ESERCIZI SVOLTI DI TOPOGRAFIA – PROF. ING. PIANTONI ALDO
1. si deve determinare la pendenza tra due punti P e Q, che rappresentano gli estremi di una strada rettilinea.
Poiché non si è riusciti ad individuare un punto dal quale siano visibili contemporaneamente i due punti, sono
state effettuate, con un teodolite a graduazione destrorsa integrato da distanziometro ad onde, due stazioni
celerimetriche collegate tra loro in modo indiretto. I dati rilevati sono i seguenti.
stazione
Punto collimato
C.O.
C.V.
Distanza inclinata
P
210,3416°
83,6861°
135,618 m
A
C
88,6014°
90,3043°
206,405 m
H=1.705
D
57,4844°
88,6549°
287,835 m
C
114,6545°
87,3615°
238,437 m
B
D
154,7458°
84,4818°
196,585 m
H=1.644
Q
246,3489°
94,3215°
175,606m
Si assuma, per i calcoli altimetrici, un’altezza del prisma pari a 1,500m, k=0,12 e R=6.376.500 m.
Con i dati forniti nel libretto delle misure si determinano innanzi tutto le distanze orizzontali
AP=135.618 sen83.6861 = 134.795 m
AC=206.405 sen90.3043 = 206.402 m
AD=287.835 sen88.6549 = 287.756 m
BC = 238.437 sen87.3615 = 238.184 m
BD=196.585 sen84.4818 = 195.647 m
BQ=175.606 sen94.3215 = 175.107 m
Per risolvere la parte planimetrica conviene determinare le coordinate di P e Q nel sistema di riferimento celerimetrico
con origine in A, adottando il procedimento del collegamento di Porro. Le coordinate del punto P possono essere
determinate subito, poiché tale punto è stato collimato direttamente da A:
xp=AP senθAP=134.795 sen210.3416 = -68.092 m
yp=AP cosθAP=134.795 cos210.3416 = -116.332 m
si procede col calcolo dell’angolo di disorientamento tra le due stazioni, calcolando le coordinate dei due punti C e D
nei due sistemi di riferimento
Sistema di riferimento con origine in A
xC=AC senθAC=206.402 sen 88.6014 = 206.341 m
yC=AC cosθAC=206.402 cos 88.6014 = 5.038 m
xD=AD senθAD=287.756 sen 57.4844 = 242.649 m
yD=AD cosθAD=287.756 cos 57.4844 = 154.677 m
xD - xC
θCD=ARCTAN --------------- = 13.6385°
yD - yC
Sistema di riferimento con origine in B
x’C=BC senθ’BC=238.184 sen 114.6545 = 216.471 m
y’C=BC cosθ’BC=238.184 cos 114.6545 = -99.357 m
x’D=BD senθ’BD=195.674 sen 154.7458 = 83.481 m
y’D=BD cosθ’BD=195.674 cos 154.7458 = -176.972 m
x’D - x’C
θ’CD=ARCTAN --------------- = 239.7315°
y’D - y’C
L’angolo di disorientamento tra le due stazioni è pari alla differenza dei due azimut
ε=θ’CD - θCD =226.0930°
le coordinate del punto Q, nel sistema di riferimento con origine in A valgono:
xQ= xC +CB senθCB+ BQ senθBQ = xC +CB sen(θ'CB- ε ) + BQ sen(θ'BQ- ε ) = 206.341 + 238.184 sen
(114.6545 + 180 - 226.0930) + 175.107 sen (246.3489 - 226.0930) = 488.670 m
yQ= yC +CB cosθCB+ BQ cosθBQ = yC +CB cos(θ'CB- ε ) + BQ cos(θ'BQ- ε ) = 5.038 + 238.184 cos(114.6545 +
180 - 226.0930) + 175.107 cos (246.3489 - 226.0930) = 256.372 m
per controllo, si ripete il calcolo delle coordinate di Q, utilizzando il percorso ADBQ anziché ACBQ:
xQ= xD +DB senθDB+ BQ senθBQ = xD +DB sen(θ'DB- ε ) + BQ sen(θ'BQ- ε ) = 242,649 + 195.674 sen
(154.7458 + 180 - 226.0930) + 175.107 sen (246.3489 - 226.0930) = 488.669 m
yQ= yD +DB cosθDB+ BQ cosθBQ = yD +DB cos(θ'DB- ε ) + BQ cos(θ'BQ- ε ) = 154.677 + 195.674 cos(154.7458
+ 180 - 226.0930) + 175.107 cos (246.3489 - 226.0930) = 256.372 m
che, in pratica, coincidono con quelle calcolate precedentemente. La distanza tra i punti P e Q risulta quindi:
PQ= w (xQ - xP ) + (yQ - yP ) =669.994 m
2
2
Anche la parte altimetrica può essere risolta considerando i percorsi PACBQ e PADBQ. I dislivelli misurati si calcolano
con la formula della livellazione trigonometrica:
∆AP = h A - h P + AP cot φ AP + (1-k) AP /2R = 15,121
2
∆AC = h A - h P + AC cot φ AC + (1-k) AC /2R = -0.888
2
∆AD = h A - h P + AD cot φ AD + (1-k) AD /2R = 6.967
2
∆BC = h B - h P + BC cot φ BC + (1-k) BC /2R = 11.124
2
∆BD = h B - h P + BD cot φ BD + (1-k) BD /2R = 19.051
2
∆BQ = h B - h P + BQ cot φ BQ + (1-k) BQ /2R = -13.086
utilizzando il percorso PACBQ si ottiene il seguente dislivello PQ:
ricordando che ∆PA= - ∆AP
∆PQ =∆PA +∆AC +∆CB +∆BQ = -15.121 - 0.888 - 11.124 - 13.086 = - 40.219 m
2
utilizzando invece il percorso PADBQ si ottiene:
∆PQ =∆PA +∆AD +∆DB +∆BQ = -15.121 +6.967 - 19.051 - 13.086 = - 40.291m
si adotta come valore più attendibile del dislivello la media aritmetica dei due valori
∆PQ = (- 40.291- 40.219)/2 = -40.255m
la pendenza della strada vale dunque: pPQ= -40.255/669.994 = -0.0601 = - 6.01%
2. determinare le coordinate planimetriche e la quota del punto P, dal quale si sono collimati, con un teodolite
centesimale destrorso, i tre punti A, B e C di coordinate note:
A(317.818 ; 404.606) B( 385.606 ; 201.304) C( 243.445 ; -15.314)
stazione
P
h=1.609m
Punto collimato
A
B
C
C.O.
369.6545 gon
14.5743 gon
62.0468 gon
C.V.
101.2547 gon
100.8895 gon
98.6843 gon
Si assuma, per il calcolo della quota, k=0,14; R=6.377 Km; QA=188,766, QB=189,215 , QC=201,545
Gli angoli orizzontali che le proiezioni delle linee di collimazione formano tra loro valgono:
α=(PB) - (PA)= 14.5743 - 369.6545 + 400 = 44.9198 gon
β= (PC) - (PA) = 62.0468 - 14.5743 = 47.4725 gon
dalla sequenza con cui si succedono gli angoli di direzione, il punto P non può che stare a sinistra della spezzata ABC;
infatti, se il punto P fosse a destra, gli angoli di direzione dovrebbero aumentare da C verso A, mentre si verifica il
contrario. Stabilita dunque la posizione di P è possibile effettuare la costruzione grafica, che permette di stabilire una
soluzione approssimata del problema.
Dalle coordinate di A e di B si ricava la distanza e l'azimut tra tali punti
AB= w q (385.606 - 317.818)2 + (201.304 - 404.606)2 r = 214.306 m
θAB=arctan q(385.606-371.818)/(201.304-404.606)r+200= 179.5109 gon
tracciata la circonferenza passante per P, A e B, detto H il punto di intersezione con il segmento PC, si ha, visto che gli
angoli AHB e BAH sono uguali agli angoli α, β
AH=AB/senα x sen(α+β) = 328.113 m
Le coordinate di H valgono quindi:
xH= xA +AH senθAH = xA+AH sen(θAB+ β ) = 182.873 m
yH= yA +AH cosθAH = yA +AH cos(θAH+ β) = 105.528 m
Dalle coordinate di H si ottiene:
θHC= θPC = arctan q(243.445-182.873)/(-15.314 - 105.528)r+200 = 170.4197
θPA= θPC - (α+β ) =78.0274 gon
θAP= θPA + 200= 278.0274 gon
da cui si possono calcolare gli elementi incogniti del triangolo ABP:
BAP=θAP -θAB = 278.0274 - 179.5109 = 98.5165 gon
PBA= 200-(α + BAP) = 56.5637 gon
PA= AB/senα x senPBA = 256.468 m
Che permette di calcolare le coordinate di P
XP= xA +PA senθAP = 317.818 + 256.486 sen 278.0274 = 76.458 m
YP= yA +PA cosθAP = 404.606 + 256.486 cos 278.0274 = 317.828 m
Per risolvere il problema altimetrico è necessario calcolare le distanze dei vertici B e C dal punto P:
PB= wq(385.606 - 76.458) + (201.304 - 317.828) r = 330.379
2
2
PC= wq(243.445 - 76.458) + (-15.314 - 317.828) r = 372.650
2
2
I tre dislivelli misurati valgono quindi:
R+Q
2
∆PA = h P + PA-------- cot ϕ PA + (1-k) PA /2R = - 3.442
R
R+Q
2
∆PB = h P + PB-------- cot ϕ PB + (1-k) PB /2R = - 3.000
R
R+Q
2
∆PC = h P + PC-------- cot ϕ PC + (1-k) PC /2R = +9.321
R
La quota del punto P può quindi essere determinata in tre modi diversi a seconda che si consideri come riferimento
rispettivamente il punto A, B o C:
Q'P=QA + ∆AP = QA - ∆PA =188.766 + 3.442 = 192.208
Q"P=QB + ∆BP = QB - ∆PB =189.215 + 3.000 = 192.215
Q'"P=QC + ∆CP = QC - ∆PC =201.545 - 9.321 = 192.224
Come quota potrà quindi essere assunta la media aritmetica Qp=192.216
3. determinare l’area compensata della particella rilevata
Operazioni di campagna
Per ogni punto collimato si sono determinate le distanze orizzontali, utilizzando un nastro metrico d'acciaio, e gli angoli
orizzontali. Gli angoli verticali non sono stati letti, poiché non è stata presa in considerazione la parte altimetrica del
rilievo.
Sono state prefissate sia la tolleranza angolare sia quella lineare, che devono essere superiori ai rispettivi errori di
chiusura:
tα = 4ce3 =6.9c
tl = 0.02en l
LIBRETTO DELLE MISURE
stazione
100
200
300
Punto collimato
Cerchio orizzontale
Distanza orizzontale
200
121.583 g
24.548 m
300
77.543 g
24.564 m
101
8.801 g
12.400 m
102
198.201 g
12.868 m
100
321.583 g
-
300
399.652 g
16.625 m
201
79.518 g
6.679 m
102
287.011 g
23.235 m
100
277.489 g
-
200
199.652 g
-
201
173.528 g
15.859
301
348.724 g
4.395
La planimetria dell'appezzamento, con i punti rilevati, è riportata nella figura.
Calcolo dell'area con compensazione empirica
Si esegue dapprima il calcolo della poligonale, mediante compensazione empirica. Gli angoli al vertice risultano:
α = 121,583 - 77,543 = 44,040 g
β=399,652 - 321,583 = 78,069 g
γ =277.489 -- 199.652 = 77,837 g
Si procede quindi con la compensazione angolare degli angoli interni:
εα = |44,040 + 78,069 + 77,837 - 200 | = |199,946 - 200| = 0,054 g
che risulta inferiore alla tolleranza angolare prefissata:
ta = 4cw3 = 6,9c > 5,4c
e pertanto si può procedere con la compensazione angolare. Poiché la somma degli angoli misurati è risultata minore di
200 g, si dovrà aggiungere a ciascun angolo misurato 1/3 dell'errore di chiusura angolare εα:
αc = 44,040 + 0,018 = 44,058 g
βc = 78,069 + 0,018 = 78,087 g
γc = 77,837 + 0,018 =77,855 g
Si possono ora calcolare gli azimut, assumendo un sistema di riferimento avente origine nel punto 100 e asse delle
ordinate diretto lungo l'origine del cerchio orizzontale in tale stazione;
θ100-200 = 121,583 g
θ200-300 = θ100-200 + βc +200= 399.670 g
θ300-100 = θ200−300 + γc -200= 277.525 g
Per controllo:
θ100-200 = θ300-100 + αc -200= 121.583 g
Si procede con la compensazione lineare, calcolando le coordinate parziali provvisorie:
sono le proiezioni dei lati sugli assi
(x200)100 = d100-200 sen θ100-200 = 23,151 m
(x300)200 = d200-300 sen θ200-300 = -0,086 m
(x100)300 = d100-300 sen θ300-100 = -23,049 m
(y200)100 = d100-200 cos θ100-200 = -8,164 m
(y300)200 = d200-300 cos θ200-300 = 16,625 m
(y100)300 = d100-300 cos θ300-100 = - 8,493 m
Gli errori di chiusura lineare, rispettivamente lungo X e lungo Y, si ricavano facendo la somma: delle coordinate
parziali:
ex = n(Xj)i = 23,151 - 0,086 - 23,049 = 0,016 m
ey = n(yj)i = -8,164 + 16,65 - 8,493 = -0,032 m
Si ricava quindi l'errore lineare complessivo, confrontandolo con la tolleranza lineare:
εL = e(ε2x + ε2y)= 0,036 m < tL = 0,02 e65,737 =. 0,162 m
Poiché la verifica è soddisfatta, si può procedere con la compensazione lineare; si calcolano
dapprima gli errori unitari:
ux= εx / n|(xj)i = 3,457 10
-4
uy= εy / n|(yj)i = - 9,615 10
-4
(x200)100 = (x200)100 - ux |(x200)100 | = 23,143 m
(x300)200 = (x300)200 - ux |(x300)200 | = -0,086 m
(x100)300 = (x100)300 - ux |(x100)300 | = -23,057 m
(y200)100 = (x200)100 - ux |(y200)100 | = -8,156 m
(y300)200 = (x300)200 - uy |(y300)200 | = 16,641 m
(y100)300 = (x100)300 - uy |(y100)300 | = - 8,485 m
Le coordinate compensate delle tre stazioni valgono quindi:
x100 = 0,000 m
x200 = x100 +(x200)100 = 23.143 m
x300 = x200 +(x300)200 | = 23,057 m
y100 = 0,000 m
y200 = y100 +(y200)100 = -8,156 m
y300 = y200 +(y300)200 | = 8,845 m
Si ricavano ora le coordinate dei quattro vertici dell'appezzamento, partendo dalle coordinate compensate della
poligonale e facendo la media aritmetica dei punti iper-determinati:
x101 = x100 +d100-101 sen θ100-101=0,000+ 12,400 sen 8,801 = 1,709 m
y101 = y100 +d100-101 cos θ100-101=0,000+ 12,400 cos 8,801 = 12,282 m
x'102 = x100 +d100-102 sen θ100-102=0,000+ 12,868 sen 198,201 = 0,364 m
y'102 = y100 +d100-102 cos θ100-102=0,000+ 12,868 cos 198,201 = -12,863 m
x"102 = x200 +d200-102 sen θ200-102=23,143+ 23,235 sen 287,011 = 0,390 m
y"102 = y200 +d200-102 cos θ200-102= -8,156 + 23,235 cos 287,011 = -12,864 m
x102= (x'102+ x"102)/2 = 0,377
y102= (y'102+ y"102)/2 = -12,864
x'201 = x200 +d200-201 sen θ200-201= 23,143+ 6,679 sen 79,518 = 29,479 m
y'201 = y200 +d200-201 cos θ200-201= -8,156 + 6,679 cos 79,518 = -6,044 m
x"201 = x300 +d300-201 sen θ300-201=23,057 + 15,859 sen 173,528 = 29,463 m
y"201 = y300 +d300-201 cos θ300-201= 8,485 + 15,859 cos 173,528 = -6,023 m
x201= (x'201+ x"201)/2 =
29,471 m
y201= (y'201+ y"201)/2 = -6,034
x301 = x300 +d300-301 sen θ300-301= 23,057+ 4,395 sen 348,724 = 19,888 m
y301 = y300 +d300-301 cos θ300-301= 8,485 + 4,395 cos 348,724 = 11,530 m
Avendo determinato le coordinate dei vertici, si può ora calcolare l'area compensata dell'appezzamento racchiuso dalla
poligonale applicando la formula di Gauss:
A =1/2 nYi(Xi-l - Xi+l) =1/2[12,282 (19,888 - 0,377) - 12,864 (1,709 - 29,471) - 6,034 (0,377 - 19,888)+11,350 (29,4711,709)] =517,3 m2
4 . il quadrilatero ABCD è stato rilevato con un tacheometro centesimale destrorso determinando i seguenti
elementi
stazione
Punto collimato
Cerchio orizzontale
Distanza orizzontale
D
0,000 gon
66,153 gon
A
B
135,456 gon
98,389 gon
C
31,558 gon
115,444 gon
B
A
377,165 gon
98,387 gon
Dividere il quadrilatero in tre parti, proporzionali ai numeri
3,5 4,5 3,2
con due dividenti parallele al lato CD, in modo che l'area proporzionale a 3,5 contenga tale lato, mediante le
distanze dei loro estremi dai vertici C e D
Dal libretto delle misure si ricavano gli angoli in A e in B e la distanza media AB:
α=(AB)-(CD)=135,456 gon
β=(BC)-(BA) + 400 = 54,393 gon AB= (98,389 + 98,387)/2= 98,388 m
dapprima risolviamo il quadrilatero ABCD, scomponendolo nei due triangoli ABD e BDC.
TRIANGOLO ADB
BD= w AB + AD - 2AB AD cos α = 144,697 m
2
2
Per determinare l'angolo β1 possiamo applicare il teorema dei seni, poichè α è ottuso
β1 =arcsen (sen α / BD x AD)= 25,373 gon
δ1= 200 - α - β1 = 39,171 gon
2
A (ABD) = 1/2 ABxAD sen α= 2762,52 m
TRIANGOLO BDC
β2 = β - β1 = 29.020 gon
CD = w BD + BC - 2BD BC COSβ2 =65,323 m
2
2
γ = arccos q(BC + CD - BD ) /(2BC CD) r = 114,228 gon
2
2
2
δ2 = 200 - γ - β2 = 56,752 gon δ = δ1 + δ2 = 95, 923 gon
2
A (BDC) = 1/2 BDxBC sen β2 = 3676,81 m
Si può ora determinare l'area del quadrilatero ABCD e delle parti frazionate
A(ABCD)= A(ABD) + A(BDC) = 6439,33 m
2
A1 = 3,5/(3, + 4,5 + 3,2 ) xA(ABCD) = 2012,29
A2 = 4,5/(3, + 4,5 + 3,2 ) xA(ABCD) = 2587,23
A3 = A(ABCD) - A1 - A2 = 1839,81
Applichiamo ora la formula del trapezio alla prima superficie CDMN
MN = w CD - 2A1(cotγ +cotδ) = 70,169 m
2
h= 2A1 / (CD+MN) = 29,703 m
CM = h/senγ = 30,461 m
DN = h/senδ = 29,764 m
In modo analogo si procede per determinare la posizione della dividente PQ, salvo verificare in questo caso che il punto
Q ricada all'interno del segmento DA (altrimenti si deve procedere partendo dalla terza superficie)
PQ = w CD - 2(A1+ A2 )(cotγ +cotδ) = 75,947 m
2
h2= 2(A1 + A2 )/ (CD+PQ) = 65,117 m
CP = h2/senγ = 65,777 m
DN = h2/senδ = 65,250 m < AD=66,153 m
5. la bisettrice CM divide il triangolo ABC in due parti aventi la seguente valenza unitaria:
triangolo ACM: v1=5,00 €/m2
triangolo BCM: v2 = 7,00€/m2
la posizione degli estremi P e Q delle due nuove dividenti uscenti dal vertice C che dividono il triangolo in tre
parti di uguale valore, conoscendo i seguenti dati
c= 158,42 m α = 42,615°
β= 38,744°
applicando il teorema dei seni, determiniamo gli elementi incogniti del triangolo
γ= 180 - (α+β) = 98,641°
b= c/senγ x senβ = 100,284 m
a= c/senγ x senα = 108,493 m
e la bisettrice che divide le superfici a diversa valenza :
b
CM =
sen α = 67,938 m
sen (α+γ/2)
il valore complessivo dell'appezzamento ABC è quindi
vT = A(ACM)x5,00 + A(BCM)x7,00 = 1/2(bx5,00 + ax7,00)CM sen γ/2 = 32.481,28 €
pertanto ciascuna delle parti derivate dovrà avere un valore pari ad 1/3 di quello totale, che diviso per il valore unitario
della parte corrispondente fornisce la relativa area
2
A (ACQ) = v1 /5,00 = 10.827,09/5,00 = 2165,4 m
2
A (BCP) = v2 /7,00 = 10.827,09/7,00 = 1546,7 m
AQ= 2A(ACQ)/(b senα) = 63,783 m
BP= 2A(BCP)/(a senβ) = 45,559 m
6. due appezzamenti di terreno contigui, appartenenti a due distinti proprietari, hanno la parte di confine in
comune rappresentata dalla spezzata ABCD.
Uno degli appezzamenti è rappresentato dalla poligonale ABCDE; i confini dell'altro appezzamento sono
rappresentati in corrispondenza del punto A dal prolungamento del lato EA ed in corrispondenza del punto D
dal prolungamento del lato ED.
I due proprietari desiderano sostituire alla spezzata ABCD un nuovo confine rettilineo, parallelo alla direzione
AD, in modo da realizzare la condizione di compenso delle aree aggiunte e sottratte ai due proprietari.
Gli elementi misurati con un tacheometro destrorso sono raccolti nel seguente libretto di campagna.
stazione
Punto collimato
E
A
B
A
B
C
B
C
D
C
D
E
Determinare la posizione della nuova dividente
Cerchio orizzontale
44,9074 g
143,7116 g
0,0000 g
84,3715 g
0,0000 g
315,3065 g
0,0000 g
35,6848 g
Distanza orizzontale
109,003
156,374
85,606
-
Si ricavano innanzi tutto dal libretto di campagna gli angoli al vertice (vedi figura):
α= (AB) - (AE) = 98,8042 g
β = (CD) - (CB) = 315,3065 g
γ = (BC) - (BA) = 84,3715 g
δ = (DE) - (DC) = 35,6848 g
II problema può essere risolto in due modi diversi: imponendo che l'area ceduta da un proprietario sia
equivalente a quella acquisita dallo stesso, oppure calcolando l'area di un appezzamento di terreno fittizio
che contenga la spezzata
da rettificare e imponendo la stessa area all'appezzamento col confine rettificato. Generalmente la prima
soluzione è conveniente quando la spezzata da rettificare è formata da solo due lati, mentre conviene la
seconda soluzione quando la spezzata ha più di due lati. In quest'ultimo caso è opportuno calcolare l'area
dell'appezzamento fittizio mediante la formula di Gauss; infatti, se il poligono è intrecciato, abbiamo visto
nella prima unità che tale formula fornisce già la differenza tra l'area percorsa in senso antiorario e quella
percorsa in senso orario. Per rendersi conto dei vantaggi della seconda soluzione rispetto alla prima, con
una spezzata di soli tre lati, come in questo caso, si presentano qui di seguito entrambe le soluzioni.
Prima modalità
Congiunto A con D, e indicato con P il punto di intersezione col lato BC, si nota dalla figura che se le aree
dei due triangoli ABP e PCD fossero uguali, il lato AD sarebbe la dividente cercata. Se invece dovesse
prevalere l'area ABP sull'area PCD, si dovrà spostare il confine AD verso B, parallelamente a se stesso, in
modo che l'area del trapezio AA'D'D risulti uguale all'eccedenza dell'area ABP rispetto all'area PCD.
Viceversa, se dovesse risultare maggiore l'area del triangolo PCD, il confine AD dovrà essere spostato verso
C.
Ricaviamo dunque le aree dei due triangoli staccati dal lato AD. Considerato il triangolo ABC, del quale si
conoscono due lati e l'angolo compreso, si ha:
AC = eAB2 + BC2 - 2 AB BCcos β = 167,479 m
2
2
2
AC + BC - AB
ACB = arccos------------------------ = 43,4982 g
2 AC BC
CAB = 200 - β - ACB = 72,1303 g
Considerando ora il triangolo ACD:
ACD = ACB + (400 - δ) = 128,1917 g
AD = wAC2 + CD2 - 2 AC CD cos ACD = 218,323 m
CD2 + AD2 - AC2
ADC = arccos---------------------------= 48,7531 g
2 CD AD
CAD = 200 - ACD - ADC = 23,0552 g
Si possono pertanto ricavare le aree dei due triangoli, applicando la formula :
A(PCD) = 1/2 CD
A(ABP) = 1/2 AB
2
2
( senBCD senADC ) / sen (BCD + ADC) = 2.851,21 m
( senDAB senβ ) / sen (DAB + β) = 4.641,15 m
2
2
essendo DAB = CAB - CAD = 49,0751 g.
L'area del triangolo ABP risulta dunque più grande di quella del triangolo PCD di:
∆ = 4.641,15 - 2.851,21 = 1.789,94 m2
Tale area dovrà essere restituita al proprietario dell'appezzamento ABCDE, mediante il trapezio A'ADD'. Si ricavano
quindi ì due angoli adiacenti alla base AD di tale trapezio:
DAA' = 200 - α + DAB = 150,2709 g
ADD' = 200 - δ - ADC = 115,5621 g
Per cui, applicando la formula del trapezio:
A'D' = wAD2 - 2 ∆ (cot DAA' + cot ADD') = 228,404 m
Valtezza del trapezio si ricava dalla formula inversa dell'area:
h = 2∆ /(AD + A'D') = 8,014 m
Per cui le distanze cercate risultano:
AA'= h/sen DAA' = 11,381 m
DD' = h/ sen ADD' = 8,259 m
Seconda modalità
Per calcolare l'area del poligono intrecciato ABCD si devono determinare le coordinate dei vertici della poligonale
ABCD. Allo scopo si assume un sistema di assi avente origine in A ed asse delle ordinate diretto lungo AE (v. figura).
Gli azimut della poligonale si ricavano con la formula di trasporto:
θAB = α = 98,8042 g
θBC = θAB + β + 200 = 383,1757 g
θCD = θBC + γ - 600 = 98,4822 g
Poiché le distanze sono note si possono subito ricavare le coordinate dei vertici:
XB = AB senθAB = 108,984 m
Xc =XB + BC sen θBC = 68,138 m
XD = Xc + CD sen θCD = 153,720 m
YB = AB cos θAB = 2,047 m
Yc = YB + BC cos θBC = 152,992 m
YD = Yc + CD cos θCD = 155,033 m
Dalle coordinate, applicando la formula di Gauss, si può ricavare direttamente l'area del poligono intrecciato. Si noti che
se l'area risulterà positiva significherà che l'area del triangolo ABP (numerato in senso antiorario) prevale su quella del
triangolo PCR
∆= 1/2 [2,047(0 - 68,138) + 152,992(108,984 - 153,720) + 155,033(68,138 - O)] = 1.789,95 m
2
il risultato è positivo, uguale a quello ricavato nelta prima modalità. Ciò sta ad indicare quindi che il lato AD dovrà
essere spostato verso il vertice B (si noti come il numero di passaggi risulti inferiore rispetto alla precedente soluzione).
Per applicare la formula del trapezio si devono prima determinare la base AD e i due angoli adiacenti; si ha:
AD = w (xD2 + yD2) = 218,323 m
A'AD = 200 - θAD = 200 - arctan (xD/yD) = 150,2707 g
ADD' = 200 - δ - θDC + θDA = 115,5625 g
e quindi:
A'D' = w (AD2 - 2∆ (cotDAA' +cotADD') )= 228,404 m
L'altezza del trapezio si ricava dalla formula inversa dell'area:
h =2∆/ (AD+A'D')= 8,014 m
e, procedendo come nel caso precedente:
AA' = h/sen DAA' = 11,381 m
DD' = h/senADD' = 8,259 m
7. Un appezzamento di terreno di forma quadrilatera ABCD è individuato altimetricamente dalle due falde ABC
e ACD.
Conoscendo le coordinate e le quote dei vertici:
A(O; O; 5,456)
B(35,466; - 15,443; 7,554)
C(81,466; - 5,455; 5,649)
D(12,455; 33,566; 6,876)
si determini il volume di terreno necessario per realizzare lo spianamento nei seguenti casi:
a) piano orizzontale a quota 5,000 m;
b) piano orizzontale a quota 10,000 m.
SQLUZlONE
Caso a
Determiniamo le quote rosse nei vertici per stabilire se si tratta di spianamento di sferro, riporto o misto (vedi figura):
rA = 5,000 - 5,456 = - 0,456 m
rC = 5,000 - 5,649 = - 0,649 m
rB = 5,000 - 7,554 = - 2,554 m
rD = 5,000 - 6,876 = - 1,876 m
Dato che tutte le quote rosse sono negative, lo spianamento sarà completamente di sferro. Per calcolare il volume
necessario, calcoliamo le aree delle due falde con la formula di Gauss:
A(ABC) =1/2 n yi(xi-1 -xi+1) = 1/2[yB (-xc) + yc (xB)] = 532,31 m
2
A(ACD) =1/2 n yi(xi-1 -xi+1) = 1/2[yC (-xD) + yD (xC)] = 1.401,21 m
2
Il volume di sterro risulta quindi (ignorando i segni meno delle quote rosse, tutti negativi):
Vst = A(ABC) (rA + rB + rC)/3 + A(ACD) (rA + rC + rD)/3= 649,24 + 1.392,34 = 2.041,58 m3
Caso b
In questo caso lo spianamento è di solo riporto, poiché le quote rosse sono tutte positive:
rA = 10,000 - 5,456= 4,544 m
rC = 10,000 - 5,649 = 4,351 m
rB = 10,000 - 7,554 = 2,446 m
rD = 10,000 - 6,876 = 3,124 m
Il volume di riporto totale .risulta:
Vrip = A(ABC) (rA + rB + rC)/3+ A (ACD) (rA + rC + rD)/3= 2.012,31 +5.613,71 = 7.626,02m3
ESAME DI STATO PER GEOMETRI - ANNO 1998
La proprietà fondiaria quadrilatera di vertici 1324, per motivi di successione testamentaria, deve essere divisa in
due parti equivalenti.
I benefici ari decidono di realizzare il frazionamento con una dividente MN parallela al lato U e convengono,
altresì, che quella dividente rappresenti l'asse di un canale per uso irriguo, di comune proprietà.
Il tecnico preposto all'espletamento dell'incarico professionale decide, indipendentemente dalle coordinate
cartografiche planimetriche lette sugli atti catastali, di ridefinire la geometria di quel fondo mediante un
opportuno rilevamento, i cui risultati, comprensivi delle quote, conseguenti alle misurazioni e ai relativi calcoli,
sono qui riportati.
X1= 236,80 m
y 1= 172,40 m
Q1=201,OO m
X2 =576,10 m
Y2 =368,40 m
Q2 =207,90 m
X3 = 616,00 m
Y3= 960,10 m
Q3=202,80 m
X4 = 208,50 m
Y4=840,20 m
Q4= 191,10 m
Le due falde piane 124 e 234 definiscono l'orografia del fondo. L'asse del canale sarà costituito da un'unica
livelletta con quota rossa uguale a zero nel punto N, e con pendenza negativa da N verso M. TI valore di essa
sarà scelto dal candidato che fisserà anche la larghezza del fondo del canale e le scarpe delle sue sponde.
Il candidato, dopo aver determinato le distanze 1M e 2N (M sulla 14, N sulla 23), disegni, per la definizione di
quel progetto, la planimetria della proprietà fondiaria e del frazionamento, il profilo longitudinale lungo l'asse
del canale e un congruo numero di sezioni trasversali adottando opportunamente le scale di rappresentazione.
Determinazione della nuova dividente
Per il disegno della planimetria, assumiamo che le coordinate assegnate siano riferite ad un sistema di assi avente l'asse
X come asse delle ascisse e l'asse Y come asse delle ordinate, non essendo specificato nel testo che si tratta di
coordinate catastali.
I Si calcola innanzi tutto l'area AT dell'intero appezzamento 1234, metà della quale dovrà essere assegnata alle due parti
i derivate. Poiché si dispone delle coordinate dei vertici, risulta più pratico applicare la formula di Gauss :
AT = nYi(Xi-1 - Xi+i) = 234.233m2
Essendo la nuova dividente parallela al lato 12 si applica il problema del trapezio, calcolando dapprima la lunghezza
della base 12 e i due angoli adiacenti:
12 = w (X2 - Xl)2 + (Y2 - Y1) 2 = 391,84 m
α = θ12 - θ.14 + 400 gon = 69,3481 gon
β = θ23 - θ21 + 400 gon = 137,6345 gon
essendo:
θ12 = arctan (X2)1/(Y 2)1 = 66,6519 gon
θ.14 = arctan (X4)1/(Y4)1 + 400 gon = 397,3037 gon
θ23 = arctan (X3)2/(Y3)2 = 4,2864 gon
θ21 = θ12 + 200 gon = 266,6519 gon
Applicando ora la formula risolutiva del problema del trapezio, si ottiene la lunghezza della nuova dividente:
MN = w (1-2) - 2AT( cot α + cot β )= 434,03 m
2
Ricavando ora l'altezza del trapezio dalla formula dell'area si possono determinare le distanze richieste dal
tema:
h = 2AT/ (1-2) + MN)=283,62m
1M =h/sen α= 320,00 m
2N = h/sen β= 341,59 m
Nella figura 1 è riportata la planimetria della proprietà con indicazione della nuova dividente.
Determinazione della pendenza del canale
Calcoliamo dapprima le quote del terreno in corrispondenza dell'asse del canale (punti M ed N), tenuto conto
che l'appezzamento di terreno è costituito dalle due falde piane 124 e 234. Si conviene di indicare con Q le
quote del terreno e con q quelle di progetto.
QN = Q2 + 2N (Q3-Q2)/ 23 =204,96 m
QM = Q1 + 1M (Q4-Q1)/ 14 =196,26 m
essendo:
23 =w q (X3 - X2)2 + (Y3 - Y2)2r = 593,04m
14 =w q (X4 - X1)2 + (Y4 - Y1)2r = 668,40m
Prima di determinare la pendenza di progetto è necessario calcolare la quota del terreno nel punto P di intersezione della
congiungente 24 con l'asse del canale. Si ha:
4P = 4M/ senMP4 = 311,76 m
δ1 = θ41 - θ42 = 39,4412 gon
MP = 4M/ sen (α+δ1) sen δ1= 204,25m
Qp = Q4 +4P (Q2-Q4)/ (24)= 199,86 m
Per la scelta ottimale della pendenza, trattandosi di un canale ad uso irriguo, si dovrebbe utilizzare un valore compreso
tra 0,06 e 0,10%, affinché la velocità dell'acqua non risulti troppo elevata, per evitare fenomeni di erosione delle sponde
e del fondo. Tale valore risulta però in disaccordo con la pendenza massima della congiungente MN (si noti che si tratta
di una spezzata, appartenendo a due falde diverse), che risulta pari rispettivamente a:
tratto NP: (199,86 - 204,96)/229,79= -2,22%
tratto PM: (196,26 - 199,86)/204,25= -1,76%
Le pendenze del terreno sono molto elevate per la realizzazione di un canale ad uso irriguo, tali comunque da richiedere
la realizzazione di particolari accorgimenti costruttivi del canale. Continuiamo comunque nello svolgimento dell'
esercizio assumendo che il canale in progetto rappresenti il tronco di un canale irriguo avente larghezza del fondo di 2
m, profondità iniziale di 2 m e pendenza uniforme del 2,3% (valore esagerato dal punto di vista idraulico, ma tale da
mantenere una profondità minima di 2 m e non ottenere un canale pensile).
In tali ipotesi le quote di progetto di fondo del canale risultano:
qN = QN - 2,0 = 202,96 m
qM = qN - MN . 0,023 = 192,98 m.
qP =qM + MP. 0,023 = 197,68 m
Le differenze tra le quote del progetto e quelle del terreno (quote rosse), corrispondenti alla profondità del canale
rispetto al piano campagna risultano quindi:
rN = 202,96 - 204,96 = - 2,00 m
rM = 192,98 -196,26 = - 3,28 m
rp = 197,68 - 199,86 = - 2,18 m
Per il disegno delle sezioni trasversali, è necessario determinare la pendenza del terreno perpendicolarmente all'asse del
canale. Tale pendenza risulterà diversa a seconda che si considerino le falde piane 124 o 234. Per il calcolo si I mandino
da M e da N le perpendicolari all'asse del canale, fino ad intersecare in R ed S rispettivamente i lati 12 e 34. Si
determinano quindi le distanze di tali punti dai vertici 1 e 3. Per il triangolo M1R:
1R = 1M. cos α = 148,19m
MR = 1M. Sen α = 283,63 m
E per il triangolo SN3:
SN3 = β - 100 = 37,6345 gon
S3N = θ34 - θ32 = 77,4962 gon
3S = 3N/ sen (SN3 + S3N) x sen SN3 = (23 - 2N)/sen (SN3 + S3N) x senSN3 = 114,20m
NS= 3N/sen (SN3 + S3N) x sen S3N = 242,73 m
Le quote dei punti R ed S risultano pertanto:
QR = Q1 + 1R (Q2 -Q1)/ 12= 203,61 m
QS = Q3 + 3S (Q4 -Q3)/ 34= 198,83 m
Le pendenze del terreno perpendicolarmente all'asse del canale p1 e p2 risultano quindi, rispettivamente
nelle due falde 124 e 234:
P1 = (QM - QR)/ MR= -2,59%
P2 = (Qs - QN )/NS= -2,53%
Nelle figure 3, 4 e 5 riportiamo le tre sezioni trasversali ritenute più rappresentative, effettuate rispettivamente in
corrispondenza dei punti N, P e M. Si è assunto come riferimento per il tracciamento delle sezioni quello relativo al
senso di scorrimento dell'acqua, in modo che la destra della sezione corrisponda alla destra idraulica. Per completare il
tracciamento delle sezioni si è ipotizzato che la pendenza del terreno oltre le falde sia costante, in quanto non si hanno
dati a disposizione per calcolarla.