Video: Confrontare funzioni
Informazione generale
Anno di produzione: 2007
Paese: Olanda
Lingua: Tedesco
Età degli studenti: 14-15 anni
Tipologia di studenti: una classe di alto livello di studenti pre-universitari
Argomenti matematici: il concetto di funzione come una catena input-output
Tecnologia: Applet (AlgebraArrows) incorporato in un ambiente digitale matematico (DME)
Riferimento web: www.fi.uu.nl/tooluse/en/ per informazioni sul progetto di ricerca e
www.fi.uu.nl/dwo/prootool/en/
per l’applet e per l’attività
Impostazione di insegnamento: l’insegnante discute il lavoro con coppie di studenti in un’impostazione di
insegnamento collettivo in una classe matematica con un video-proiettore che visualizza le immagini sulla
parete accanto alla lavagna.
Docente: insegnante di sesso femminile con esperienza nell’insegnamento, ma senza molta esperienza
nell’utilizzo delle tecnologie nel suo insegnamento
Documenti correlati: Drijvers, P. (2011). Teaching with computers in the classroom. An inventory of teaching
practices in mathematics lessons with computers. Mathematics Teaching, 222.
Situazione di partenza
Gli studenti di questa classe hanno una nozione limitata della funzione matematica. Stanno lavorando
attraverso una serie di lezioni nelle quali il concetto di funzione emerge da relazioni di dipendenza. Come
rappresentazioni iniziali, sono utilizzate catene di operazioni. La disposizione di apprendimento è mescolata,
con studenti che sia lavorano su carta e matita ad attività presentate in un opuscolo del corso, sia in un
ambiente digitale online che offre attività, un applet Java per costruire e utilizzare catene, e uno spazio
virtuale in cui il lavoro degli studenti viene memorizzato e può essere monitorato dal docente. Il filmato è
parte della registrazione della quinta lezione nella sequenza di insegnamento.
Descrizione del compito
Il compito discusso in questo video è mostrato sopra. Il compito a verte sul completamento delle due catene,
una per la funzione quadrata e una per la funzione radice quadrata, e sul disegno dei due grafici. Il compito
b chiede quali valori di input forniscono gli stessi valori di output per le due funzioni. Il compito c, centrale nel
video, richiede di annotare le differenze più notevoli tra le due funzioni.
L'insegnante, durante la preparazione di questa lezione, ha visto anche il lavoro digitale online di alcuni
studenti, e ha deciso di scegliere il lavoro di una coppia di studenti come punto di partenza per un giudizio
collettivo su questo compito.
Descrizione del video
Mentre prepara la quinta lezione della sequenza didattica, il docente considera il lavoro di Firenze (uno
pseudonimo) e del suo compagno di classe. Questi due studenti hanno utilizzato una tecnica tabella-grafico
Per risolvere questo compito: hanno aggiunto sia le tabelle sia i grafici nella finestra applet. Siccome le
tabelle forniscono valori di ingresso interi e gli studenti non hanno aggiunto una variabile di input nella
casella di input, i grafici che appaiono sono grafici di punti. Poi gli studenti hanno cliccato su valori di input
diversi in tabella, e hanno osservato gli effetti sui due punti corrispondenti nel grafico. Questa tecnica è stata
usata spesso da questi studenti come mezzo per indagare la funzione. In questo caso, questo ha portato a
pensare che sia 'speciale' che due punti che riflettono valori di funzione per lo stesso valore di input siano
allineati verticalmente. Il loro ragionamento, dunque, è: 'per il quadrato sono tutti numeri interi, e per la radice
quadrata sono numeri interi e frazioni. E il quadrato di un numero è sempre proprio sopra la radice?'. Il
punto di domanda alla fine indica che gli studenti non erano sicuri delle loro scoperte.
L'insegnante ha deciso di trattare questo compito e questa risposta inappropriata in particolare, in una
discussione con l’intera classe.
La prima parte del video mostra l'impostazione di classe, in cui l'insegnante è in piedi al video-proiettore, al
centro della classe. Lei mostra il lavoro degli studenti, che viene proiettato sulla parete, e chiede agli studenti
di spiegare o commentare.
La seconda parte del video inizia con il docente che mostra il lavoro di uno studente che ella aveva
selezionato per mostrarlo e legge ad alta voce il loro ragionamento, aggiungendo di alcune osservazioni di
modesto rilievo ('Guarda qui, ...'). Poi ella riformula la risposta e chiede a Firenze una spiegazione ('Che
cosa dicono ...'). Quando la spiegazione risulta essere inadeguata, ella invita un altro studente, Kay, a dare
la sua spiegazione, e verifica se Firenze capisce. Quando questo non succede, l'insegnante riformula la
Spiegazione di Kay e controlla ancora una volta Firenze, che ora dice di capire, anche se in realtà non dà
prova di ciò. In questo video, l'insegnante usa il mouse per collegare le sue espressioni orali ai fenomeni
sullo schermo.
Trascrizione
Utilizzando un proiettore, il DME con l'elenco delle coppie di studenti viene proiettato sulla parete al di
sopra della lavagna.
[…]
Insegnante T: Hanno già scritto un bel po’ qui. Si poteva essere un po' più precisi, è per questo che mostro
questo.
[…]
T: Sì, andava abbastanza bene, ma mi piacerebbe scrivere questo in modo più preciso.
Quindi scrivete, in ogni caso, che si tratta del numero di minuti di conversazione al telefono.
T: Allora andiamo al prossimo compito.
L’insegnante T naviga all'interno della lista del lavoro degli studenti fino a Tim e Kay e apre la soluzione del
compito 8.
T: Qui si dice [punta sullo schermo la domanda c con il mouse]: che cosa si nota? Oh sì, io in realtà volevo
vederne uno piuttosto diverso, perché avevano ...
T si sposta rapidamente al lavoro di Firenze (F) e del suo compagno di classe. Nel loro lavoro, gli studenti
controllato l’opzione Tabella. Questo ha portato a "grafici di punti" sullo schermo (vedi figura 2 a sinistra
dello schermo). La risposta alla domanda c, che gli studenti avevano digitato, è:
"Per il quadrato sono tutti numeri interi, e per la radice quadrata sono numeri interi e frazioni. E il quadrato
di un numero è sempre proprio sopra la radice? "
T: Guardate qui, che cosa si dice [punta la risposta degli studenti alla domanda c sullo schermo con il
mouse e la segue durante la lettura]. Per il quadrato sono tutti numeri interi, va bene, e per
la radice quadrata non sono numeri interi, siamo d'accordo con ciò, e il quadrato di un
numero è sempre proprio sopra la radice quadrata.
F: Era giusto?
T: Non lo sto dicendo.
St1 *: Sì, anch’io ho ottenuto questo.
T: Che cosa dicono, allora, che ogni volta c'è ... se ho qualcosa qui, c'è qualcosa sopra di esso, e se ho
qualcosa lì, c'è anche qualcosa sopra di esso. [punta con il mouse su coppie di punti allineati verticalmente
nel grafico] Perché, queste cose sono giuste una sopra l'altra?
F: Beh, perché ... la radice quadrata è solo ... non è solo il quadrato, due volte la radice, o qualcosa.
St2: No.
T: Kay?
Kay: Questo perché la parte inferiore di linea, che ha un numero su di esso, sia che tu prenda la radice
quadrata o il quadrato, così sono sulla stessa linea ogni volta.
T: Che cosa sono quei numeri che sono chiamati sulla linea orizzontale, allora?
St3: I numeri degli ingressi.
T: I numeri degli ingressi.
T: Ehm, Firenze, hai seguito quello che Kay ha detto?
F: No, ma io [...]. Era sui numeri e sulle radici quadrate e su ...
Sts: [ride]
St: Si trattava di numeri!
T: Kay ha detto: questi sono i numeri degli ingressi, qui sulla linea orizzontale. [sposta il mouse sull’asse
orizzontale] E per un numero di ingresso si ottiene un numero di uscita. E questo è proprio sopra.
Quindi, se si prende lo stesso numero di ingresso per due funzioni ... [indica le due catene con il mouse]
F: Oh, sì.
T: ... poi si ottiene anche ... poi si ottengono punti sopra esso [punta un paio di punti allineati verticalmente
nel grafico]. Quello non ha niente a che fare con le funzioni. Ha solo a che fare con quale numero si sta
andando a calcolare come valore di uscita. Ora, se entrambi calcolate il valore di uscita corrispondente a 10
[indica il 10 in corrispondenza dell'asse orizzontale], entrambi ottenete un punto superiore al 10 [indica due
punti sopra x=10]. Lo capisci questo?
F: Oh, sì, io non lo sapevo.
T scorre indietro la lista di coppie di studenti.
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* St1, St2, .. rappresentano degli studenti