U N I V E R S I T A' D E G L I S T U D I D I B E R G A M O
DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, STATISTICA, INFORMATICA E APPLICAZIONI
“Lorenzo Mascheroni”
I derivati
Lezione 0
Terminologia
strumento derivato
posizione lunga
posizione corta
vendita allo scoperto
arbitraggio
tasso spot, prezzo spot
tasso forward, prezzo forward
prezzo sottostante
Strumento derivato
I derivati (o derivatives o contingent
claims) sono strumenti il cui
«valore» dipende dai «valori»
di altre variabili fondamentali dette
sottostanti (o underlying)
Il sottostante può riguardare una qualsiasi attività o variabile economica. Ad es. azioni, obbligazioni, indici di mercato, merci, servizi, situazioni
meteorologiche e climatiche, risultati sportivi ecc.
Esempi di Derivati
Opzioni
Contratti Forward (o Forwards)
Contratti Futures (o Futures)
Swaps
Perché si Usano i Derivati
Per proteggersi dai rischi
Per concretizzare un’opinione circa la futura
evoluzione del mercato (scommessa)
Per bloccare un profitto di arbitraggio
Per cambiare la natura di una passività
Per cambiare la natura di un investimento
senza incorrere nei costi connessi con la
vendita di un portafoglio e l’acquisto di un
altro
Per ragioni fiscali
Operatori
Hedgers:
ridurre un rischio al quale sono esposti
Speculatori:
scommettitori
Arbitraggisti:
operatori che traggono profitto privo di
rischio senza investire
Economia di arbitraggio
Per sottolineare la possibilità di sfruttare
tutte le opportunità offerte dal gran
numero di mercati disponibili
cause:
1) disintermediazione (scambio diretto)
2) deregolamentazione (contesto finanziario
flessibile)
3) integrazione (fine della segmentazione)
La finanza moderna si fonda sulla cosiddetta «Economia di arbitraggio». Con questo termine si vogliono sottolineare le possibilità offerte
dall’evoluzione dei mercati finanziari.
Arbitraggio
«You make money without risk»
L’arbitraggio consiste
nell’effettuare contemporaneamente delle
operazioni di segno opposto in modo da garantire
dei guadagni certi a fronte di investimenti nulli
(più intuitivo)
oppure
nell’effettuare contemporaneamente delle
operazioni di segno opposto in grado di garantire
dei guadagni nulli a fronte di disinvestimenti non
nulli (meno intuitivo)
Opportunità di arbitraggio
Con il termine “opportunità di arbitraggio” ci
si riferisce alla possibilità di sfruttare eventuali
incongruenze tra i diversi mercati e/o i diversi
beni.
Ad es. compro oro a 100 $/oncia in USA e lo vendo a 102
$/oncia in GB, quando il trasporto costa 1$/oncia.
Dati: P = prezzo, q = quantità investita, D = rendimento
Abbiamo: P  q = investimento, D  q = guadagno
L’arbitraggio del primo tipo è dato da: P  q = 0 e D  q > 0.
In generale si usa dire P  q  0 e D  q > 0.
L’arbitraggio del secondo tipo è dato da: P  q < 0 e D  q =
0. In generale diremo P  q < 0 e D  q  0.
Posizione finanziaria
La parte che ha deciso di comprare
«prende una posizione lunga»
La parte che ha deciso di vendere
«prende una posizione corta»
Una posizione viene chiusa prendendo
una posizione di segno opposto
Vendita allo Scoperto
La vendita allo scoperto:
consiste nel vendere titoli che non si posseggono
I titoli vengono «presi in prestito» attraverso un broker
e vengono venduti nel modo consueto
Il venditore allo scoperto potrà essere chiamato a chiudere
la propria posizione (in ogni momento) qualora il broker si
trovasse senza azioni
Chi vende allo scoperto
dovrà prima o poi ricomprare i titoli per «restituirli» al broker
da cui li ha presi in prestito
deve pagare i «dividendi» e gli altri eventuali proventi al
legittimo proprietario dei titoli
Vendita allo Scoperto
Per la vendita allo scoperto si incarica un broker che gestisce un portafoglio
contenente i titoli che vogliamo vendere allo scoperto. (Notiamo che non stiamo
discutendo sulle ragioni che ci spingono a vendere qualche cosa che non
abbiamo, ma dobbiamo solamente capire come questo sia possibile).
Ad es., vogliamo vendere 10 000 Fiat a 18.38 (prezzo di mercato). Non
disponendo dei titoli possiamo chiedere in prestito le azioni a un broker (di cui
godiamo la fiducia). Il broker ovviamente deve disporre di almeno 10 000 Fiat,
ad esempio perché gestisce il portafoglio della propria clientela.
Si incarica quindi il broker di venderci le 10 000 azioni e di versarci in conto
l’importo realizzato al netto della commissione. Spesso questa operazione
richiede delle garanzie (in titoli o contanti).
Al variare del prezzo della Fiat possiamo decidere (in ogni momento) di
ricomprare le 10 000 azioni versando l’importo necessario al broker e
restituendogli i titoli presi a prestito.
In presenza di elevate variazioni di prezzo a noi sfavorevoli (forti aumenti) o in
caso di richiesta di disponibilità dei titoli il broker può chiederci (in ogni istante)
di chiudere la posizione.
Spot e Forward
Tasso e prezzo spot riguardano il tasso
e il prezzo attuali
Tasso e prezzo forward riguardano il
tasso e il prezzo a termine (a una
certa scadenza)
Tasso Forward o di Riporto
(Repo)
Il tasso di riporto è il tasso d’interesse
rilevante per molti arbitraggisti
I contratti di riporto (repos o repurchase
agreements) sono accordi con i quali
un’istituzione finanziaria vende titoli spot ad
un’altra istituzione finanziaria e li riacquista a
termine ad un prezzo che in genere è
lievemente più alto
La «differenza» tra il prezzo di riacquisto a
termine e il prezzo di vendita spot è
l’«interesse» percepito dalla controparte
Forwards
Contratto a termine o Forward
« Agreement to buy or sell
“something” in the future»
Accordo per comprare o vendere
un’attività ad una certa data futura, per
un certo prezzo
Come funziona
un contratto Forward
Il contratto forward è un accordo tra 2
società sul mercato over the counter (OTC)
Di solito il prezzo del contratto è scelto in
modo che il «valore iniziale di mercato» del
contratto sia nullo
Pertanto, non c’è alcuno scambio di denaro
nel momento in cui il contratto viene stipulato
Il contratto viene «liquidato a scadenza»
Esempio di contratto Forward
8 maggio 2002: una società entra in un
contratto forward lungo per acquistare
tra 90 giorni £1.000.000 a $1,6056 per
sterlina ($/£ = GBP/USD)
sottoscrizione
del contratto
pago $1 605 600
ricevo £1 000 000
8 maggio 2002
6 agosto 2002
Esempio di contratto Forward
6 agosto 2002: il «tasso di cambio
spot» della sterlina è pari a $1,6500
pago
$1 605 600
ricevo
£1 000 000
che valgono $1 650 000
8 maggio 2002
6 agosto 2002
Esempio di contratto Forward
In base alle
«condizioni» contrattuali
(forward del 5 maggio
2002), la società paga
$1.605.600 e riceve
£1.000.000
Il «profitto» della
società è pari a
$44.400, dato che le
sterline possono essere
immediatamente
rivendute a $1.650.000
pago
ricevo
vendo
ricevo
guadagno
$1 605 600
£1 000 000
£1 000 000
$1 650 000
-------------$44 400
Posizione lunga su un Forward
Profitto
0
K
Posizione lunga
K
(a)
ST
Posizione corta su un Forward
K
prezzo forward
o prezzo di consegna?
Profitto
0
K
Posizione corta
(b)
ST
Contratti Forward
Prezzo Forward:
prezzo di consegna del giorno di stipula tale da
rendere il valore del contratto Forward nullo
Prezzo di consegna:
prezzo applicato alla compravendita a termine
Valore del contratto Forward:
prezzo di scambio durante la vita intermedia del
contratto
Il valore del contratto Forward rappresenta quanto vale detenere l’impegno iscritto nel contratto.
Oro: un’opportunità
di arbitraggio?
Si supponga che:
il prezzo spot dell’oro sia di $390
il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di
$425
il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia
del 5% annuo
non si hanno costi di custodia o di
trasporto dell’oro
C’è un’opportunità di arbitraggio?
C’è opportunità di arbitraggio?
Oggi
Tasso d'interesse
1 anno
5%
prestito di contanti
+390
–409.5
lungo di oro
–390
+oro
corto Forward su oro
0
+425–oro
Saldo
0
15.5
opportunità
di arbitraggio
nessun
investiment
o
guadagno
certo
$390×15%
Oro: un’altra opportunità
di arbitraggio?
Si supponga che:
il prezzo spot dell’oro sia di $390
il prezzo forward a 1 anno dell’oro sia di
$390
il «tasso d’interesse» a 1 anno in dollari sia
del 5% annuo
non si hanno costi di custodia o di
trasporto dell’oro
C’è un’opportunità di arbitraggio?
C’è opportunità di arbitraggio?
Oggi
Tasso d'interesse
1 anno
5%
deposito di contanti
–390
409.5
corto di oro
+390
–oro
lungo Forward su oro
0
–390+oro
Saldo
0
19.5
opportunità
di arbitraggio
nessun
investiment
o
guadagno
certo
C’è opportunità di arbitraggio?
Oggi
Tasso d'interesse
deposito di contanti
corto di oro
lungo Forward su oro
Saldo
opportunità
di arbitraggio
19.5 / (1+5%)
1 anno
5%
–371.43
390
+390
–oro
0
–390+oro
18.57
0
disinvestimento
guadagno
nullo
Formalizzando
Se oggi F > S (1+i)(T–t)
prendo in prestito la somma S
vado corto sul Forward che paga F per il
titolo che oggi vale S
acquisto il titolo spot che costa S
fine periodo
pago S (1+i)(T–t) a chi mi ha prestato i soldi
cedo il titolo alla somma F
Formalizzando (continua)
Se oggi F < S (1+i)(T–t)
prendo una posizione corta sul titolo spot e ricevo
S
vado lungo sul forward che paga F per il titolo che
oggi vale S
deposito la somma S ricevuta dalla vendita
allo scoperto
fine periodo
ricevo S(1+i)(T–t) dal deposito dei contanti
compro il titolo alla somma F
chiudo la posizione corta sul titolo restituendolo al
broker
Prezzo Forward
Concludiamo che il prezzo di consegna che
rende nullo il valore del contratto Forward alla
stipula è pari a
S (1+i)(T–t)
oppure
Se r (T–t)
per titoli che
non pagano dividendi o dividend yields
non hanno costi di deposito, custodia o
immagazzinamento
Valore di un Forward
Sia
K : prezzo di consegna di un contratto forward
F : prezzo forward che si applicherebbe ora al
contratto
Il valore di un contratto forward lungo, f, è
f =(F – K )e–r(T – t)
Analogamente, il valore di forward corto è
f=(K – F)e–r(T–t)
Valore di un contratto Forward
K  Se
0
rT
F  St e
t
r (T t )
 F
 ST 
 K
T
Se F > K allora sono indifferente sse mi viene pagata
una somma pari a F–K in T, ossia (F–K)e-r(-t) oggi, per
vendere K. Dato che f(F)=0, si deduce che
f(K)= (F–K)e-r(-t)
Se F < K allora sono indifferente sse mi viene pagata
una somma pari a K–F in T, ossia (K–F)e-r(-t) oggi, per
acquistare K anziché F. Di conseguenza
f(K)= –(K–F)e-r(-t) = (F–K)e-r(-t)
Esempio di Forward
K  950
0
St  930
26/11
 F
 ST 
 K
26/5
r = 6%, T – t = 6mesi
in T chi possiede K (è lungo di K) deve pagare €8.32 meno di chi
sottoscrive ora: F=Ster(T-t) = €958.32  K – F = €8.32
quindi K  F. Quanto è la preferenza?
8.32 e-6% × 6 / 12 = 8.08
Chi vuole acquistare una posizione lunga su K pagherà 8.08, (f = 8.08)
Chi vuole vendere una posizione lunga su K otterrà 8.08, (f = 8.08)
Chi vuole acquistare una posizione corta su K otterrà 8.08, (f = 8.08)
Chi vuole vendere una posizione corta su K pagherà 8.08, (f = -8.08)
Valore di un contratto Forward
Se f = $7 in che modo possiamo fare
arbitraggio?
Volendo anticipare i guadagni?
Valore di un contratto Forward:
senza redditi
Lunghi di forward F equivale al possesso di
un sottostante S a scadenza T (qualunque
St data):
S0 sia il suo valore in tale
0
t
K  S 0 e rT
F  S t e r (T t )
Deve valere come un portafoglio che
f t  ( F  K )e  r ( T  t )
T
acquista oggi e dispone del titolo S in T
e r (T  t )
e rT
 St r (T t )  S0 r (T t )  St  S0e rt
e
e
I Beni d’Investimento
che Offrono Redditi Noti
Vale la relazione
F  S  IerT  t (3.7) p. 52
dove I è il valore attuale dei redditi
distribuiti (in quanto sono di diritto a
coloro che prestano il titolo)
Valore di un contratto Forward:
con redditi noti
Lunghi di forward F vuol dire acquistare il
sottostante S in T (qualunque sia il suo valore in
tale data), quindi senza i redditi maturati tra oggi e
T:
St
S0
0
K  S 0 e  Ie
rT
rT
t
F  ( S t  I t )e
Deve valere come un portafoglio
r (T  t )
T
che dispone del titolo S in T
f t  ( F  K )e  r (T t )  St  I t  Ke r (T t )  St  I t  ( S 0  I )e rt
I Beni d’Investimento che Offrono un
«Dividend Yield Noto»
Vale la relazione
F  Ser  qT  t (3.10) p. 54
dove q è il dividend yield (dividendi in
funzione del prezzo dell’azione)
Si assume che l’attività sottostante offra
un reddito pari a qSt nel periodo t
Forward con dividend yields
•Supposto noto
q
dividendi che chiamiamo dividend yield (annuo)
Spot
•lo ‘spalmiamo’ sull’intero anno, cioè paga SqΔt per Δt0,
1 dividendi
365
1
1
1 2
•dopo due giorni paga S 1  q 365 1  q 365   S  S 1  q 365   S
•in altre parole, dopo un giorno paga Sq

2
1
•in base a pag. 47 abbiamo che S 1  q 365
 Seq 2t  S
•ad es. S = 100, div(T)=110.52-100=10.52= SeqT - S
•volendo attualizzare i dividendi: (SeqT - S)e-qT = S - e-qT  I
•da cui: F=(S - I) erT = (S - S + Se-qT) erT =
Se(r-q)T
Valore di un contratto Forward:
con dividend yields noti
Dato che gli interessi qSt maturano
“istantaneamente” (per piccoli t):
St
S0
0
eqt   (1  qt )
rT
e
K  S 0 qT
e
f t  ( F  K )e  r ( T  t )
t
r (T t )
e
F  St q (T t )  St e ( r q )(T t )
e
T
( r  q )T
e
 St e r (T t )  S0 r (T t )  St e r (T t )  S0e( rt qT )
e