Fenomeni di crescita e
decrescita
Funzioni esponenziali
Decadimento radioattivo:
Tempo di dimezzamento
Per tempo di dimezzamento T di un materiale radioattivo
si intende il periodo passato il quale la metà del materiale
è decaduta (cioè si è trasformata).
Tali valori sono generalmente riportati in tavole e possono
essere molto diversi per i vari materiali radioattivi:
Materiale
Tempo di dimezz. T
AZOTO
10 minuti
CARBONIO
5730 anni
Problema:
Data una certa quantità iniziale Q(0) di azoto, dopo
quanti tempi di dimezzamento (e quindi dopo quanto
tempo) la quantità di sostanza radioattiva si riduce…
a)..a meno di 1/4,
b)..a meno di 1/100,
c)..a meno di 1/1000 della quantità iniziale?
Quantità azoto
Q0=Q(0)
Q0/2
Q0/4
Q0/8
0
t=1T
T
t=2T
2T
t=3T
3T
t=4T
Q(1)=Q0/2 Q(2)=Q0/4 Q(3)=Q0/8 Q(4)=Q0/16
 1
Q0   
2
 1
Q0   
2
2
 1
Q0   
2
3
Q0/16
 1
Q0   
2
4
4T
……
t=nT
……
Q(n)
……..
 1
Q0   
2
n
a)Dalla tabella si vede che :
Q(n)=Q0/4 per n=2 , ossia dopo 2 tempi di dimezzamento
Quindi la quantità di azoto si riduce a meno di 1/4 di quella
iniziale, dopo 20 minuti.
b)Il valore di n per cui Q(n) < Q0/100, deve essere approssimato
con le successive potenze di 1/2:
(1/2)1
(1/2)2
(1/2)3
(1/2)4
(1/2)5
(1/2)6
(1/2)7
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
1/64
1/128
7 tempi di dimezzamento equivalgono a 70 minuti.
Una sostanza radioattiva però, decade con continuità e non a
n
intervalli per cui l’equazione Q(n)  Q   1  può scriversi:
0
 1
Q  Q0   
2
2
x
Con x numero reale
Se poniamo uguale a 1 (cioè al 100%) la quantità iniziale Q0,
possiamo scrivere l’equazione del decadimento nella forma:
 1
Q   
2
x
xR
Grafico precedente, per punti:
Quantità azoto
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
tempi di dimezzamento
4
5
Quantità azoto
esponenziale
120
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
tempi di dimezzamento
Come si può osservare il grafico della curva contiene i punti del
grafico “discreto” precedente.
Con questo nuovo strumento, possiamo calcolare con
precisione dopo quanto tempo la quantità di azoto radioattivo
si è ridotta ad 1/100 del valore iniziale?
Dobbiamo risolvere l’equazione
esponenziale:
x
1
 1
  
100
2
Prendendo i logaritmi di entrambi i membri e utilizzando la
proprietà del log di una potenza, si ottiene:
x
1
 1
Log   Log
100
2
x 
1
100
1
Log
2
Log
x  Log
1
1
 Log
2
100
x  6,6438.....
Il risultato si può confrontare con quello ottenuto precedentemente
per approssimazione, ma la risposta ora è più precisa:
6,64.. tempi di dimezzamento equivalgono a :
(ricordando T=10 minuti)
6,64 T = (66,4)m = 1h (6,4)m = 1h 6m 24s
(anche se è dubbio che si possa calcolare il tempo in modo così
esatto per un fenomeno reale).
Come esercizio, calcola la risposta al quesito (c)
L’equazione dell’evoluzione
Ci proponiamo di generalizzare il problema, cercando un
modello matematico in grado di descrivere il processo di
decadimento radioattivo, o, analogamente, il processo di
crescita delle cellule, crescita di colture batteriche o di
fermenti.
Nel 1798 il religioso inglese T.J. Malthus, tentò di elaborare
un modello matematico che descrivesse la crescita delle
popolazioni.
L’interesse per tale problema era dovuto alla veloce crescita,
in quell’epoca, della popolazione nelle città industriali e dalla
conseguente preoccupazione per il popolamento dei paesi
civilizzati.
Nel caso di processi di decrescita (risp. di crescita), l’esperienza
scientifica mostra che:
la variazione (aumento o diminuzione) della quantità di sostanza
considerata è proporzionale alla quantità stessa (y) e al tempo
trascorso(Dt):
Dy  y Dt
Introducendo una costante reale K otteniamo una prima
equazione dell’evoluzione, nella forma:
D y  k  y  Dt
k  0

conk  0
k  0

Per decrescita
Per stagnazione
Per crescita
Questa equazione può essere ulteriormente elaborata sia
nel caso discreto che nel continuo.
Caso discreto
Se indichiamo con yj la quantità di materiale dopo j intervalli di
tempo Dt,
dall’equazione:
D y  k  y  Dt
segue
y j  y j  1  k  y j  1  Dt
Spostando yj-1 e raccogliendo a fattor comune:
yj  yj  1  1  kDt 
yj  1  yj  2  1  kDt 
yj  yj  2  1  kDt 2
………………………………………..
yj  y0  1  kDt 
j
Con valore
iniziale y0
yj  y0  1  kDt 
j
Nel modello discreto, crescita e decrescita sono
descritte da progressioni geometriche.
Nell’esempio trattato precedentemente, si aveva:
Dt  1
k  
1
2
(un tempo di dimezzamento)
Caso continuo
Immaginiamo l’intervallo [0;t] diviso in un numero crescente di
intervalli Dt, sempre più piccoli.
Indichiamo con n il numero di intervalli di tempo :
0
Dt
t
per cui:
t  n  Dt
n
Sostituiamo nel modello discreto:
yn  y0 1  kDt
n
kt 

 y0  1  
n 

n
kt 

yn  y0  1 

n 

n
Come si comporta questa espressione per n   ?
Ricordando il numero di Nepero (o di Eulero):
n
1

lim  1    e
n  
n
Si dimostra facilmente che:
n
kt 

kt
lim  1 

e

n  
n 
Nel modello continuo, crescita e decrescita
sono descritte dall’equazione:
y  y0  e
Con valore
iniziale y0
kt
k  0

e conk  0
k  0

Per decrescita
Per stagnazione
Per crescita
Ritorniamo al problema dell’Azoto radioattivo.
y  y0  e
kt
Ponendo y0=1, il decadimento può essere espresso dalla :
y  e
kt
Per determinare k, usiamo i dati a nostra disposizione:
dopo 10 minuti la quantità di Azoto si è dimezzata
t=10min
y=1/2
1
 e10k
2
Ancora una volta con i logaritmi possiamo ricavare k
1
 e10k
2
ln e
10 k
1
 ln
2
10k ln e  ln 0.5
k  0.0693147 ...
y  e
0.0693 t
k 
ln 0.5
10
Può sembrare strano che due equazioni diverse formalizzino lo
stesso problema:
Sono
 1
y   
2
x
L’unità di misura è il
tempo di decadimento;
la x indica quanti
T=10min sono passati
equivalenti ?
y  e 0.0693 t
L’unità di misura è
il minuto
Il legame tra le due unità è: t=10x
Generalizziamo il problema, dalla:
Possiamo scrivere:
1
 e Tk
2
1
 e10k
2
Dove T, indica il tempo di
dimezzamento di una
qualsiasi sostanza
Passando ai logaritmi:
 
ln 21  ln e Tk
ln 2
k  
T
 ln 2  Tk ln e
Tasso di decadimento,
caratteristico di ogni
sostanza
L’equazione dell’evoluzione può essere riscritta:
y  e kt
y  e

ln 2
t
T
Mostriamo l’equivalenza:
 1
y   
2
x
ln y  ln
y  e

1 x
2
 
ln y  x ln 2 1
ln y   x ln 2
ln y
x  
ln 2

ln 2
t
T
ln y  ln e

ln 2
t
T
ln 2
ln y  
t  ln e
T
Ricordando il legame: t=xT
ln y   ln 2  x
Quindi ancora
una volta:
ln y
x  
ln 2
t
 x
T
•Proposte di lavoro
Scheda 1 – caso discreto
Scheda 2 – caso continuo
•Approfondimenti
I fenomeni radioattivi