LA MATEMATICA
DISCALCULIA,
DIFFICOLTÁ DI CALCOLO,
DIFFICOLTÁ DI SOLUZIONE
DEI PROBLEMI
IL NUMERO È LA SOSTANZA
DELLE COSE
Pitagora
…L’UNIVERSO… È SCRITTO
IN LINGUA MATEMATICA
Galilei
IL PRESTITO DIVENTA
RIPORTO (Matteo, 10 anni)
Da ventiseimilanove a
CONFUSIONE TRA PROCEDURE
DI SOTTRAZIONE E ADDIZIONE
(Giuseppe, 11 anni)
NEI QUADERNI
DI MATEMATICA…
ERRORE DI TRANSCODIFICA
(Fabio, 11 anni)
ERRATA APPLICAZIONE
DELLA STRATEGIA
(Giuseppe, 11 anni)
31-19: Io in mente li metto in colonna: 1 9 che non si può fare, poi si prende l’1
dall’altro numero che diventa 12, poi prendo
un numero dall’altro numero e faccio la
sottrazione, cioè, vedi, è un po’ complicato
(Chiara, I anno Istituto Psicopedagogico)
ASSENZA DI
MONITORAGGIO:
il risultato della
sottrazione è
superiore al
valore di partenza
(Marco, 11 anni)
CALCOLARE…
…in termini di apprendimento e di processi cognitivi coinvolti…
LEGGERE I NUMERI
COMPRENDERE LA NUMEROSITÁ (qual è il numero
più grande tra 2)
?
RECUPERARE LE TABELLINE E ALTRI FATTI
NUMERICI
APPLICARE LE PROCEDURE DI CALCOLO
(addizione, sottrazione…)
Un’addizione con numeri interi… una divisione con numeri decimali
Calcolo a mente… calcolo scritto… calcolo con sussidi (calcolatrice)
Apprendere la matematica…
…sviluppare la CONOSCENZA CONCETTUALE
COMPRENSIONE dei principi che governano
un determinato dominio e delle correlazioni
tra aree di conoscenza e il dominio stesso
INTELLIGENZA NUMERICA
CONOSCENZA
(INTELLIGENZA) NUMERICA
INTELLIGERE (capire, pensare) IL MONDO IN
TERMINI NUMERICI
Abilità innata e
condivisa da uomo
e animali
Competenze elementari legate alla
RAPPRESENTAZIONE NUMERICA
PROCESSI PREVERBALI
PROCESSI DI CONTEGGIO
NUMEROSITÁ (CARDINALITÁ)
Il numero di elementi che costituisce un insieme
dalla nascita
DISCRIMINARE IL NUMERO DI OGGETTI
DI INSIEMI PRESENTATI VISIVAMENTE
Il neonato non sa determinare il numero di elementi di un insieme
MA
COME?
• percepisce come differenti insiemi con
numerosità distinte
• distingue i cambiamenti di numerosità
provocati dall’aggiunta/sottrazione di oggetti
(possiede aspettative aritmetiche)
SUBITIZING
Processo specializzato di percezione visiva che
consente di determinare la numerosità di un
insieme visivo di oggetti (fino ad un massimo di
circa 4) in modo immediato, senza contare
MODULO NUMERICO (Butterworth, 1999)
CIRCUITI CEREBRALI SPECIALIZZATI PER CATEGORIZZARE
IL MONDO IN TERMINI DI NUMEROSITÁ
(piccoli insiemi di oggetti, fino a 4-5 elementi)
abilità matematiche di base
(RAPPRESENTARE LA NUMEROSITÁ)
geneticamente codificate e presenti fin dalla nascita:
non è necessario apprenderle
DIFFERENZE INDIVIDUALI
Capacità più avanzate riconducibili all’istruzione:
STRUMENTI CONCETTUALI FORNITI DALLA
CULTURA DI APPARTENENZA
COMPETENZE
- 1, 2, 3…
LINGUISTICO- uno, due, tre…
SIMBOLICHE
PROCESSI DI CONTEGGIO
Quanti sono?
dai 2 ai 6-8 anni
Apprendimento basato sul
concetto di NUMEROSITÁ
I PRINCIPI DEL “COME CONTARE”
Gelman e Gallistel, 1978
CONOSCENZE INNATE basate sulla
COMPETENZA NUMERICA VERBALE
ORDINE STABILE: produrre le parole-numero ordinate
in una sequenza fissa e inalterabile FINO A 100 A 6-8 ANNI
CORRISPONDENZA BIUNIVOCA: a ogni elemento
dell’insieme contato deve corrispondere una sola parolanumero e viceversa 5 ANNI
CARDINALITÁ: l’ultima parola numero usata nel
conteggio rappresenta la numerosità dell’insieme 4 ANNI
ABILITÁ DI CONTEGGIO
Primo collegamento tra la competenza numerica innata
e quella acquisita dall’interazione con l’ambiente
LETTURA e SCRITTURA DEI NUMERI
LETTURA
evolve, prima della scrittura,
gradualmente, da acquisizione del
nome dei numeri a riconoscimento
dei simboli arabici:
3-4 a.: identificazione errata
(non attribuisce il nome corretto e
può confondere il segno grafico con
lettere o altri numeri)
4-5 a.: lettura dei numeri più
semplici e frequenti
5-6 a.: lettura corretta entro 10
SCRITTURA
evolve gradualmente:
- 3-4 a.: notazione con grado
informativo nullo per osservatore
esterno, ma con significato
personale per bambino
(FORMATO PITTORICO-FIGURATIVO)
- 4-5 a.: notazione basata sulla
corrispondenza biunivoca
(SEGNI PIÚ O MENO ASTRATTI)
- 5-6 a.: notazione convenzionale
(FORMATO NUMERALE)
Le tipologie di notazione numerica dai 3 ai 5 anni:
ALCUNI ESEMPI
Apprendere la matematica…
…sviluppare la CONOSCENZA PROCEDURALE
La sequenza di azioni per risolvere ciascun
problema: ALGORITMI, ABILITÁ, STRATEGIE
PROCEDURE DI CALCOLO
CAPACITÁ DI CALCOLO
INSIEME DEI PROCESSI CHE CONSENTONO DI OPERARE
SUI NUMERI TRAMITE OPERAZIONI ARITMETICHE
Anche 1+3
fenomeno cognitivo complesso che richiede
l’attivazione di diversi processi mentali
1
I SEGNI DELLE OPERAZIONI
Per stabilire la natura dell’operazione
Per accedere ai FATTI NUMERICI
qualora l’operazione lo consenta
RISULTATI DI PROBLEMI ELEMENTARI (tabelline,
addizioni semplici) ARCHIVIATI IN MLT
Nell’esecuzione di un compito aritmetico
possono agire 2 TIPI DI STRATEGIE
FATTI
NUMERICI
RISULTATO
CALCOLO
VS
RECUPERATO
DALLA MEMORIA
*TIPO DI OPERAZIONE
*ETÁ
*FAMILIARITÁ DELL’ESERCIZIO
RISULTATO
UTILIZZO DI
PROCEDURE E
STRATEGIE
da LENTE PROCEDURE DI
CONTEGGIO all’UTILIZZO DI
UNA SERIE DI REGOLE
APPLICATE IN MODO
SEMPRE PI AUTOMATICO
LA CONOSCENZA PROCEDURALE NEL…
CALCOLO A MENTE: opera scomposizioni sui numeri per
ottenere operazioni intermedie più semplici
UTILIZZA ed
ESERCITA
STRATEGIE COSTRUTTIVE
*n + 1
*raggruppamenti
*scomposizioni
*arrotondamenti a 10
*recupero fatti numerici
CALCOLO SCRITTO:
determina…
- la forma grafica della specifica operazione
- l’incolonnamento dei numeri
- la direzione spazio-temporale delle azioni (l’ordine di
recupero delle operazioni parziali dalla memoria)
- il modo di utilizzare le operazioni parziali tramite le regole
vere e proprie
UTILIZZA ed
ESERCITA
APPLICAZIONE DI PROCEDURE PIÚ O
MENO AUTOMATIZZATE
*CONOSCENZA NUMERICA
*ABILITÁ DI CALCOLO
I meccanismi di calcolo e manipolazione
del sistema numerico
possono avere origine solo quando
I MECCANISMI PREVERBALI DI
RICONOSCIMENTO DELLA QUANTITÁ
 si sono sviluppati
 si sono integrati con gli apprendimenti relativi
ai sistemi di CONTEGGIO, LETTURA e SCRITTURA
MA
Come si integrano tali competenze?
IL MODELLO MODULARE
MECCANISMI DI CALCOLO
MECCANISMI DI PRODUZIONE DEI NUMERI
MECCANISMI DI COMPRENSIONE DEI NUMERI
McCloskey et al., 1985
Il SISTEMA DI COMPRENSIONE trasforma la struttura superficiale
dei numeri (diversa a seconda del codice, verbale o arabo) in una
rappresentazione astratta di quantità
Il SISTEMA DI CALCOLO assume questa rappresentazione come
INPUT e la manipola attraverso il funzionamento di 3 componenti:
- i segni delle operazioni
- i fatti aritmetici o operazioni di base
- le procedure di calcolo
Il SISTEMA DI PRODUZIONE fornisce le risposte numeriche,
l’OUTPUT del sistema del calcolo
MODELLO SEMANTICO
VIA SEMANTICA = unico accesso alla produzione numerica
L’elaborazione di un numero comporta sempre
una RAPPRESENTAZIONE CONCETTUALE
comprensione della QUANTITÁ 3 =
I 3 SISTEMI…
…adoperano i codici UDITIVO (fonologico) e VISIVO
(arabico e grafemico)
…funzionano in base a…
MECCANISMI SEMANTICI
Regolano la comprensione della quantità
MECCANISMI LESSICALI
3=
Regolano il nome del numero
1 11
MECCANISMI SINTATTICI
Grammatica interna = valore posizionale delle cifre
da U
1
3
3
1
LA POSIZIONE
cambia
NOME e SEMANTE
LE COMPONENTI DELL’ABILITÁ DI
CALCOLO ARITMETICO
LA DISCALCULIA EVOLUTIVA
Sintomi delle difficoltà nell’elaborazione del numero
(ICD-10 e DSM-IV)
• incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni
• mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici
• mancato riconoscimento dei simboli numerici
• difficoltà ad attuare le manipolazioni aritmetiche standard
• difficoltà nel comprendere quali numeri sono pertinenti al problema
aritmetico che si sta considerando
• difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o
simboli durante i calcoli
• scorretta organizzazione spaziale dei calcoli
• incapacità ad apprendere in modo soddisfacente le tabelline della
moltiplicazione
Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA
Consensus Conference (2007)
1
2 PROFILI DISTINTI DI DISCALCULIA
Debolezza nella strutturazione cognitiva delle componenti di
COGNIZIONE NUMERICA = intelligenza numerica
basale
- subitizing
CECITÁ PER I NUMERI
- meccanismi di quantificazione
Incapacità di comprendere
- comparazione
e manipolare le numerosità
- seriazione
Butterworth, 2005
- strategie di calcolo a mente
2 Difficoltà nell’acquisizione delle PROCEDURE ESECUTIVE
(lettura, scrittura e messa in colonna dei numeri) e degli
ALGORITMI DEL CALCOLO (recupero dei fatti numerici e
algoritmi del calcolo scritto).
Perché questa distinzione?
In Italia segnalati con difficoltà di calcolo
5 bambini per classe (~ 25 alunni)
20% della popolazione scolastica
MA DATI IARLD (International Academy for Research in
Learning Disabilities)
- DIFFICOLTÁ NELLA COGNIZIONE NUMERICA IN
COMORBILITÁ CON ALTRI DISTURBI: 2,5% della
popolazione scolastica
- DISTURBO DEL CALCOLO (DISCALCULIA): 0,5-1% della
popolazione scolastica
~ 90% delle segnalazioni FALSI POSITIVI = casi di
generale difficoltà di apprendimento non di disturbo
specifico del calcolo
DISTURBO vs DIFFICOLTÁ
RESISTENZA
AL CAMBIAMENTO
DISTURBO DI CALCOLO
ESITO
INTERVENTO
- base neurologica
- comorbilità: dislessia, disortografia e disgrafia;
difficoltà nella soluzione di problemi
- specificità: abilità generali e apprendimento in altri
ambiti adeguati
DIFFICOLTÁ DI CALCOLO:
profilo simile al disturbo
BUONI
RISULTATI IN
POCO TEMPO
Perché si riscontrano con una certa frequenza
FORME DI DISAGIO GENERALIZZATO?
PROFILI DI APPRENDIMENTO DEL CALCOLO SIMILI A
QUELLI DEI SOGGETTI DISCALCULICI, IN ASSENZA DI
TALE DEFICIT COGNITIVO
Studenti che non dovrebbero affatto incontrare
difficoltà di apprendimento così consistenti
ATTEGGIAMENTO EMOTIVO-MOTIVAZIONALE:
ansia, resistenza al ragionamento matematico, timore di sbagliare
I DIVERSI ASPETTI DELL’APPRENDIMENTO
MATEMATICO S’INTERSECANO:
- la rappresentazione della quantità è sottesa a tutte le aree della
matematica
- soluzione di problemi e geometria richiedono operazioni di
calcolo
- il calcolo richiede la comprensione dell’operazione
…
DAL MODELLO
DI McCLOSKEY
ANALISI DEGLI ERRORI
*SISTEMA DEI NUMERI
*SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NEL SISTEMA DEI NUMERI
in
COMPRENSIONE e PRODUZIONE
MECCANISMI LESSICALI
MECCANISMI SINTATTICI
ERRORI LESSICALI (nel dire il NOME del numero)
In base al nome…
- NUMERI PRIMITIVI
Posizione
0
1^
2^
3^
4^
5^
6^
7^
8^
9^
Classe
UNITÁ
TEENS
DECINE
uno
due
tre
quattro
cinque
sei
sette
otto
nove
dieci
undici
dodici
tredici
quattordici
quindici
sedici
diciassette
diciotto
diciannove
venti
trenta
quaranta
cinquanta
sessanta
settanta
ottanta
novanta
INCAPACITÁ DI
TROVARE L’ETICHETTA
VERBALE ADEGUATA
PUR INDIVIDUANDO
CORRETTAMENTE LA
CLASSE
DIRE “cinque” PER “sette”
LEGGERE “316” PER “319”
- ELEMENTI MISCELLANEI (-cento; -mila; -milioni…):
si aggiungono ai primitivi a seconda della loro posizione
all’interno di un numero
ERRORI SINTATTICI
INCAPACITÁ DI STABILIRE I RAPPORTI TRA LE CIFRE IN UNA
STRUTTURA SINTATTICA CORRETTA, pur rimanendo integra la
capacità di codificare le singole cifre
ERRORI DI TRANSCODIFICA dal codice arabico a
quello verbale e viceversa: 13 PER 31; 154 PER 145
Errori di conteggio dovuti al mancato controllo della struttura
sintattica: 1, 2, 3, 4, 15, 15, 17…; 13, 14, 40, 41, 42…
Mancato riconoscimento del valore dello 0 nella transcodifica da
codice verbale ad arabico:
DETTATO “centoquarantasette” SCRIVE 1047
DETTATO “ventiseimilanove” SCRIVE 2609
Gli elementi miscellanei vengono uniti ai primitivi come potenze di 10
oppure con relazioni additive:
RELAZIONI MOLTIPLICATIVE RESE ADDITIVE:
“trecento”: 103; “tremilasettanta”:1073
RELAZIONI ADDITIVE RESE MOLTIPLICATIVE:
“centocinque”: 500; “centotrentadue”: 3200
ERRORI NEL
SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI
ERRORI NEL MANTENIMENTO E NEL RECUPERO DI
PROCEDURE E STRATEGIE
ERRORI NELL’APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE
ERRORI DOVUTI ALLE DIFFICOLTÁ VISUOSPAZIALI
ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NEL RECUPERO
DI FATTI ARITMETICI
SISTEMA DEI NUMERI rappresentato in MLT come rete
di informazioni
Aschcraft, 1982
Il compito attiva i nodi genitori
interessati fino ad attivare il nodo di
intersezione tra i due (il risultato di
operazioni elementari)
possono essere attivati anche I
NODI CONTIGUI = risposte molto
vicine a quella cercata ma scorrette
FAR RIPETERE ESERCIZI
IN CUI SI SONO
Ogni
risposta numerica
ASSOCIAZIONE TRA
VERIFICATI
ERRORI
prodotta
(corretta
o sbagliata)
OPERAZIONE PROPOSTA
automatizzo
l’esercizio
registrata
in memoria
E RISULTATO
ma anche
l’errore
MA
Aumenta la probabilità di comparsa
!
ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NEL RECUPERO
DI FATTI ARITMETICI
Nelle TABELLINE…
• ERRORI DI CONFINE, inappropriata attivazione di tabelline
confinanti: 6 x 3 = 21
• ERRORI DI SLITTAMENTO, in cui una cifra è corretta e l’altra
sbagliata: 4 x 3 = 11
Effetto CONFUSIONE tra il recupero di fatti aritmetici di addizione e
moltiplicazione: 3 + 3 = 9
Effetto INFERENZA: la semplice presentazione di 2 cifre produce
un’attivazione automatica della somma: 2 e 4  6
Effetto INTERFERENZA, dovuti al lavoro parallelo dei due
27 x
meccanismi di attivazione indispensabili per il recupero diretto: 15 =
da parte dei due operatori e dell’operazione nel suo complesso 55
ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NEL MANTENIMENTO
E NEL RECUPERO
DI PROCEDURE E STRATEGIE
Non utilizzo delle procedure di conteggio facilitanti:
3 + 5  partire a contare da 5 per aggiungere 3
Confusione tra semplici regole di accesso rapido
nx0=0 e n+0=n
REGOLE DI
ACCESSO
RAPIDO AL
RISULTATO
Incapacità di tenere a mente i risultati parziali
DETERMINANO
SOVRACCARICO DEL SISTEMA DI MEMORIA:
dispendio di energia e accumulo di
informazioni in memoria
 decadimento mnestico
ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI NELL’APPLICAZIONE
DELLE PROCEDURE
Difficoltà nella scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle
quattro operazioni:incolonnamento o meno, posizione dei numeri…
Difficoltà nella condotta da seguire per la specifica operazione e nel
suo mantenimento fino alla risoluzione
75 – 6 = 71  dimenticata regola direzione
Difficoltà nell’applicazione delle regole di prestito e riporto:
75 – unità: 5 – 8 = 0
58 =
decine: 7 – 5 = 2
20
Difficoltà nel passaggio ad una nuova operazione:
perseverazione nel ragionamento precedente
Difficoltà nella progettazione e verifica:
immediato svolgimento dell’operazione senza soffermarsi ad
individuare difficoltà e strategie da utilizzare
ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO
ERRORI VISUOSPAZIALI
Difficoltà nel riconoscimento dei segni di operazione
Difficoltà nell’incolonnamento dei numeri
Difficoltà nel seguire la direzione procedurale
SPUNTI DI LAVORO
Il quaderno delle regole
Co-costruzione di schemi fruibili dal ragazzo
USO DEGLI STRUMENTI COMPENSATIVI
Tabella pitagorica
Calcolatrice
Formulario
…E DISPENSATIVI
Tempi di lavoro più lunghi
Riduzione del carico di lavoro
Alcuni esempi…
Alcuni esempi…
?
PROBLEM SOLVING
Le difficoltà nella soluzione dei problemi matematici…
* dipendono dalle difficoltà di calcolo?
* richiedono abilità diverse e specifiche?
STUDENTI CHE PUR NON AVENDO PROBLEMI
PARTICOLARMENTE ACCENTUATI NEL CALCOLO
NON RIESCONO A RISOLVERE I PROBLEMI
!
Raccomandazioni per la pratica clinica sui DSA
Consensus Conference (2007):
NON INCLUDE SOLUZIONE DI PROBLEMI
CAUSATO DA
CATTIVA EDUCAZIONE DELLA PRASSI DI
SOLUZIONE DEI PROBLEMI
RISOLVERE UN PROBLEMA
PROCESSO DINAMICO DI PENSIERO
FLUSSO COGNITIVO
CHE TRASFORMA IL TESTO VERBALE IN UNA
STRUTTURA LOGICA MATEMATICA
DIFFICOLTÁ?
NO DISTURBO SPECIFICO…MA…
* DISTURBO SECONDARIO  dovuto a deficit nelle
competenze generali (INTELLIGENZA, MEMORIA, ATTENZIONE…)
* “QUESTIONE DI FLUSSO DI APPRENDIMENTO”
 dovuto a inciampo in una delle componenti del flusso
 educabile
Quali sono le componenti che garantiscono
IL FLUSSO COGNITIVO?
COMPRENSIONE
CAPIRE
UN PROBLEMA
CATEGORIZZAZIONE
=
RISOLVERE
UN PROBLEMA
PRODUZIONE
ancorata a COMPRENSIONE
ma non implicita in essa
LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
FLUSSO DI COMPRENSIONE
COMPRENSIONE DEL
TESTO MATEMATICO
RAPPRESENTAZIONE DEL
MODELLO DEL PROBLEMA
CATEGORIZZAZIONE
FLUSSO DI SOLUZIONE
LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
COMPRENSIONE DEL TESTO MATEMATICO
(non verbale): identificazione dei dati in relazione alla
logica della domanda
Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11.
- Chi ne ha di più? M = 3 + A; M = G – 7; G = 11
- Quante biglie hanno in tutto? (M + A + G)
DOMANDA riorganizza il testo verbale (“3 bambini giocano
a biglie”) e lo trasforma in una struttura matematica
!
CATTIVI SOLUTORI
restano sulle informazioni verbali del testo
RAPPRESENTAZIONE DEL MODELLO DEL
PROBLEMA, cioè dello schema in cui è traducibile
la relazione funzionale dei dati alla domanda
LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
CATEGORIZZAZIONE: identificazione dello schema
matematico di soluzione
riconosco la struttura matematica profonda del
problema come simile a quella di altri problemi,
indipendentemente dalle differenze a livello
verbale
!
BUONI SOLUTORI
riuniscono i problemi con la stessa struttura profonda
VS
CATTIVI SOLUTORI
no perché restano sulle informazioni verbali del testo
LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
FLUSSO DI COMPRENSIONE
FLUSSO DI SOLUZIONE:
processi strategici
e metacognitivi
PIANIFICAZIONE
MONITORAGGIO
VALUTAZIONE
LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
PIANIFICAZIONE (fase principale del flusso di
soluzione): riorganizza la relazione tra i dati in modo da
farla corrispondere alla successione corretta di operazioni di
calcolo
Marco ha 3 biglie più di Andrea e 7 meno di Giovanni, che ne ha 11.
Quante biglie hanno in tutto?
SCHEMA MATEMATICO (M + A + G)
Da…
1) G (11)
…trovo…
2) M (11-7 = 4)
…trovo…
3) A (4 + 3 = 7)
sostiuisco alla struttura
matematica profonda le
operazioni di calcolo
nell’ordine che le rende
matematicamente possibili
LE COMPONENTI DEL FLUSSO COGNITIVO
MONITORAGGIO: sistema di controllo durante lo
svolgersi del flusso
VALUTAZIONE: sistema di controllo del flusso a
soluzioni ottenute
CONSENTE DI
STABILIZZARE L’APPRENDIMENTO DEL FLUSSO
!
Apprendimento del flusso è innaturale
(VS comprensione verbale)
va educato
FARLO RIFARE MENTALMENTE
COME PROCESSO DI CONTROLLO