Il decadimento b del neutrone
Le caratteristiche del neutrone riportate dal Particle Data Group (PDG)
isospin
Vita media: 885.7  0.8 s (media di tutte le misure)
n  p  e  e
1
La presenza del neutrino è cruciale per spiegare la forma dello spettro di energia
elettronico:
conteggi
Se non fosse presente gli elettroni sarebbero monoenergetici – stato finale a 2 corpi!)
energia (keV)
Neutrino o “piccolo neutro” postulato da Pauli nel 1931 (q = 0, m = 0, S = 1/2)
Associato solo all’interazione debole – molto difficile da rivelare
Rivelato per la prima volta da Reines e Cowan, 1959 (premio Nobel 1995)
2
Altri processi collegati:
p  n  e  e
p  e  n  e
 e  p  n  e
decadimento b+ in un nucleo, se energeticamente possibile
ad es. 25Al  25Mg
Cattura elettronica
Cattura di un antineutrino. Usato da Reines & Cowan per rivelare
l’antineutrino
... e molti altri ...
Nota: l’elettrone e l’antineutrino appaiono assieme; il positrone e il neutrino appaiono
assieme ...
Questo suggerisce una nuova quantità conservata detta numero leptonico Le:
 e 
  Le  1
 
 e
p  e  n  e
 e 
  Le  1
 
 e
 e  p  n  e
Legge di conservazione empirica: Le = costante - e e anti e sono distinti !
3
T.D. Lee and C. N. Yang, Phys. Rev. 104, 254 (1956).
http://publish.aps.org/
Originario
 puzzle
riflesso sotto parità
Se la parità è conservata ci aspettiamo un ugual numero di elettroni paralleli e
antiparalleli a B
Esaminiamo la distribuzione angolare di una particella di decadimento (ad esempio
quella rossa). Se questa è simmetrica (sopra/sotto il piano intermedio) allora
 
pJ  0
In questo caso la parità è quindi conservata
4
 
pJ  0
Se
allora l’hamiltoniana del sistema deve dipendere da
nel decadimento b
 
pJ
e la parità non è conservata
In un famoso esperimento, C.S. Wu dietro suggerimento di Lee e Yang (1956, premio
Nobel 1957) dimostrò che l’interazione debole viola la parità in
60
27

Co60
Ni

e
 e
28
Osservazione chiave: i nuclei di cobalto vengono posti in un campo magnetico a bassa
temperatura  gli spin si allineano col campo magnetico.
Gli elettroni sono emessi preferenzialmente in direzione opposta allo spin nucleare ...
5
Due raggi g “famosi”, 1173 e 1332 keV (radiazione della terapia al cobalto!)
Il 60Co può essere polarizzato nel campo magnetico grazie al suo elevato spin
La distribuzione angolare dei raggi g rivela la polarizzazione del nucleo genitore 60Co
6
SI
NO
pv
+
Il rate di conteggio b
dipende da <J>pe, che è –
rispetto a una
trasformazione di parità
pe-
+
pe60Co
Campo
J=5
B
60Ni*
J=4
pv
60Ni*
Jz=1
J=4
Jz=1
7
L’hamiltoniana deve quindi contenere un termine del tipo
 
S n  pe
Lo spin è un momento angolare. Sia P che S sono vettori, ma sotto parità hanno
proprietà di trasformazione diverse:
X, P cambiano segno (vettori polari)
S non cambia segno (pseudo-vettore o vettore assiale)
 
P X
Consideriamo prodotti scalari come
trasformano in modo diverso sotto parità
o
 
S  P . Anche queste quantità si
  
  
 


 
 P  X   P   X  P  X
 

 


 S  P  S   P   S  P

scalare
pseudo-scalare
Se l’hamiltoniana del sistema contiene termini pseudo-scalari allora non commuta più
con : il sistema non è più invariante sotto parità
 2
 2
 (r )   (r )
8
Ancora sull’asimmetria destra-sinistra
Per una particella di spin s e momento p, definiamo l’elicità h
h
 
sp
sp
 1  h  1
L’esperimento di Wu et al. Ha mostrato che
 gli elettroni sono sinistrorsi (LH – left handed).
In generale lo spin non è completamente allineato – diverse misure hanno evidenziato la
distribuzione angolare
elettroni
v
v
I ( )  1  cos  h  
c
c
s
positroni
p
v
v
I ( )  1  cos  h  
c
c
s
p
dove  è l’angolo fra il momento della particella e lo spin - v è la velocità
Quindi gli elettroni sono principalmente sinistrorsi (LH – left handed) mentre i positroni
9
sono principalmente destrorsi (RH – right handed)
Possiamo definire la polarizzazione “longitudinale”
I (0)  I ( )
v   1 per e 
P


I (0)  I ( )
c   1 per e 
Per neutrini senza massa (o con massa molto piccola) v  c, per cui ci aspettiamo
I ( )  1  cos  o I ( )  1  cos 
cioè la polarizzazione dei neutrini è P = - 1 o + 1.
Sinistrorsi o destrorsi?
Dall’ipotesi di Pauli lo spin del neutrino è 1/2. Ma qual’è la sua polarizzazione?
Una misura diretta (Goldhaber et al. - 1958) concluse che:
- i neutrini che accompagnano i positroni sono sinistrorsi
- gli antineutrini che accompagnano gli elettroni sono destrorsi
I leptoni sono sinistrorsi
elettroni, neutrini
Gli anti-leptoni sono destrorsi
positroni, antineutrini
10
Lo spettro di energia elettronico
Esaminiamo lo spettro di energia dell’elettrone. Abbiamo
dopo
prima
La conservazione dell’energia e del momento porta a
mn  m p  Tp  me  Te  T

  
p p  pe  p  0
conservazione energia
conservazione momento
Definiamo il valore Q (deve essere Q > 0 affinchè la reazione possa aver luogo)
Q  Tp  Te  T  mn  m p  me
Dal PDG Q = 0.78233  0.00006 MeV ( 60 eV !)
11
Spettro di
energia misurato
dall’esperimento
“PERKEO” al
reattore ILL,
Francia
conteggi
Fit allo spettro atteso includendo il
modello del rivelatore
La presenza del neutrino influisce su
questa forma in modo drammatico –
altrimenti sarebbe un picco monocromatico
al valore determinato dalla conservazione
dell’energia/momento
Energia (keV)
Poichè me << mp, Tp = p2 / 2m è piccola (circa 0.3 keV). Quindi Q  Te + T.
Nel punto terminale abbiamo la massima energia cinetica:
Te,max  Q (T  0)
La risoluzione sperimentale finita introduce un’incertezza nella determinazione esatta di
questo punto (e quindi rende difficile una misura precisa della piccolissima massa
12 del
neutrino)
Il decadimento b è un processo di interazioni deboli fondamentale
La vita media è relativamente lunga:

1

2
   V (r ) i d r
*
f
3
 grande implica un piccolo rate di transizione , perciò un’interazione “debole” V(r)
Facciamo il confronto col decadimento della risonanza D: D+  p + 0, un processo di
interazione forte con  = 5.7 x 10-24 sec !!!
Gli studi di precisione del decadimento del neutrone sono importanti per verificare le
basi del modello standard delle interazioni fondamentali ...
Il decadimento b è mediato dal bosone W (MW  80 GeV)
e  MW r
V (r )  gW
r
range = 1 / MW  2 x 10-18 m << dimensione nucleare
L’interazione è quasi puntiforme. Inoltre, dall’approssimazione di Born, l’ampiezza di
transizione va come gW2 / MW2. L’interazione è debole non tanto perchè gW è piccola,
13
quanto perchè MW è molto grande ...
Consideriamo più in dettaglio l’elemento di matrice

M fi   V (r ) i d r
*
f
3
Le funzioni d’onda dello stato iniziale e finale sono
 i  P
funzione d’onda del nucleo “genitore”
 f   De
 D

e


funzione d’onda del nucleo “figlio”
funzione d’onda di efunzione d’onda del neutrino
Poichè il range dell’interazione è  2 x 10-3 fm possiamo fare l’approssimazione
P
e
W
P

D
e
D
Interazione di “contatto”

V  G
( 3)
 
(ri  rf )
14
L’elemento di matrice diventa quindi
 
3
M fi  G     (ri  rf ) P d r
* * *
3
 G  De   P d r
* * *
D e 
( 3)
L’interazione è proporzionale all’overlap della funzione d’onda delle particelle dello stato
iniziale e finale nello stesso punto dello spazio.
G = costante di accoppiamento dell’interazione debole
Il modello standard può “predire” il valore di G in termini di parametri del modello,
mentre nella teoria di Fermi essa deve essere determinata dall’esperimento.
15
Considerazioni sullo spin: elettrone e neutrino
Il momento angolare orbitale è
L   (  1)
Classicamente, |L| = pb, dove b è il parametro d’impatto e p è il momento della particella
Poichè i leptoni sfuggono dal nucleo, deve essere b < R = raggio nucleare.
Poichè nel decadimento b E  1 MeV, ricaviamo

c
b
(  1) 
(  1)
p
E
200 MeV  fm

(  1)  2 10 11 (  1) cm
1 MeV
Poichè deve essere b < R  10-13 cm, vediamo quindi che
0
Elettroni e neutrini sono emessi principalmente con L = 0. Emissioni con L non zero
sono molto meno probabili  transizioni “proibite”
16
Assumiamo L = 0. Ci sono due possibilità di accoppiamento del momento angolare dei
due leptoni

 
se  s  Stot  S  0, 1
Nel caso del decadimento del neutrone
momento angolare è
n  p  e  e



sn (1 / 2)  s p (1 / 2)  Stot
la conservazione del
Sia Stot = 0 che Stot = 1 possono contribuire
nel decadimento del neutrone
Punto sottile: poichè i leptoni sono emessi con elicità definita, possiamo dedurre una
correlazione fra le loro direzioni di moto nei due casi:
decadimento di Fermi (Stot = 0)
e- e  viaggiano nella stessa
direzione
decadimento di Gamow-Teller
(Stot = 1)
e- e  viaggiano in direzione
opposta
17
Decadimento di Fermi Stot = 0
I leptoni viaggiano nella stessa direzione
Lo spin del protone rinculante è nella stessa
direzione dello spin del neutrone iniziale
Decadimento di Gamow-Teller Stot = 1
I leptoni viaggiano in direzione opposta
Lo spin del protone rinculante è in direzione
opposta a quella dello spin del neutrone
iniziale
 “spin-flip”
18
Come procedere?
Come prima, assumiamo un’interazione puntiforme, ma ammettiamo che esistano
diverse costanti di accoppiamento per i casi di Fermi (F) e di Gamow-Teller (GT).
Caso di Fermi, Stot = 0: (costante di accoppiamento: “GV” perchè il potenziale si
trasforma come un vettore spaziale)

M fi  M F  GV  D* e** P d 3 r
Gamow-Teller Stot = 1: (costante di accoppiamento: “GA” perchè il potenziale si trasforma
come un vettore assiale, cioè come il momento angolare)

M fi  M F  G A  D* e** P d 3 r
Sperimentalmente, le costanti di accoppiamento sono molto simili
GA
 1.25
GV
Sono calcolate confrontando diverse transizioni b nucleari, dove la conservazione del
momento angolare restringe gli stati di spin leptonico totale che possono contribuire
19
rate di transizione
n  p  e  e
Stot = 0, 1
Per il neutrone abbiamo
2
2

M fi  f  GV2  3G A2



poichè ci sono tre modi diversi con cui i leptoni possono essere emessi con Stot = 1 (ms
= 1, 0, -1) mentre uno solo con Stot = 0.
Per il momento lavoriamo su un generico elemento di matrice, poichè le espressioni
sono uguali a parte le costanti di accoppiamento
 *  * 
 3
M fi  G  (r )e (r ) (r ) P (r )d r
*
D
Assumiamo che e- e  siano debolmente interagenti
 “particelle libere” nel nucleo. Approssiamo i leptoni
con onde piane di definito momento:
 e
e ( r ) 

ipr / 
V
 e
,  (r ) 

iqr / 
V
20
elemento di matrice
n  p  e  e
Abbiamo
 * 
1 i ( p  q )r /  1 ip R r / 
 (r ) (r )  e
 e
V
V

 
dove pR  ( p  q) è il momento di rinculo del protone. Possiamo scrivere
 
  2





1  i ( p  q ) r /  1
pR  r 1  pR  r 
* 
* 
e (r ) (r )  e
 1  i
 i
  
V
V 

2  

*
e
L’integrale di Mfi si estende su regioni spaziali in cui le funzioni d’onda dei nucleoni (n, p)
non sono nulle: Rmax  1 fm (nei nuclei usiamo R  1.2 A1/3 fm)
Ma il momento di rinculo pR non è maggiore del valore Q della reazione,  MeV ...
 
pR  r QRmax
1 MeV  fm
1
* *


 1  e  

c
200MeV  fm
V
Questa è una notevole semplificazione: le funzioni d’onda leptoniche sono costanti sulla
regione spaziale che conta nel calcolo dell’elemento di matrice
21
Possiamo quindi riscrivere l’elemento di matrice
2
2
2
2 G 2
*
3

M fi  f 
  d r f
2  D P

 V
Il restante integrale è noto come elemento di matrice nucleare

M nucleare   ψ ψ P d r
*
D
3
Quando il decadimento b si verifica in un nucleo, non è detto che le funzioni d’onda dello
stato iniziale e dello stato finale del protone e del neutrone siano esattamente uguali, per
cui in generale
M nucleare  1
2
Tuttavia, nel caso del neutrone libero, non ci sono complicati effetti nucleari e l’elemento
di matrice è identicamente 1
2 G 2

f
2
 V
Quando questo si verifica in un nucleo, il rate di
decadimento b è massimo, e la transizione è classificata
come super-permessa
22
Densità di stati finali Il calcolo è simile a quello fatto per lo scattering elettronico, ma ora
ci sono due particelle leggere nello stato iniziale.
Vogliamo determinare il numero di stati finali equivalenti nell’intervallo di energia dEf,
dn
f 
dE f
I momenti dello stato finale sono quantizzati nel volume V

V  
V 
2
2
   4q dq

dn  dne  dn   4p dp
3 
3
(2)  
(2) 

E f  Ee  E  Ee  cq
(il nucleone è molto più pesante delle altre particelle: TR = p2R / 2 mp  0 )
A Ee fissata
dE f
Ee cost
 cdq
Di conseguenza la densità di stati per i quali il momento elettronico è nell’intervallo
(p,p+d3p) (senza tener conto del momento del neutrino) è
2 2 2
dne  dn
dn
V
p q
f 

 (4 ) 2
dp
6
dE f
cdq
(2) c
23
Arriviamo infine al rate di transizione
2
2

(
4

)
2
2 2
  G2
M nucleare
p
q dp
6
c
(2)
transizione mista: G2 = GV2 + 3 GA2
neutrone libero: Mnucleare = 1
Questo è in realtà un rate di decadimento parziale d(p), perchè il momento elettronico
è specificato esplicitamente  rate a cui si verifica il decadimento per un dato momento
elettronico che si trova nell’intervallo (p,p+d3p)
 predizione dello spettro di momento!
Abbiamo q = (Ef – Ee) / c. Ora
Q  Te  T  Ee  me c 2  T  E f  me c 2
 E f  Q  me c 2
Inoltre
Ee 
p 2c 2  me2c 4

G2
2
d ( p)  7 3 3 M nucleare Q  me c 2  p 2c 2  me2c 4
2  c
 p dp
2
2
24
Rate di transizione in funzione di Ee. Abbiamo
G2
2
2
d ( p)  7 3 3 M nucleare E f  Ee  p  pdp
2  c
Ora

1 2
p  2 Ee  me2 c 4
c
2 Ee dEe
2 pdp 
c2
2

da cui
d ( Ee ) 
G2
2  c
7
3 6

M nucleare E f  Ee  Ee2  me2c 4
2
2

1/ 2
Ee dEe
vediamo che
d ( Ee  0)  d ( Ee  E f )  0
25
Rate in funzione dell’energia cinetica elettronica.
Abbiamo
E f  Ee  Q  mec 2  Ee  Q  Te
Inoltre
Ee  me c 2  Te


2
E  m c  me c  Te  me2c 4  Te2  2me c 2Te
2
e
2 4
e
2
Quindi, essendo dEe = dTe
d (Te ) 
G2
2
2  c
7
3 6

M nucleare Q  Te  Te2  2me c 2Te
2
 m c
1/2
e
2

 Te dTe
vediamo che in questo caso
d (Te  0)  d (Te  Q)  0
26
Spettro di momento ed energia cinetica elettronico
N(p)
d
2
N ( p) 
 cost  p 2 Q  Te 
dp
p(MeV/c)
Si noti che Te,max = Q
N(Te)
Spettri predetti graficati per
Q = 2.5 MeV, non per il dec.
del neutrone libero!
Te (MeV)
27
Confronto con i dati sperimentali (decadimenti e+ ed e- di 64Cu)
troppi e- di bassa energia
effetti
coulombiani ...
troppo pochi e+ di bassa
energia
28
Discrepanza: abbiamo trascurato gli effetti coulombiani nello stato finale.
Punto chiave: le distorsioni coulombiane degli spettri di energia si verificano dopo che
l’elettrone / positrone sono stati emessi nel processo di decadimento b
Densità modificata degli stati di elettrone / positrone
 V

2
dne  
4p dp   F ( Z ' , p)
3
 (2)

Funzione di Fermi
Dipende dalla carica Z’ del
nucleo figlio (stato finale) e
dal momento di e-/e+
risultato originario
Fattori di correzione approssimati per il decadimento b
2
x
2

Z
'
v
e
1

F ( Z ' , p) 
, x
, b , 

x
1 e
b
c
4c 137
 spettro elettrone / positrone modificato
N ( p)  Cp 2 Q  Te 
2
2
G
2

F ( Z ' , p), C  3 7 3 M nucleare
2  c
29
Test della teoria: grafico di Fermi-Kurie
 
ip R  r / 
1
Idea: per i “decadimenti consentiti” corrispondenti all’approssimazione e
dentro il nucleo, lo spettro di energia elettronica può essere “linearizzato” se si tiene
conto della distorsione coulombiana tramite la funzione di Fermi F(Z’,p)
N ( p)
 Q  Te
2 
p F ( Z ' , p)
Funzione lineare
endpoint Q
N ( p)
p 2 F  (Z ' , p)
Grafico di Kurie
3
Moltissimi decadimenti misurati
sono consistenti con questo
andamento (anche se non tutti ...)
H 3He  e    e
Q
Te (30keV)
L’effetto della massa del neutrino. Studiamo la zona vicino all’end-point dello spettro di
energia
m = 0 
m  0 

N ( p)  p Q  m c 

p c m c 
N ( p)  p Q  me c  p c  m c
2
2
2
2
e
2 2
2 4
e
2 2
2 4
e
2
1/ 2
 dN / dp  0
 dN / dp  
Effetti maggiore  decadimenti con Q piccolo (es. 3 H 3He  e    e )
31
Dal proposal di “KATRIN” (Karlsruhe Tritium Neutrino expt. – 2001)
Miglior limite superiore diretto: m < 2.5 eV
Dallo studio dei neutrini solari e dei raggi cosmici, esiste una convincente evidenza
32
indiretta che la massa dei neutrino è molto minore di questo valore
Test sistematico: il rate di decadimento totale
Il nostro formalismo determina d, il rate (s-1) in un particolare stato finale elettronico (o
positronico) di momento p
G2
2
2
d ( p)  7 3 3 M nuclear Q  Te  p 2 F  ( Z ' , p)dp
2  c

 si riferisce ai modi di decadimento b
Otteniamo il rate di decadimento totale integrando d su tutti i momenti e consentiti
   d ( p) 
G2
2 7 3c 3
p max
M nuclear
2
2 2 


Q

T
p F ( Z ' , p)dp
e

0
 cost  M nuclear f ( Z ' , Q)
2
Integrale di Fermi
A parte l’elemento di matrice nucleare, la variazione dei rate di decadimento per diversi
nuclei instabili dovrebbe dipendere solo dall’integrale di Fermi, che possiamo calcolare
indipendentemente.
Possiamo usare questo fatto per testare la nostra teoria del decadimento debole33!
Integrale di Fermi adimensionale:
per convenzione
p max
2 2 


E

T
 0 e p F (Z ' , p)dp,
E0  Q
0
log10 f(Z’,E0)
1
f ( Z ' , E0 )  5 7
me c
Nota: Z’ = 0 dà l’integrale
dello spazio delle fasi per lo
spettro non distorto – cioè
senza effetti coulombiani
E0 = Q (MeV)
34
Confronto dei tempi di dimezzamento
Per convenzione si utilizza il tempo di dimezzamento t1/2 =  ln2 ( = 1 / ) come
standard di confronto per diversi decadimenti b nucleari
G2
2
  7 3 3 M nucleare f ( Z ' , Q)
2  c
Riarrangiando otteniamo
f ( Z ' , Q)t1/ 2  ft1/ 2  ln 2
2 7 3
2
5 4
e
G m c M nucleare
2
Nota: la sola differenza nel valore “ft” fra diversi decadimenti b nucleari è il valore
dell’elemento di matrice nucleare.
Se |Mnucleare|2 = 1 (caso “super-permesso nei nuclei), i valori ft possono essere usati per
determinare la costanti di accoppiamento debole G (GV, GA)
Caso speciale: “decadimenti super-permessi” nei nuclei con stati nucleari iniziale e finale
0+  0+. Ad es.
14
8
O  147 O  e    e
Deve avere spin leptonico totale Stot = 0  decadimento di Fermi puro ...
35
Decadimenti super-permessi 0+  0+: “world best data” per i nuclei leggeri
Tutti hanno lo stesso valore ft  3100 s
Determina la costante di accoppiamento debole per i decadimenti di Fermi
GV  (1.1496  0.0004) 10-5 (c)5 /GeV 2
(e GA / GV = -1.25 – di più in seguito ...)
36
Capiamo i decadimenti b in generale?
Prima pagina del Krane, appendice C: (e stà per cattura elettronica/decadimento b+)
27 isotopi: 8 decadimenti b-, 6 decadimenti b+ i cui rate coprono 16 ordini di grandezza!
37
Alcune anomalie ...
1. In base alla nostra teoria, il decadimento molto lento (1.6 x 106 anni)
10
4
Be (0  )  105 B(3 )  e    e
non si dovrebbe verificare proprio perchè viola la conservazione del momento angolare
  

0  3  (0 oppure 1)
2. Un altro esempio (16.1 ore)
76
35
Br (1 ) 
76
34
Se(0  )  e    e
Questo non si dovrebbe verificare perchè le funzioni d’onda nell’elemento di matrice
nucleare hanno parità opposta, per cui l’integranda è dispari e l’integrale dovrebbe
annullarsi

 3
M nucleare   ψ (r )ψ P (r )d r  0 ???
*
D
38
Questi sono esempi di decadimenti proibiti – essi non possono procedere
nell’approssimazione fatta in quanto



 


1
M fi   ψ*D (r )e* (r )* (r )ψ P (r )d 3r  0 se e* (r )* (r ) 
V
Esiste qualche altro modo che faccia si che si verifichino?
Riconsideriamo la funzione d’onda di e- e e come espansione di multipolo

 


i
p

r
/

Ve* (r )* (r )  e R   i  (2  1) j ( pR r /  ) P (cos  )
 0
Funzioni di Bessel sferiche
Al crescere di L diventano più importanti per per
grande momento di rinculo
 questo cambierà la dipendenza dal momento
della nostra predizione
Polinomi di Legendre
Questi introducono una nuova dipendenza
angolare nell’integranda di Mfi
 equivalente a momento angolare L
39
L’accoppiamento del momento angolare per il multipolo di ordine L assieme a S e al
momento angolare nucleare fa si che reazioni precedentemente impossibili possano
aver luogo
Il termine di multipolo ha parità (-1)L, che permette all’operatore di decadimento b di
connettere stati di parità nucleare opposta
La dipendenza dal momento dell’elemento di matrice varia come (PRr / h)L ...
Poichè questo è piccolo, il multipolo di ordine L più basso che soddisfa le leggi di
conservazione dominerà la transizione
2
2
P r
rate  M   R   (0.01) 2  
  
drammaticamente
minore per L grande
La dipendenza dal momento influisce anche sulla forma dello spettro; i plot di Curie non
sono più lineari a meno di introdurre opportuni fattori di forma ...
terminologia:
L=0
L=1
L=2
L=3
permesso
primo proibito
secondo proibito
terzo proibito ...
40
Classificazione generale: tutti i decadimenti noti
leggi di conservazione
 
 
Ji  J f  S  L
 i   f (1) L
S = 0 (Fermi) o S = 1 (Gamow-Teller)
Il valore più piccolo di L consistente con le leggi di conservazione dominerà la
transizione
41
Esempio: decadimento b+ di 18Ne
Branching ratio: frazione di decadimenti che vanno in un particolare stato finale.
In questo caso total = 1 /  = 0.667 s-1;  = 1 + 2 + 3 , i = BR(i) total
Transizione 1: 0+  0- Questo è un decadimento GT primo proibito, col rate parziale più
lento
   
0  0  S  L ()  ()( 1) L  L  1, S  1
Transizione 2: 0+  0+ Questo è un decadimento di Fermi permesso
   
0  0  S  L ()  ()( 1) L  L  0, S  0
Transizione 3: 0+  1+ Questo è un decadimento GT permesso
   
0  1  S  L ()  ()( 1) L  L  0, S  1
42
Tipi di interazione debole
leptonica
semi-leptonica
non-leptonica
interazioni di corrente carica
.

 

W-
q2
q1
q3
W
W-
e
e
q4
q1
q2
decadimenti non leptonici di adroni strani
n
ud d
W-

u
0
p
ud u
-
u

ud s
d u
W-
ud s
43
Il bosone W si accoppia alla carica debole g. Elemento di matrice di transizione
g2
1
Q 2 0
 2 4
g 
M fi  g 2
2 4
Q  MW c
MW c
interazione a corto range
c
197 MeV

fm  2.5 10 3 fm
2
MW c
80GeV
Interazione puntiforme (ipotesi di Fermi)  GF (costante di Fermi).
Definizione conveniente
GF :
 g2 (c)3
2 e 2 M W2 c 4
GF può essere determinata dalla vita media del decadimento 
192 3 7
 2 5 4
GF m c
Il decadimento del muone dà una costante di accoppiamento
debole che è circa il 2.5% più grande che nei decadimenti b
nucleari
e

g
e
g
W-

44
La rivelazione degli antineutrini
Reines & Cowan usarono la “cattura di antineutrini” per rivelare l’antineutrino
 e  p  n  e
L’esperimento ha fruttato il premio Nobel:
http://www.nobel.se/physics/laureates/1995/illpres/neutrino.html
Physical Review 117, p. 159, 1960
45
 e  p  n  e
intenso fascio prodotto in
un reattore nucleare
protoni in una grande
vasca d’acqua
rivelato tramite i raggi g
dell’annichilazione con e-
rallentamento tramite scattering in
acqua; rivelati attraverso la cattura
in un sale dissolto di cadmio
Un esperimento a rate molto basso: > 1013 antineutrini incidenti / sec ma solo 3
eventi/ora!
 5 mesi di presa dati !
Acquisizione dati non computerizzata! Per ciascun evento un sistema fotografico
azionato automaticamente scattava una fotografia delle tracce di un oscilloscopio
analogico!
La rivelazione con una “coincidenza ritardata” sia del neutrone che del positrone
sopprimevano il fondo
Misure ausiliarie per determinare le efficienze di rivelazione, ecc.
46
Sezione d’urto assoluta misurata: 1 x 10-43 cm2 (10-19 b), in accordo con la teoria!
Schema dell’esperimento:
e  p  n  e
antineutrino proveniente da un reattore

raggi g della cattura
nel cadmio
rivelatore a scintillatore
liquido
i neutroni devono
rallentare
cattura n in cadmio
dopo la moderazione
H2O + CdCl2
(bersaglio)
protone
bersaglio
annichilazione
raggi g
dell’annichilazione
annichilazione di e+ istantanea
rivelatore a scintillatore
liquido
e   e   2g (511 keV)
47
 e  p  n  e
Altezza verticale  2m; circondato da uno
schermo di Pb per ridurre il fondo g ...
48
Dati raw: fotografie all’oscilloscopio !
Luce di scintillazione proveniente dall’annichilazione e+ prima, dalla cattura neutronica
successivamente (3 – 10 s)
49
conteggi / 0.5 s
Dati: rate di eventi coincidenti in funzione del ritardo in tempo
la distribuzione indica il
tempo di rallentamento dei
neutroni in acqua - la
sezione d’urto 1/v di cattura
in Cd è grande a bassa
energia!
reattore acceso
383.5 hr
reattore spento
128 hr
ritardo temporale (s)
  1.2 00..74 10 43 cm 2
Reines e Cowan accanto a uno dei loro rivelatori di neutrini. L’esperimento fu
scherzosamente chiamato “Progetto Poltergeist” in quanto il neutrino era considerato
elusivo come un fantasma ...
Prima dimostrazione diretta dell’esistenza degli antineutrini !
50
Più sul numero leptonico:
Esistono in realtà tre “generazioni” di leptoni di cui
siamo a conoscenza (in ordine di massa crescente e, ,
) e ciascuna ha il proprio neutrino associato con un
numero leptonico conservato separatamente ...
   e   e  
Conteggi
Esempio. Il decadimento del muone: sono
emessi due neutrini distinti, come dimostra la
forma dello spettro
Energia elettronica
51(MeV)
La misura della vita media del neutrone
52
Metodo. Il rate di decadimento è
dN
N

dt

Misuriamo il rate contando i protoni di decadimento in un dato intervallo di tempo (dN/dt)
e normalizziamo al flusso del fascio di neutroni (N)
Realizzato idealmente con “neutroni freddi”, ad es. provenienti da un reattore e moderati
in idrogeno liquido
Alcuni problemi:
1. volume di decadimento preciso?
2. rivelazione dei protoni?
3. normalizzazione del fascio?
53
Distribuzione del fascio di neutroni. Decisamente non monoenergetica:
Neutroni  MeV proveniente da un reattore sono “moderati” tramite scattering in un
grosso contenitore d’acqua (“termici”) o idrogeno liquido (“freddi”)
Dopo diversi scattering, essi raggiungono l’equilibrio termico col moderatore e sono
estratti in una linea di fascio verso l’esperimento
La distribuzione di velocità è maxwelliana: le energie sono nel range del meV (kT = 26
meV @ T = 293 K)
2  mv 2 / 2 kT
ve
dv
f(E)
 m 
f (v)dv  4n

 2kT 
3/ 2
Energia
54
Rivelazione di neutroni a bassa energia
Diversi nuclei leggeri hanno enormi sezioni d’urto di cattura neutronica a basse energie
(ricordiamo che l’area trasversa di un nucleo, ad es. 10B è circa 0.2 barn)
sezione d’urto (barn)
Caratteristica chiave: le sezioni d’urto scalano come 1 / velocità a bassa energia
L’energia cinetica dei frammenti ionizzati
può essere convertita in un segnale
elettrico rivelabile (tipicamente  40 eV 
1 coppia elettrone-ione
Energia dei neutroni
55
Il rate di decadimento è piccolo e appr. costante; dN<<N

dN fascio
dt
N dec

t
N dec
N fascio
Nri
v
Probabilità di rivelazione dei neutroni nel rivelatore 10B
G= fattore geometrico – misurato calibrando il rivelatore
Segnale nel rivelatore di neutroni
Vita media

N fascio 
N fascio
 dN fascio / dt
P  G  G
 0 v0
v
N riv
N v
L
 riv  (const )  N riv 
G G 0 v0
t
 (const ) 
N riv
L
N dec
56
Dettagli sperimentali (tutto sotto vuoto presso il reattore ILL, Francia)
Si usa una trappola di Penning per confinare i protoni di decadimento
Si fanno fuoriuscire dalla trappola dopo essere stati accumulati per un tempo T
Si misura il rapporto Nriv / Ndec in funzione della lunghezza L della trappola
 la pendenza dà 
rivelatore  con apertura di
precisione
N dec
B = 5 tesla
deposito 10B
rivelatore p
n
N riv
rivelatori di particelle 
per i prodotti di cattura
sottile foglio di 10B per
catturare i neutroni del
fascio
nN
 1 kV
elettrodo
“mirror”
elettrodo
centrale
trappola di Penning a
lunghezza variabile
(16 elettrodi)
fascio
elettrodo
“gate”
i protoni spiraleggiano
attorno alle linee di campo
quando fatti uscire dalla
trappola
57
rate vs lunghezza della trappola L
Risultato: 893.6  5.3 sec (1990)
valore del PDG: 885  0.8 sec (2003)
58
Parità
La trasformazione di parità è definita da


P r  r
In coordinate polari sferiche abbiamo
r  r,     ,     
(una trasformazione (x, y, z)  (x, y, -z) è descritta dal prodotto di una rotazione per la
trasformazione di parità).
In meccanica quantistica la parità è descritta da un operatore  agente sugli stati di uno
spazio di Hilbert
       1
Richiediamo che
   X     X 
   X   X
Quindi l’operatore posizione e  anticommutano.
59
Sia |x> un autostato della posizione, X |x> = x |x>. Allora sotto parità
X x  X x   x x
 x   x
Applicando l’operatore parità una seconda volta troviamo
  x     x  x
 2 1
La funzione d’onda di una particella (senza spin) descritta da uno stato |> è
 ( x)  x 
Quindi la funzione d’onda dello stato trasformato sotto parità  |> è
x      x    ( x)
60
Ricerchiamo le autofunzioni  e gli autovalori  di . Abbiamo
(r )   (r )
 (r )   (r )     (r )   2 (r )
   1
Poichè inoltre (r) = (-r), questo implica che le autofunzioni di  hanno la proprietà
  1 funzione pari
 (r )   (r ) 
  1 funzione dispari
Momento e parità Poichè p = dx / dt ci aspettiamo che
  P   P
vettore polare
Momento angolare e parità In questo caso essendo
  
L  X  P vettore assiale

 



 




 L   X  P    X   P   X   P  L

 

Quindi la parità e il momento angolare commutano
   
61
Non tutte le funzioni d’onda fisicamente importanti hanno una parità definita. Ad
esempio, poichè P e  non commutano, un autostato del momento non è un autostato
della parità. Infatti
 

ip x / 
 p ( x )  e
non è nè pari nè dispari.
Al contrario, poichè L e  commutano, un autostato |,L,m> del momento angolare
(L2,Lz) è anche un autostato della parità. In coordinate sferiche

r  , , m  r,,   , , m
R (r )Ym (,  )  r,,   , , m
Sotto parità
r  r,
     cos  -cos
     eim  (1) m eim
L’espressione esplicita delle funzioni sferiche è
Ym ( ,  )  (1) m
(2  1)(  m)! m
P ( )eim
4 (  m)!
62
Abbiamo per m = 0 il caso speciale
2  1
Y ( ,  ) 
P (cos  )
4

0
A seconda del grado L, il polinomio di Legendre è o pari o dispari
P ( z )  (1)  P ( z )
Vediamo quindi che
r,,    , , m  0  (1) r,,   , , m  0
Introduciamo gli operatori di innalzamento e abbassamento del momento angolare
L  Lx  iL y ,
L  , , m   , , m  1
Poichè L communta con , anche L commutano con la parità e quindi
r,,    , , m  (1) r,,   , , m
63
Supponiamo che l’hamiltoniana H di un sistema e  commutino
H ,   0
e che |n> sia un autostato di H non degenere con energia En. Allora |n> è anche un
autostato della parità.
Abbiamo
H n   H n    E n   E n
Quindi, poichè [H,] = 0
H n  H  n   E n
 |n> è un autostato di H con autovalore E. Di conseguenza deve essere
 n  n
 autostato della parità
Esempio. Consideriamo l’oscillatore armonico, descritto dall’hamiltoniana
p2 1
H
 m 2 r 2
2m 2
64
Sotto parità abbiamo
H (r )  H  (r )
 ( p)(  p) 1


 m 2 (r )( r ) (r )  H (r )
2
 2m

D’altra parte
H (r )  H (r )
Quindi H e  commutano: la autofunzioni dell’oscillatore armonico hanno parità definita.
La condizione di non degenerazione è essenziale. Ad esempio, l’hamiltoniana di una
particella libera H = P2 / 2m è pari (H commuta con ).
Gli stati di energia |p> , |- p> sono degeneri
p2
Hp 
p
2m
(hanno lo stesso autovalore di E = p2 / 2m).
Essi non sono autostati della parità perchè
 p  p
65
Violazione della parità
Se un sistema è invariante sotto parità allora
 2
 2
 (r )   (r )
o, in coordinate sferiche
 (r , ,  )   (r ,    ,    )
2
2
Quindi le probabilità di trovare una particella ad un angolo  o 180 -  sono uguali.
Per verificare la conservazione della parità è necessario eseguire un esperimento:
a.
in una data configurazione
b.
Nella configurazione “riflessa” sotto parità
Se entrambi gli esperimenti danno gli stessi risultati, la parità è conservata ed è una
buona simmetria.
Un processo di decadimento dovrebbe essere lo stesso sia che questo sia riflesso sotto
parità che no.
66
L’esperimento di Goldhaber
Consideriamo il processo
152
Eu ( J  0)  e   152 Sm * ( J  1)   e
L’elettrone viene catturato dalla shell K per cui il momento angolare totale dello stato
iniziale è lo spin dell’elettrone.
152Eu
J=0
J=1
e
152Sm*
E1
J=0
g
152Sm
Il nucleo 152Sm* è in uno stato eccitato (E = 960 keV). Dopo un breve tempo esso
decade nello stato fondamentale J = 0+ emettendo un fotone (transizione E1)
152
  3 x 10-14 s)
Sm * ( J  1) 152 Sm( J  0)  g
67
La conservazione del momento angolare per il primo decadimento richiede che lo spin di
152Sm* (J = 1) debba essere opposto a quello del neutrino (S =1/2) in modo che la loro
somma dia lo spin dello stato iniziale pari a 1/2 (lo spin dell’elettrone)
neutrino RH
neutrino LH
Per quanto riguarda la reazione di diseccitamento di 152Sm*, lo spin del fotone deve
essere parallelo allo spin di 152Sm* poichè nello stato finale 152Sm ha J = 0.
Abbiamo le seguenti possibilità per il caso di un neutrino LH
spin
fotone
LH
fotone
RH
direzione
avanti
velocità
152Sm*
direzione
indietro
Il fotone in avanti ha la stessa polarizzazione del neutrino.
Ma come sapere se g è emesso in avanti o indietro?
68
Il g emesso può dar luogo ad assorbimento risonante da parte di un secondo nucleo di
Sm “scatteratore”:
152
Sm( J  0)  g 152 Sm * ( J  1) 152 Sm( J  0)  g
Questo è possibile solo per un g in avanti perchè ha energia leggermente maggiore
dell’energia di eccitazione (quindi permettendo un pò di energia di rinculo del nucleo)
sorgente 152Eu
elettromagnete
Rivelazione g in avanti: Assorbitore fra la sorgente
e rivelatore
 i fotoni rivelati provengono dallo scatteratore e
non direttamente dalla sorgente
scatteratore
Sm2O3
fotomoltiplicatore
(RCA 6342)
scintillatore
NaI (Tl)
schermo
Fe+Pb
Scattering Compton dei g in uno strato di ferro in
un campo magnetico prima di raggiungere lo
scatteratore
Se B polarizza gli e- di Fe nella stessa direzione
dei g,  è maggiore
 meno g arrivano al rivelatore. Invertendo B i g
invece aumentano
69
Ma come misurare la polarizzazione dei fotoni?
sorgente 152Eu
elettromagnete
Scattering Compton dei g in uno strato di ferro in
un campo magnetico prima di raggiungere lo
scatteratore
B polarizza 2 elettroni di Fe in direzione opposta a
B
scatteratore
Sm2O3
fotomoltiplicatore
(RCA 6342)
scintillatore
NaI (Tl)
schermo
Fe+Pb
La sezione d’urto dipende dagli spin del fotone e
dell’elettrone
Se B polarizza gli e- di Fe nella stessa direzione
dei g, la sezione d’urto è maggiore e meno g
arrivano al rivelatore.
Allora Invertendo B i g invece aumentano
70
Risultato:

N  N
1
(N  N )
2
 0.017  0.003
N- = rate di conteggi con B 
N+ = rate di conteggi con B 
Il segno + corrisponde a elicità negativa: i neutrini sono sinistrorsi e gli antineutrini
destrorsi
Queste particelle possono ruotare in una
sola direzione !
71