UNIVERSITA’ DELLA CALABRIA
Scuola di Specializzazione All’Insegnamento Secondario
Indirizzo Tecnologico Classe A016 – Costruzioni e Tecnologia
LEZIONE DIDATTICA:
VINCOLI E REAZIONI VINCOLARI
Specializzanda
Ing. Emanuela Caruso
INTRODUZIONE
Nell’insieme di un’opera architettonica, la struttura può essere
definita come complesso di opere atte a sopportare carichi che
gravano su di esse .
La
struttura
è
formata
da
corpi,
collegati tra loro, che devono resistere
ai carichi di cui occorre definire il tipo
e l’entità. Pertanto, frequentemente
parleremo di strutture, intendendo con
ciò riferirci ad un solido avente la
funzione di resistere alle azioni cui è
assoggettato nel corso di tutta la sua
struttura
INTRODUZIONE
INTRODUZIONE
I gradi di libertà si calcolano:
GDL=numero travi*3
In un sistema piano, i vincoli, per il loro compito statico, si possono classificare in:
•vincoli semplici
•vincoli doppi
•vincoli tripli
GDL
v
Numero dei Gradi di Libertà di un sistema
Numero dei Gradi di Vincolo
Se v = GDL
SISTEMA ISOSTATICO
Se v > GDL
SISTEMA IPERSTATICO
Se v < GDL
SISTEMA LABILE
I VINCOLI
•
Il vincolo semplice o elementare, in altre parole, in grado di togliere un solo grado di libertà, è
costituito da un'asta incernierata alle estremità denominata biella o pendolo, equivalente al
carrello.
I VINCOLI
•
La cerniera invece è un vincolo composto che toglie due gradi di libertà e consente soltanto la
rotazione attorno all'asse passante per il suo centro e normale al piano.
I VINCOLI
•
L'incastro che è un vincolo che non consente alcun movimento e che toglie quindi, nel piano, 3
gradi di libertà.
DEFINIZIONI: VINCOLO
Condizione che limita il moto di un corpo
L'azione dei vincoli si esplica attraverso un insieme di forze dette forze
vincolari o reazioni vincolari , limitandone il moto.
Essi, a seconda del numero di gradi di libertà che tolgono alla trave cui sono applicati, si
classificano in:
• vincoli semplici
• composti
I primi tolgono un solo grado di libertà i secondi ne tolgono due o più.
PENDOLO
CARRELLO
DOPPIO PENDOLO
CERNIERA
INCASTRO
I VINCOLI
SCHEMATIZZAZIONE DI UNA TRAVE APPOGGIATA
AI DUE ESTREMI
I VINCOLI
SCHEMATIZZAZIONE DI UNA TRAVE APPOGGIATA
AI DUE ESTREMI
I VINCOLI
SCHEMATIZZAZIONE DI UNA TRAVE INCASTRATA
A UNA ESTREMITA’
Calcolo delle reazioni vincolari per sistemi di travi isostatici
1) Individuazione del numero di elementi e della tipologia di vincoli presenti.
2) Calcolo del grado di libertà della struttura.
3) Sostituzione dei vincoli con le loro reazioni.
4) Applicazione delle equazioni cardinali della statica al sistema di travi e/o a parti di
esso.
5) Risoluzione del sistema di equazioni lineari e determinazione delle reazioni vincolari.
6) Correzione (eventuale) del verso iniziale assegnato alle reazioni vincolari.
Trave incastrata ad un’estremità o a “mensola”
Forza concentrata applicata sull’estremità libera della trave
Applicando le equazioni cardinali della statica risulta:
VA = 50 kN
HA = 0
MA = 50kN*3m = 150 kN*m
Carico uniformemente distribuito sulla trave
Trave incastrata ad un’estremità o a “mensola”
Applicando le equazioni cardinali della statica risulta:
• VA = 20kN/m*3m = 60 kN
• HA = 0
• MA = 60kN*1.5m = 90 kN*m
1.3. Momento applicato all’estremità libera della trave
Applicando le equazioni cardinali della statica risulta:
• VA = 0
• HA = 0
• MA = 15 kN*m
2. Trave appoggiata alle due estremità
2.1. Forza concentrata applicata in mezzeria
Applicando le equazioni cardinali della statica risulta:
• VA + VB = 60 kN
• HA = 0
• VB*3m - 60kN*1.5m = 0
da cui consegue:
VA = VB = 30 kN
HA = 0
2.2. Carico uniformemente distribuito sulla trave
Applicando le equazioni cardinali della statica risulta:
VA + VB = 18kN/m*3m = 54 kN
HA = 0
VB*3m - 54kN*1.5m = 0
da cui consegue:
VA = VB = 27 kN
HA = 0
2.3. Momento applicato in corrispondenza
di un’estremità della trave
Applicando le equazioni cardinali della statica risulta:
• VA - VB = 0
• HA = 0
• VB*3m = 24kN*m
da cui consegue:
VA = 8 kN VB = 8 kN
HA = 0
3. Sistemi di travi composti
3.1. Trave appoggiata su una trave a mensola
Numero di travi nt=2
Vincoli esterni:
incastri i=1
carrelli ca=1
Vincoli interni
cerniere cei=1 (travi collegate tc=2)
GDL = nt*3 - i*3 - ca*1 - cei*(tc-1)*2 =
= 2*3 - 1*3 - 1*1 - 1*(2-1)*2 = 0  struttura isostatica
Sostituzione dei vincoli esterni con le rispettive reazioni vincolari
Applicando le equazioni cardinali della statica al sistema di travi risulta:
-VA + VC = 20 kN
HA = 0
MA + VC*6m = 20kN*7m = 140 kN*m
Poiché il numero di equazioni disponibili (3) è inferiore al numero di
incognite del problema (4) occorre un’ulteriore equazione di equilibrio.
Scomponendo il sistema nei due tratti che lo compongono si ha:
Considerando l’equilibro alla rotazione intorno a B del tratto 2 si può
scrivere:
VC*4m = 20kN*5m = 100 kN*m
ed il sistema di equazioni diventa:
• -VA + VC = 20 kN
• HA = 0
• MA + VC*6m = 140 kN*m
• VC*4m = 100 kN*m
Ne consegue quindi:
VA = 5 kN HA = 0 MA = -10 kN*m
VC = 25 kN
3.2. Arco a tre cerniere
Numero di travi nt=2
Vincoli esterni:
cerniere ce=2
Vincoli interni
cerniere cei=1 (travi collegate tc=2)
GDL = nt*3 - ce*2 - cei*(tc-1)*2 =
= 2*3 - 2*2 - 1*(2-1)*2 = 0  struttura isostatica
Sostituzione dei vincoli esterni con le rispettive reazioni vincolari
Applicando le equazioni cardinali della statica al sistema di travi risulta:
• VA + VC = 200 kN
• H A – HC = 0
• VC*10m - 200kN*5m = 0
Poiché il numero di equazioni disponibili (3) è inferiore al numero di
incognite del problema (4) occorre un’ulteriore equazione di
equilibrio.
Scomponendo l’arco nei due tratti che lo compongono si ha:
Considerando l’equilibro
alla rotazione intorno a B
del tratto di destra si può
scrivere:
VC*5m - Hc*5m = 100kN*2.5m
Il sistema di equazioni di equilibrio diventa:
• VA + VC = 200 kN
• HA – HC = 0
• VC*10m = 1000 kN*m
• VC*5m – Hc*5m = 250 kN*m
Ne consegue quindi:
VA = VC = 100 kN
HA = HC = 50 kN