UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE
SEDE DI BRESCIA
Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali
CORSO DI LAUREA IN FISICA
EFFETTO AHARONOV-BOHM
Laureando: Luigi Carbut
Anno Accademico 2003/2004
Che cos’è l’effetto Aharonov-Bohm
● Y. Aharonov e D. Bohm, Significance of Electromagnetic
Potentials in the Quantum Theory, Phys. Rev. 115, 485 (1959).
Proposti due tipi di esperimenti di interferenza di elettroni, per
mostrare quale significato assumono i potenziali elettromagnetici
in meccanica quantistica.
Effetto AB elettrico (scalare)
Effetto AB magnetico (vettore)
● Essenzialmente, due fasci di elettroni acquisiscono una
differenza di fase passando attraverso regioni in cui i campi sono
nulli, ma i potenziali no.
Effetto Aharonov-Bohm elettrico
● Elettrone in una “gabbia di Faraday”, collegata ad un generatore.
Il potenziale sulla gabbia varia nel tempo.
- L’Hamiltoniano all’interno della gabbia è:
H  H 0  V (t ) ,
V (t )  e (t ) .
- La soluzione dell’equazione di Schrödinger per l’Hamiltoniano H è:
   0e iS ,
S   V t dt .
Effetto Aharonov-Bohm elettrico
●
Fig.1: Esperimento schematico per verificare l’effetto AB elettrico.
- Il potenziale varia nel tempo, in maniera differente in ogni tubo.
- Il potenziale è non nullo solo mentre gli elettroni sono ben dentro
i tubi.
Gli elettroni non si trovano mai in un campo elettrico.
Effetto Aharonov-Bohm elettrico
- La funzione d’onda quando il potenziale è assente può essere
scritta come somma di due contributi
 ( x, t )   01 ( x, t )  02 ( x, t ) .
- Per ciascun tubo, il problema è lo stesso della gabbia di Faraday.
- La funzione d’onda in F, quando il potenziale varia nel tempo, è:
  e
1  iS1 
0
S1  e 1 t dt ,
 e
2  iS2 
,
0
S 2  e 2 t dt .
- C’è un termine di interferenza, che dipende dalla differenza di
fase
S1  S 2 e
  1 t   2 t dt .


Effetto Aharonov-Bohm magnetico
●
Fig.2: Esperimento schematico per verificare l’effetto AB magnetico
- Il campo magnetico è confinato all’interno del solenoide; gli
elettroni non toccano né attraversano il solenoide.
Gli elettroni attraversano regioni a campo magnetico nullo.
Effetto Aharonov-Bohm magnetico
- L’Hamiltoniano è:
2

1  e 
H   p  A .
2m  c 

● In regioni semplicemente connesse dove B  0 , la soluzione per
l’equazione di Schrödinger è:
   0e
 iS 
,
e  
S   A  dx .
c l
● Nell’esperimento discusso si ha a che fare con una regione
molteplicemente connessa.
Non è possibile trovare una funzione S accettabile globalmente.
Effetto Aharonov-Bohm magnetico
- Si separa la funzione d’onda in due parti
 ( x, t )   ( x, t )  ( x, t ) .
1
2
- Ciascun fascio si trova in una regione semplicemente connessa.
- La funzione d’onda in F è:
   01eiS1   02e iS2  ,
e  
S1   A  dx ,
c l1
e  
S 2   A  dx .
c l2
- C’è un termine di interferenza, che dipende dalla differenza di
fase
S1  S 2 e   e
  A  dx   0 .

c
c
- Spostamento delle frange di interferenza rispetto all’inviluppo.
Osservazioni
● Effetto puramente quanto-meccanico: sugli elettroni non agiscono
forze.
● In meccanica quantistica una particella carica può essere
influenzata dai potenziali, anche se si trova in regioni a campi nulli.
● Gli effetti dei potenziali possono essere espressi in termini dei
campi (dipendono da quantità gauge-invarianti).
MA
I campi interagiscono solo localmente.
Gli effetti ottenuti non possono essere interpretati come dovuti ai
campi stessi; i potenziali devono essere considerati come aventi
fisicamente effetto.
Le verifiche sperimentali
● Effetto AB magnetico:
- R. G. Chambers (1960): whisker;
- G. Möllenstedt e W. Bayh (1961-62): solenoidi;
- A. Tonomura et al. (1982, 1986): ferromagneti toroidali.
● Effetto AB elettrico:
difficoltà tecniche concernenti gli interferometri elettronici.
● Oscillazioni della conduttanza di anelli mesoscopici metallici e
semiconduttori.
Anelli metallici interrotti da giunzioni
ad effetto tunnel
● A. van Oudenaarden et al. (1997): studio della conduttanza di
anelli attraversati da un flusso magnetico e ai cui rami è applicata
una differenza di potenziale.
Verifica degli effetti AB magnetico ed elettrico.
● Utilizzo di giunzioni ad effetto tunnel.
Possibilità di applicare una tensione ben definita e controllabile tra
le due metà dell’anello.
Anelli metallici interrotti da giunzioni ad effetto tunnel
●
Fig.3: (a-b) Modello del processo di tunneling che avviene nell’anello.
(c) Scansione al microscopio elettronico dell’anello.
- Dimensioni dell’anello: 0.9m  0.9m .
- Larghezza dei rami: 60 nm.
Anelli metallici interrotti da giunzioni ad effetto tunnel
● Differenza di fase tra l’elettrone e la lacuna, dovuta al campo
magnetico:
B  2ecBS h.
Oscillazioni della conduttanza in funzione di B con periodo:
hc eS .
● Differenza di fase elettrostatica tra l’elettrone e la lacuna, dovuta
alla differenza di energia:
V  2eVt0 h .
Oscillazioni della conduttanza in funzione di V con periodo:
h et0 .
Anelli metallici interrotti da giunzioni ad effetto tunnel
●
Fig.4: Conduttanza G dell’anello
in funzione del campo magnetico
B, a T = 20 mK e V = 500 V .
Nel riquadro: spettro di Fourier
di GAB (la conduttanza privata
delle fluttuazioni aperiodiche), in
funzione
delle
“frequenze”
magnetica  B ed elettrica  V .
- Periodo osservato: 5 mT; periodo previsto 5.3 mT.
- Picchi dello spettro di Fourier:  B = ± 0.2 mT-1;  V = ±0.1 V 1.
Anelli metallici interrotti da giunzioni ad effetto tunnel
●
Fig.5: Conduttanza GAB dell’anello
in funzione del campo magnetico
B, a T = 20 mK e per tensioni
intervallate di 0.48 V . Le tracce
sono intervallate di 5 S .
- Traccia a: V = 519 V ;
- Traccia b: V = 516.5 V ;
- Traccia c: V = 514 V.