Misurazione
• Le osservazioni si esprimono in forma di misurazioni
• Misurazioni categoriche
– Maschio/ femmina
– Provincia di residenza
• Misurazioni numeriche
– Età
– Altezza
• Diversi tipi di misurazione richiedono diverse tecniche di
analisi statistica
Scale nominali
• Una scala nominale consiste in un insieme di
categorie ciascuna delle quali è associata ad un
nome
–
–
–
–
Rosso
Blu
Verde
Giallo
• Le scale nominali non consentono di quantificare
le differenze fra due individui appartenenti a
categorie diverse
Scale ordinali
• Una scala ordinale consiste in un insieme ordinato
di categorie
–
–
–
–
licenza elementare
licenza media
licenza di scuola superiore
laurea
• Le scale ordinali non consentono la
quantificazione della differenza fra due categorie
Scale ad intervalli
• Una scala ad intervalli consiste in un insieme
ordinato di categorie dove ogni categoria
corrisponde ad un intervallo e dove tutti gli
intervalli sono della stessa grandezza
– 0-10 anni
– 11-20 anni
– 21-30 anni
• Una scala ad intervalli consente di misurare la
differenza fra due individui appartenenti a
categorie diverse
Variabili discrete
• Una variabile discreta rappresenta un
insieme di categorie distinte e indivisibili
– Maschi
– Femmine
Variabili continue
• Una variabile continua può assumere un
numero infinito di diversi valori
– 9,1
– 9,12
– 9,145
ecc.
Rappresentare le variabili
Variabile
discreta
Scala nominale
Scala nominale
Codice studente Sesso Anno di nascita Anno di immatricolazione Esami completati
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Scala
ordinale
Scala
ordinale
Distribuzione di frequenza
• Una distribuzione di frequenza è una tabella
che mostra il numero di individui /
osservazioni appartenenti a ciascuna
categoria appartenente ad una scala di
misura
Voti di esame
N=10
Proporzioni/percentuali
p
f
N
%  p (100)
N=10
Scala Ordinale
Permette si ordinare tra loro i valori, stabilendo
che una categoria è > o < rispetto ad un’altra, oltre
che la possibilità di stabilire rapporto di
uguaglianza tra variabili
STATISTICHE POSSIBILI:
•
Moda - Mediana
•
Quartili
•
NdE
Distribuzioni di frequenza
• Primo passaggio: dato che sono variabili di
tipo ordinale, ORDINARE la tabella
secondo una relazione d’ordine crescente o
decrescente
• Secondo passaggio: Calcolare la frequenza
assoluta, la frequenza cumulata e la
percentuale cumulata
Distribuzione di frequenza
Esempio:
Ord. Crescente
Ord. Decrescente
Statistiche della distribuzione
Centrale: Mediana (Mdn)
MEDIANA: Valore che sta in posizione
centrale.
CASO 1: numero complessivo di valori dispari
FORMULA:
Mdn=(N+1)/2
Statistiche della distribuzione
Centrale: Mediana (Mdn)
CASO 2: numero di valori complessivo pari.
FORMULA:
Mdn = (N+1)/2 e N/2
Statistiche della distribuzione
Centrale: Mediana (Mdn)
• Mediana come indice con POSIZIONE centrale.
• Ruolo della Frequenza cumulata
• Nel caso di numerosità pari abbiamo 2 valori di
mediana perché non esistono valori intermedi.
Numerosità dispari
Numerosità pari
Indici di Posizione: QUARTILI
• I quartili dividono in quattro uguali la
distribuzione (ossia in quattro blocchi che
contengono ognuno il 25% dei casi)
• I valori assunti dai quartili vengono indicati con
Q1, Q2, Q3
Indici di Posizione: QUARTILI
FORMULA:
Quartile = (N+1) * p/4
p = 1, 2, 3 per Q1, Q2, Q3
Indici di Posizione: QUARTILI
• I quartili sono dei valori assunti dalla
varibile in una posizione precisa.
• La mediana (nel caso in cui la numerosità
sia dispari) coincide con il secondo quartile
Indici di Posizione: QUANTILI
FORMULA:
Quantile = (N+1) * p/q
p: posizione
q: numero di suddivisioni
SCALA INTERVALLO / A RAPPORTO
• Possibili rapporti di uguaglianza (livello nominale).
• Possibili rapporti di ordine (livello ordinale).
• Esiste un’unità di misura (intervallo) che permette di
stabilire la distanza fra 2 categorie.
• Per definire le statistiche bisogna definire se le variabili
sono di tipo discreto o continuo.
STATISTICHE:
• Moda - Mediana – Media
• Quartili – Quantili
• NdE –– Range – Varianza – Deviazione standard
Distribuzione di frequenza
Difficoltà nel riassumere i dati a causa di un numero
di categorie elevato (nel caso di valori discreti
NdE>18) o perché la variabile è di tipo continuo.
Raccogliere i valori in Intervalli di Classe
Intervalli di Classe
• Esempio classico: l’età
• L’importanza di definire un valore “spartiacque”:
le categorie devono possedere un limite superiore
e un limite inferiore
• Si abbrevia l’analisi statistica dei dati, si facilita la
rappresentazione grafica e la costruzione delle
tabelle di frequenza
Come costruire gli Intervalli di Classe
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Individuare il valore Max e il valore Min.
Definire il Range di distribuzione dei dati.
RANGE = MAX – MIN
Dividere il Range per il numero di intervalli che si vuole
ottenere.
Arrotondare l’ampiezza ottenuta ad un numero intero.
Si definisce un primo intervallo che contenga il valore
minimo facendo in modo che i limiti grezzi siano dei
multipli dell’ampiezza dell’intervallo.
Si procede ad attribuire i valori ai singoli intervalli.
Come costruire gli Intervalli di Classe
Esempio: 80 Valori raccolti
1.
2.
3.
4.
5.
6.
MAX = 97; MIN = 53
RANGE = 97 – 53 = 44
AMPIEZZA INTERVALLO: 10 CLASSI AMPIEZZA = 4,4
AMPIEZZA = 5 (Arrotondata in eccesso)
VALORE MINIMO = 50 (Multiplo dell’ampiezza intervallo; comodo per i calcoli). PRIMA
CLASSE 50 –54; ULTIMA 95 – 99
LIMITI ESATTI: A META’ TRA LA FINE DI UNA CLASSE E L’INIZIO DELLA
SUCCESSIVA (Esempio 54,5)
Come costruire gli Intervalli di Classe
GRAFICI
•
•
•
•
Istogramma
Poligoni di frequenza
Ogiva
Diagrammi a barre
ISTOGRAMMA
Diagramma a rettangoli accostati ad indicare la
natura intervallare dei dati. L’area di ciascun
poligono rappresenta PROPORZIONALMENTE la
frequenza di un intervallo di classe.
Poligono di frequenza
Il poligono di frequenza (o “spezzata di
frequenze”) è simile all’istogramma ma sono
utilizzati i valori centrali uniti da una linea.
Curva di frequenza
Quando l’ampiezza di
ciascuna classe è molto
piccola ed il numero
totale delle classi è
molto
elevato
la
spezzata di frequenze
tende ad una curva
continua che si chiama
“curva di frequenza”.
OGIVA
L’ogiva o Grafico delle Frequenze cumulate è
una curva in cui vengono utilizzati i valori
centrali dei poligoni di frequenza cumulata.
Rappresentazione grafica di un carattere discreto :
I diagrammi a barre
Quando una variabile è
di
tipo
intervallare
discreta e non è la sua
distribuzione
di
frequenza non è raccolta
secondo
classi
di
intervalli (basso NdE),
allora i dati vengono
rappresentati con un
grafico
che
si
chiama”diagramma
a
barre”.
Rappresentazione grafica di un carattere discreto :
I diagrammi a barre
Diagramma della frequenza cumulata: diagramma a gradini.
Permette di confrontare i dati tra loro.