Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
v1
v2
θ1
l
NODO 1
x = x1
θ2
x
NODO 2
x = x2
Trave caricata nei nodi,
assenza di sforzo normale
Scelta della funzione interpolante gli spostamenti:
vx  f (v1 , v2 ,1 ,2 , x)
v(x  x1 )  v1
dv
dx
 1
x  x1
Università degli Studi di Firenze
Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
t.c.
v(x  x2 )  v2
dv
dx
 2
x  x2
Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 1/NDIAP
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Sia il sistema di coordinate fissato tale che: x1 = 0 e x2 = l.
Si assume che la funzione interpolante sia del tipo:
v( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  a 3 x 3
Imponendo le 4 condizioni al contorno troviamo le 4 costanti:
v( 0 )  v1  a0
a 0  v1
v(l)  a0  a1l  a2l 2  a3l 3  v2
a1  1
dv
 v1  1
dx 0
a2 
dv
 a1  2a2l  3a3l 2  2
dx l
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Corso di Meccanica Computazionale
3
1


21  2 
v

v

2
1
l2
l
2
1
a3  2 v1  v2   2 1  2 
l
l
Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 2/NDIAP
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Quindi:
v( x)  1 ( x)v1  2 ( x)1  3 ( x)v2  4 ( x)2
dove:
3x 2 2 x 3
 1 ( x)  1  2  3
l
l
2x 2 x 3
 2 ( x)  x 
 2
l
l
3x 2 2 x 3
 3 ( x)  2  3
l
l
x3 x2
 4 ( x)  2 
l
l
Funzioni di forma Hermitiane:
Sono di ordine almeno C1, ciò significa che rendono sia v che dv/dx continui
tra due elementi adiacenti.
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Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 3/NDIAP
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Calcoliamo
la
matrice
di
rigidezza
dell’elemento
k(e) utilizzando
discretizzazione del PLV (equilibrio in forma debole):
l
k ( e )   BT EB dx
0
B   cinΩ
dove:
Ω  [1  2  3  4 ]
 cin
 d2 
 2
 dx 
 d 21 d 22 d 23 d 24 
B   cinΩ   2

dx 2
dx 2
dx 2 
 dx
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Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
Operatore cinematico
Matrice delle funzioni di forma
per le deformazioni
Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 4/NDIAP
la
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Calcoliamo la matrice delle funzioni di forma per le deformazioni:
 d 21 d 22 d 23 d 24 
B   cinΩ   2
2
2
2 
dx
dx
dx
dx


d 2 1
dx 2
d 2 2
dx 2
d 23
dx 2
d 2 4
dx 2
6 12 x
 3
2
l
l
4 6x
  2
l l
6 12 x
 2 3
l
l
2 6x
  2
l l

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Dipartimento di Ingegneria Civile
Corso di Meccanica Computazionale
 6 12 x
B   2  3
l
 l

4 6x
 2
l l
6 12 x
 3
2
l
l

Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 5/NDIAP
2 6x 
 2
l l 
Trave inflessa indeformabile a taglio (Bernoulli)
Quindi, la matrice di rigidezza dell’elemento k(e) è:
4 6 x 6 12 x
2 6x 
 6 12 x
B   2  3   2 2  3   2 
l
l l l
l
l l 
 l
l
k ( e )   BT EB dx
dove:
E  EJ 
0
l
l
l
0
0
0
k ( e )   BT EB dx   BT EJ Bdx  EJ  BT Bdx
Ad esempio:
k11( e )
2
EJ
 6 12 x 
 EJ    2  3  dx  ...  12 3
l
l 
l
0
l
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Claudio Borri
(rev. 21/12/2015) Capitolo 2: 6/NDIAP