Introduzione alla Meccanica
Quantistica II
Fedele Lizzi
Università di Napoli Federico II
Riassunto della puntata precedente
• Abbiamo visto come all’inizio del secolo scorso
una serie di esperimenti mettevano in crisi le
convinzioni consolidate della fisica classica che
aveva funzionato tanto bene per tre secoli
• La fisica Newtoniana che descriveva le particelle
e le equazioni di Maxwell che descrivevano
l’andamento dei campi elettromagnetici
sembrano totalmente inadeguati alla descrizione
dei nuovi fenomeni
Corpo Nero
• La fisica classica ne da una descrizione
lontanissima dai dati sperimentali, e per
giunta internamente inconsistente
• La teoria si sposa perfettamente con id ati
se si ipotizza che gli scambi di energia ad
una certa frequenza avvengano in multipli
di  = h
Effetto fotoelettrico e effetto
Compton
• La fisica classica non riesce a spiegarli
con la natura ondulatoria della luce
• Entrambi i fenomeni si spiegano
perfettamente assumendo che la
radiazione elettromagnetica sia composta
da “quanti”, unità discrete proporzionali
alla frequenza e di energia  = h
Gli elettroni
• Gli elettroni sono delle particelle, nel
senso che hanno una carica ed una
massa ben definite, e si comportano come
particelle a tutti gli effetti
• Ma si comportano anche come onde,
formando figure di interferenza del tutto
simili a quelle formate dala luce, a parte la
differente lunghezza d’onda
In effetti ancor prima
dell’esperimento della diffrazione
degli elettroni:
• Nel 1924 il giovane aristocratico francese
Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7eme duc
de Broglie ha una buona idea…
• Ipotizza che se la luce ha una natura
corpuscolare allora anche le particelle
possono avere una natura ondulatoria
• Con una lunghezza d’onda: λ = h/q =
h/mv
Un successo della fisica teorica
• L’ipotesi di de Broglie viene fatta prima degli
esperimenti di Thomson e Davisson-Germer che
provano la diffrazione degli elettroni
• Quella che inizia a farsi strada e’ l’ipotesi che la
materia e la radiazione a piccole distanze si
comporti in maniera non descrivibile dalla fisica
classica
• Il parametro h gioca un ruolo simile (ma non
identico) a quello che in relativita’ speciale gioca
1/c, l’inverso della velocita’ della luce.
Il posto in cui guardare sono gli
atomi
• Da non molto tempo si era iniziato a
guardare “dentro” gli atomi attraverso gli
esperimenti di Rutherford
• Gli atomi sembravano quindi composti da
un nucleo centrale che conteneva una
carica positiva e praticamente tutta la
massa dell’atomo
Modello atomico di Rutherford
Il modello planetario
• Il modello sembra riprodurre in piccolo le
caratteristiche di un sistema solare, ma ci
sono anche molte differenze
• I pianeti non sono tutti uguali, gli elettroni
si’
• I pianeti si attraggono fra di loro, gli
elettroni si respingono
• Il rapporto fra la massa del nucleo e la
massa dell’elettrone e’ di circa 2000 volte il
numero atomico, il rapporto fra la massa
del sole e la massa di Giove e’ circa mille,
ma Sole/Plutone e’ dieci milioni e
Sole/Terra e’ un milione
• Il rapporto fra raggio del sole e orbita di
Plutone e’ circa 10000, simile al rapporto
fra raggio del nucleo e raggio dell’atomo
La differenza fondamentale e’
quella fra forza elettromagnetica e
forza gravitazionale
• C’è un fondamentale differenza fra la forza
gravitazionale e la forza elettromagnetica
• Una carica in movimento irraggia, ovvero emette
radiazione. Questo e’ dovuto al fatto che non
esiste solo la forza elettrostatica, ma anche la
componente magnetica
• Emettendo radiazione perde energia, rallenta,
l’orbita si fa più stretta…
• Cade sul nucleo! In miliardesimi di miliardesimi
di secondo!
Le righe spettrali
• In effetti gli elettroni all’interno degli atomi
possono emettere radiazione e cambiare
la loro orbita
• Ma non lo fanno in maniera continua
(rallentando progressivamente), invece
saltano da una orbita all’altra emettendo
un “quanto” di energia.
• Quello che si vede sono le righe spettrali
Per un atomo di idrogeno si ha:
Chi non salta un elettrone non è
• Se un gas è riscaldato, emetterà radiazione con
un certo “spettro”
• D’altro canto, se mandiamo della radiazione
contenente tutte le frequenze su un gas,
dall’altra parte vedremo che certe frequenze
mancano, sono state assorbite
• Dato che le frequenze sono le stesse, la
spiegazione è che gli elettroni saltano da un
orbita discreta all’altra.
Gli spettri buoni
• Le righe spettrali identificano in maniera
univoca gli elementi
• Le frequenze presenti seguono una certa
regolarità, ovvero
1
1
  cRh ( 2  2 )
n
m
• Con
RH  1.1m
1
L’atomo di Bohr
• La struttura di atomo proposta da Bohr è
simile a quella del suo professore Rutherford
• Ma con una differenza cruciale:
• Le orbite degli elettroni sono quantizzate: il
loro momento della quantità di moto deve
essere un multiplo di…
• h/2π
La quantizzazione delle onde
• Bohr in effetti stava usando i principi della
meccanica ondulatoria dei de Broglie per
delle onde che non si propagano ma sono
stazionarie
• Se io ho una corda tesa con le estremita’
fisse (come una corda di chitarra) solo
certe frequenze sono possibili
Gli elettroni “vibrano”
• Quelle delle corde vibranti e’ solo una
analogia, che serve a capire come gli
elettroni, che sono al tempo stesso onde e
particelle, all’interno dell’atomo possano
avere solo delle ben determinate
frequenze e lunghezze d’onda
• In particolare l’ ipotesi di Bohr porta, con
un semplice calcolo, a spiegare gli spettri
delle particelle
Stiamo iniziando a capire qualcosa
• Il fatto che la quantita’
4
me e
2
8 0 h
Sia composta tutta da grandezze altrimenti
note ci permette di calcolare la costante
RH con un ottimo accordo con i dati
Ma abbiamo ancora della strada da
fare
• Bohr introdusse il principio di complementarieta’
secondo il quale gli aspettti ondulatori e quelli
particellari sono complentari, ovvero quendo ne
riveliamo uno necessariamente nascondiamo
l’altro
• Questa visione e’ in qualche modo superata, gli
elettroni si comportano come elettroni il 100%
delle volte, obbedendo le loro leggi quantiche
• Siamo noi che per spiegarli talvolta li
equipariamo alle palline da tennis e talvolta alle
onde del mare o alle onde luminose
Ma che onde sono le particelle?
• Intorno al 1925 si fa un grande passo in
avanti con la descrizione dell’equazione
che descrive l’andamento ondulatorio della
materia
• L’equazione di Schrödinger descrive il
comportamento quantistico della materia
Equazioni delle onde
• Una equazione delle onde descrive l’andamento
nello spazio e nel tempo di una funzione d’onda
Ψ(x,t).
• Se prendiamo le onde su una corda di chitarra la
Ψ rappresenta l’altezza della corda rispetto al
punto di equilibrio
• Mentre per una particella ci basta dare una
posizione (un vettore) ad un istante ben definito
• Per un onda dobbiamo dare una funzione ad un
certo istante
Funzione d’onda
• Per esempio l’onda della corda di chitarra
e’ descritta dalla funzione
Ψ =A Sen(n x/L) Cos(ω t)
Mentre un’onda che si propaga e’ descritta
da
Ψ =A Sen(x/λ + v/λ t)
Equazioni differenziali
• L’equazione che la Ψ della corda di
chitarra deve soddisfare e’:

2  

v
2
2
t
x
2
2
• E i seni e i coseni hanno la caratteristica
che la loro derivata seconda e’ uguale a –
la funzione originale
Equazione di Schrödinger

 
i


V
(
x
)

2
t
2m x
2
2
L’andamento delle onde di materia descritte da
questa equazione ha alcune caratteristiche in
comune con le onde di prima, ma anche molte
differenze
Onde di materia
• Tanto per cominciare la presenza della
unita’ immaginaria implica che la funzione
di onda Ψ e’ necessariamente una
quantita’ complessa
• La presenza della funzione V(x) descrive
le forze classiche che agiscono sulla
particella/onda
• Anche senza forze la forma delle onde si
deforma
La Meccanica quantistica
• Con l’equazione di Schrödinger la meccanica
quantistica raggiunge la maturita’ di una teoria
compiuta
• In breve tempo si riescono a calcolare gli spettri
di vari atomi e di molte molecole
• Si descrivono le interferenze, la diffrazione e i
vari esperimenti
• Ci sono ancora alcuni problemi con la radiazione
elettromagnetica (particelle senza massa) e la
realtivita’, ma i passi in avanti sono clamorosi
Resta da capire una cosa:
• Onde di che?
• Cosa oscilla nell’equazione
delle onde di materia?