI ARMONICA
È possibile anche qui costruire due figure diverse, a seconda di come i segmenti
più lunghi o più corti - “plagali” o “autentici”, cfr. § 29,1 - vengono riportati col
compasso sui vettori uscenti di volta in volta dai diversi luoghi tonali della corda
del monocordo, verso l’alto o verso il basso. Presentiamo entrambe le figure nella
Fig.297.
Per ragioni di precisione, la figura interna della “foglia primordiale” viene stampata a sé (Fig. 296), e la sua costruzione viene illustrata in modo dettagliato.
Figura 297
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
Nel piccolo riquadro a destra in alto sono indicati i valori tonali e gli angoli del
piano tonale ad indice 7 , basati sulle lunghezze della corda, le quali si relazionano
in modo reciproco ai numeri di oscillazione (frequenze). Il quadrante in alto a
sinistra dà le corrispondenti lunghezze della corda ridotte d’ottava, calcolate per
un monocordo di 120 cm di lunghezza, e le restanze di queste lunghezze della
corda.
Un esempio: 1/3 della lunghezza della corda fa risuonare la dodicesima g’ (II quinta superiore) , mentre coi 2/3 della lunghezza della corda risuona un’ottava inferiore, quindi la I quinta superiore g. 1/3 della circonferenza del cerchio, cioè della
corda (360°) piegata in un cerchio, dà 120° ; 2/3 dà allo stesso modo 120°, poiché
si sono ridotti tutti i toni ad una ottava : tutti i valori -g giacciono cioè sul vettore
120°.
Lo stesso vale per la posizione dei toni sul monocordo , se li si vuole ridurre ad
una ottava. 1/3 g’ taglia via dai 120 cm di lunghezza della corda del monocordo 40
cm, la restanza : il segmento di corda rimanente dunque misura ancora 80 cm. 2/3
g taglia via 2 x 40 = 80 cm , cioè l’ottava inferiore di g’ ; poiché si vogliono ridurre tutti i toni ad una ottava di 1 - 1/2 (0 - 60 cm di lunghezza della corda o 0° 360° di circonferenza) , per tutti i valori -g rimangono 40 cm di lunghezza della
corda, e 80 cm di restanza. La Fig.296 è allora facile da costruire.
Per fissare il tono g si riportino, su un asse centrale di 60 unità, 40 unità a partire
dal basso verso l’alto; si ponga su questo punto in modo simmetrico il corrispondente angolo di 120° , e si disegnino entambi i lati dell’angolo = alle relative lunghezze della corda, cioè anch’essi di 40 unità. Procedendo in questo modo per
tutti i toni, si otterrà come linea di congiunzione di tutti i punti finali dei lati degli
angoli proprio la “foglia primordiale“. La sua forma rimarrà però sempre invariata. Questa potrà essere realizzata tanto più precisamente quanto più alto sarà l’indice delle coordinate tonali considerate, e quanto più ricca di toni sarà l’ottava.
Ció significa semplicemente che “la foglia primordiale” è una espressione formale
dell’essenza dei toni stessi - una scoperta che conferma e approfondisce in un
modo completamente nuovo il pensiero fondamentale della morfologia delle piante di Goethe.
La costruzione della curva esterna della “foglia primordiale” (Fig.297) risulta da
142
MANUALE DI ARMONICA
sé dopo ciò che è stato detto prima al punto a.
Come si può vedere dalla Fig.297, la curva interna ed esterna della “foglia primordiale”, diversamente dalla curva tonale e dal cicloide si rapportano in modo reciproco anche da un punto di vista morfologico: la curva interna più piccola ha solo
la punta rivolta verso l’alto, mentre la curva esterna ha la punta rivolta verso il
basso.
§ 34 a Ectipicità
La natura della spirale è stata indagata ampliamente in molte delle mie opere (cfr.
l’indice!) ; in questo luogo si vogliono dunque solo ricapitolare i punti fondamentali, ed indicare i dati ectipici in modo sommario.
Da un punto di vista matematico ci si immagina la spirale come un punto P , che si
muove con una certa “velocità” su una linea retta, la quale gira intorno ad un centro Z ad una determinata “velocità”. A seconda della grandezza e del rapporto di
queste due “velocità” e moti si originano le diverse spirali - archimediche, logaritmiche ecc. - con le loro diverse formule.
Già da questa definizione è possibile notare un certo paradosso della spirale : essa
è per così dire il simbolo geometrico di due moti divergenti, opponentisi, una specie di crono-geometria congelata, il fissarsi della dimensione temporale in quella
spaziale.
Continuando a riflettere, si osserva il concetto della “velocità” scindersi in due
componenti : l’una che tende verso l’esterno, in una direzione, un vettore, ed
un’altra che si trattiene verso l’interno, in una tendenza circolare. Lo si può anche
definire dicendo che nel punto che si muove sulla spirale si incontrano due
momenti costitutivi della spirale stessa : quello della direzione (angolo), e quello
della distanza (distanza dal centro).
In entrambi i casi la temporalità si trasforma in spazialità.
Risulta così comprensibile l’effetto più o meno “dinamico” di tutte le spirali. Esso
si origina dalle due tendenze divergenti : lo sfuggire linearmente ed il ruotare circumpolarmente, l’espansione e l’attrazione.
Ciò che si è detto fino a qui illustra dunque come le spirali che si trovano già nelle
due metà del diagramma delle coordinate tonali siano caratteristiche per gli svi143
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§ 34 SPIRALI TONALI E CURVE TONALI
luppi armonicali. Si pensi alla spirale così significativa della chiocciola nel nostro
canale uditivo!
Ci sono inoltre delle caratteristiche spirali tonali (nel senso generale di questa
espressione) che si basano su degli sviluppi armonicali, come già abbiamo visto e
come vedremo ancora nel § 36, in cui si verifica esattamente ciò che si è verificato
nelle analisi numeriche armonicali : tutte le spirali tonali acquistano attraverso i
valori tonali una valutazione animica, e permettono, in particolare grazie alla loro
riduzione ad una ottava (una operazione tipicamente armonicale, che la matematica e le scienze esatte non conoscono),delle analisi particolari (cfr. gli “spettri tonali” e il “modello atomico” relativo!), che con le consuete spirali matematiche
sarebbero realizzabili con difficoltà o non lo sarebbero affatto.
L’ectipicità della spirale si presenta nella natura con moltissimi esempi in quasi
tutti i campi del sapere, per cui daremo qui solo alcune parole chiave : la nebulosa
a spirale come prototipo dei sistemi della via lattea, i moti e le leggi a spirale nella
fisica, la spirale del modello atomico armonicale (“spettri tonali” !) come “motore” dell’emissione ottica degli spettri, le spirali nella struttura morfologica di diatomee, piante ed animali (curve dei fiori, chiocciole, struttura della chiocciola
superiore, fasci vascolari elicoidali delle piante) , la rappresentazione degli sviluppi “a spirale” degli isotopi storico-morfologici, e addirittura la spirale come patrimonio comune della simbologia religiosa (P.Sarasin, “Helios und Keraunos” Elio e Kerauno - , 1924, pag.67 e segg.), e molti altri ancora.
Si è tentato, anche se raramente, di enucleare questa pregnanza morfologica generale della “spirale”. A prescindere però dalle diverse spirali matematiche, di cui
nessuna ha particolari vantaggi o svantaggi in riferimento alle sue formule, tutti
questi tentativi si sono fermati al concetto matematico delle grandezze, proprio
come quelli condotti con la sezione aurea, e da questo punto di vista non è possibile riconoscere perché proprio alla spirale debba spettare un significato così universale.
Se però si riconduce la tettonica di queste forme a determinati valori animici,
come l’Armonica è in grado di fare, e si osserva questa forma non solo fisiologicamente (chiocciola dell’orecchio) attraverso il “filtro” di questi valori animici,
ma in una delle sue modificazioni più importanti, cioè la spirale tonale e la spirale
144
MANUALE DI ARMONICA
logaritmica (cfr. § 18,3b) addirittura come l’espressione morfologica di questi
valori animici, questo è allora qualcosa di completamente diverso, molto più
impegnativo sotto ogni aspetto; si comprende così che una forma di valore così
spiccata deve avere le corrispondenze del suo valore formale nella natura intera, e
che essa stessa è presente nei nostri concetti figurativi spirituali e religiosi.
§ 34 b Bibliografia
H.Kayser : “H.M.” , pagg. 89-92 e tav. IV e V ; “Kl.” , pagg.81-84 ; “Abh.” :
“spettri tonali”, pagg.111-189 e tavole relative ; “Gr.” , pagg.120, 121, 240-253
(spirale di gruppo); “H.Pl.” , pagg.124-127, 142 e segg., 152 e segg., 270 e segg. ;
“H.St.”, II (chiocciola del violino!).
145
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§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
Fino a questo momento abbiamo costruito il nostro consueto diagramma tonale
ponendo sotto la serie armonica superiore
1/
1
c 2/1c’ 3/1 g’ 4/1 c’’ 5/1 e’’...
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ulteriori serie armoniche superiori con le razioni di partenza reciproche rispetto a
questa serie, che seguono le serie aliquote semplici:
figura 298
Se continuiamo ad interpolare nello stesso modo verso l’alto, otterremo chiaramente (volendoci attenere allo schema delle serie armoniche che si sviluppano
verso destra) il proseguimento seguente:
figura 299
146
MANUALE DI ARMONICA
Proseguendo con questa operazione anche verso sinistra e giungendo fino all’indice 6, otterremo il diagramma rappresentato nella Fig.300:
figura 300
Chiamiamo questo diagramma “piano tonale (TE) aperto” o “completo”, a differenza o meglio a completamento del piano tonale considerato fino ad ora, che
indichiamo invece con 1/4 TE (un quarto di piano tonale), volendolo definire in
modo preciso attraverso un simbolo breve.
Fondamentalmente non si tratta d’altro che di un ulteriore sviluppo regolare della
serie armonica superiore, in tutte le 4 direzioni dello spazio piano delle coordina147
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§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
te. Questo diagramma tonale aperto è di estremo interesse sotto diversi aspetti, e
verrà qui analizzato innanzitutto nel suo contenuto principale - le sue diverse particolarità importanti (cadenza ed altre ancora) verranno poi riprese nei §§ successivi.
Sui rami verticali e orizzontali degli assi coordinati (Fig.300) sono riportate le
serie tonali reciproche, che si incrociano nel tono di base 1/1 c. Il campo di coordinate viene in tal modo suddiviso nei 4 settori a b c d. Di questi settori, a e b hanno
lo stesso contenuto, mentre la posizione delle loro razioni, la loro localizzazione, è
invece specularmente rovesciata. Entrambi i casi presentano qui dunque il tipo del
piano tonale originario _ TE. I settori c e d mostrano invece un aspetto completamente diverso. Le razioni del settore superiore destro c sono tutte quantitativamente più grandi di 1 (> 1), e salgono rapidamente in altezza fino al vertice della
razione angolare 36/1 d’’’’’ ; le razioni del settore inferiore sinistro d sono tutte
quantitativamente più piccole di 1 (<1), e scendono fino alla razione angolare 1/36
bv,,,,,, - tra questi due poli estremi del piccolo indice 6 ci sono quindi 11 ottave di
spazio di tensione tonale!
Come mostra già l’espressione numerica di queste due razioni angolari, i due settori b e c sono reciproci in quanto ai loro numeri (quozienti) e ai loro valori tonali;
i gruppi numerici di questi settori seguono cioè completamente la stessa legge
della reciprocità, come la semplice serie tonale lineare.
Sul diagramma vediamo disegnate inoltre due diagonali, l’una puntata e l’altra
tratteggiata. La prima (da b verso a) collega tutti i toni di base n / n ; la chiamiamo
“diagonale generatrice“. Questa diagonale divide il diagramma intero in due metà,
una metà superiore destra le cui razioni sono tutte più grandi di 1, ed una metà
inferiore sinistra con tutte le razioni più piccole di 1; anche queste due metà sono
esattamente reciproche, sia numericamente che rispetto ai loro valori.
La seconda diagonale tratteggiata da c a d collega le razioni che presentano l’espansione più grande verso l’alto e verso il basso; trattandosi qui numericamente
di tutte potenze alla seconda della serie dei numeri interi e dei loro reciproci, la
chiamiamo “diagonale dei quadrati” o “delle potenze di direzione“. Quest’ultima
diagonale divide il diagramma in due metà di razioni identiche, cioè con lo stesso
contenuto, ma in posizione specularmente invertita.
148
MANUALE DI ARMONICA
Queste due diagonali incarnano geometricamente i contrasti più forti del diagramma: la diagonale generatrice rappresenta il momento statico dei toni di base, fermi
in sé, e la diagonale dei quadrati il momento dinamico di massima vitalità.
Come già precisato, le altre norme e regolarità di questo diagramma tonale completo verranno riprese in seguito.
In apparenza questo diagramma tonale completo, intero, aperto - o come lo si
voglia chiamare - somiglia molto ad una quadruplice combinazione del nostro diagramma di partenza. Esso però non è assolutamente un “tipo combinatorio”, ma
una semplice evoluzione del diagramma tonale secondo le leggi immanenti in
esso. La ricerca di quanto e se sia possibile variare, permutare e combinare questo
diagramma tonale completo esula dai limiti di questo manuale ed è quindi lasciato
alla iniziativa del lettore intraprendente. Nella sezione “Spazio tonale” (§ 37) svilupperemo spazialmente il diagramma tonale completo: il lettore amante dei disegni troverà allora la sua massima soddisfazione!
§ 35 a Ectipicità
§ 35 a,1 La legge dei gravi
La legge fisica della “caduta dei gravi” sostiene che un corpo percorre un certo
cammino nel suo primo secondo di caduta, 22 = 4 volte quello stesso cammino nel
suo secondo secondo di caduta, 33 = 9 volte lo stesso cammino nel suo terzo
secondo di caduta, e così via. Se si scrivono i numeri dei cammini percorsi e quelli dei tempi relativi ad essi, l’uno sotto l’altro:
Cammino : 1 4 9 16 25 36...
Tempo : 1 2 3 4 5 6...
si noterà immediatamente che la prima serie è “prospettica” e la seconda serie
invece “equidistante“. Le due dimensioni all’interno delle quali si esprime questa
dialettica sono Tempo (secondi) e Spazio (cammino).
Ciò che è interessante è che questa legge fisica rivela una relazione ancora più
stretta con le nostre coordinate tonali di quella che presentano la prospettiva e l’equidistanza.
Se consideriamo cioè, nella rappresentazione aptica del diagramma tonale, le
espressioni numeriche non aritmeticamente, vale a dire sotto il semplice aspetto
149
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§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
della successione numerica, ma geometricamente, ossia dal punto di vista delle
loro grandezze reali, otteniamo le due seguenti serie laterali, calcolate secondo le
frequenze e secondo le lunghezze della corda:
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figura 301
attraverso l’analisi puramente geometrica delle grandezze dei numeri tonali vediamo comparire insieme il momento prospettico e quello equidistante già nelle serie
armoniche superiore ed inferiore coniugate.
La dialettica citata sopra compare qui dunque già all’interno delle grandezze
numeriche: attraverso di esse, l’analisi dei valori tonali mostra come il lato prospettico riveli un impulso Minore se considerato da un punto di vista temporale,
ed un impulso Maggiore se considerato da un punto di vista spaziale; il lato equidistante si comporta nel modo opposto.
Abbiamo qui perciò la stessa situazione della legge dei gravi: spazio e tempo si
relazionano in modo prospettico-equidistante costante. Questa relazione è però
mutua (reciproca) in ambito acustico, e si può capovolgere a seconda che si calcoli per le frequenze e per le lunghezze della corda. In ambito fisico essa è invece
unilaterale, poichè le grandezze temporali rimangono sempre equidistanti, e le
grandezze spaziali sempre prospettiche.
È possibile dunque dedurre questa legge della caduta dei gravi direttamente dal
nostro diagramma tonale completo (settore c , Fig.300), come mostra la Fig.302.
150
MANUALE DI ARMONICA
figura 302
Come si può notare, il momento temporale dei secondi di caduta è uguale all’equidistanza delle frequenze 1/1 2/1 3/1... , mentre il momento spaziale delle stazioni di
caduta è congruente alla prospettiva delle frequenze della cosiddetta “diagonale
dei quadrati”.
In questo esempio della caduta dei gravi ci interessa ancora un punto fondamentale, per amore del quale vale la pena di approfondirne l’analisi.
È noto e riconosciuto che la legge dei gravi di Galileo si può considerare un primo
stadio della legge della gravitazione di Newton. In essa è presente la prima legge
quantitativo-dinamica, che definisce in modo esatto un processo di movimento, a
differenza o a complemento della prima (presunta) legge quantitativo-statica della
riconduzione pitagorica esatta di una sensazione (rapporto tonale) ad un rapporto
numerico quantitativo.
Secondo l’opinione comune, Galileo sarebbe giunto alla sua legge dei gravi sulla
base di osservazioni sperimentali, e proprio questa legge viene indicata da tutti i
libri di testo come esempio tipico del cosiddetto metodo induttivo delle moderne
scienze naturali.
151
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§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
Di fronte a questo, Hugo Dingler (“Der Zusammenbruch der Wissenschaft und der
Primat der Philosophie” - Il fallimento della scienza ed il primato della filosofia -,
II ed. 1931, pag.125 e segg. e pag.192 e segg.) dimostrò in modo convincente che
senza una idea prototipica precedente, cioè senza il concetto figurativo presente a
priori nella sua anima, Galileo non sarebbe potuto assolutamente arrivare alla sua
legge dei gravi, un fatto che risulta oltretutto evidente in una lettera del discepolo
di Galileo Torricelli, ritrovata da H. Wieleitner (loc.cit., pag.196).
Il proposito principale dell’opera di Dingler è appunto quello di dimostrare questa
apriorità psichica di tutte le grandi scoperte, e la sua tesi conseguente a ciò sostiene che proprio la perdita del concetto figurativo creatore e lo spostamento unilaterale di ogni conoscenza scientifica sull’induzione, sulla semplice consultazione di
esperimenti fu la causa della decadenza e del “fallimento” delle scienze naturali
moderne: il loro male necessario è appunto il livellamento e l’egualitarismo, la
certezza e la mancanza di valori che caratterizza il pensiero scientifico attuale.
Dingler si spiega questa presenza aprioristica dei concetti figurativi creativi attraverso un “ordine armonioso dei concetti empirici”, cioè con uno sforzo intellettuale minimo e con una visione interiore “guidata dalla sua misura inconscia“. Dal
nostro punto di vista armonicale possiamo sicuramente sottoscrivere tutto ciò, e
concordare con le posizioni di Dingler; ci poniamo però una domanda decisiva:
cosa si intende per “ordine armonioso dei concetti empirici” e per “guidato dalla
misura inconscia” , - come ci dobbiamo spiegare queste espressioni così generali
ed arbitrarie?
Anche qui l’Armonica può aiutarci a progredire. Se riflettiamo sul fatto che le
coordinate tonali primarie reciproche contengono già in nuce l’idea dell’espansione e della contrazione di Newton-J.Böhme (cfr. § 19,b), se pensiamo poi ai tanti
concetti figurativi delle più diverse discipline fin qui discussi e ancora da discutere, ai simboli religiosi ecc, che sono presenti nel nostro diagramma tonale, a cui
ora si affianca anche la presenza della legge dei gravi di Galileo in un settore del
diagramma tonale aperto, e se soprattutto siamo sempre consapevoli che tutti gli
sviluppi tonali armonicali corrispondono a delle forme interiori della nostra
anima, poiché è effettivamente possibile controllarli con dei criteri animici, comprenderemo allora come sia possibile che le leggi naturali siano presenti in noi
152
MANUALE DI ARMONICA
come concetti figurativi psichici già prima della loro scoperta empirica. L’“ordine
armonioso dei concetti empirici“sarebbe dunque da ricondurre ad una tettonica
animica, le cui forme noi possiamo scoprire nei prototipi armonicali (teoremi e
forme di valore) in modo scientificamente esatto ed inconfutabile.
Poiché poi la legge dello sviluppo armonicale si manifesta anche al di fuori dell’uomo, nella natura, nella serie armonica superiore su cui si fondano i diagrammi
tonali armonicali, si ottiene così viceversa la spiegazione di come sia possibile il
passaggio dall’animico al naturale, di come cioè dei prototipi armonicali si ripresentino poi nei fenomeni naturali. Il problema Kantiano dell’appercezione sintetica trova qui una soluzione fino ad ora sconosciuta.
Ancora un altro punto mi sembra estremamente significativo in questa analisi
armonicale della legge della caduta dei gravi: il momento della prospettiva e della
equidistanza, che si esprime nel cammino percorso e nel tempo.
Come già notato all’inizio, ad un’analisi quantitativo-geometrica lo spazio e il
tempo si relazionano l’una verso l’altro in modo reciproco, in due forme
diverse:l’una equidistante ed uniforme, l’altra prospettica e diminuente. È certamente possibile affermare che la “prospettiva” dei cammini della legge di caduta
dei gravi non si accorcia ma si allunga, che non è “divergente” bensì “convergente” (cfr. § 19 a,2). In questo caso si parla del momento della “prospettiva” in sé; di
fronte però alla corrispondenza reciproca del concetto armonicale di spazio-tempo
sullo sfondo di una sfera psichica Maggiore-Minore, che si ordina invece in modo
prospettico ed equidistante, la coincidenza di spazio e tempo nella legge della
caduta dei gravi dovrebbe portare, sotto gli stessi auspici formali di prospettiva ed
equidistanza, a delle conseguenze significative, che coincidono con quelle del
tempo spaziale armonicale (cfr. § 7, § 16,2).
Riassumiamo ancora una volta: attraverso la legge dei gravi di Galileo, di cui
abbiamo qui dimostrato l’armonica, attraverso le leggi di Keplero, la terza delle
quali deve la sua esistenza a dei concetti e delle analisi armonicali - ed è il preludio più importante della legge gravitazionale di Newton, la cui essenza interiore
dell’espansione e contrazione concorda allo stesso modo coi concetti armonicali
fondamentali - osserviamo la legge gravitazionale, che oggi domina quasi tutte le
scienze esatte, delinearsi su uno sfondo chiaramente armonicale. Questa legge
153
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§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
trova così un ancoraggio animico; non è più qualcosa di astratto, che non ci
riguarda interiormente, ma è l’espressione di una struttura psichica dell’universo.
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§ 35,2 Il valore formale
§ 35,2 a
Mi sono già occupato delle relazioni reciproche e speculari del diagramma tonale
completo in “Grundriß”, pag.101,102, riassumendole all’interno del “Teorema
delle conversioni”, ed analizzando i loro significati ulteriori nella forma di valore
della “Conversione del rapporto” (pag.225-227).
Vorrei qui però approfondire ulteriormente il concetto ad esse collegato della
“mossa”, sotto il profilo dinamico (Fig.300, pag.158).
A questo scopo immaginiamoci nel ruolo di agenti motori, espressione della
“volontà”, e sentiamo quanto segue.
Partendo innanzitutto dal punto 1/1 c , con mosse uguali del senso primario
Maggiore ci muoviamo verso l’alto (6/1 g’’’), sentiamo questa Quinta in modo
autonomo, e decidiamo poi di fare una “Conversione del rapporto” verso destra,
raggiungendo con un’altra mossa uguale del senso Dominante (g-Magg.) il punto
più alto, e quindi di più grande vitalità, del grado 36/1 d’’’’’. Ci rendiamo conto di
questa vitalità in modo ancor più marcato grazie al ritorno diretto della diagonale
dei quadrati nel punto 1/1 c. Ma proprio questo ritorno della sensazione nel 1/1 c
costringe anche ad una inversione interiore, e ad un’altra conversione di rapporto,
percorrendo a ritroso (continuando a muoverci verso destra) il movimento in
modo speculare discendente, con una sorta di sensazione “che si ritira” dello stesso (g-Magg.) fino al punto 6/1 g’’’. A questo livello la tendenza “cadente” diventa
autonoma; si trasforma in una sensazione della tonalità Minore che si restringe
fino al punto 6/6 c , e qui si rafforza grazie alla conversione del rapporto verso sinistra, rovesciandosi nuovamente nel campo Maggiore, fino alla razione 1/6 f,,,.
Ma neanche qui la nostra sensazione trova una sosta, e si trasforma, restringendosi
sempre più (oscurandosi, concentrandosi secondo la sua volontà) in un campo
Minore (f-Min.), e si placa infine nell’addensarsi più profondo della razione 1/36
bv,,,,,,.
154
MANUALE DI ARMONICA
A questo punto ci viene per così dire ancora una volta in aiuto la diagonale dei
quadrati, e la conversione del rapporto verso l’alto ci conduce prima fino al punto
1/ f ,,, , seguendo in senso contrario la stessa sensazione con passi equidistanti, e
6
ribaltandosi poi da qui in f-Magg. fino al punto 6/6 c , da cui un’altra conversione
ci conduce, attraverso un impulso Minore “tranquillo”,di nuovo alla razione 6/1
g’’’.
Il lettore che ha partecipato a questa analisi e che soprattutto ne ha sentite le forme
ed i valori (egli è comunque libero di interpretare in maniera diversa questo o quel
particolare) concorderà con me almeno in un punto: da qualsiasi parte si inizi il
“cammino” in questo diagramma, esso dovrà sempre svolgersi all’interno di un
campo di affezioni, e comprendere entrambe le forme fondamentali più importanti
della facoltà animica volontaristico-umana, oscillando dall’una all’altra: una sensibilità che si articola in modo estroverso, che si propaga e si scarica verso l’alto,
“all’esterno”, verso il chiarore della luce, ed un’altra sensibilità identica, che si
restringe, si introverte verso il basso, “all’interno”, verso l’oscurità delle tenebre,
così che in questo percorso la nostra sensazione cambia continuamente tra forza e
debolezza, nell’ambivalenza di un universo Maggiore e un universo Minore.
In questo diagramma armonicale si potrebbe simbolizzare l’uomo, e con lui ogni
valore dell’essere - un “giocattolo tra paradiso ed inferno” - comprendendo nel
principio della polarità anche “Bene e Male”, come comunemente avviene.
Vedremo in seguito (§ 53,4 e 8 e § 54,7) che non dobbiamo commettere il grosso e
fatale errore di “comprendere” il livello etico nel normale dualismo, e che
l’Armonica giunge invece a risoluzioni sostanzialmente diverse attraverso la sua
presentazione del principio di selezione e del fattore di disgregazione.
Con le loro forme caratteristiche equidistanti e prospettiche - che con lo spostamento delle frequenze (tempo) in lunghezze della corda (spazio) possono già trasformarsi in sé - Maggiore e Minore sono polarità come luce e tenebre, come
ampiezza e ristrettezza, ecc. (cfr. § 23), ma non come “Bene e Male“: questa
“polarità”, ammesso che la si possa definire con questo termine, proviene da sfondi completamente diversi, e proprio questa confusione ha condotto le comuni considerazioni filosofiche del problema etico in un disperato vicolo cieco.
155
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§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
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§ 35,2 b
Il singolare collegamento di momenti acceleranti e ritardanti all’interno del diagramma tonale completo, e la particolare “dinamica statica” o “statica
dinamica“n.d.t. del suo contenuto, invitano a sottoporre quest’ultimo anche ad un’analisi formale e simbolica.
A questo scopo prendiamo in considerazione gli assi coordinati presenti nel diagramma, e tentiamo di analizzarli alla luce di una “Simbologia della croce“.
figura 303
Posizionando l’incrocio di questi assi in modo verticale-orizzontale (Fig.303), le
parti “superiore” ed “inferiore”, “destra” e “sinistra” presenteranno la stessa polarità Maggiore-Minore: la parte superiore e quella a destra la Maggiore, la parte
inferiore e quella a sinistra la Minore. Il settore superiore destro c delimitato dal
braccio superiore e da quello destro tende alla “luce”, all’ “altezza”, ed è reciproco
156
MANUALE DI ARMONICA
al settore inferiore sinistro d che simboleggia la profondità e le tenebre. Entrambi
sono centrati attraverso la dinamica della diagonale delle Potenze dei quadrati. Il
settore superiore sinistro (b) ed inferiore destro (a) sono uguali e speculari, simboleggiano la simmetria del mondo e sono centrati attraverso la staticità della linea
generatrice.
Ponendo lo stesso incrocio di assi in posizione obliqua (Fig.304), si ottiene invece
una fisionomia completamente diversa.
figura 304
Il mondo della luce compare in modo evidente nel settore superiore e nelle due
metà superiori dei settori sinistro e destro (al di sopra della diagonale generatrice,
posizionata qui orizzontalmente); il mondo delle tenebre si presenta invece nel
157
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§ 35 IL DIAGRAMMA TONALE COMPLETO
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settore inferiore e nelle due metà inferiori dei settori destro e sinistro, cosicché la
diagonale dei quadrati qui in posizione verticale tocca le punte più estreme della
luce e dell’oscurità, dell’altezza e della profondità, raggiungibili in questo diagramma ad indice 6. “Destro e Sinistro” assumono qui il loro vero significato,
quali simmetrie specularmente equivalenti.
Il lettore avrà notato che con questi due tipi di croci:
figura 305
sono intese la croce cristiano-occidentale e quella greco-ortodossa, due diversi
emblemi simbolici dei quali la simbologia armonicale può spiegare il significato
intrinseco fondamentalmente diverso. La prima è in un certo senso più “realistica”
(il cattivo ladrone a sinistra, il buono a destra); la seconda croce, quella “greca”,
esprime invece, nella localizzazione delle sue tendenze psichiche, ciò che vuole
simbolizzare anche la prima, il “Cristo” , ma in un modo più semplice e spiritualizzato: il mondo celeste e quello terreno sono ordinate anche nel senso dell’alto e
del basso, destra e sinistra si conciliano nella loro uguaglianza, così che la salvezza arride anche al cattivo ladrone; il settore superiore (“ascendente al cielo”)
risuona in accordi Maggiori puri incrociantisi, ed il settore inferiore (“sprofondante negli abissi”) in puri accordi Minori.
Questo tentativo di una simbologia armonicale della croce verrà nuovamente
ripreso più avanti (§ 40), come tipologia morfologica, in occasione delle analisi
degli accordi del diagramma tonale.
§ 35 b Bibliografia
H.Kayser: “Gr.” pagg. 100-102, 122, 225-227 ; riguardo al punto a 1 : “Abh.” pag.
46 e pag. 47.
158
MANUALE DI ARMONICA
LASCIATA INTENZIONALMENTE IN BIANCO
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
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Nei §§ 18 , 19 e 20 abbiamo analizzato i logaritmi armonicali e la loro natura in
modo dettagliato, e nel § 34,2 ci siamo addentrati fino alle spirali tonali logaritmiche. Nel § 18,3 b abbiamo trattato le curve tonali logaritmiche; vogliamo ora analizzare le disposizioni logaritmiche più importanti.
§ 36,1 I diagrammi tonali logaritmici completi
Possiamo considerare subito i diagrammi tonali logaritmici completi, analoghi ai
diagrammi tonali completi usuali (decimali) del § precedente, in quanto essi comprendono in sé il piano tonale logaritmico _ (Fig.306). Riguardo al contenuto di
questo diagramma, dei suoi singoli settori e le sue metà, vale anche in questo
luogo ciò che si è detto nel precedente § 35 sul diagramma tonale completo.
figura 306
160
MANUALE DI ARMONICA
A differenza però del sistema di coordinate là equidistanti, qui ne abbiamo invece
uno logaritmico, cioè con le razioni decrescenti in modo prospettico dal centro
verso l’esterno. Avendo davanti a noi il disegno diagrammatico dei valori tonali, e
potendo dunque per così dire anche vedere i toni per come essi suonano (non per
come essi vengono misurati o contati), possiamo osservare anche qui come sul
pianoforte che le distanze tra le ottave sono uguali - nella nostra Fig. le linee oblique da sinistra in alto fino a destra in basso rappresentano tutte le ottave-c
Poiché queste linee sono allo stesso tempo anche “linee equitonali”, colleganti
cioè toni identici - p.es. la prima ottava al di sotto della diagonale generatrice:
vediamo che in questo diagramma tonale logaritmico le linee equitonali non si
incontrano nel punto 0/0 (che qui non esiste per niente), come avviene invece nel
“decimale”, ma si incontrano come parallele all’ “infinito“. In questo momento
della parallelità delle linee equitonali e della rappresentazione “prospettica” delle
coordinate viene alla luce la differenza più significativa rispetto al diagramma
tonale consueto.
Il lettore disegni poi le altre diversità da solo nel suo diagramma logaritmico,
come p.es. l’espressione mutante delle parabole. Questo diagramma tonale logaritmico è facilmente realizzabile come segue.
Si disegnino su un foglio di carta millimetrata le ottave 1/1 c 2/1 c’ 4/1 c’’ 8/1 c’’’ in
segmenti ciascuno di 10 cm = 100 mm. Si disegnino poi tra le singole ottave
(aventi sempre il valore logaritmico = 000 fino a 1,000) i logaritmi dei toni superiori corrispondenti, e cioè: il punto 58,5 (mm , misurato da 2/1 c’’) tra 2/1 c’ e 4/1
c’’ per il tono 3/1 g ’ ; i punti 32,2 , 58,5 e 80,7 (misurati da 4/1 c’’) tra 4/1 c’’ e 8/1
c’’’ per i toni 5/1 e’’ , 6/1 g’’ e 7/1 xb’’ , e così via. Si ottiene così la serie tonale superiore divisa in modo geometrico-logaritmico, che si deve ora semplicemente curvare ad angolo retto verso il basso; tracciando poi da entrambe le parti le parallele
orizzontali e verticali, si ricava infine un quadrante della Fig.306, e dopo averlo
161
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
completato, tutto il reticolo tonale logaritmico “completo”, in cui si iscrivono poi
le razioni rimanenti. I logaritmi tonali sono riportati nella tavola di razioni che si
trova alla fine dell’opera, ed anche nei vari diagrammi tonali.
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§ 36,2 Variazioni, permutazioni e combinazioni del diagramma tonale
Definiamo “Permutazione” del consueto piano tonale 1/4 (§ 31,2) la possibilità di
posizionare in modo diverso le serie dei lati e la serie della generatrice, all’interno
di una stessa “Variazione” (quadrata o triangolare) del diagramma tonale (§ 31);
definiamo “Combinazione” la possibilità di combinare in modi diversi due o più
permutazioni, all’interno di una stessa variazione tipologica (§ 32).
Mi sembra che niente impedisca di analizzare quanto sia possibile applicare queste tre operazioni anche al diagramma tonale logaritmico - per questa ragione,
invece di dare vari esempi che il lettore può realizzare autonomamente in modo
analogo al § 31 e § 32, preferiamo passare immediatamente ad alcune prove ectipiche, che dimostrano alcuni di questi esempi.
Questi diagrammi logaritmici sono estremamente proficui proprio in riferimento a
delle analisi ectipiche, in particolare riguardo a delle analogie con le forme biologiche. Questo si spiega facilmente con il fatto che il momento logaritmico è in sé
inerente alla crescita biologica, e per questo motivo il significato analitico-formale
del diagramma tonale logaritmico trova qui delle risonanze che gli sono conformi.
§ 36 a Ectipicità
Cominciamo innanzitutto dal diagramma tonale logaritmico consueto, e cioè il
piano tonale logaritmico 1/4 (settore a della Fig. 306). Nella seguente Fig.307,
tratta da “Harmonia Plantarum”, pag.86, il piano tonale logaritmico 1/4 ad indice
10 è posizionato con il vertice a destra in basso, ed è disegnata solo una metà del
sistema, a destra e a sinistra della linea della generatrice, secondo lo schematismo
delle piante documentato in “H.Pl.“; in esse, il “campo armonico superiore” ed il
“campo armonico inferiore” si dividono nella parte superficiale e in quella sotterranea della pianta, così che entrambe si devono completare in modo speculare.
La Fig.307 mostra già in un certo senso una “combinazione” delle due metà del
sistema.
162
MANUALE DI ARMONICA
figura 307
Con le simmetrie qui disegnate si vuole semplicemente mostrare come, seguendo
il corso di determinate serie di razioni, si arrivi non solo ad alcune tipiche forme
di foglie, ma anche ad una spiegazione delle loro curvature e rientranze dei loro
bordi.
Ne si legga l’analisi dettagliata in “H.Pl.”, pag.86 e segg., e si esaminino altri diagrammi tonali logaritmici (Tav.IV, Fig.28), le cui analisi riportate ibidem a pag.88
e segg. tentano di dare una spiegazione delle diverse nervature e i corrispondenti
bordi delle foglie.
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
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§ 36 a,2
Se si compongono due “monotipi” del sistema tonale logaritmico in modo che il
campo di razioni che si trovano al di sopra del 1/1 sia posizionato sopra, e quello
delle razioni al di sotto del 1/1 sia posizionato sotto, e così che i due campi si
incontrino nel punto 1/1 , si otterrà il diagramma combinatorio della Fig.308,
anch’esso tratto da “H.Pl.”, pag.39.
figura 308
Il “diminuire” prospettico-logaritmico verso l’alto e verso il basso simbolizza qui
molto bene il principio della limitazione-indicazione, ed anche la tendenza verso
la luce e verso la terra delle linee equitonali parallele, cioè i valori dell’essere
orientati in modo polare che vivono e si sviluppano nelle piante.
164
MANUALE DI ARMONICA
Con un “raddrizzamento” di questo diagramma si ottiene un’analogia ancora più
stretta con la forma delle piante, come a pag.40 di “H.Pl.” e nella Fig.16 (Tav.I)
relativa ad essa.
Combinando il piano tonale logaritmico 1/4 ad indice 8, cioè il settore inferiore
destro a della Fig.306 , 4 volte in un gruppo finito, come abbiamo fatto nel § 32
con il piano tonale 1/4 equidistante, si otterrà la quadruplice combinazione di questo settore.
Disegnando in questo diagramma p.es. le razioni delle “parabole tonali” (§ 27) ,
senza i loro punti di partenza immmaginari 0/0 , 0/2 ecc, si avrà la Fig.309.
figura 309
Le razioni delle parabole tonali originarie:
165
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
figura 310
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sono qui collegate attraverso delle linee curve, ed ottengono grazie alla loro trasposizione logaritmica un aspetto corrispondentemente diverso.
§ 36 a,4
Se ora si abbandona la quadruplice combinazione del reticolo di coordinate tonali
logaritmiche, e si prova a permutare e combinare all’interno di questo schema
geometrico, si profilerà allora una serie di altre possibilità. Qui si dovrà però
rinunciare spesso ad una correlazione esatta tra valori tonali e distanze geometriche; ma proprio in questa “emancipazione del valore tonale dal luogo tonale” - un
teorema importante, che si afferma con forza anche a partire da un’altra fonte - si
rivela la proficuità morfologica di questo procedimento.
Se permutiamo p.es. il sistema tonale in questo modo:
figura 311
e lo combiniamo raddoppiandolo, attraverso la sua trasformazione logaritmica, e
disegnando le serie armoniche superiori ed inferiori, si otterrà la Fig.312.
166
MANUALE DI ARMONICA
figura 312
Componendo questi diagrammi in una disposizione (variazione) e combinazione
di 3 - (6) e 5 parti, si ricavano i prototipi di molte forme di fiori; iscrivendo poi
determinati riferimenti di valori (razioni selettive, curve, linee equitonali) ne risulta una grande varietà. Questa disposizione in due, tre (sei) e cinque parti (Fig.313)
figura 313
ha il suo fondamento negli stessi numeri dei fiori, e si rifà ai valori predominanti
della triade
167
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
2c
3g
5e
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come è dimostrato in “H.Pl.”.
In questi diagrammi sono interessanti in particolare due momenti. Innanzitutto la
concentrazione degli indici inferiore su forme duplici, triplici e quintuple pronunciate, e poi il passaggio degli indici superiore a delle forme circolari in tutte le
disposizioni.
I quattro diagrammi seguenti servono a dimostrare come si arrivi a delle proiezioni del fiore verticale (gemma, calice) all’interno della stessa logaritmica e semplicemente attraverso delle disposizioni diverse.
Il primo di questi diagrammi (Fig.314) è un analogo logaritmico della successiva
permutazione e combinazione del sistema tonale della Fig.314a.
figura 314
168
MANUALE DI ARMONICA
figura 314a
Anche qui vengono collegati solo i corrispondenti numeri di indice, e vengono
disegnati gli assi. Con questa disposizione vediamo profilarsi la forma di un tulipano, e quella di diverse forme di calici.
La cosa qui particolarmente interessante è il graduale passaggio del triangolo centrale in una forma quadrangolare periferica; questo potrebbe essere almeno l’inizio di una spiegazione per la così misteriosa e frequente presenza di forme diadiche (2 , 4 , 8...) e ternarie (3 , 6...) degli organi di un fiore, e per la vicinanza di
due o tre fiori nella stessa pianta: in base ad un unico gruppo armonicale.
Il secondo diagramma (Fig.315) presenta l’analogo logaritmico della permutazione e combinazione della Fig.315a
169
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
figura 315
figura 315a
Il terzo diagramma (Fig.316) presenta l’analogo logaritmico della permutazione e
combinazione della Fig.316a.
170
MANUALE DI ARMONICA
figura 316
figura 316a
171
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
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Anche qui sono disegnati solo i limiti dell’indice come linee di contorno, e gli
assi. Questi ultimi sono reciproci, così che nei diagrammi logaritmici si modifica
non la forma del contorno, ma la struttura delle razioni degli assi.
Questi esempi di disposizioni logaritmiche ectipiche vogliono solo essere uno stimolo iniziale per ulteriori tentativi. I lettori provvisti di senso geometrico e di una
certa fantasia avranno certo avuto delle idee nuove già disegnando con noi e dopo
di noi i diagrammi realizzati sopra, e ciò che l’autore più auspica è proprio la collaborazione autonoma e successiva del lettore al grande patrimonio di idee che in
questo manuale è schizzato solo nei suoi tratti fondamentali.
Per quanto riguarda le analisi delle forme di valore, si esaminino un’altra volta gli
sviluppi del § 19 a fino a 19, 2 , tenendo conto di quanto elaborato in questo §.
§ 36 b È possibile anche senza l’Armonica, solo con la Matematica
Con il motto riportato sopra vogliamo qui affrontare un’obiezione che viene posta
di continuo allo studioso di Armonica, e a cui lui stesso si vede esposto: se con i
suoi studi armonicali non stia facendo altro che trastullarsi in modo giocoso, e se
egli non trascuri di rendersi sempre ragione di ciò che sta facendo ed elaborando.
In realtà tutti i diagrammi e la maggior parte dei teoremi armonicali sono basati su
uno sfondo numerico, in base al fenomeno originario del numero tonale che unisce a priori numero e valore. È però anche possibile affermare il contrario: tutta la
“matematica armonicale” si basa su uno sfondo animico e tonale.
Se si elimina il momento del valore (la parte animica del tono), rimane sempre
una configurazione numerica che deve essere “giusta” in sé e per sé, che può essere cioè trattata in modo puramente matematico. Così in alcuni diagrammi, per
esempio nell’ultimo, abbiamo rinunciato all’aggiunta dei valori tonali e abbiamo
riportato solo le razioni numeriche.
Se ci chiediamo come siamo arrivati alle nostre forme matematico-armonicali,
vediamo profilarsi dietro di noi due strade. La prima esordiente da ricerche puramente armonicali, che non potevano che condurre a dei problemi matematici in
parte già noti e in parte nuovi. L’altra strada ha portato invece a dei chiarimenti di
alcuni problemi matematici “in modo armonicale”, cioè analizzando l’armonica di
questa o queste altre forme aritmetiche, algebriche, geometriche e così via.
172
MANUALE DI ARMONICA
A questo punto si potrebbe affermare con facilità che non c’è allora alcun bisogno
dell’Armonica, e che persino là dove essa porta a qualcosa di veramente nuovo
anche in matematica, l’Armonica non è altro che un “incitamento”, la buona bottiglia di vino con la quale già Keplero deve aver scoperto la sua terza legge,
seguendo semplicemente “speculazioni e prove”, come così bene si racconta (p.es.
A.F.Möbius: Astronomie, Sammlung Göschen - Astronomia, Raccolta Göschen Nr.11, 1916, pag.100).
Coloro che consideranol’Armonica solo “una buona bottiglia di vino” dovrebbero
serenamente bere molte di quelle bottiglie, e ristorarsi con esse.
Colui per il quale invece l’Armonica è qualcosa di più, colui che ha un tale senso
della forma da notare che in essa non si tratta solo di una “formulazione”, ma di
una significazione della forma, e soprattutto colui che comprende e sente che nelle
conoscenze armonicali è coinvolta anche l’anima umana, e non solo il pensiero
logico-astratto, costui riconoscerà allora che questo “fattore supplementare” animico porta alla matematica non solo una nuova illuminazione, una spiegazione
esistenziale, ma in un certo senso una rivoluzione interiore, una trasformazione
fondamentale della sua relazione con l’uomo stesso.
Questo è in ultimo ciò che offre l’Armonica: una rivitalizzazione del numero con
delle energie animiche, e non delle energie animiche di tipo semplicemente - dinamicamente - “biologico”, ma orientate al normativo, al divino.
Come è certo che la matematica trova in sé e per sé la sua giustificazione come
disciplina particolare, è altrettanto evidente che, di fronte agli eventi apocalittici
attuali, è necessario trovare un modo nuovo per “riscattare” il numero, per restituirgli un valore umano, per illuminarlo nel senso di un’umanità vera e per considerare i suoi impieghi in favore di questa umanità.
Anche se l’ambito matematico dell’Armonica non offrisse niente di nuovo alla
matematica, appunto quella risononza psichica fornirebbe a molte tra le più
importanti forme matematiche, a cominciare dalla serie dei numeri interi reciproci, la loro giustificazione e il loro valore proprio. Oltre a ciò esiste tutta una serie
di problemi e teoremi matematici a cui si potrebbe giungere solamente attraverso
delle riflessioni armonicali, un fatto di cui a questo punto il lettore si è potuto convincere, e che verificherà ancora nel corso di questo libro.
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§ 36 LA DISPOSIZIONE LOGARITMICA
All’Armonica sta bene che la matematica la consideri e la tolleri come un “incitamento“. Ad un’ultima analisi però non si può non riconoscere che il progresso dell’umanità non dipende dai risultati e dalle novità, ma dalla valutazione e la conservazione di questi risultati: sarà allora chiaro con cosa si potrà proseguire al
meglio, se con il numero, o con il numero tonale.
In riferimento al rapporto tra l’Armonica e la matematica mi sembra vada precisato un altro punto importante.
Tra i moderni rappresentanti della matematica è venuta radicandosi una certa
“inclinazione alla noia” di fronte agli argomenti matematici primari ed elementari.
A.Speiser (“Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung” - Teoria dei gruppi di
ordine finito - , II ed., 1927, pag.3) parla della “spiccata tendenza alla noiosità che
grava sulla matematica elementare”, e sostiene (ibidem) che “il matematico creativo rivolgerà con preferenza la sua attenzione a dei bei problemi interessanti“.
A ciò possiamo rispondere dal nostro punto di vista armonicale, affermando senza
presunzione che l’Armonica può rendere ancora una volta “interessanti” e “belli”
molti dei più elementari argomenti matematici (aritmetici e geometrici), li può alimentare con una nuova esperienza: essa osserva le cose vecchie sotto una luce
nuova, e arriva anche a “sentirle” mediante l’Acroasi, sottoponendole cioè ad un
giudizio psichico centrale.
Si pensi al triangolo pitagorico e alla scala musicale cromatica risultante dalla triade delle sue proporzioni numeriche, alla nostra rappresentazione numerica primaria
con il loro sfondo psichico Maggiore-Minore, la loro ambivalenza spazio-temporale, i loro principi del “limitante” e “illimitato”, e molti altri ancora; si ammetterà
allora che non ci potrà più essere “noia”, al contrario: si possono presentire, “sentire” dei legami profondi, ed arrivare anche a sentire nell’intimo che queste connessioni sono reali, proprio perché si “sentono”, perché parlano alla nostra anima,
di cui incontrano la risonanza.
Questo è molto diverso da una semplice certezza assiomatica logica o “puramente
formale”, che in ultima analisi riguarda solo delle “presupposizioni”, delle neces174
MANUALE DI ARMONICA
sità che non sono in fondo necessarie, perché fissate in modo arbitrario, e che non
offrono alcuna certezza alla nostra facoltà spirituale indagatrice.
Il supplemento armonicale trasforma anche il più semplice dato matematico in un
fenomeno originario di stupore e di ammirazione!
Nelle mie opere precedenti ho parlato spesso della possibilità o necessità di una
“matematica della forma“. Essa viene già considerata necessaria da Hermann
Friedmann nel suo “Welt der Formen” - Mondo delle forme - (Monaco, II ed:,
1930). In questa prospettiva l’Armonica, grazie alla aprioristica relazione di
numero e valore può offrire un appiglio, e tutti i §§ di questo manuale in cui sono
trattati degli argomenti aritmetici e geometrici possono essere considerati delle
“pietre di costruzione” per una futura “matematica della forma“.
§ 36 c Bibliografia
Cfr. la bibliografia del § 18. Oltre a ciò, H.Kayser: “Akr.” pag.76 e segg..
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
In questo § chiedo in modo particolare al lettore la sua collaborazione grafica.
Senza calcoli e rappresentazioni grafiche condotti in prima persona, che sono realizzabili inoltre con facilità attraverso delle semplici moltiplicazioni, non sarebbe
infatti possibile farsi un’idea profonda delle configurazioni spaziali del diagramma tonale. Senza di essi, la struttura di questi numerosi reticoli di coordinate non
può prender vita, e ad una lettura e ad un’analisi semplicistica non farebbe che
intimorire.
Ci si fornisca dunque di matita, carta millimetrata e compasso, oltre che naturalmente di una certa pazienza e tempo a disposizione!
Nel § 13 e segg. abbiamo riconosciuto come schema numerico tonale fondamentale le serie di coordinate tonali reciproche:
figura 317
Nel § 20 e segg. abbiamo sviluppato queste serie nelle coordinate tonali (“T”),
prima come quadranti (“1/4 TE”):
figura 318
e successivamente (§ 35) come diagramma tonale “completo”, sottoforma dei
piani tonali “aperti” (TE):
176
MANUALE DI ARMONICA
Figura 319
Il passaggio da queste coordinate piane a quelle spaziali, cioè dal piano tonale allo
spazio tonale, non può che avvenire a questo punto tracciando verticalmente il
terzo asse (spaziale) delle coordinate, facendolo passare per il punto 1/1 c del
piano tonale, e disegnando la sua razionalizzazione in modo analogo agli altri assi.
I tre assi spaziali delle coordinate dello spazio tonale, limitate all’indice 3, avranno dunque l’aspetto mostrato nella Fig. 320.
figura 320
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
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È ora possibile costruire il cubo tonale ad indice 3 (TK3) senza alcuna difficoltà. A
questo scopo prego il lettore di confrontare le pagg. 181/182/183, nelle quali, il
cubo è realizzato graficamente in prospettiva di parallele.
figura 321
178
MANUALE DI ARMONICA
figura 321a
figura 321
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
figura 321a
Cominciamo a partire dal piano tonale centrale (H I K L del cubo), e costruiamo i
successivi piani tonali verso l’alto e verso il basso. Il lettore è pregato di tentare di
costruire da solo almeno questo con un piano secondario (1/2 o 2/1), e di trovarne
autonomamente la razionalizzazione. Otteniamo così 5 piani sovrapposti verticalmente l’uno sull’altro, rappresentati nella prima colonna della Fig.321. Si trova
cosí fondamentalmente ogni razione del cubo tonale ad indice 3 (TK3), che ci
potrebbe anche bastare se il nostro scopo fosse solo quello di scoprire tutte le
razioni. Vedremo invece immediatamente che la semplice razionalizzazione è ben
lontana dall’esaurire il senso della disposizione spaziale del diagramma tonale, e
che l’analisi dello spazio tonale nelle sue diverse direzioni, ossia il contenuto dei
suoi diversi piani orizzontali, verticali e diagonali, è di importanza determinante.
Per ottenere queste diverse direzioni si disegnino innanzitutto le altre due successioni di piani del cubo (2° e 3° colonna della Fig. 321), e successivamente i sei
180
MANUALE DI ARMONICA
piani diagonali (4° e 5° colonna della Tav.321). Per quanto riguarda le tre colonne
superiori, cioè i 15 piani di coordinate possibili nel cubo tonale ad indice 3, (TK3),
osserviamo che tre piani presentano sempre una uguale razionalizzazione, e sono
quindi identici. Questo è illustrato graficamente attraverso i 5 diagrammi realizzati
al margine delle Figg.322-326.
figura 322
figura 323
figura 324
figura 325
181
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
figura 326
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Anche tra i sei piani diagonali (i sei campi della Fig.321a) notiamo due coppie
identiche, che vogliamo illustrare per chiarezza nelle due Fig.327 e 328.
figura 327
figura 328
182
MANUALE DI ARMONICA
Analizzando il contenuto dei singoli piani, si noterà innanzitutto che l’articolazione orizzontale dei piani (colonna superiore della Fig.321) contiene sei piani del
tipo a noi noto delle cordinate tonali “aperte”, con il tipo primario nel mezzo.
L’articolazione verticale (2° colonna della Fig.321) contiene, nei suoi 5 piani,
esattamente le stesse razioni di quella orizzontale; lo stesso vale per l’articolazione in profondità (3° colonna della Fig.321).
I piani diagonali si comportano invece in modo diverso (4° e 5° colonna della
Fig.321a). La prima impressione che danno questi piani è quella di una esatta simmetria dei luoghi delle loro razioni, una simmetria che è cioè presente in tutti i
piani nelle direzioni verticali, orizzontali e nelle due direzioni diagonali.
Per ciò che concerne il momento tonale, ci interessano soprattutto i “piani diagonali delle linee equitonali” (Fig.327 e 2° e 5° diagramma delle due colonne inferiori della Fig.321a), ed i “piani diagonali materiali della scala musicale” (Fig.328
e 1° e 6° diagramma delle due colonne inferiori della Fig.321a), che si presentano
in coordinazione accoppiata. Nei piani diagonali delle linee equitonali compaiono
in modo singolare solo linee orizzontali con gli stessi identici valori tonali, cioè
non delle ottave, ma dei toni uguali di uguale altezza (intervallo).
Nei piani diagonali della scala musicale compare già in questo piccolo indice 3 il
materiale completo della (vera) scala musicale pitagorica:
cioè la cosiddetta “scala musicale dorica”, se consideriamo il tono di base c come
tono fondamentale 1/1 , o la nostra consueta scala tonale Maggiore diatonica, se
cominciamo con b come 1/1. Torneremo ancora a parlare di questa scala tonale nel
§ 39. Con queste brevi analisi del cubo tonale ad indice 3 (TK3) non si è per niente esaurito il suo contenuto. Oltre ai 15 piani spaziali e ai 6 piani diagonali si possono naturalmente tracciare e porre in questo cubo ancora tutte le linee, superfici e
corpi possibili; questo è un campo ancora completamente nuovo, in cui si potranno scoprire cose interessanti proprio attraverso la valutazione tonale, e in particolare con un innalzamento dell’indice in relazione a delle simmetrie spaziali, forme
tonali, ecc.
È inoltre naturalmente anche possibile costruire dei diversi corpi tonali in modo
183
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
analogo alle diverse possibilità di disposizione (§ 31 e segg.) - anche questa è una
terra ancora inesplorata, che promette molte nuove scoperte.
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§ 37,2 La sfera tonale
§ 37,2a L’elica tonale spaziale
Con “sfera tonale” si intende lo sviluppo tridimensionale dei toni in angoli e vettori. Poiché il rapporto tra spazio tonale e angolo tonale si intensifica soprattutto
nella forma geometrica della spirale, dovremo innanzitutto riflettere sul modo in
cui trasformare spazialmente la consueta “spirale tonale decimale” (§ 33,3 e § 34).
Per disegnare esattamente quest’elica tonale in prospettiva abbiamo bisogno
innanzitutto di una figura ausiliaria (Fig.329).
figura 329
Sulla circonferenza di un cerchio del diametro di 10 cm disegnamo, come abbiamo appreso nei § 33 e § 34 , una serie di toni. La scelta di questi toni è indifferente, poiché il cerchio rappresenta lo spazio di una ottava; li si scelga sempre opportunamente, in modo da poter raffigurare l’ellisse nel modo più preciso possibile.
184
MANUALE DI ARMONICA
Per ricavare quest’ultima dal cerchio è necessario innanzitutto tracciare l’ “asse
minore” AB. Si scelga preferibilmente l’angolo COB di circa 30° , e la misura di
AB = 6 cm. Si facciano poi passare per tutti i punti tonali della circonferenza del
cerchio le parallele a CD , e dai punti di incontro di queste parallele con il diametro orizzontale del cerchio le parallele oblique all’asse minore dell’ellisse AB.
Disegnamo ora AD e CB e tracciamo da ogni punto tonale della circonferenza del
cerchio le parallele a AD e CB. I punti di incontro di queste parallele con le altre
parallele a AB danno i luoghi dell’ellisse. Questa è la nota costruzione dell’ellisse
a partire dal cerchio ad essa relativo.
Per ottenere un’elica tonale spaziale disegnamo
innanzitutto su della carta lucida (Fig.330)
una linea verticale c - c’ della lunghezza
di 10 cm, e riportiamo su di essa i luoghi decimali dei toni della Fig.329
dal basso verso l’alto, o calcolando le frazioni (p.es. 3/2
g = 1,5 ; se c = 1 e c’ = 2 ,
1;5 sarà nel mezzo), o
traendo i numeri corrispondenti dalla tavola di
razioni riportata alla fine
del libro, dove esse sono
già state calcolate.
figura 330
185
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
Poggiamo poi questa carta lucida sull’ellisse della Fig.329, e cioè in modo che
prima il punto inferiore - c della Fig.330 venga posto sul punto - 0 della Fig.329, e
che le linee c - c’ (Fig.330) e CD (Fig.329) coincidano perfettamente nella loro
direzione.
Tracciamo ora c(0)B e segnamo in questo punto 1,0 c. Spostiamo poi il lucido un
po’ più in basso, finché il successivo punto tonale d della Fig.330 coincida con lo
0 della Fig.329 , e disegnamo d (Fig.330) - d (punto dell’ellisse della Fig.329).
Continuando con questo stesso procedimento si ottiene la spirale spaziale della
Fig.330 come proiezione prospettica esatta dei punti tonali della Fig.329.
Abbiamo così ricavato l’elica tonale spaziale all’interno di un’ottava. Essa rappresenta in questa forma una curva che gira intorno ad un cilindro circolare. Come è
possibile notare dalla superficie verticale c - c / c’ - c’ della Fig.330 , in questa
configurazione polare spaziale ad ogni tono corrisponde non solo una linea, ma
anche una superficie. È soprattutto qui che viene alla luce un momento nuovo,
non solo rispetto alle configurazioni piane, ma anche rispetto al cubo tonale.
Le altre spirali tonali (logaritmiche) e le curve tonali sono realizzabili nello stesso
modo.
§ 37,2 b Corpi tonali polari
Resta ora da vedere come è possibile, a partire dall’ottava, costruire un corpo
tonale polare in più ottave.
A questo scopo è necessario mettere in relazione le ottave tra loro in un rapporto
significativo, e scegliere tra le possibilità di rappresentazione elementari del § 31 i
due modi seguenti:
1 - Si disegnino le razioni delle serie tonali a partire dal centro 1/1 verso entrambe
le parti, sommandole:
... 1/3 + 1/2 + 1/1 + 2/1 + 3/1...
come assi, e le loro relative lunghezze obliquamente (Fig.331).
186
MANUALE DI ARMONICA
figura 331
Facendo ruotare questa figura si ottiene un corpo a forma di bottiglia, che, a partire dall’ 1/1, procede verso l’infinito con una curva che si piega in dentro verso l’alto (1/n), e in fuori verso il basso (n/1).
Ci si deve poi immaginare la spirale tonale spaziale avvolta all’interno delle ottave spaziali (1/4 1/2 1/1 2/1 4/1...); mentre è difficile rendere la sua proiezione grafica
esatta, è invece più facile la costruzione di un suo modello spaziale.
2 - Si dispongano le serie tonali a partire dal punto - 0 secondo la loro misura , e si
otterrà così (Fig.332), con una rappresentazione solida, un cono con il valore limite 1/# = 0 al vertice e l’apertura infinita #/1 = # verso il basso.
187
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
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figura 332
Anche in questo caso ci si deve immaginare la spirale spaziale relativa ripartita
all’interno delle ottave, in una rotazione. L’altezza di questo cono è sempre uguale
alla sua larghezza inferiore.
Fredrik Macody Lund utilizzò questo triangolo caratteristico come figura bidimensionale (triangolo isoscele iscritto in un quadrato con il lato del quadrato
come base ed il vertice nel punto medio del lato opposto), con il titolo “ad
Quadratum” (Cristiania, 1919, testo e volume di tavole) quale fondamento geometrico principale per delle analisi architettoniche dei più diversi edifici dell’antichità e del medioevo. Sembra purtroppo che Lund non fosse a conoscenza dell’effettivo significato analitico-formale di questo triangolo, nel senso della divisione
razionale dei segmenti contenuta in esso; questo avrebbe altrimenti potuto rendere
più facili molte delle sue analisi.
Nel primo quaderno degli “Harmonicalen Studien” (- Studi armonicali -)
(ed.Occident, Zurigo 1946) ho tentato di dimostrare le relazioni armonicali di questo triangolo con un preciso diagramma del libro di Villard de Honnecourt (XIII
secolo) sui cantieri edili, e con il canone degli orafi basilensi.
Il volume dell’opera di Lund contiene molte osservazioni ed elaborazioni importanti per noi armonici, anche se non possiamo assolutamente approvarle tutte; chi
188
MANUALE DI ARMONICA
però capisce il norvegese non manchi di prendere visione di quest’opera.
§ 37,2 c La chiocciola tonale spaziale
La Fig.334 mostra la chiocciola tonale spaziale, che è costruita in modo analogo
alla Fig.329/330. Qui la sua costruzione si sviluppa però dall’alto verso il basso,
in tre ottave, e per realizzarla sono necessari dei cerchi ausiliari del diametro di
1/ , 1/ e 2/ .
2
1
1
figura 333
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
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figura 334
Abbiamo qui rinunciato alle ellissi e
alle notazioni dei valori tonali puramente tonali, poiché è possibile dividere l’ottava in tanti toni ridotti d’ottava quanti se ne voglia, e quindi
dividere i tre cerchi ausiliari in 12
parti per ragioni di semplicità. La
curva rimane in ogni caso la stessa.
Ciò che qui è particolarmente interessante, come mostrano le parentesi
verticali a lato della Fig. 334, è l’intrecciarsi delle tre ottave. Colui che
costruisce la chiocciola tonale spaziale noterà da solo che l’inizio dell’ottava successiva è sempre da
riprendersi nella metà di quella precedente, se si vuole ottenere un andamento continuativo delle curve della chiocciola, che ci si deve naturalmente immaginare spazialmente.
§ 37 a Ectipicità
§ 37 a ad 1 (Spazio tonale) Geometria dei cristalli
Il tentativo di addentrarsi nello spazio tonale che l’Armonica è in grado di intraprendere per la prima volta nella storia dell’acustica, sulla base dell’evoluzione
spaziale delle serie tonali, ha, oltre al già accennato significato teorico-musicale
(scala musicale), delle altre conseguenze di tipo generale. Siamo qui cioè davanti
alla possibilità di una configurazione psicofisica della discontinuità tridimensionale. La raffinata teoria costruttiva moderna della materia (Leptonica) si fonda su
delle rappresentazioni delle discontinuità degli atomi, delle molecole, e culmina
nella teoria della legge costruttiva dei cristalli. La rappresentazione di queste
discontinuità è però di tipo puramente matematico e geometrico, il che significa
190
MANUALE DI ARMONICA
che le corrispondenti leggi formali vengono considerate solo nel senso di un’esatta
quantità della forma, e non ancora nel senso di una esatta qualità della forma.
Nell’Armonica invece, appunto grazie alla coincidenza di numero e tono, è possibile osservare la discontinuità nel senso di una esatta quantità e qualità della
forma, cosicché in questo modo la discontinuità spaziale in particolare acquista, di
fronte al concetto numerico regolare, una tettonica irregolare animicamente viva.
È naturale chiedersi se tutto ciò porti un vantaggio o un ampliamento delle nostre
conoscenze. Poiché oggi la Teoria delle forme dei cristalli è uno dei campi più
“chiusi” e meglio fondati delle scienze naturali esatte, si dovrebbe rispondere
negativamente a questa domanda se ci si accontentasse del punto di vista puramente matematico-logico. Ma questo punto di vista è davvero l’unico importante
per noi? Nessuno vorrà affermarlo seriamente, tantomeno lo scienziato stesso.
Se P.Niggli, nel suo bel libretto “Von der Symmetrie und von den Baugesetzen der
Kristalle” (- Della simmetria e delle leggi costruttive dei cristalli -) (nella serie:
“La forma”, Quaderno 4, Lipsia 1941) afferma a pag.7: “La scienza di oggi è solo
la pioniera di quella di domani. È per sua origine e per principio schematica e
capace di revisione”, a maggior ragione si devono allora considerare i fenomeni in
questione anche da un altro lato, altrettanto importante ed essenziale e che rivela
(p.es. nel caso della cristallografia) altri aspetti completamente diversi rispetto
solo a quelli fissabili solsmente in modo matematico.
In diverse altre mie opere (in particolare nel “Tagebuch vom Binntal” Diario del
Binntal nelle “Abh.”) ho tentato di dimostrare che proprio la cristallografia
mostra ad un’analisi armonicale tali nuovi aspetti. Si tratta qui di sostituire la rappresentazione della “discontinuità omogenea” puramente matematica, e di verificare se è possibile trovare e stabilire delle relazioni tra lo spazio tonale e la geometria degli spazi ideali dei cristalli. In questo luogo non possiamo fornire altro
che degli accenni e degli incitamenti - un’analisi della “Armonica spaziale dei cristalli” richiede uno studio a sé, che dovrebbe essere innanzitutto preceduto da un
chiarimento ed una ricerca dello stesso spazio tonale, e rispetto al quale siamo
ancora fermi agli inizi. Per questo motivo fornisco nella Fig.335, tratta dall’opera
di P.Niggli citata sopra, alcuni esempi della geometria dei cristalli, che il lettore
confronterà con le forme cubiche tonali delle nostre Figg.320-328.
191
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
figura 335
192
MANUALE DI ARMONICA
In enrtambi i casi, sia nella geometria dei cristalli che nell’Armonica spaziale, il
cubo viene tipizzato secondo le sue direzioni e superfici. In un caso le forme ideali
si originano dalle forme regolari dei cristalli, nell’altro caso otteniamo determinate
configurazioni tonali. Le prime si possono esprimere e spiegare in modo puramente matematico, e sfociano quindi nella sfera logica del nostro intelletto; le seconde
contengono accanto alla loro origine numerica dei valori psichici: proprio perché è
possibile sentire il contenuto tonale dei vettori, delle superfici e così via. Una geometria armonicale dei cristalli affiancherebbe dunque alla certezza logica un’altra
certezza “emotiva” animica, interiore, porrebbe in un certo senso in relazione i
cristalli con campi molto più profondi della nostra facoltà animica di quanto l’analisi logoco-matematica possa fare.
Nella relazione spazio dei cristalli - spazio tonale non si dovrebbe analizzare quest’ultimo solo secondo degli indici elevati, ma presumibilmente secondo degli
“spazi di selezione” armonicali, ossia secondo delle figurazioni spaziali tonali che
si fondano su una razionalizzazione selettiva (spazi dell’Ottava, -Quinta, -Terza
ecc.). Si dovrebbero anche porre come base degli spazi tonali con una disposizione triangolare, in modo conforme al sistema esaedrico dei cristalli; bisognerebbe
poi analizzare i piani diagonali delle “serie equitonali” del cubo tonale per una
volta secondo la loro analogia con la polarizzazione della luce, dei raggi X , ecc.;
presumo risulteranno delle relazioni e dei chiarimenti estremamente interessanti.
§ 37 a ad 2 Sfera tonale, Sferoide, Magnetismo terrestre
All’interno della geofisica esiste un fenomeno che è stato studiato esattamente per
ciò che riguarda la sua origine, i suoi effetti, la sua localizzazione e la sua formulazione, ma che rimane ancora completamente misterioso (se posso esprimermi in
questo modo) nei suoi collegamenti formali con il corpo terrestre: il magnetismo
terrestre.
È noto che i poli magnetici terrestri non coincidono con il polo Nord ed il polo
Sud della sfera terrestre: “La terra ha solo due poli magnetici, uno in ogni emisfero, e cioè, all’epoca del 1830 quando era valido il calcolo gaussiano, il polo Nord
magnetico si trovava a 73° 35’ di latitudine nord e 264° 21’ di longitudine est dal
Meridiano di Greenwich, ed il polo Sud a 72° 35’ di latitudine sud e 152° 30’ di
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
longitudine est; entrambi non si trovano dunque su un diametro della terra. Questa
è invece magnetizzata secondo un asse che corre parallelo al diametro terrestre, e
che incontra la superficie terrestre nei punti 77° 55’ di latitudine nord, 296° 29’ di
longitudine est e 77° 50’ di latitudine sud, 116° 29’ di longitudine est.”
(A.Nippold: “Erdmagnetismus, Erdstrom und Polarlicht” - Magnetismo terrestre,
corrente terrestre e luce polare - , II ed., Lipsia 1912, pag.40).
I poli magnetici non costituiscono dunque i punti finali di un diametro terrestre,
ma la loro linea di collegamento è parallela all’asse terrestre - un fenomeno certo
e comunque singolare e misterioso!
Se consideriamo quindi ora il nostro cicloide tonale (§ 34,3 a) in questa prospettiva, e lo immaginiamo spazialmente come uno sferoide tonale, avremo con esso
una rappresentazione teorica sufficiente a spiegare perché la “linea dell’ottava” è
parallela al diametro terrestre ad essa relativo, il quale qui non coincide comunque
con il diametro dei poli terrestri - un momento che nella “migrazione” sia dei poli
magnetici della terra che dei poli terrestri possiamo per il momento trascurare. Se
identifichiamo dunque la linea dell’ottava, che è il momento morfologico creatore
effettivo del cicloide o sferoide tonale, con l’asse magnetico della terra, avremo in
questo modo una spiegazione per lo “spostamento in fuori” dell’asse magnetico
terrestre rispetto ai diversi diametri terrestri possibili, e cioè una spiegazione puramente morfologica proveniente dalla genesi del corpo terrestre stesso.
Lo spostamento della linea dei poli terrestri dall’asse magnetico terrestre avvenuto
nel frattempo, cioè il parallelismo andato oggi perduto dei due assi, potrebbe riferirsi in retrospettiva a questo risultante stato originario di partenza.
Anche questa indicazione non può e non deve essere altro che un invito per degli
approfondimenti ulteriori.
§ 37 b L’orecchio (fisiologicamente)
La “chiocciola” è tra gli organi più importanti dell’orecchio, mentre le “arcate”
sono apparentemente tra i meno importanti. Nella chiocciola avviene la trasposizione del suono nella sensazione acustica. Cosa però abbiano a che fare le tre
arcate, che sono regolate secondo le tre direzioni spaziali, con l’udito, non si può
per il momento assolutamente spiegare con il fatto che nelle arcate si è riconosciu194
MANUALE DI ARMONICA
to un organo responsabile dell’equilibrio, in cui si trova la capacità dell’orientamento nello spazio.
Per quanto riguarda la chiocciola dell’orecchio (cfr. Fig.336), io ho già sottolineato (in particolare “Grundriß”, pag.245/246 e Tav.15) che l’Armonica, grazie alla
spirale tonale, può fornire per la prima volta nella storia della fisiologia la prova
che questa importantissima parte dell’orecchio è strutturata morfologicamente
secondo la stessa legge tonale.
figura 336
Questa prova viene ampliata e consolidata attraverso la rappresentazione spaziale
della chiocciola tonale spaziale, come illustra la Fig.334. Il fatto che attraverso
questa curva armonicale a chiocciola si scopra anche il prototipo per tutte le altre
forme a chiocciola non dovrebbe necessitare ormai più di ulteriori discussioni. La
congruenza tra la chiocciola dell’orecchio e la chiocciola spaziale armonicale è
anche esteriormente tale che è possibile riconoscere nelle fibre della membrana
(cfr. Fig.336) l’esatto riscontro per i raggi tonali (vettori),i quali possono essere
infinitamente tanti all’interno dell’ottava (= un giro)! Si dovrebbero una volta
195
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
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contare le singole fibre della membrana in un giro della chiocciola dell’orecchio, e
confrontarle con la sensibilità della nostra facoltà di distinzione dei toni, cioè del
numero dei toni che possiamo ancora distinguere in un’ottava. Questa congruenza
risulterebbe forse ancora più reale!
Per ciò che riguarda le cosiddette “arcate”, è provato che un individuo che subisca
l’offesa o l’asportazione di quest’organo perde il senso dell’orientamento spaziale
(“equilibrio“) - che viene a volte compensato attraverso la correlazione di altri
organi, ma anche questa non è che la prova che queste arcate regolate secondo le
tre direzioni spaziali sono in qualche modo fondamentali per la rappresentazione
spaziale (cfr. la Fig.337 tratta da Üxküll!).
figura 337
196
MANUALE DI ARMONICA
Sostituendo ora le nostre coordinate tonali spaziali (cubo tonale come sviluppo
tonale tridimensionale), si avrebbe almeno un’indicazione per poter comprendere
l’esistenza così singolare di un organo tale proprio all’interno dell’orecchio. Le
arcate non sarebbero poi solo il prototipo fisiologico per la nostra rappresentazione spaziale tridimensionale, ma la loro localizzazione proprio nell’orecchio sarebbe legittimata acusticamente appunto in base alle coordinate tonali spaziali.
In un’opera molto importante per il fondamento fisiologico dell’Armonica, “Das
Ohrlabyrinth als Organ der mathematischen Sinne für Raum und Zeit” (- Il labirinto auricolare come organo del senso matematico per lo spazio e per il tempo-)
di E.von Cyon (Berlino, Springer, 1908), le “forme di rappresentazione” dello
spazio e del tempo fondamentali per la nostra conoscenza vengono ricondotte,
come dice già il titolo, all’orecchio, cioè si considerano le arcate come base fisiologica per la nostra sensibilità spaziale, e la chiocciola come base per la nostra
sensibilità temporale. “La costituzione delle nostre rappresentazioni degli spazi
tridimensionali si fonda solo sulle percezioni delle tre dimensioni dell’apparato
delle nostre arcate, senza un qualsiasi intervento dei numeri” (loc.cit. pag.414). E
ancora: “La capacità della chiocciola di dominare delle operazioni di calcolo così
raffinate (come l’appercezione degli intervalli tonali) costringe ad ammettere che
quest’ultimo sia un vero e proprio organo sensoriale aritmetico, a cui si deve direttamente la conoscenza delle regole elementari dell’aritmetica. Poiché le nostre
percezioni temporali, con l’eccezione delle sensazioni immediate della successione temporale, si fondano su queste conoscenze numeriche, si può considerare giustificata la conclusione che il senso temporale sia in stretto rapporto funzionale
con l’organo sensoriale aritmetico” (loc.cit. pag.416).
Cyon fonda le relazioni tra le sensazioni spaziali e le arcate in particolare su
numerosi esperimenti, e rifiuta, da positivista convinto, il punto di vista Kantiano
dell’origine aprioristica di spazio e tempo (loc.cit. pag.X).
Anche lasciando aperta l’ultima questione, dopo le ricerche di Cyon resta comunque valido lo stretto collegamento di spazio-arcate e tempo-chiocciola, e questo
fatto ha per l’Armonica ha un grandissimo valore sotto l’aspetto teoretico- conoscitivo, appunto in ragione del significato che in essa aquistano lo spazio e il
tempo.
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§ 37 LO SPAZIO TONALE
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§ 37 c Bibliografia
H.Kayser: “H.M.” pagg 78-81. Nelle “Abh.” i luoghi in oggetto negli “Spettri
tonali“. Per l’Armonica dei cristalli cfr. H.Kayser: “Tagebuch von Binntal” (Diario di Binntal -) (nelle “Abh.“).
Per la cristallografia, l’opera di P.Niggli citata nel testo, ed i manuali consueti
della cristallografia, le cui definizioni d’indice devono essere ritradotte nella V
opera di Goldschmidt per poter esssere utilizzate armonicalmente.
In riferimento al “magnetismo terrestre” e all’orecchio (udito), si confrontino possibilmente gli articoli corrispondenti in “Handwörterbuch der Naturwissenschaft”
(- Dizionario di scienza naturale -), reperibile nelle sale di lettura di tutte le biblioteche più importanti, ed anche l’opera di Cyon citata nel § 37 b.
198
MANUALE DI ARMONICA
LASCIATA INTENZIONALMENTE IN BIANCO
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§ 38 IMMAGINI SONORE
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§ 38 IMMAGINI SONORE
A partire dal § 21 ci siamo mossi in un campo dell’esperienza acustica, quello
dell’ “audition visuelle”, che merita un rilievo a parte alla fine di questa sezione C
II del nostro manuale, in quanto esso è di estrema importanza per molte analisi
ectipiche, e soprattutto per l’ambito puramente spirituale della simbologia armonicale: il campo delle “immagini sonore“.
Rifletteremo dunque ancora una volta su cosa sia quest’immagine sonora e come
si giunga ad essa, per poi dimostrare ectipicamente, attraverso l’esempio dell’immagine sonora dell’uomo, i due modi fondamentalmente diversi che si presentano
all’Armonica per analizzare secondo i suoi principi una forma la cui esteriorità
compare davanti a noi a livello visivo.
Il concetto di “immagine sonora” ci è già noto attraverso la radio, nonostante esso
si realizzi in quel caso solamente nel suo senso acustico del “sentire”, e manchi
completamente della sua “immagine” ottica; nell’Armonica esso viene invece
considerato ed interpretato nel suo significato esatto, dato da entrambi i suoi componenti: le immagini, i diagrammi, i simboli armonicali in oggetto possono essere
visti ed ascoltati.
Nell’immagine sonora armonicale questo vedere e sentire non ha però un collegamento soltanto esteriore, come si verifica nel caso della simbolizzazione dell’andamento acustico attraverso l’immagine ottica delle note della scrittura musicale.
Ci si può di per sé immaginare ogni musica scritta nei più diversi modi di “notazione musicale”, come succede per i suoni linguistici rappresentati coi caratteri
più vari - in questo senso la trasposizione dell’acustico in ottico è solo il risultato
di un accordo arbitrario. L’immagine sonora armonicale è invece fondamentalmente diversa. Grazie allo sfondo numerico delle frequenze e delle lunghezze
della corda è possibile qui una trasposizione diretta di ciò che è uditivo, ascoltabile, in ciò che è visuale, visibile, attraverso l’introduzione di diagrammi geometrici
che rappresentano graficamente il contenuto tonale dei fenomeni armonicali,
secondo l’immanenza della regolarità insita in questi stessi fenomeni. È natural200
MANUALE DI ARMONICA
mente possibile utilizzare degli altri segni invece dei numeri arabi e delle segnature tonali c d e f.... Ma l’Armonica geometrica rimarrebbe comunque invariata, e
questo è il nucleo fondamentale dell’immagine sonora armonicale, in cui si realizza una illustrazione diretta delle proporzioni del numero tonale.
Non si pensi però che il nostro approccio sia solo di tipo aptico, che si debba prendere un centimetro, misurare semplicemente i numeri tonali e poi tramutarli in
linee e figure. Il lettore avrà appreso nei §§ precedenti (a partire dal § 20 e in particolare nel § 31) che esiste anche qui una certa gradualità, dal livello aptico più
concreto alle sue versioni relativamente più “astratte“. Il punto essenziale è in
ogni caso la rappresentazione aptica il più possibile “giusta” delle disposizioni
contenute nelle strutture acustiche in oggetto che sia il più “esatta” possibile, e
non arbitraria. Se si concepisce questa trasposizione dell’acustico in visivo in
senso generale, allora ogni diagramma armonicale costituirebbe una “immagine
sonora”, cosa che è fondamentalmente esatta. Se si vuole però utilizzare l’espressione “immagine sonora” riferendola ad un significato complessivo - p.es. l’immagine sonora dell’uomo, della pianta, ecc. - sarà allora opportuno conservare l’espressione “diagrammi armonicali” per tutto il resto.
Anche qui prego il lettore di non considerare le definizioni in modo rigido e limitato. Riguardo p.es. alla futura “Armonica dei cristalli”, si dovrà lasciare allo studioso che se ne interessa la scelta dell’espressione “Armonica spaziale dei cristalli” oppure “Immagini sonore dei cristalli” per definire gli spazi ideali dei cristalli.
Se si riflette sull’essenza dell’immagine sonora, e si tenta di esprimere in parole il
suo significato effettivo, la sua “ampliezza” si rivelerà molto grande già da un
punto di vista esterno. I tre sensi più importanti: il tatto (conti, misurazioni), la
vista (la visione dei diagrammi), e l’udito (l’ascolto dei valori tonali) vengono qui
a coincidere, e vengono equiparati attraverso l’atto del pensare. È evidente che
una base conoscitiva con dei fondamenti tali apre alla nostra facoltà spirituale
delle possibilità di interpretazione molto più ampie e più profonde di quanto possa
fare il solo toccare (fisica, aptica in generale), il solo vedere (ottica, arti figurative), il solo ascoltare (musica) o il solo pensare (logica e filosofia attuale come
“scienza“). Anche la lingua è in grado di creare dei collegamenti trasversali, nella
poesia e nei sistemi filosofici più importanti; ma in quel caso l’orecchio diventa
201
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§ 38 IMMAGINI SONORE
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un fattore di conoscenza autonomo, e viene trascurato il riferimento all’Acroasi,
che è ciò a cui l’ “immagine sonora” deve il suo senso e il suo valore effettivo.
Attraverso un’analisi armonicale della configurazione dell’uomo vogliamo dunque tentare di mostrare delle proporzioni armonicali partendo innanzitutto dall’esterno, per poi costruire un’immagine sonora dell’uomo dall’interno.
§ 38 a Ectipicità - Proporzioni armonicali ectipiche della figura dell’uomo
§ 38 a,1 L’immagine sonora esteriore dell’uomo
Da sempre l’uomo cerca di giungere ad una comprensione sensata della struttura
della figura umana.La compattezza così regolare e severa che presentano le sculture arcaiche lascia supporre con estrema probabilità l’esistenza di uno o di diversi
“canoni” in queste antiche epoche artistiche, anche se di essi non ci è giunta alcuna notizia. Determinati tipi espressivi - p.es. le antiche figure egizie rappresentate
sedute con le mani appoggiate sulle gambe, o raffigurate in cammino con le mani
lungo i fianchi, il cui tipo dalle proporzioni così scrupolose venne conservato per
migliaia di anni - non sono altro che l’espressione esteriore di un proporzionamento psichico della figura dell’uomo in una posa precisa, un atteggiamento animico
interiore caratterizzante le epoche antiche ed espresso in forma aptico-ottica attraverso un determinato tipo umano.
Già i reticoli per il proporzionamento dei disegni a rilievo ritrovati nei sepolcri
egiziani (cfr. il disegno in oggetto ed il commento ad esso relativo di Lepsius nel
mio “Grundriß”, pag.282 e segg.!) dimostrano che gli antichi scultori cominciarono molto presto a regolare le proporzioni effettive di questi tipi, che venivano
riproposti sempre in nuove e molteplici variazioni; ma più di ogni altra cosa ne è
la prova la trasmissione del famoso “Canone di Policleto” di cui in verità non si
conosce nulla di più preciso, ma che deve essere stato estremamente vincolante
per gli scultori greci. È poi noto che tutti gli artisti più significativi del rinascimento italiano e tedesco si dedicarono seriamente a studi proporzionali, in particolare a studi della figura umana - anche a questo proposito rinvio il lettore alla
“Proporzione essenziale” nel mio “Grundriß” (pag.280 e segg.).
In questo luogo non si vuole però scrivere una storia delle proporzioni, si vuole
analizzare armonicalmente la forma dell’uomo.
202
MANUALE DI ARMONICA
§ 38 a,1a
Già K.Wineken ha condotto diversi tentativi interessanti riguardo alla composizione armonicale della forma umana nel suo libro: “Der Aufbau der Form” (- La
costruzione della forma-) (Friburgo in Brisgovia, 1903) , che è un testo significativo per noi armonici grazie al materiale numerico contenuto in esso. Essi si possono riassumere dicendo che egli pone alla base dei suoi “reticoli” le razioni della
triade 2, 3 e 5. Vedremo immediatamente che attraverso di essi è effettivamente
possibile dimostrare “en face” i punti di divisione più importanti. Prima però vorrei comunicare al lettore anche un’altra scoperta di Wineken, che mi sembra molto
istruttiva proprio nel senso armonicale più stretto.
Wineken (cfr. vol. II, pag.272 e Tav.V della sua opera!) considera innanzitutto la
figura dell’uomo col braccio teso in fuori come unità, e la paragona alla donna, la
quale è rappresentata in scala lievemente più ridotta, secondo il rapporto 170
(uomo) : 163 (donna) che appare nel “Manuale di anatomia applicata” di Pfeiffer.
Wineken fa notare a ragione che questo rapporto 170 : 163 (= 1,0429) si avvicina
tanto a quello di 25 : 24 (= 1,0416), il cosiddetto “piccolo cromo”, da poter tranquillamente sostituire quest’ultimo al primo. Nella nostra Fig.338 riporto le due
figure (uomo e donna) secondo la Tav.V di Wineken, ed affianco inoltre il monocordo a chiarimento dei rapporti tonali, riportando i numeri di Wineken in una
versione variata e semplificata, comprensibile armonicalmente. Come è possibile
vedere, Wineken rappresenta l’uomo e la donna secondo la stessa unità di misura,
ma divide lo spazio dell’uomo (lunghezza della corda) in razioni terze, e lo spazio
della donna in razioni quinte. In questo modo alla testa dell’uomo (misurato dal
basso) corrispondono i 5/6 dell’unità, a quella della donna i 4/5 dell’unità.
Delle singole linee di divisione pentadiche e triadiche preferiamo discutere più
tardi, nel nostro canone di divisione armonicale. Estremamente interessante mi
sembra invece il rapporto 5/6 : 4/5 tra uomo e donna proprio sotto l’aspetto della
valutazione tonale - che Wineken non ha però affrontato. In esso si rivela infatti
(con le lunghezze della corda!) il rapporto tra la Terza Minore 5/6 es e la Terza
Maggiore 4/5 e ! Già nel mio “Harmonia Plantarum” (pag.201-206) ho tentato di
mostrare che la Terza, Maggiore o Minore che sia, è il “tono sessuale” di per sé,
non solo in senso musicale determinante l’accordo Maggiore o Minore, ma anche
203
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§ 38 IMMAGINI SONORE
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come razione “pentadica” (quinta) in senso morfologico-metafisico, che è in grado
di chiarire il problema della sessualità in un modo completamente nuovo.
Uomo e donna si trovano quindi anche nelle loro relazioni di grandezza mediamente nel rapporto delle due Terze, il che significa che già le loro misure puramente esteriori sono indicative del rapporto interiore sessuale dei due sessi!
Questa relazione diventa poi ancora più particolare se si calcola il rapporto di
grandezza reciproco di uomo : donna e viceversa, e si aggiungono poi ai quozienti
ottenuti i valori tonali. Si otterrà infatti:
con le frequenze; con le lunghezze della corda bisognerà invece invertire i toni.
Ponendo soltanto l’unità, cioè l’intera lunghezza della corda o frequenza = c, questa situazione rivela che il rapporto uomo-donna e donna-uomo si esprime armonicalmente in due intervalli cromatici che si avvicinano moltissimo al tono di base:
ces (c) cis
in cui il tono di base -c costituisce l’unione anonima delle due relazioni.
Un’interpretazione spirituale ricondurrebbe i due tipi dei corpi dell’uomo e della
donna ad un’originaria unità animica ed androgina (= maschile - femminile), che
si scisse in due diversi intervalli cromatici -c in seguito alla sua “incarnazione“.
È immediatamente evidente quanto questa conoscenza significhi per moltissimi
teoremi mitologici, leggendari e persino religiosi (angeli!): attraverso l’analisi
armonicale si scopre un accesso diretto e psicofisicamente esatto ad un fenomeno
che è stato molto discusso ma finora solo catalogato o dogmatizzato, e si può
quantomeno concepire un rappresentazione figurativa del modo in cui questa
androginità si sia potuta fissare a livello figurativo o a livello concettuale nelle
forme più diverse: è anch’essa l’espressione dell’uomo primordiale, che ancora
sapeva ascoltare e carpire il suono della sua anima all’interno del suo inconscio
ancora puro e incorrotto!
204
MANUALE DI ARMONICA
§ 38 a,1b
Procediamo ora con l’analisi armonicale attraverso il nostro indicatore tonale. Ci
limitiamo qui ad analizzare la figura femminile; il lettore esamini la figura
maschile in modo parallelo, appoggiandosi alla rappresentazione maschile della
Fig.338.
figura 338
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§ 38 IMMAGINI SONORE
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Con “indicatore tonale” si intende la divisione razionale dei segmenti per mezzo
delle nostre coordinate tonali, come è stata descritta nel § 24,3. In questa divisione
dei segmenti è possibile utilizzare la parte superiore (> 1) , ossia le razioni che si
trovano al di sopra della linea della generatrice, di ognuno degli schemi consueti
delle coordinate tonali quadrate.
Si confronti la Fig.339:
figura 339
206
MANUALE DI ARMONICA
L’analisi della figura femminile posta all’interno del monocordo si origina ricercando nel reticolo di coordinate tutti i valori tonali più vicini alle posizioni più
importanti dell’occhio, naso, bocca, mento, spalle ecc., e segnando i loro punti
tonali attraverso le linee equitonali.
Con un ingrandimento del reticolo di coordinate e prendendo in considerazione
anche gli organi interni, lo scheletro e l’attaccatura dei muscoli, si potrebbero
naturalmente scoprire moltissimi altri punti tonali, p.es. delle varianti senarie del
punto 5/7 (parte finale superiore del ginocchio), a cui si avvicinano molto i valori
18/
32/
25 fis e
45 fis. Ma proprio limitandosi ai segmenti proporzionali più evidenti
dell’immagine frontale si giunge a un’idea interessante per mezzo della valutazione tonale. Ordinando infatti il materiale tonale dei punti di divisione ridotti d’ottava, si ottengono i toni:
c des d e f ges g a h c
cioè una dichiarata scala musicale in c-Maggiore, con i semitoni des e ges. Questi
ultimi due (malleolo 15/16 des e parte finale superiore del ginocchio 5/7 ges) possono essere eliminati, poichè il loro significato morfologico si rifà agli altri punti
tonali, così che per le proporzioni del corpo più importanti resta il solo materiale
per una scala musicale diatonica completa!
§ 38 a,1c
Per analizzare la figura umana è possibile utilizzare il sistema della divisione
armonica dei segmenti anche sotto un altro aspetto sempre armonicale, e cioè la
divisione armonica successiva che abbiamo trattato nel § 24 a 1, e che può essere
utilizzata anche per la divisione del monocordo.
Come ho indicato nella mia opera “Ein harmonikaler Teilungs-Kanon” Deutung
einer geometrischen Figur im Bauhüttenbuch Villard de Honnecourts (- Un canone di divisione armonicale. Spiegazione di una figura geometrica nel libro dei
cantieri edili di Villard de Honnecourt -) (Studi armonicali, Quaderno 1, Ed.
Occident, Zurigo 1946), questa divisione dei segmenti è presumibilmente un’eredità pitagorica antica, che venne tramandata fino ai cantieri edili del medioevo e
più tardi ancora, ed in Villard (XIII sec.) compare nella forma riportata nella
Fig.340.
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§ 38 IMMAGINI SONORE
figura 340
In questa rappresentazione Villard disegna a mano libera il suo “modello d’uomo“.
Questa figura geometrica a suo modo caratteristica non è che l’ “inizio” del canone di divisione armonicale a noi noto, costituito attraverso delle proporzioni armoniche successive, che era sicuramente già di uso comune tra i pitagorici.
Disegnando la figura dell’uomo come fa Villard (che inoltre non fornisce alcuna
spiegazione precisa del suo schema geometrico), si giungerebbe però solo ad una
concordanza molto superficiale. La stessa figura diventa invece decisamente proficua se in questo canone di divisione armonicale viene compreso anche il capo.
La Fig.341 lo mostra con chiarezza.
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MANUALE DI ARMONICA
figura 341
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§ 38 IMMAGINI SONORE
La costruzione del canone di questa figura è descritta con precisione nel mio studio su Villard citato sopra.
Disegnando in questo canone l’immagine normale di un uomo (cfr. il lucido
annesso alla Fig.341!), si vedono immediatamente sorgere molte forti corrispondenze, che dovrebbero dimostrare che Villard conosceva il canone divisorio ormai
solo nella sua forma più superficiale (la nostra Fig.340), come schema costruttivo
edilizio, e che non sapeva invece più nulla dei suoi ulteriori sviluppi interiori, e di
come questo canone dovesse essere de facto utilizzato per l’analisi della figura
umana.
Se si osserva il canone della nostra Tavola, si noterà un vantaggio rispetto alle due
divisioni armonicali precedenti, che consiste nel fatto che questo non contiene
solo le divisioni verticali ma anche quelle orizzontali - simbolizzate dai due
monocordi posti a destra e in alto.
In questo modo è possibile contemporaneamente anche l’analisi armonicale delle
simmetrie della larghezza. Esaminando il significato dei punti di divisione dal
basso verso l’alto, si ottiene schematicamente:
Il centro della fronte si trova all’incrocio dei due raggi 1/12 , il centro degli occhi
all’incrocio dei raggi 1/9 coi raggi 1/7 , ecc. - il lettore troverà facilmente molte
altre corrispondenze.
Per condurre delle altre analisi ancor più precise (della parte inferiore, o con l’inclusione dello scheletro, degli organi interni ecc.) è necessario ingrandire la parte
inferiore del canone. Per il lettore sarà più semplice disegnare il canone come
210
MANUALE DI ARMONICA
nella Fig.341, su un foglio a parte di circa 40 cm di lunghezza e 15 cm di larghezza, cioè in un rapporto di 4 : 1 fino all’indice 16 , e realizzare poi la figura umana
ad esso relativa su un foglio di carta lucida. Si può p.es. appoggiare il canone, o la
figura umana, dal punto - 1/2 (pene) verso il basso, o dalla punta del piede verso
l’alto, e portare così avanti l’analisi fino alla precisione e alla differenzazione
desiderata.
In questo luogo ci si deve accontentare di questi accenni, in quanto un’analisi
completa della figura frontale umana oltrepasserebbe di molto i confini dei paragrafi di questo manuale.
§ 38 a,2 L’immagine sonora interiore dell’uomo
Dopo aver mostrato nel § 38 a 1 le diverse analisi armonicali “ectipiche”, vogliamo ora costruire armonicalmente la figura umana a partire dall’interno, “prototipicamente“.
Se questa “prototipicità” viene qui compresa sotto il punto dell’ectipicità (§ 38 a),
questo accade semplicemente perché il tema di questo § (“Immagini sonore“)
dovrebbe essere variato attraverso l’analisi della figura umana in considerazioni
“ectipiche” molto generali.
In ogni ectipicità armonicale esiste fondamentalmente una prototipicità, cioè quella norma armonicale che materializza ogni esempio applicativo.
I percorsi di queste due possibilità sono comunque fondamentalmente diversi.
Nei tre esempi precedenti abbiamo prima cercato le parti più importanti della figura umana, e abbiamo poi posto le configurazioni armonicali come criterio di misura: un percorso dall’esterno all’interno.
Vogliamo ora sviluppare un determinato tipo combinatorio armonicale a partire
dall’unità 1/1 c , fermarci ad un certo indice ed osservare cosa risulta da esso: il
percorso dall’interno all’esterno, che è il cammino prototipico armonicale vero e
proprio, applicato p.es. in prevalenza nel mio “Harmonia Plantarum“.
Riprendo questa “immagine sonora dell’uomo originario” (che possiamo chiamare
anche prototipo della forma biologico-animale) dalla 1° edizione del mio ciclo di
relazioni “Vom Klang der Welt” (- Del suono del mondo -) (pag.118 e segg.), poiché nella 2° eventuale edizione verrà discusso solo il suo stadio finale (indice 12) ;
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§ 38 IMMAGINI SONORE
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esso è però un esempio fondamentale così importante per lo sviluppo successivo
di un’immagine sonora armonicale, che va considerato in questo manuale un
esempio per molti (che il lettore dovrà realizzare da sé).
Tra le varie possibilità di disposizione scegliamo il tipo I , tra le variazioni di questo tipo consideriamo le (permutazioni) I a e I d , e componiamole in una combinazione (cfr. Fig.342) facendo coincidere gli assi delle generatrici nel punto 1/1.
figura 342
Avendo intenzione di costruire quest’immagine sonora a partire dal suo inizio,
sviluppiamo i suoi indici cominciando con l’indice 1 (Fig.343,1).
212
MANUALE DI ARMONICA
figura 343
figura 344
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§ 38 IMMAGINI SONORE
figura 346
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MANUALE DI ARMONICA
figura 349
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§ 38 IMMAGINI SONORE
Questo indice è ancora completametamente indifferenziato: esso mostra solo l’unità, il tono di base, la cellula originaria del sistema a venire.
Con l’indice 2 (Fig.343,2) compaiono già le due Ottave superiore ed inferiore (c’ e
c,), gli assi verticali della generatrice orientati verso l’alto e verso il basso, ed
anche le serie iniziali dei lati. Da un punto di vista tonale non si è ancora oltrepassata la triade dei valori -c :
(c, - c - c’).
L’indice 3 (Fig.343,3) produce già le Quinte superiori ed inferiori g e f , cioè le
“dominanti”, che si presentano nelle due ottave a fianco dei toni fondamentali (c, c - c’) avuti fin’ora.
L’indice 4 (Fig.343,4) non mostra nessun valore tonale nuovo, ma sviluppa quelli
già presenti in ottave successive. Questa disposizione determina inoltre una nuova
coppia di assi, cioè i due lati inferiori. Io definisco questi assi “statici”, poiché
sono composti da soli valori -c (c, e c’), a differenza degli assi dei lati diretti verso
l’alto della serie armonica inferiore e superiore,che sono invece “dinamici“.
Nell’indice 5 (Fig.344,1) compaiono per la prima volta le Terze, rendendo così
possibile un accordo. Se consideriamo infatti a partire dal punto 1/5 dell’angolo
sinistro esterno, gli accordi della serie orientata obliquamente verso l’alto a destra,
otteniamo gli accordi Maggiori As -, C -, e F -. Le serie che partono dal punto 5/1 a
destra danno al contrario gli accordi Minori a , f e c.
L’indice 6 (Fig.344,2), il cui numero è 2 x3 , come tutti gli indici pari non produce
alcun nuovo valore tonale ma solo nuove ottave; esso è stato disegnato tratteggiato per chiarire lo sviluppo tonale senario che qui si conclude. Vorrei però riportare
la melodia del contorno di questo indice, che mostra una successione tonale che
arriva già ad una altezza notevole:
figura 345
Questo melos del contorno dell’indice 6 comincia nel tono più basso c e gira
216
MANUALE DI ARMONICA
intorno a tutta la figura, procedendo verso destra. La successione tonale può naturalmente cominciare in un qualsiasi altro punto. Un confronto con le successioni
tonali dei profili degli altri indici, che sono facilmente realizzabili seguendo questo esempio, rivelerà che ad ogni indice corrisponde una melodia propria.
L’indice 7 manca, poiché l’immagine sonora ha un limite senario.
L’indice 8 (Fig.346,1) mostra per la prima volta, proprio attraverso questa limitazione senaria, una determinata struttura della disposizione spaziale. Poiché le serie settime mancano, i punti tonali non sono più uniti l’uno all’altro come abbiamo visto
fin’ora, ma mostrano dei vuoti. Il “generatore” (= il nucleo senario finito; ogni successione compiuta di razioni può in ogni caso essere presa come “generatore“!)
comincia a rivelarsi. Neppure questo indice 8 produce valori tonali nuovi, ma solo
nuove ottave. Si noti però la nuova melodia caratteristica di questo profilo! Con l’indice 9 (Fig.346,2) compare invece qualcosa di completamente nuovo. Poiché qui
“nascono” i toni d e b , cioè le Seconde (toni interi) ancora mancanti alle Ottave,
Quinte (Quarte) e Terze, si possono ora disegnare nel diagramma i cerchi della scala
musicale, e cioè i cerchi possibili dell’indice in oggetto, la cui circonferenza tocca
una serie di punti tonali che si sommano in una scala musicale compiuta. Un’analisi
del materiale tonale di questi cerchi di scale musicali è di estremo interesse:
figura 347
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§ 38 IMMAGINI SONORE
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Ascoltando questi temi si delinea un evidente “contrappunto”, una sorta di domanda e di risposta - dove la definizione di “contrappunto”, tanto usata ed abusata,
deve essere intesa nel suo significato più preciso; i punti tonali corrispondenti si
trovano infatti sui semicerchi opposti divisi dalla linea verticale della generatrice!
A questo singolare contrappunto - che nella nostra immagine sonora si presenta a
cominciare dall’indice 9 - della costruzione armonicale di una forma biologica, si
affianca un accordo altrettanto singolare, che si differenzia sempre più. Scrivendo
gli accordi dell’indice 9 (ridotto d’ottava) con lo stesso metodo usato già con l’indice 5, si ottengono gli 8 accordi seguenti, la cui forma psichica rivela, attraverso
il loro ascolto, un carattere quasi interrogativo:
figura 348
Anche la linea del contorno di questo indice produce un’altra nuova successione
tonale, che è già molto differenziata, come si può constatare facilmente mettendo
in evidenza i valori tonali.
L’indice 10 (Fig.349) non produce nulla di nuovo da un punto di vista tonale,
mentre da un punto di vista formale rivela due nuovi momenti importanti, e cioè:
a) i cosiddetti cerchi “incompleti” della scala musicale (i tre piccoli cerchi disegnati puntati a destra e a sinistra in alto), le cui corrispondenze originano un insieme sensato (“pieno - di senso” : due occhi, orecchie...!) solo se li si prende in considerazione insieme.
b) le due piccole ellissi “enarmoniche” che compaiono nel diagramma in alto e in
basso, e cioè quei punti all’interno dell’immagine sonora in cui per la prima volta
i toni si scindono: dv - dv e b - b.
Con il seguente indice 12 (Fig.350) si vuole concludere lo sviluppo degli indici, in
quanto il livello raggiunto a questo punto permette una psico-analisi esatta della
nostra immagine acustica.
218
MANUALE DI ARMONICA
Si osservi semplicemente la Fig.350!
figura 350
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§ 38 IMMAGINI SONORE
Gli elementi grafici del diagramma sono: 1- i numeri tonali, 2- gli assi principali e
3- i cerchi e le ellissi della scala musicale. Niente è stato disposto ad hoc in questo
diagramma; esso contiene solo la notazione dei regolari dati armonicali fondamentali che gli sono propri.
Rivolgiamo la nostra attenzione innanzitutto agli assi. Vediamo prima l’asse centrale verticale, che è l’asse della generatrice e che divide il diagramma intero in
una metà > 1 ed una metà < 1, oppure una metà destra ed una sinistra. In questa
immagine sonora la parte destra e quella sinistra acquistano il loro senso come
dilatazione e restringimento, altezza e profondità, luce e oscurità, ecc. La simmetria, o il problema della specularità, viene integrato attraverso l’analisi armonicale,
quindi animicamente, nella misura in cui Maggiore e Minore rappresentano un
grado di integrazione più elevato rispetto alle diversità dei semplici numeri di
oscillazione.
Vediamo poi due coppie di assi dirette obliquamente verso l’alto e verso il basso.
Quello superiore è disegnato puntato, e definisce le serie dei lati dello sviluppo
tonale, e cioè la prima serie armonica superiore ed inferiore. Tonalmente queste
due serie rappresentano la dinamica più forte all’interno della quale il diagramma
raggiunge il suo sviluppo tonale completo.
I due assi inferiori diretti obliquamente verso destra e sinistra, disegnati con una
linea spessa, hanno invece una struttura tonale completamente diversa. Essi sono
gli assi della prima ottava superiore ed inferiore del tono di base, che sono quindi
composti da valori tonali identici ed incarnano perciò il momento statico.
Se si considerano queste due coppie superiori ed inferiori di assi come un riferimento per la differenzazione di mano e piede, ci si trova qui di fronte ad una spiegazone singolare ma adeguata per la fondamentale differenza tra la mano ed il
piede.
È noto che molti antropologi considerano la formazione della mano come il fattore di sviluppo morfologico fondamentale dell’uomo rispetto all’animale. Le mani
hanno dei compiti completamente diversi rispetto ai piedi. La mano afferra, trattiene, lavora e crea; essa è la parte del corpo morfologicamente più vitale, proprio
come la serie dei lati dello sviluppo tonale.
220
MANUALE DI ARMONICA
I piedi permettono invece di muoversi con libertà: essi dunque servono soprattutto
a compensare la staticità del corpo, e rappresentano esattamente i momenti delle
relazioni statiche, come le serie delle ottave del nostro diagramma.
Attraverso l’analisi dei valori tonali, e non dei numeri tonali di questi assi, è così
possibile comprendere la profonda differenza delle loro funzioni.
Osservandoli solo da un punto di vista puramente geometrico o numerico sarebbe
molto più probabile supporre un’uguaglianza piuttosto che una differenza. Come
tutte le immagini sonore infatti, quasi tutte le forme organiche presentano una evidente simmetria, o quantomeno un’asse di simmetria come in questo diagramma.
Si ponga ora l’attenzione sui piccoli cerchi concatenati disegnati con dei puntini
nella parte superiore della figura: i tre cerchi puntati a destra e i tre cerchi a sinistra possono in un certo modo rappresentare riassuntivamente i valori tonali che si
completano reciprocamente; ciò significa che le coppie di cerchi a destra e a sinistra si devono corrispondere per poter dare una scala musicale compiuta ed equilibrata.
Il parallelo biologico di questo potrebbe essere la duplicazione degli organi di
senso fondamentali: l’occhio e l’orecchio. Il senso intrinseco della loro comparsa
prevalentemente duale riceverebbe anche in questo caso una valutazione completa
attraverso l’analisi armonicale.
Osserviamo ora il settore tratteggiato scuro del diagramma. L’abbiamo già visto
chiaramente prima , come l’unità triadica che emerge fin dal primo momento dal
diagramma.
Questo è il punto iniziale dell’intero sviluppo tonale, e sarebbe anche il punto
d’incontro dei raggi dei valori tonali, se li si disegnasse tutti; ma si potrebbe affermare anche il contrario: da questo punto si irraggiano come da un sole tutte le
relazioni di valore del diagramma. Si rivela qui automaticamente il parallelo al
cosiddetto “plesso solare”, quel misterioso intreccio solare nel corpo umano
descritto notoriamente come un intreccio di cellule nervose posto dietro allo stomaco - una definizione iniziale e puramente esteriore, che da sola non riesce a
spiegare l’estrema sensibilità di questo sensorio.
Da un punto di vista armonicale essa sarebbe assolutamente comprensibile, come
punto di partenza dello sviluppo morfologico, e concorderebbe inoltre senza con221
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§ 38 IMMAGINI SONORE
trasti con quella teoria dell’evoluzione che fa cominciare lo sviluppo embrionale
con la cosiddetta “gastrula”, cioè l’introversione dello stadio iniziale dello stomaco. Il collegamento di quest’organo con il plesso solare ci fa poi notare una relazione singolare, ancora poco studiata.
Passando però in una sfera più elevata è necessario prima di tutto mettere in rilievo un contrappunto interiore del nostro diagramma.
Ogni valore tonale di una singola metà del diagramma non trova nell’altra metà
solo la sua corrispondenza, ma anche la sua congruenza, poichè i due diagrammi
sono accoppiati. Nel diagramma completo infatti ogni punto tonale sta letteralmente contro l’altro punto tonale, e proprio a questo contrappunto interiore si
deve la sua forma, nel suo senso più proprio.
Se ora si applica questa conoscenza alla vita, che ha decisamente le sue accentuazioni tonali, questo contrappunto dei valori tonali ci spiega anche il divenire della
forma organica. Così quest’ultima non sarebbe effettivamente che l’espressione
materiale- visibile di un melos contrappuntico che risuona.
Passiamo ad un altro caso parallelo. Nella parte superiore del diagramma, sotto il
primo piccolo cerchio, possiamo osservare una piccola ellisse verticale puntata.
Troviamo la stessa ellisse nella parte inferiore del diagramma. Se si prosegue con
l’analogia con le forme biologiche, si è qui autorizzati ad attribuire a queste due
ellissi un influsso sulla sfera intellettuale e sulla sfera sessuale, o quanto meno
esse si trovano nel settore che interessa morfologicamente la parte della testa e
quella sessuale.
A questo riguardo sono interessanti alcune osservazioni e problematiche della
ricerca biologica e fisiologica moderna.
È noto che il percorso caratteristico delle ghiandole germinali costituisce sia nella
filogenetica che durante lo sviluppo embrionale dei mammiferi un problema da
tempo irrisolto per la biologia.
Il fisiologo Armin Müller si esprime in questi termini riguardo a questo problema:
“Al contrario dei corpi aperti non centralizzati delle piante, nei corpi animali risulta che la tendenza centralizzante e costituente l’unità è determinata in prima linea
dal sistema nervoso centrale. In opposizione polare a quest’ultimo si contrappone
il sistema delle ghiandole germinali, come antagonista della tendenza all’indivi222
MANUALE DI ARMONICA
duazione, che rappresenta invece la tendenza alla propagazione, dispersione o
disintegrazione. Questa tensione polare interna tra le forze fondamentali di ogni
individuo cresce con l’aumento della sua individualità e compiutezza.
L’aumento di quesa tensione trova la sua espressione spaziale da un lato nella
migrazione diretta verso il capo dei centri nervosi più elevati, dall’altro nella
migrazione verso il basso, nel ventre, delle ghiandole germinali nei mammiferi.
Riprendiamo ora in considerazione il nostro diagramma e le due piccole ellissi
puntate in questa prospettiva. La loro dislocazione polare nella sfera del cervello e
in quella sessuale del diagramma è evidente, ma acquista il suo vero significato
armonicale solo attraverso un esame dei valori tonali che percorrono le due ellissi.
Entrambe le ellissi si trovano infatti nei punti del diagramma in cui lo sviluppo
tonale si divide per la prima volta enarmonicamente.
Sia nella parte superiore che nella parte inferiore compaiono due diversi toni -b e
due diversi toni -d ; i toni centrici hanno lo stesso identico valore tonale, ma
hanno localizzazioni differenti: l’ellisse superiore si raggruppa intorno al punto 9/9
c , quella inferiore intorno al punto 8/8 c.
Da un punto di vista armonicale questi luoghi in cui compare la prima differenzazione enarmonica hanno comunque sempre la preferenza, in base al loro significato. La loro corrispondenza morfologica con la sfera conoscitiva e quella sessuale
del nostro diagramma svela un profondo segreto della natura all’analisi armonicale. Il collegamento interiore tanto biologico quanto psicologico delle due sfere
diventa così comprensibile, e la loro struttura enarmonica ci rimanda ad una
profonda necessità del movimento dialettico delle singole sfere, in sé e tra di loro.
Al misterioso collegamento tra il creare ed il sapere (parlare), al “conoscere” sessuale della Bibbia sembra dunque prefissa una struttura animica tipicamente
armonicale. La sua scissione enarmonica riceve una spiegazione a livello inconscio nelle mitologie religiose attraverso i più diversi racconti del peccato originale, o attraverso quel pianetoide andato sicuramente distrutto che faceva parte dei
pianeti originari del nostro sistema planetario, e che si trovava appunto in quella
collocazione enarmonica (come abbiamo visto in “H.M.”, pag.191 e segg., e
“Abh.”, pag.132 e segg.).
Questi fatti vengono allora ad illuminare le loro relazioni comuni, che non sono
223
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§ 38 IMMAGINI SONORE
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che piccole parti del perimetro di un cerchio sicuramente molto più esteso, la cui
vera circonferenza, il cui vero centro resteranno comunque sempre nascoste alla
sete di sapere dell’uomo.
Vorrei aggiungere alcune precisazioni conclusive su questa immagine sonora.
Non si compia l’errore, che porterebbe inoltre ad un’incomprensione totale dell’essenza dell’immagine sonora, di avvicinarsi al diagramma appena discusso con
un centimetro, misurarlo con esattezza per poi ricercare nella natura una forma
biologica che corrisponda esattamente ai rapporti del diagramma.
Nelle immagini sonore vengono trattate le tendenze formali interiori che si sviluppano dall’unità triadica di una sfera materiale, animica ed intellettuale: quella del
fenomeno del numero tonale. Per essere ancora più chiari, con il nostro ultimo
esempio si vuole rintracciare il senso della differenza intrinseca tra mano e piede,
e non scoprire se in uno stadio di sviluppo animale o umano le due coppie di assi
hanno la stessa posizione o la stessa lunghezza del nostro diagramma.
Si vuole inoltre rendere comprensibile la reciprocità animica interiore dei più
importanti organi sensoriali che compaiono in coppia nella maggior parte dei casi,
e non è certo nostra intenzione misurare se i cerchi in oggetto nel nostro diagramma si trovano nello stesso punto degli occhi, delle orecchie ecc..
È chiaro che nel campo immenso dei fenomeni si presentano sempre delle eccezioni, anche se rare, come può essere p.es. la passiflora, in cui le tendenze formali
armonicali si mostrano in modo evidente. Queste sono però appunto eccezioni,
mentre di regola tutte le ricerche prototipiche armonicali si occupano di scoprire
le regolarità che sono nascoste dietro ai fenomeni, le loro norme formative e fondamentali e le loro chiarificazioni.
§ 38 b Bibliografia
Per il concetto dell’immagine sonora si confronti H.Kayser: “H.M.” pagg. 248,
340, 358/59, 361/62 ; “Kl.” (I Ed.) pagg. 125/26, 38, 110, 113, 129, 163, 170, 173;
“Abh.” pag. 97; “Gr.” pagg. 118/19, 232 e segg. ; “H.Pl.” pagg. 33 e segg. , 248;
“Hörbild des Urmenschen” (- Immagine sonora dell’uomo originario -), “H.M.”
pag.231 e segg.; “Kl.” pag.118 e segg.; “Gr.” pag.298.
224
MANUALE DI ARMONICA
Per il proporzionamento dell’uomo: oltre alle opere citate nel testo e alla forma di
valore “La proporzione essenziale” nel mio “Grundniß”, pag.280 e segg. , si consiglia come fondamento per delle misurazioni esatte: Otto Geyer: “Der Mensch.
Hand- und Lehrbuch der Maße, Knochen und Muskeln des menschlichen Körpers
für Künstler, Architekten usw.” (- L’uomo. Testo e manuale delle misure, ossatura
e muscolatura del corpo umano per artisti, architetti ecc. -), pubblicato in più edizioni dalla casa editrice Union Deutsche di Stoccarda, che tratta anche della
bibliografia relativa e delle diverse chiavi proporzionali di Schmidt, Schadow ed
altri ancora. In quest’opera, come in quella di Wineken, il lettore potrà trovare
molti altri dati e numeri tipicamente armonicali (scheletro!), che per mancanza di
spazio non possono essere discussi in questo luogo.
225
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INDICE
Note introduttive....................................................................................pag.
§ 29
§ 30
2
Proporzioni armonicali in architettura..................................pag.
Trinità ..................................................................................pag.
24
56
II Le classificazioni ..........................................................................pag.
§ 31
Variazioni tipologiche ..........................................................pag.
§ 32
Tipi combinatori ..................................................................pag.
§ 33
Diagrammi polari ................................................................pag.
§ 34
Spirali tonali e curve tonali ..................................................pag.
§ 35
Il diagramma tonale completo..............................................pag.
§ 36
La disposizione logaritmica..................................................pag.
§ 37
Lo spazio tonale....................................................................pag.
§ 38
Immagini sonore ..................................................................pag.
66
68
86
108
130
146
160
176
200