Kurt Gödel (1906-1978)
Kurt con madre, padre e fratello nel 1910
Il fratello e Kurt (1910)
Kurt e sua moglie Adele il giorno delle nozze
Vienna 1938
Tarski e Gödel a Vienna nel 1935
Einstein e Gödel
Gödel e Einstein a Princeton nel 1954
Ancora Gödel e Einstein
Einstein e Gödel sulla via del ritorno a casa
dall’IAS di Princeton
Film I.Q. Think Love (1994)
in cui compaiono come personaggi Einstein e Gödel
Il titolo dell’articolo di Gödel del 1931
L’enunciato del primo teorema di incompletezza
L’enunciato del secondo teorema di incompletezza
Hans Magnus Enzensberger , Omaggio a Gödel
Il teorema di Münchausen
(cavallo, palude e capelli)
è delizioso, ma non dimenticare:
Münchausen era un bugiardo.
Il teorema di Gödel sembra a prima vista
piuttosto insignificante, ma ricorda:
Gödel ha ragione.
"In ogni sistema sufficientemente ricco
si possono formulare proposizioni che
all'interno del sistema stesso
non si possono né provare né refutare,
a meno che il sistema
non sia incoerente".
Si può descrivere il linguaggio
nel linguaggio stesso:
in parte, ma non
completamente.
Si puo indagare il cervello
col cervello stesso:
in parte, ma non
completamente.
E così via.
Per giustificare se stesso
ogni possibile sistema
deve trascendersi
e quindi distruggersi.
Essere "sufficientemente" ricco
o no:
la coerenza è
o un difetto
o una impossibilità.
(Certezza = Incoerenza)
Ogni possibile cavaliere,
quale Münchausen
o te stesso, è un sottosistema
di una palude sufficientemente ricca.
E un sottosistema di questo
sottosistema
sono i tuoi capelli,
per cui ti tirano
riformisti e bugiardi.
In ogni sistema sufficientemente
ricco,
quindi anche nella nostra palude
si possono formulare proposizioni
che all'interno del sistema stesso
non si possono né provare
né refutare.
Afferra queste proposizioni,
e tira!
W. Sieg & C. Field, Dimostrazione automatica del
primo teorema di incompletezza di Gödel
W. Sieg & C. Field, Dimostrazione automatica del
secondo teorema di incompletezza di Gödel
Linguaggio universale
• Leibniz e Frege: Esiste un liguaggio universale
capace di esprimere tutti i concetti matematici
• Teorema di indefinibilità di Tarski (1936): Un
tale linguaggio universale non può esistere.
• Il concetto di ‘verità matematica’ fornisce un
esempio di concetto che non potrebbe essere
espresso in quel linguaggio
Metodo di decisione universale
• Leibniz-Hilbert: Esiste un algoritmo che permette di
decidere qualsiasi problema a partire dai dati, cioè
permette di stabilire se il problema è solubile o
insolubile in base ai dati disponibili (per es., in base
agli assiomi adottati).
• Teorema di indecidibilità di Gödel (1931): Un tale
algoritmo non può esistere.
• In ogni sistema formale che soddisfi certe condizioni
minime vi sono proposizioni dell’aritmetica che non
sono decise dagli assiomi.
Wir müssen wissen, wir werden wissen
Noi dobbiamo sapere, noi sapremo
L’ideale della purezza dei metodi
• Hilbert: Gli assiomi di una teoria devono essere
sufficienti per dimostrare tutte le proposizioni
vere di quella teoria.
• Primo teorema di incompletezza di Gödel (1931):
Un tale ideale non può essere soddisfatto.
• In ogni sistema formale che soddisfi certi
requisiti minimi vi sono proposizioni vere
dell’aritmetica che non sono deducibili dagli
assiomi.
Paradosso di Russell (1902)
• Moltissimi insiemi non sono membri di se stessi.
Per esempio l’insieme dei gatti non è un gatto.
• Sia R l’insieme di tutti gli insiemi che non sono
membri di se stessi.
• Domanda: R è un membro di sé stesso? Entrambe
le risposte sono impossibili.
• R è un membro di se stesso: questo è impossibile
perché per definizione R ha per membri solo
insiemi che non sono membri di se stessi.
• R non è un membro di se stesso: questo è
impossibile perché per definizione R ha oer
membri tutti gli insiemi che non sono membri di
se stessi.
La matematica è certa perché
si può dimostrare che è logica
• Frege: Esiste un sistema formale contenente solo
assiomi logici in cui si possono dimostrare tutte le
verità dell’aritmetica.
• Primo teorema di incompletezza di Gödel (1931):
Un tale sistema non può esistere.
• Supponiamo che esista.
• Allora esisteranno verità dell’aritmetica non
dimostrabili nel sistema.
• Contraddizione.
La matematica è certa perché
si può dimostrare che è coerente
• Hilbert: Si può dimostrare con metodi
assolutamente sicuri che la teoria degli insiemi è
coerente (cioè in essa non si possono dedurre
contraddizioni).
• Secondo teorema di incompletezza di Gödel
(1931): Questo non è possibile.
• Non si può dimostrare che la teoria degli insiemi
è coerente neppure con i metodi della teoria
degli insiemi.
Esistono criteri certi di scelta degli assiomi
• Tali criteri non esistono.
• Secondo teorema di incompletezza nella versione
di Jech (1994): Non si può dimostrare nella teoria
degli insiemi che gli assiomi della teoria degli
insiemi sono veri.
• Secondo teorema di incompletezza nell versione
di Gödel (1931): Non si può dimostrare nella
teoria degli insiemi neppure che gli assiomi della
teoria degli insiemi sono coerenti.
La logica è lo studio della deduzione
• Frege: Esiste un sistema di assiomi logici da cui si
possono dedurre tutte le verità logiche.
• Teorema di incompletezza della logica del secondo
ordine (Tarski 1936 + categoricità degli assiomi di
Peano del secondo ordine): Un tale sistema non
può esistere.
• Non può esistere alcun insieme di assiomi logici
che soddisfi certi requisiti minimi, il quale
permetta di dedurre tutte le verità logiche.
• Dunque la deduzione è incapace di esaurire le
verità logiche.