Dall’ugello della doccia sgocciola l’acqua cadendo sul fondo posto 2.00 m
più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari. La quarta goccia si
stacca nel momento in cui la prima arriva la suolo. Trovare le posizioni della
seconda e terza goccia in quell’istante.
Appli
cazio
ne
• Ogni quanto tempo cade una goccia?
– Nel tempo impiegato da una goccia a percorre i 2 metri di dislivello ne
sono cadute 3 (sono trascorsi 3 intervalli).
– E’ essenziale capire quanto tempo una goccia impiega a percorrere i 2
metri tra l’ugello e il fondo.
• Studiamo il moto di una goccia:
– il moto è uniformemente accelerato, accelerazione di gravità.
– Facciamo partire il cronometro nell’istante in cui la goccia si stacca
dall’ugello.
– Fissiamo un asse di riferimento verticale, orientato verso l’alto, con
l’origine sul fondo.
– Con questa scelte le condizioni iniziali sono:
• xo=2m
• vxo=0m/s
• axo=-g=-9.81m/s2 l’accelerazione di gravità è diretta verso il basso
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• La legge oraria della goccia sarà:
x(t)  x o  12 gt 2
v x (t)  gt
x(t f )  x o 
2
1
gt
2
f
L’istante tf in cui la goccia tocca il fondo si può
calcolare imponendo che la posizione in
quell’istante sia nulla:
2x o
 0  tf  

g
Appli
cazio
ne
2  2m
 .63s
m
9.81 s 2
La durata del moto della goccia è dato da
tf -ti
Poiché ti è uguale a zero la durata è tf =.63s
L’intervallo tra una goccia e la successiva è un
terzo di questo valore Dt=.21s
Per sapere dove si trovano le gocce due e tre nel momento in cui la
prima tocca il fondo, basterà calcolare dove si trovava la goccia 1 dopo
un Dt e dopo due Dt.
x(Dt)  xo  12 gDt 2  2m  12 9.81 .212 1.78m
x(2Dt)  x o  12 g2Dt 2  2m  12 9.81 .422  1.13m
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Per provare una palla da tennis la si lascia cadere da una altezza di 4.00 m
dal pavimento. Rimbalza fino ad un altezza di 2.00 m. Se è stata in contatto
con il suolo per 12.0 ms, qual è stata la sua accelerazione media durante il
contatto.
Appli
cazio
ne
• La palla da tennis arriva al suolo con una velocità diretta verso il
basso
• Poiché rimbalza verso l’alto, riparte dal suolo con una velocità diretta
verso l’alto.
• C’è stata quindi una variazione di velocità. C’è stata una
accelerazione!
• Fissiamo l’asse y di riferimento diretto l’alto, coincidente con la
verticale passante per il punto di impatto, con l’origine nel punto di
impatto.
a my 
vyf  vyi
Dt
Occorre calcolare la velocità finale e
quella iniziale sull’intervallo di tempo in
cui la palla è a contatto con il suolo.
La velocità iniziale è quella con cui arriva
al suolo dopo la caduta di 4 m
La velocità finale è quella con cui riparte
dal suolo.
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• Il moto di caduta è un moto uniformemente accelerato (accelerazione
di gravità)
• Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far partire il
cronometro nel momento del lancio, le condizioni iniziali valgono:
– yo= 4.00m
– voy=0m/s
– aoy=-g=-9.81m/s2
Appli
cazio
ne
y(t)  y o  12 gt 2
v y (t)  gt
• La legge oraria vale:
• L’istante in cui la palla raggiunge il suolo si ottiene imponendo che
y(tf)=0 (va preso l’istante positivo, il suolo viene raggiunto dopo che
la palla è partita)
y(t f )  y o  12 gt 2f  0  t f  
• La velocità in quell’istante sarà:
2yo

g
2  4m
 .903s
m
9.81 s 2
v y (t)  gt f  9.81 ms2 .903s  8.85 ms
• Il valore che abbiamo trovato è il valore della velocità iniziale da
utilizzare nella formula dell’accelerazione media.
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• Per calcolare la velocità finale da usare nella formula
dell’accelerazione media dobbiamo studiare il moto di risalita.
• Anche il moto di risalita è un moto uniformemente accelerato
(accelerazione di gravità)
• Nel sistema di riferimento scelto, supponendo di far ripartire il
cronometro nel momento in cui la palla lascia il suolo, le condizioni
iniziali valgono:
– yo= 0.00m
– voy=? da determinare
– aoy=-g=-9.81m/s2
y(t)  v oyt  12 gt 2
v y (t)  voy  gt
• La legge oraria vale:
• Ricavando il tempo dalla seconda eq. e sostituendo nella prima: t  
vy  vo y 
v y  vo y 

1 


gt  vo y 
2g 




g
g 
2
y
v o yt   12
y
vo yvy
• Da cui:
g

Appli
cazio
ne
v y  voy
g
2
v 2o y
g
 12 g
v 2y
g
2
 12 g
v2o y
2
g
g
v o yv y
2
g

1
2
v2o y
g
2
v
1 y
2
g
v 2y  v2oy  2gy
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Appli
cazio
ne
• Abbiamo ottenuto l’espressione della velocità in funzione dalla
posizione
v 2y  v2oy  2gy
• Il modulo della velocità a parità di posizione è lo stesso sia nel moto
di risalita che in quello di discesa.
• Quando la coordinata y è 2m, il punto più in alto della traiettoria, la
velocità è nulla:
2
 vo y  2gy max
• Possiamo ricavare voy:
v o y  2gy max  2  9.81m s 2  2m  39.24 m
2
s2
 6.26 m s
• Ciò che abbiamo trovato è la velocità finale relativa all’intervallo di
tempo in cui la palla è a contatto con il suolo.
• L’accelerazione media in questo intervallo di tempo vale dunque:
a my 
v yf  v yi
Dt
6.26 m s  8.85 m s 

 1256 ms 2
3
12  10 s
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Accelerazione in funzione della
posizione
• In alcuni casi l’accelerazione è nota in funzione della posizione del
punto materiale ax(x).
– Quindi non si conosce direttamente ax (t), ma la dipendenza dal
tempo è nota solo attraverso la legge oraria x(t), ax (x(t)).
dv x (t)
 a x (x)
dt
• L a definizione di accelerazione ci dice che in ogni intervallo
infinitesimo dt, il rapporto tra la variazione di velocità dvx e l’intervallo
di tempo dt è proprio uguale all’accelerazione.
• Indichiamo con dx lo spostamento infinitesimo subito dal punto
materiale nell’intervallo di tempo dt
– Se il corpo non è fermo, dx sarà in generale piccolo (infinitesimo)
ma diverso da zero.
– Possiamo allora moltiplicare entrambi i membri dell’equazione
precedente per dx
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Accelerazione in funzione della
posizione
• Otteniamo che in ogni intervallo infinitesimo dt vale la seguente
uguaglianza:
dv x
dx  a x (x)dx
dt
• Osservando che dx/dt è la velocità vx, si ottiene:
dx
dv x
 v xdv x  a x (x)dx
dt
v xdv x  ax (x)dx
• Sommando su tutti gli intervalli infinitesimi in cui abbiamo suddiviso
l’intervallo di osservazione del moto, otteniamo:
f
f
 v dv   a (x)dx
i
x
• Integriamo il primo membro:
f
 v dv
i
x
x
x
i
x
La variabile di integrazione è vx
La funzione integranda è f(vx)= vx
La primitiva F(vx)= v2x/2
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Accelerazione in funzione della
posizione
f
v2x  v 2xf v2xi
v xdv x    

2
2
i
 2 i

• Pertanto:
f
• In conclusione otteniamo:
v 2xf

v 2xi

f
 2 a x (x)dx
i
• Naturalmente per integrare il secondo membro doppiamo conoscere
l’espressione di ax(x).
• Esaminiamo il caso in cui l’accelerazione ax(x) è costante, ax(x)= axo.
v 2xf
 v 2xi

f

f
 2 a xodx  2a xo dx  2a xoxfi  2a xo (xf  x i )
i
i
• Chiamando, come al solito, vxi=vxo, xi=xo, xf=x(t) e vxf=vx(t)
v 2x (t)  v2xo  2a xo(x(t)  x o )
• Che ci da l’espressione di v in funzione di x
•
v 2x  v2xo  2axo (x  xo )
Da confrontare con quanto abbiamo già trovato nel moto di caduta dei gravi.
v 2y  v2oy  2gy
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La misura di g
• L’apparato sperimentale consiste in 12 coppie di fotocellule -fotodiodi
poste a distanza di 4 cm l’una dall’altra lungo la verticale.
• Una pallina viene fatta cadere tra le fotocellule
• Si misurano 11 intervalli di tempo impiegati dalla pallina per percorrere
lo spazio tra due fotocellule successive.
• Conoscendo la distanza tra due fotocellule successive si possono
misurare 11 valori di velocità media
vmi 
Dy
Dt
Dy
Dt1
Dt2
Dt3
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Relazione tra la velocità media e la
velocità istantanea
• Il moto viene studiato in un sistema di riferimento con l’asse y orientato
verso il basso
• Supponendo di far partire la misura dei tempi quando la pallina passa
davanti alla prima fotocellula, che viene anche assunto come origine
del sistema di riferimento, le equazioni del moto sono:
y(t)  v yo t 
1 gt 2
2
v y (t)  v yo  gt
vyo è la velocità con cui la pallina
arriva alla prima fotocellula:
Non è nulla se la pallina viene fatta
cadere da un po’ più in alto.
• Calcoliamoci la velocità media tra gli istante t1 e t2 (t2>t1)
• Dalla definizione
2
2
Dy y(t 2 )  y(t 1 ) v y ot 2  12 gt 2  v y ot 1  12 gt 1
vym 


Dt
t 2  t1
t 2  t1
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Relazione tra la velocità media e la
velocità istantanea
• Proseguendo:
vym 
v y ot 2 
 vyo 
1
2
gt 22
 vy ot 1 
2
1
gt
2
1
t 2  t1
t 2  t1   v y o
1
2g


v y ot 2  t 1   12 g t 2  t1
2
t2  t1
2

t 2  t 1

g
2
• la velocità media tra gli istante t1 e t2 è uguale alla velocità istantanea nel
istante di mezzo dell’intervallo stesso.
– Si osservi che questo risultato dipende dal fatto che la velocità varia
linearmente con il tempo
t t
v(
1
2
2
)
t1  t2
2
v ym
t1
t2
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La misura di g
• Allora mi calcolo gli istanti di tempo corrispondenti alla metà di
ciascun intervallo di tempo:
Dt 1
*
t1 
t *2
2
Dt 2
 Dt1 
2
• Riporto in un grafico i valori della
Dt 3
*
t 3  Dt 1  Dt 2 
velocità media in ciascun intervallo di
2
tempo (= alla velocità istantanea al
tempo intermedio) in corrispondenza del
tempo intermedio
• Risultato: mi costruisci il grafico della velocità istantanea
• Dalla teoria so che i punti devono essere allineati su una retta di
pendenza g
v y (t)  v yo  gt
• Mi calcolo, con un fit, la pendenza della retta ed ottengo g
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Osservazioni sulla prova
• Si osservi come l’errore nella misura dei tempi si ripercuote
maggiormente sugli intervalli di tempo più piccoli.
– Limitarsi a considerare solo i primi intervalli di tempo (più lunghi)
per fare la misura di g
• Ripetere la prova diverse volte, ed ottenere g come media delle varie
misure e diminuire così l’errore casuale.
• Verificare se le varie misure si distribuiscono secondo una curva a
campana.
–
–
–
–
E’ stato raggiunto il limite degli errori casuali?
Siamo affetti da errori sistematici ?
Come si può fare a stimare l’errore sistematico
L’orologio è tarato bene?
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Il moto smorzato
• Il moto smorzato si verifica quando l’accelerazione è proporzionale
all’opposto della velocità.
• ax=-bvx con b numero reale positivo.
– L’analisi dimensionale ci dice che b ha le dimensioni di un tempo alla
meno uno e, nel SI, si misura in s-1.
• Un’ accelerazione di questo tipo si ottiene quando un corpo si muove
in un fluido (liquido, gas).
• Supponiamo quindi di lanciare con una velocità iniziale non nulla vxo
un corpo in una regione di spazio in cui l’accelerazione è proporzionale
all’opposto della velocità. (per esempio moto di una barca su acque
tranquille dopo aver smesso di remare)
• Possiamo scrivere la seguente equazione differenziale:
dv x
 bvx
dt
• Si vede che la funzione vx(t)=0 è una soluzione dell’equazione
differenziale, essa però non soddisfa al problema delle condizioni
iniziali: non è la soluzione che va bene per noi
– La nostra soluzione non è identicamente nulla.
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Il moto smorzato
• Se la soluzione non è identicamente nulla, esistono degli intervalli di
tempo in cui vx è diversa zero.
• Limitandoci a tali intervalli di tempo possiamo dividere ambi i membri
per vx e moltiplicarli per dt
dv x
 bvx
dt

dvx
  bdt
vx
Equazione differenziale a
variabili separabili.
• In ciascuno degli infiniti intervalli infinitesimi dt, in cui abbiamo
suddiviso l’intero intervallo di osservazione del moto, la variazione di
velocità subita dal punto materiale diviso per la sua velocità è uguale
all’opposto del prodotto della costante b per dt.
• L’uguaglianza continuerà a valere anche quando sommo sugli infiniti
intervalli infinitesimi di tempo:

f
i
f
dv x
  bdt
vx
i

• i ed f rappresentano gli istanti iniziale e finale dell’intervallo di
osservazione del moto, i coincide con t=0s, f con il generico
istante t
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
f
i

f
dv x
  bdt
vx
i
Il moto smorzato
• Integriamo il primo membro:

f
dv x
vx
i

f
i
Variabile di integrazione vx
Funzione integranda 1/ vx
Primitiva log(vx)
dv x
vxf
vx (t)
f
 log vx i  log v x f  log vx i  log
 log
vx
vx i
vx o
• Integriamo il secondo membro:

f
i
• Otteniamo:
• Oppure:

f
 bdt  b dt  bt fi   bt f  bt i  bt
v x (t)
log
 bt
v xo
i

dalla definizio ne
della funzio ne
lo garitmonaturale
vx (t)
 e bt
vxo
v x (t)  v xoebt
• L’espressione della velocità in funzione del tempo.
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Il moto smorzato - studio del grafico
della velocità
• Abbiamo ottenuto per la velocità l’espressione: v x (t)  v xoe bt
• Indichiamo con
t=1/b la costante
di tempo del
moto, t
corrisponde
infatti ad un
intervallo di
tempo.
• In termini di t
la velocità
diventa:
v x (t) 
t
v xoe t
t
5t
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Il moto smorzato - studio del grafico
della velocità
• Si noti che, se vxo è diversa da zero, la velocità vx(t) è diversa da zero per
tutti gli istanti di tempo tra 0s ed infinito.
– A posteriori si giustifica dunque la divisione per vx.
• La velocità diminuisce con il passare del tempo
• Essa diminuisce di un fattore e=2.718 quando t aumenta di una costante
tt
 t
di tempo
v x (t  t) v xoe
1
1


e

• Tende zero per t che tende all’infinito
t
v x (t)
2.718
t
v
e
xo
• In realtà dopo 5 costanti di tempo il valore
della velocità si è ridotto a meno dell’un % del valore iniziale.
• La tangente al grafico all’istante iniziale (l’accelerazione iniziale) taglia
l’asse delle ascisse in un punto di ascissa pari a 1 costante di tempo.
– Questo è particolarmente utile quando si deve disegnare a mano un
esponenziale.
– Conviene prima disegnarsi la retta tangente al grafico nell’istante t=0s e poi,
lasciandosi guidare dalla retta tangente si disegna la curva.
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Il moto smorzato: la legge oraria
• Abbiamo ricavato l’espressione della velocità in funzione del tempo:
possiamo quindi risalire alla legge oraria.
x(t)  x o 
t
t
 v (t)dt  x   v
x
t 0s

x oe
t 0s
o
t
t
t t
t
e
dt  xo  v x o
dt
t0 s
la var iabile di itegrazione è t
la funzione integranda è
la primitiva è
F(t)  te
f(t)  e


t
t
t
t
• Si ottiene:
t
t
t

  t 

 
x(t)  x o  vxo te t 
 xo  vxo te t  v xo t  xo  v xot 1 e t 



t0 s
t

 
x(t)  x o  vxo t1  e t 


Per t che tende ad infinito
x(t) tende ad xo+vxot
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Il moto smorzato: la legge oraria
vxot
t
5t
t

 
x(t)  x o  vxo t1  e t 


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Il moto smorzato: la velocità in funzione
della posizione
• Partiamo dalla definizione dell’accelerazione e cerchiamo di eliminare
il tempo.
dv
 dx
x
dv x
 bvx
dt
dt

i
dvx 
dv x  bvx dx

v xdv x  bvx dx


f
dvx   bdx
bdx
i

vx fi
dt
Moltiplicando ambo i
membri per dx
Integrando
f
dx  bv xdx
 bxfi

v x  vx o   bx  xo 
Da cui:
v x  vx o  bx  x o 
• La velocità si annulla quando x
raggiunge la sua posizione limite:
x  xo 
vx o
 x o  vx ot
b
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